web analytics

‘Historias de pi’

Historias de pi: los recitadores

Sweet and gentle sensitive man
With an obsessive nature and deep fascination
For numbers
And a complete infatuation with the calculation
Of PI
Oh he love, he love, he love
He does love his numbers
And they run, they run, they run him
In a great big circle
In a circle of infinity
Kate Bush: Pi

Las competiciones memorísticas son un clásico de nuestra sociedad, y populares en algunos colegios, aunque exista ahora una corriente en contra de estas prácticas (ya nadie recita la lista de los reyes godos). Pero entre ellas, son las de números las más seguidas.

Noticias como esta en Microsiervos:

Entrenando catorce horas al día, Jaime García (un colombiano que vive en Brunete) ha recitado 150.000 dígitos de π en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid, batiendo el anterior récord del mundo (100.000 dígitos) de Akira Haraguchi estuvo rodeado de cierta polémica y ni siquiera fue considerado válido.

son relativamente frecuentes en los medios de comunicación. De hecho, en esta página web Pi World Ranking List se puede encontrar una extensa información de records, y no solo del número pi:

Puede ordenar la lista por rango, apellido, país y continente haciendo clic en el título de esa columna. Para cambiar la clasificación ascendente/descendente, vuelva a hacer clic en el título de la columna. Si se desplaza hacia abajo, la barra de título permanecerá en la parte superior de la pantalla, por lo que podrá cambiar la clasificación en cualquier momento.

Ahí podemos ver que el record mundial es  del indio Suresh Kumar Sharma, con 70.030 dígitos, obtenido el 21 de octubre de 2015, durante 17 horas y 14 minutos. Sharma fue vendedor de verduras en Jaipur y a pesar de su éxito con pi, fue incapaz de pasar un examen para iniciar estudios d eingeniería.

Sharma tiene competidores duros, como Rajveer Meena, un hombre de la ciudad de Vellore, en el sur de la India, que tiene el récord mundial Guinness por recitar 70.000 dígitos de pi (con los ojos vendados) siete meses antes que Sharma. El japonés Akira Haraguchi reclama el título ya que al parecer recitó 100.000 dígitos en un evento celebrado en 2006 en Tokio, pero no se ha aceptado su resultado.

Sabemos que pi es irracional, así que nunca podremos calcular todas sus cifras decimales. El record de cálculo es de 50.000.000.000 de dígitos, y fue alcanzado por Timothy Mullican (EE.UU.) en Huntsville, Alabama, EE.UU., el 29 de enero de 2020. A esas cantidades si no llegará tampoco la mente humana.

Pero también hay canciones para recitar el número pi, y aquí os dejo un par de ellas, esta con los cien primeros decimales

Imagen de previsualización de YouTube

y esta otra de Kate Bush:

Imagen de previsualización de YouTube

___________

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Etiquetas: ,

Historias de pi: las agujas del conde de Buffon

El problema de la aguja de Buffon es una cuestión planteada por primera vez en el siglo XVIII por Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon, y relaciona de una manera sorprendente la teoría de probabilidades con el número π.

Buffon, 1707-1778

 

En su obra Essai d’Arithmetique Morale, publicada en 1777, Buffon propone este problema:

Supongo que en una habitación en la que el suelo está simplemente dividido por juntas paralelas uno lanza un palo al aire, y que uno de los jugadores apuesta a que el palo no cruzará paralelas en el suelo, y que el otro, por el contrario, apuesta a que el palo cruzará alguna de estas paralelas; se pregunta por las probabilidades de estos dos jugadores. Se puede jugar a este juego en un tablero de damas con una aguja de coser o un alfiler sin cabeza.

Este problema fue el primero en lo que se llama probabilidad geométrica, y la solución, que ahora mostraremos, es que la probabilidad de que la aguja cruce una de las líneas paralelas viene dada por la fórmula

p = (2/π) (l/L)

donde l es la longitud de la aguja y L la anchura que separa las paralelas (se supone que l < L). Aquí la probabilidad se entiende que si arrojamos N veces la aguja y en P de ellas la aguja cruza una paralela, entonces p es el límite de esos cocientes.

