Historias de Pi: calculando el área del círculo

En una entrada previa, reflexionamos sobre le relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, que, como aprendimos en la escuela, es  el número π . Una relación similar ocurre cuando queremos calcular el área de un círculo, que sabemos es el cuadrado del radio multiplicado por π. Pero esta relación de proporcionalidad , intuitiva sin duda, tampoco es tan evidente.

 

Estos teoremas de la geometría (pues eso son) que se enuncian tan fácilmente y que aprendemos de manera universal, tienen demostraciones muy sutiles. Ya vimos en la entrada aludida que la prueba del correspondiente a la longitud de una circunferencia descansa en una noción que los matemáticos tardaron siglos en formalizar adecuadamente, la de límite (o si se quiere, la de su prima hermana, la derivada).

 

Arquímedes según Domenico Fetti (1620)

Una primera prueba de que el área de un círculo de radio r es A = π  r2 se debe a Arquímedes. Si pensamos en una sucesión de polígonos regulares inscritos en el círculo, sabemos que el área de cada uno de ellos es la mitad del perímetro multiplicado por la distancia del centro a sus lados (la apotema). Si imaginamos ahora al límite (por ejemplo, cuando el número de lados tiende a infinito), entonces

A = ½ x 2 π r x r

Previo a Arquímedes, Hipócrates de Quíos (470 a.C.-410 a. C.) probó que el área de un círculo era proporcional al cuadrado del diámetro, cuando trataba de resolver el problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con el mismo área de un círculo dado solamente con regla y compás). Hipócrates lo quiso resolver con el llamado problema de la cuadratura de la lúnula (veáse la figura 1).

Figura 1

Arquímedes utilizó el llamado método exhaustivo, introducido por Eudoxo de Cnido (390 a. C.-37 a. C) introdujo el método exhaustivo, un antecedente del cálculo integral, para probar que el área de un círculo era proporcional al cuadrado del radio. En el razonamiento de Arquímedes, en el paso al límite, se usa de una manera no rigurosa pero acertada como las secantes (los lados de los polígonos) se aproximan a la longitudes de arco, y las apotemas al radio.

Es interesante recordar los argumentos de Arquímedes. Primero, compara el área del círculo con la de un triángulo rectángulo cuya base mida lo mismo que la longitud de la circunferencia y cuya altura sea el radio. Entonces razona: supongamos que no coincidan, o sea que será mayor o menor, y en cada caso, llega a una contradicción. ¿Qué tiene esto que ver con los polígonos inscritos? Sea A el área del círculo y a la del triángulo, y sea E el exceso en el caso de que A sea mayor que a = 1⁄2cr, donde c es la longitud de circunferencia y r el radio. Inscribimos un cuadrado en el círculo, y nos quedan cuatro segmentos iguales. Sea S4 el área de esos cuatro segmentos y supongamos que S4  es mayor que E. Si ese es el caso, divido cada segmento en dos y obtenemos un octógono. Hacemos lo mismo, contamos el área de esos ocho segementso, que será S8 . De nuevo, vemos si es mayor que E, y así hasta que lleguemos a un polígono de n lados tal que el correspondiente área Sn sea menor que E. Entonces el área del polígono será Pn = A – Gn, mayor que la del triángulo.

Y ahora llega la contradicción. Trazamos una apotema de longitud h. Si cada lado del polígono mide s, entonces el perímetro, ns, es menor que c. El área del polígono es ½ nsh. Como h es menor que r y ns menor que c, el área del polígono debe ser menor que la del triángulo, lo que es una contradicción.

El argumento en el otro caso funciona de manera parecida, y en consecuencia, debe darse la igualdad.

Hoy en día tenemos instrumentos mucho más precisos. La integración nos permite calcular el área de un círculo de varias formas, muy elegantes y sencillas.

Me gustaría terminar con una reflexión sobre el ingenio de los matemáticos de otras épocas, que sin contar con las técnicas del cálculo diferencial e integral fueron capaces de obtener logros que ahora nos parecen evidentes.

___________

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Compartir:

Entradas relacionadas

492 comentarios

  2. Здорова, народ Близкий человек уже несколько дней в запое Родственники не знают что делать Нужна срочная помощь Короче, врачи вытащили с того света — выведение из запоя в нижнем новгороде быстро Положили в палату В общем, телефон и цены тут — принудительный вывод из запоя принудительный вывод из запоя Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  3. В любое время врач-нарколог приедет на дом для постановки капельниц, с помощью которых проводится очищение организма и снятие алкогольной интоксикации. Формат на дому удобен, если больному сложно ехать в центр, он ослаблен, страдает от бессонницы или хочет получить помощь в домашних условиях рядом с родственниками. При признаках инсульта, судорог, припадков, суицидальных высказываний, тяжелой рвоты, психоза или угрозы смерти требуется не домашний детокс, а стационар клиники с круглосуточным врачебным контролем.
    Подробнее – вывод из запоя люберцы

  4. Здорова, народ Ситуация критическая Жена в истерике В больницу тащить страшно Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя на дому срочно Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, не потеряйте контакты — вывод из запоя круглосуточно вывод из запоя круглосуточно Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  5. Помощь оказывают врачи с практикой в наркологии, психиатрии и восстановительной терапии.
    Ознакомиться с деталями – vyvod iz zapoya

  6. Мы работаем круглосуточно, анонимно и ежедневно, включая выходных и праздничные дни. В любое время врач-нарколог приедет на дом для постановки капельниц, с помощью которых проводится очищение организма и снятие алкогольной интоксикации. Выездная бригада приезжает оперативно, а при серьезным состоянии может быть организована транспортировка в стационар, где есть постоянный контроль, лечебной режим, необходимые протоколы и условия для полноценной стабилизации.
    Разобраться лучше – vyvod iz zapoya kapelnica

  7. Когда в семью приходит беда, связанная с неконтролируемым приёмом спиртного или психоактивных веществ, счёт идёт буквально на секунды. Поиск выездной бригады в интернете часто приводит на сайты с общими фразами, однако мы предлагаем конкретное решение — нарколог на дом в Люберцах и по всей Московской области. Наша частная наркологическая служба позволяет быстро и на высоком профессиональном уровне прервать запой, снять мучительные проявления абстиненции и избежать тяжёлых последствий для здоровья. Выезд врача доступен в любое время суток: оперативный вызов нарколога в любое время и день недели, врач выезжает по указанному адресу сразу после оформления заявки. Специалисты центра регулярно работают по всему району, включая соседние города – Королёв, Балашиху, Мытищи, Химки, Щёлково, Подольск, Домодедово, Раменское, Красногорск, Долгопрудный, Лобню, Звенигород, Одинцово, Солнечногорск и другие. Благодаря этому квалифицированная медицинская помощь становится рядом с вами уже через 30-40 минут после обращения. Мы не просто снимаем острые проявления заболевания – мы выполняем полный комплекс мероприятий, от первичной диагностики до мотивационной беседы и последующего кодирования прямо в домашних условиях.
    Изучить вопрос глубже – narkolog-na-dom-kruglosutochno

  8. Самара, всем привет Отец не выходит из штопора Дети напуганы Таблетки не помогают Короче, врачи приехали и поставили систему — выведение из запоя на дому эффективно Через пару часов человек пришёл в себя В общем, не потеряйте контакты — вывести из запоя на дому самара https://czena.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara-mno.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  9. Помощь оказывают врачи с практикой в наркологии, психиатрии и восстановительной терапии.
    Ознакомиться с деталями – vyvod iz zapoya kapelnica

  10. Частный наркологический центр в Балашихе круглосуточно оказывает помощь при алкоголизме, наркомании, токсикомании и других формах зависимости. В клинике доступны вызов нарколога на дом, вывод из запоя, капельница, детокс, снятие ломки, кодирование, лечение в стационаре и реабилитация. Медицинская помощь предоставляется анонимно, а персональные сведения защищены в соответствии с законодательством России и внутренней политикой конфиденциальности.
    Подробнее можно узнать тут – telefon-doveriya-narkologicheskoj-pomoshchi

  13. С учётом всех этапов (детоксикация, терапевтическая работа и адаптация) курс занимает от одного до трёх месяцев, в зависимости от индивидуальных особенностей пациента.
    Подробнее тут – лечение наркомании

  14. В данном обзоре представлены основные направления и тренды в области медицины. Мы обсудим актуальные проблемы здравоохранения, свежие открытия и новые подходы, которые меняют представление о лечении и профилактике заболеваний. Эта информация будет полезна как специалистам, так и широкой публике.
    Слушай внимательно — тут важно – кодирование с помощью гипноза

  15. Заявку можно оставить в любое время, специалист быстро сориентирует по дальнейшим действиям.
    Подробнее тут – vyzvat-narkologicheskuyu-pomoshch

  16. Этот краткий обзор предлагает сжатую информацию из области медицины, включая ключевые факты и последние новости. Мы стремимся сделать информацию доступной и понятной для широкой аудитории, что позволит читателям оставаться в курсе актуальных событий в здравоохранении.
    Ознакомиться с полной информацией – вывод из запоя на дому область