Hay muchas pruebas matemáticas de este resultado, y aquí recordamos una bastante intuitiva. Sea X un punto de la aguja, por ejemplo uno de sus extremos (el más cercano a una de las rectas paralelas), y denotemos por d la distancia de ese extremo a la paralela más próxima. La otra variable es el ángulo  θ que forma la aguja con la paralela. Las dos variables que necesitamos para describir la aguja son precisamente estas dos, (d, θ), donde 0 ≤ d ≤ L y 0 ≤ θ  ≤ π. Un simple cálculo trigonométrico nos indica que habrá cruce si

d < (L/2) sen θ

Para calcular  lo que tenemos que hacer es dividir los casos favorables por los totales. Es decir, el área bajo la curva de la función (L/2) sen θ entre 0 y π, dividida por el área del rectángulo de lados L y π. Ese cociente nos da precisamente la probabilidad buscada.

Georges-Louis Leclerc  nació el 7 de septiembre de 1707 en Montbard, Francia, y falleció el16 de abril de 1788 en París.  Fue un naturalista, con amplios conocimientos matemáticos y astrónomicos. Su influencia fue enorme, autor de una enciclopédica Historia Natural (L’Histoire Naturelle, générale et particulière, avec la description du Cabinet du Roi) en 36 volúmenes en vida y 8 más tras su fallecimiento. Buffon ocupó el cargo de director del Jardín Real (hoy conocido como Jardin des Plantes).

Fue nombrado Conde de Buffon en 1773. Como muestra de su relevancia en Francia, decir que en1776, Luis XVI encargó una estatua suya al escultor Augustin Pajou, estatua erigida a la entrada del Museo de Historia Natural con la inscripción: Majestati Naturæ par ingenium (“un genio a la altura de la majestad de la Naturaleza”). Su muerte a los 80 años fue causada por sus problemas de cálculos renales.

Una de las aplicaciones del problema de la aguja de Buffon es el cálculo de las expresiones decimales de π, lo que resulta en una extraordinaria relación entre paralelas y el círculo. Para ello se usa el método de Montecarlo y de esto hablaremos en otra entrada.

___________

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Etiquetas: , ,

Historias de pi: los calculadores

En entradas anteriores (De la geometría al número y Calculando el área del círculo) hemos visto como π era la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, y como se fue identificando su naturaleza a lo largo de los siglos hasta definirlo como un número irracional y trascendente. Nos ocuparemos hoy de los esfuerzos para calcular su valor aproximado.

 

Gráfico mostrando el progreso en el cálculo decimal de pi

Las primeras aproximaciones escritas de π se encuentran en Babilonia y Egipto. En Babilonia, una tablilla de arcilla fechada entre 1900 y 1600 a.C. tiene un enunciado geométrico en el que se calcula π como 25/8 = 3,125. En Egipto, el Papiro Rhind, al que se le supone una antigüedad de unos 1800 a.C., presenta una fórmula de aproximación para el área de un círculo en la que π se toma como el doble de 16/9, aproximadamente 3,16 (el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9). Por su parte, los matemáticos indios, alrededor del siglo IV a.C. dan un valor de 339/108 ≈ 3,139.  Las matemáticas chinas, tan desconocidas, parece ser que usaban el valor aproximado de 3, pero también se encuentran una aproximación como raíz cuadrada de 10 y 3,14 (la historia de π y las matemáticas chinas merecen una entrada propia en este blog).

Uno de los documentos más antiguos en la propia Biblia. En el Libro I de los Reyes, se lee

Hizo el Mar de metal fundido que tenía diez codos de borde a borde; era enteramente redondo, y de cinco codos de altura; un cordón de treinta codos medía su contorno. Debajo del borde había calabazas todo en derredor; daban vuelta al Mar a largo de treinta codos; había dos filas de calabazas fundidas en una sola pieza.

y en el Libro II de las Crónicas

Hizo el Mar de metal fundido, de diez codos de borde a borde. Era enteramente redondo y de cinco codos de alto. Un cordón de treinta codos medía su contorno.

Ambos textos arrojan un valor aproximado para π de 3, lejos de las aproximaciones previas.

Hemos comentado en entradas anteriores las aproximaciones de Arquímedes mediante polígonos inscritos, aunque, obviamente, la geometría tenía sus límites. El último gran intento de calcular π por este método fue realizado por el jesuita matemático y astrónomo austríaco Christoph Grienberger en 1630, quien calculó 39 decimales de π utilizando una mejora trigonométrica debida al matemático holandés Willebrord Snell.

Otros métodos recurren a la trigonometría, por ejemplo a fórmulas del tipo de la obtenida por John Machin en 1706:

π/4 = 4 arctan (1/5) – arctan (1/239)

con las que llegó a aproximar 100 cifras decimales. Con fórmulas similares, se ha llegado a aproximar π hasta con 1.241.100.000.000 dígitos.

John Machin

Expresar π como suma de una serie es otra de las técnicas para encontrar más y más decimales, y en esto Srinisava Ramanujan fue un auténtico genio:

Srinivasa Ramanujan

 

Las expansiones decimales de π suelen calcularse con fórmulas iterativas como el algoritmo de Gauss-Legendre y el algoritmo de Borwein. El algoritmo de Chudnovsky es otro método rápido para calcular los dígitos de π, basado en las fórmulas de Ramanujan.

Se han escrito también programas para calcular π a muchos dígitos en ordenadores personales. En nuestros días, la caza de decimales de π se ha convertido en un auténtico desafío.

Obviamente, antes de la llegada de los ordenadores era mucho más difícil calcular π, y como muestra decir que en el siglo XIX, William Shanks tardó 15 años en calcularlo con 707 decimales, aunque posteriormente se descubrió que había cometido un error y solo se le concedieron 527 decimales correctos. Con los ordenadores, la cuestión cambia radicalmente; de hecho, en 2019, en el día de π, Googe consiguió un record, ¡31,4 billones de decimales!

Uno de los mejores calculadores de π fue el japonés Yasumasa Kanada, fallecido el 11 de febrero de 2020, y profesor del Departamento de Ciencias de la Información de la Universidad de Tokio hasta 2015. Estableció el récord 11 de las últimas 21 veces.

Yasumasa Kanada

El récord lo tiene ahora Timothy Mullican, norteamericano de Huntsville, Alabama, quien obtuvo el 29 de enero de 2020 la friolera de 50 billones de dígitos utilizando el algoritmo de Chudnovsky. El cálculo le llevó más de 8 meses en total. Intentó este récord para poner a prueba los límites de su hardware y, durante el proceso de intento del récord, Timothy fundó una organización sin ánimo de lucro llamada North Alabama Charitable Computing, que reutiliza equipos de computación y almacenamiento de grado empresarial para la investigación STEM. Timothy tiene previsto donar el servidor y los discos duros utilizados en el intento para proporcionar potencia informática a los científicos y a diversos proyectos de investigación.

Timothy Mullican

Y si, el cálculo de los decimales de π se usa en computación para probar el hardware de los ordenadores.

___________

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

 

Etiquetas: ,

Historias de pi: Cuando Sir Francis Galton nos enseñó como dividir una tarta redonda

El 20 de diciembre de 1906, sir Francis Galton publicó un breve artículo en la sección de Cartas al Editor de Nature con el título: “Cutting a Round Cake on Scientific Principles” (“Dividiendo una tarta redonda siguiendo principios científicos”). La comentamos en esta entrada porque es una auténtica curiosidad de un científico tan relevante como Galton.

Sir Francis Galton, 1840

Galton escribe:

NAVIDAD sugiere tartas, y estas el deseo por mi parte de describir un método de cortarlas que he ideado recientemente para mi propia diversión y satisfacción.  El problema a resolver era: “dado una tarta de te redonda de unas 5 pulgadas de ancho, y dos personas de moderado apetito para comerla, de qué manera debería dividirse para dejar un mínimo de superficie expuesta a secarse”. El método ordinario de cortar una cuña es muy defectuoso en este sentido. El resultado que hay que conseguir es cortar el pastel de forma que las porciones restantes encajen.

El texto incluye unas figuras

 

con este texto explicativo debajo:

Las líneas a trazos muestran el corte previsto. Las líneas rectas continuas muestran los cortes realizados. Los trozos se mantienen juntos mediante una banda elástica común que encierra el conjunto. En las figuras anteriores, cada una de las dos operaciones sucesivas elimina aproximadamente un tercio de la superficie del disco original.        

En consecuencia, las cuerdas (o los arcos) de las circunferencias de estas porciones deben ser iguales. La dirección de los dos primeros planos verticales de la sección no es importante; pueden pueden ser paralelos, como en la primera figura, o pueden encerrar una  cuña. Los cortes que se muestran en las figuras representan aquellos de dejar que la tarta dure tres días, cada operación sucesiva ha eliminado aproximadamente un tercio de la superficie del disco original. Una banda de goma común abraza el conjunto y mantiene los trozo unidos.

F.G.

Repartir tartas entre varios comensales es un problema matemático que da mucho juego, sobre todo si se quiere hacerlo de manera equitativa. Por ejemplo, en este video

Imagen de previsualización de YouTube

se indica una manera de hacer el reparto cuando tenemos tres participantes, método generalizable a muchos más, lo que complicaría muchísimo el proceso. En el video no se trata en realidad de un problema de geometría, más bien de teoría de la elección.