  17. Потому первый и самый сложный вопрос, который встает перед наркоманом или алкоголиком, решившимся избавиться от своей зависимости, — это как пережить ломку и как провести правильную детоксикацию. Ответ зависит от тяжести физического и психического состояния, разновидности вещества и готовности человека пройти комплексное лечение. В относительно легких случаях возможна экстренная помощь на дому, однако при длительном употреблении героина, метадона, кодеина, солей, мефедрона, кокаина, амфетамина, спайса или нескольких препаратов надежнее выбрать стационар.
    Получить больше информации – нарколог на дом снятие ломки

  18. Медицинская помощь направлена не просто на временное облегчение. Лечение начинается с оценки общего состояния пациента, диагностики интоксикации и определения типа употребляемого вещества. Нарколог учитывает длительность зависимости, последние дозы, наличие перерыва, возраст человека, хронические заболевания, показатели давления, пульса, температуры тела и сатурации. На основании полученных данных врач подбирает препараты, контролирующие остроту синдрома отмены, поддерживающие сердце, печень, почки, нервную систему и другие органы.
    Получить больше информации – снятие ломки на дому цена в подольске

  19. Здорова, народ Ситуация критическая Соседи стучат в стену Нужен врач прямо сейчас Короче, единственный кто реально помог — выезд нарколога на дом качественно Осмотрел и поставил капельницу В общем, вся инфа по ссылке — нарколог на дом екатеринбург https://zapoj.narkolog-na-dom-ekaterinburg-11.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  20. В данной статье мы поговорим о будущем медицины, акцентируя внимание на прорывных разработках и их потенциале. Читатель узнает о новых подходах к лечению, роли искусственного интеллекта и возможностях персонализированной медицины.
    Читать далее > – https://zapoy-voronezh.ru/uslugi/psihiatriya/lechenie-psihozov-i-nevrozov

  21. Здорова, народ Брат снова сорвался Дети напуганы В больницу тащить страшно Короче, только это реально спасло — вывести из запоя санкт петербург эффективно Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, вся инфа по ссылке — выведение из запоя на дому https://czena.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg-zqe.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  22. Публикация знакомит читателей с различными подходами к реабилитации. От традиционных методов до современных программ — вы узнаете, как выбрать оптимальный путь к выздоровлению и преодолеть препятствия на этом пути.
    Прочесть всё о… – воронеж клиника лечение наркомании

  23. Этот документ охватывает важные аспекты медицинской науки, сосредотачиваясь на ключевых вопросах, касающихся здоровья населения. Мы рассматриваем свежие исследования, клинические рекомендации и лучшие практики, которые помогут улучшить качество лечения и профилактики заболеваний. Читатели получат возможность углубиться в различные медицинские дисциплины.
    Это ещё не всё… – эмоциональная зависимость от человека

  24. Текст посвящён распространённым мифам о зависимости и их развенчанию. Мы предоставим научно обоснованную информацию и дадим рекомендации по выбору эффективного способа борьбы с зависимым поведением.
    Нажмите, чтобы узнать больше – суть нейролингвистического программирования

  27. Обращение в клинику необходимо, если самочувствие ухудшается, период запоя длится несколько дней, появляется слабость, тревога, бессонница, тошнота или признаки алкогольной абстиненции. Врач оценивает самочувствие, уточняет стаж употребления, возраст, хронические болезни и прошлый опыт лечения. Если человек пьет долго и самостоятельно выйти из запоя не может, вызов нарколога на дому помогает быстро начать лечение.
    Детальнее – вывод из запоя дешево

  28. Этот текст посвящён сложным аспектам зависимости и её влиянию на жизнь человека. Мы обсудим психологические, физические и социальные последствия зависимого поведения, а также важность своевременного обращения за помощью.
    Следуйте по ссылке – антибиотик и вино совместимость

  29. Далее начинается процесс детоксикации – внутривенно вводятся растворы, которые помогают вывести остатки алкоголя, снизить нагрузку на печень и почки, восстановить водно-солевой баланс. При необходимости применяются препараты для стабилизации сердечно-сосудистой системы и поддержания работы нервной системы.
    Получить больше информации – http://narcolog-na-dom-v-irkutske6.ru/vrach-narkolog-na-dom-irkutsk/

  30. После поступления заявки врач выезжает в течение 30–60 минут и по прибытии проводит диагностику, оценивает состояние пациента, измеряет пульс, давление, уровень кислорода в крови.
    Получить больше информации – нарколог на дом вывод в иркутске