Como hablamos de tartas redondas, la geometría si nos da pistas. Lo habitual es dividir la tarta en cuñas (sectores circulares) iguales, porque nos vamos a comer toda la tarta ya, y no tenemos la preocupación de Sir Francis Galton de que se reseque. Y para hacerlo, ya sabemos que los sectores circulares deben ser iguales, y si está presente un matemático, le pueden pedir que divida 360º entre el número de comensales (la broma usual). Y ya puestos, que calcule el área y el volumen de cada trozo resultante (pi en danza).

Pero si la tarta es muy grande, las cuñas pueden ser demasiado largas y poco manejables. En este artículo, Cómo cortar un pastel redondo grande para que salgan porciones decentes,  hemos encontrado una solución muy ingeniosa. Se trazan dos circunferencias, tal y como se ve en la figura, y se cortan las cuñas, pero ahora ya son más cortas, tal y como en el video. Con el centro, vale la sugerencia del video o dividirlo a su vez

Imagen de previsualización de YouTube

Solo me queda pedirles que disfruten de la tarta.

___________

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Etiquetas: ,
Categorias: Historias de pi

Historias de Pi: en búsqueda de la identidad

En entradas anteriores hemos visto como la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro era constante, la misma que nos da la relación entre el área de un círculo y el cuadrado de su radio. A esa constante la bautizamos como número π. Pero, ¿cuál es la naturaleza de este intrigante número cuyas cifras decimales no terminan nunca?

William Oughtred

Para investigar sobre sus señas de identidad, vayamos primero al nombre,  y también a la notación, al símbolo que lo representa. La notación con la letra griega π proviene de la inicial de dos palabras griegas: περιφέρεια (periferia) y περίμετρον (perímetro). Esta notación se debe al matemático y clérigo inglés William Oughtred (1574-1660) (a quien, por cierto, se le deben muchas otras notaciones); previamente se representaba por la letra p. Oughtred usaba la relación π/δ, donde δ era el diámetro en su obra Clavis Mathematicae (1647).

William Jones

 

Más adelante, el matemático galés William Jones (1675-1749) en su obra de 1706, Synopsis Palmariorum Matheseos, utiliza la letra griega π en la discusión de un círculo con radio uno tal como se muestra en la imagen

Jones, sin embargo, comenta que esas ocasiones son debidas “al ingenioso Sr. John Machin (1686-1751), quien en 1706 consiguió el logro de calcular 100 cifras decimales de pi. Así que quizás Machin fue al auténtico padrino. En cualquier caso, los matemáticos siguieron usando la notación en fracción de Oughtred hasta que Leonhard Euler la popularizó en sus obras Mechanica (1736) e Introductio in analysin infinitorum (1748). La influencia de Euler pudo con cualquier otro intento, como el previo de denominarlo constante de Ludolph, en honor al matemático alemán Ludolph van Ceulen (1540-1610), quién había calculado valor de π con una aproximación de 20 cifras decimales en su libro Van den Circkel (1596) que extendió a 35 algo más tarde. Después de su muerte, el “Número de Ludolphine”,

3,14159265358979323846264338327950288…,

fue grabado en la lápida de su tumba en Leiden.

 

Réplica de la tumba de Ludolph van Ceulen

Aparte de estas pinceladas acerca del nombre, lo esencial era determinar su naturaleza como número.

π  es un número irracional, es decir, no puede expresarse como fracción de dos números enteros: Este hecho lo demostró el matemático suizo-alemán Johann Heinrich Lambert (1728-1777). Lambert expresó  π  como una fracción continua infinita. Como una fracción continua finita se puede expresar mediante un número racional y viceversa, si π fuera racional, debería existir tal fracción continua.

Johann Heinrich Lambert

Más adelante, Charles Hermite encontró una prueba que no requiere ningún conocimiento previo más allá del cálculo básico. Y otras simplificaciones de esta prueba de Hermite son debidas a Mary Cartwright, Ivan Niven y al grupo Nicolas Bourbaki. Otra prueba, simplificación de la prueba de Lambert, se debe a Miklós Laczkovich.

En 1882, el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que π no sólo es irracional, sino también trascendental, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros.

 

Carl Louis Ferdinand von Lindemann

También se sabe que π no es tampoco lo que se llama un número de Liouville, que son aquellos números trascendentes que no se pueden aproximar por una sucesión de números racionales “rápidamente convergente”, o en otras palabras, los “mejor aproximados” por racionales.