  31. Решение вызвать бригаду должно приниматься на основе четкого анализа симптомов. Если вы замечаете у близкого стойкое отвращение к еде, неукротимую рвоту или жалобы на мучительные боли в груди, это сигнал о токсическом поражении жизненно важных органов. В подобных случаях без профессиональной диагностики и инфузионной терапии справиться с отравлением практически невозможно.
    Разобраться лучше – vyzov-narkologa-na-dom-zapoy

  32. Специалисты регулярно помогают при интоксикации, запоях, абстиненции и сложных состояниях зависимости.
    Получить дополнительную информацию – kapelnica-ot-zapoya-klinika

  33. Публикация знакомит читателей с различными подходами к реабилитации. От традиционных методов до современных программ — вы узнаете, как выбрать оптимальный путь к выздоровлению и преодолеть препятствия на этом пути.
    Получить больше информации – https://zapoy-voronezh.ru/uslugi/lechenie-narkomanii/solevaya-zavisimost

  34. Медицинская публикация представляет собой свод актуальных исследований, экспертных мнений и новейших достижений в сфере здравоохранения. Здесь вы найдете информацию о новых методах лечения, прорывных технологиях и их практическом применении. Мы стремимся сделать актуальные медицинские исследования доступными и понятными для широкой аудитории.
    Изучите внимательнее – https://zapoy-voronezh.ru/uslugi/lechenie-narkomanii/metadonovaya-zavisimost

  35. Анонимность — стандарт по умолчанию. Документация ведётся нейтрально и только в объёме, необходимом для оказания помощи. Мы не информируем третьих лиц, не вступаем в контакты с работодателями или соседями. Визит осуществляется на немаркированном авто, общение — коротко и по делу, доступ к карте пациента ограничен принципом «минимально необходимого». Если требуется стационар, используем отдельный вход и «тихий коридор», а по выписке возвращаем тот же маршрут обслуживания на дому.
    Детальнее – наркологическая клиника стационар в нижнем новгороде

  36. В городе и пригороде организован круглосуточный приём с возможностью выезда на дом. Координатор уточняет только клинически значимые данные: регулярные препараты и дозировки, аллергии, недавние эпизоды судорог/психозов, доступ к розетке, возможность обеспечить «тихое окно» на 2–3 часа. Если в квартире многолюдно или идёт ремонт, предложим «тихий» стационар с отдельным входом и тем же ведущим врачом; после стабилизации зеркально перенесём маршрут обратно домой, чтобы не терять темп и доверие.
    Получить дополнительную информацию – http://narkologicheskaya-klinika-v-nizhnem-novgorode16.ru/chastnaya-narkologicheskaya-klinika-nizhnij-novgorod/

  38. Главная цель — безопасно стабилизировать состояние, вернуть контроль над сном, гидратацией и базовой активностью в первые сутки и удержать результат. Для этого мы используем модульный подход: один этап — одна клиническая задача — один измеримый маркер. Такой принцип исключает «гонку доз», снижает риск перегрузки объёмом и делает прогноз понятным для пациента и близких. Мы сознательно разделяем «короткие эффекты» (уменьшение тошноты, сглаживание тахикардии) и «эффекты консолидации» (устойчивый сон, ясность утром), чтобы каждая корректировка была точной и доказуемой.
    Подробнее можно узнать тут – http://www.domen.ru

  39. Muy buena entrada: la demostración de Arquímedes siempre me parece una de las ideas más elegantes de la historia de las matemáticas, y aquí se explica con mucha claridad. Me gustó especialmente cómo conectas la intuición geométrica con el paso al límite y el método exhaustivo. Para quienes disfrutan de estos temas, también vale la pena echar un vistazo a 格ゲー認知診断, una propuesta curiosa que invita a pensar y medir habilidades de otra manera.

  41. Публикация посвящена жизненным историям людей, успешно справившихся с зависимостью. Мы покажем, что выход есть, и он начинается с первого шага — принятия проблемы и желания измениться.
    Осуществить глубокий анализ – невроз у детей лечение

  42. Медицинская помощь направлена не просто на временное облегчение. Лечение начинается с оценки общего состояния пациента, диагностики интоксикации и определения типа употребляемого вещества. Нарколог учитывает длительность зависимости, последние дозы, наличие перерыва, возраст человека, хронические заболевания, показатели давления, пульса, температуры тела и сатурации. На основании полученных данных врач подбирает препараты, контролирующие остроту синдрома отмены, поддерживающие сердце, печень, почки, нервную систему и другие органы.
    Получить дополнительные сведения – снятие наркотической ломки

Deja un comentario