___________

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Etiquetas: , ,

Los círculos de Fred Vargas

Como los habituales de este blog saben, soy un lector empedernido, vicio o virtud que cultivo desde que tengo uso de razón. Y en mi lectura de la serie del comisario Jean-Baptiste Ademsberg, de la premio Princesa de Asturias de las letras de 2018, Fred Vargas (seudónimo de Frédérique Audoin-Rouzeau), me he encontrado con una inesperada afición a los círculos y al número pi.

No es la primera vez que Vargas hablaba de círculos; en su debut con El hombre de los círculos azules (L’Homme aux cercles bleus) en 1991, un extraño personaje se entretenía en dibujar círculos en las calles de París colocando en su centro objetos cotidianos, algo inocente hasta que los círculos comenzaron a rodear algún que otro cádaver.

 

Fred Vargas

Pero es el tercer y último cuento de los incluidos en el libro Fluye el Sena (Coule la Seine), y titulado “Cinco francos unidad” (Cinq francs pièce), un estrambótico vendedor ambilante de esponjas de baño es testigo accidental de un intento de asesinato de una mujer en las calles de París. Y este es el nombre de tal singular personaje, Pi Toussaint. Cuando su madre puso su nombre en el registro, alguien puso una taza de café encima y del nombre (posiblemente Pierre) solo quedó Pi.

Adamsberg sabe que Pi tiene más información de la que está dando, y trata de convencerlo para que la suelte. Así llegamos a un diálogo extraordinario:

“ – De hecho – dijo súbitamente Pi, pasándose el saco de dormir de un brazo al otro -, yo también tengo ideas.

-       ¿Sobre qué?

-       Sobre los círculos. Es de nacimiento. Por ejemplo, el botón de su chaqueta, ¿tiene usted idea de su circunferencia?

Adamsberg se encogió de hombros.

-       No sé si me había fijado nunca en este botón.

-       Pues yo sí. Y diría que ese botón tiene un perímetro de cincuenta y un milímetros. “

Y ahora, una vuelta de tuerca. Como el comisario le quita importancia, Pi le recuerda:

“ – Tiene narices que un policía no vea que ésa es la clave del mundo. Cuando era pequeño, en la escuela de la Asistencia, me llamaban 3,14. ¿Entiende el chiste? ¿Pi = 3,14? ¿El diámetro del círculo multiplicado por 3,14 igual a la circunferencia? Pues bien, esa borma fue el chollo de mi vida. Así que ya lo ve, igual fue una gran suerte el que mi nombre se disolviera con el café. Me convertí en un número. Y no en un número cualquiera, ¡ojo!

-       Entiendo – dijo Adamsberg.

-       No puede usted hacerse una idea de todo lo que sé. Porque pi funciona con cualquier círculo. Lo dijo un griego en la antigüedad. Eran muy listos los griegos. “

Finalmente, Adamsberg consiga vencer la desconfianza de Pi y va obteniendo más información sobre la lumer, conectada al Ministerio del Interior, y de la que no se menciona, por confidencialidad, su nombre:

“- Bueno, pues entonces vamos a darle un número, como a mí. Será más caritativo que llamarla “la mujer”. Vamos a llamarla “4.21”, porque ha tenido mucha suerte.”

Y es que el “421” es un juego de dados muy popular en Francia.

Como ocurre con otras obras de Fred Vargas, este cuento se ha publicado como novela gráfica, con el título de Le Marchand d’éponges, ilustrado por Edmond Baudoin y publicado por la editorial J’ai Lu en 2013.

___________

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Etiquetas: ,
Categorias: Historias de pi

Historias de Pi: calculando el área del círculo

En una entrada previa, reflexionamos sobre le relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, que, como aprendimos en la escuela, es  el número π . Una relación similar ocurre cuando queremos calcular el área de un círculo, que sabemos es el cuadrado del radio multiplicado por π. Pero esta relación de proporcionalidad , intuitiva sin duda, tampoco es tan evidente.

 

Estos teoremas de la geometría (pues eso son) que se enuncian tan fácilmente y que aprendemos de manera universal, tienen demostraciones muy sutiles. Ya vimos en la entrada aludida que la prueba del correspondiente a la longitud de una circunferencia descansa en una noción que los matemáticos tardaron siglos en formalizar adecuadamente, la de límite (o si se quiere, la de su prima hermana, la derivada).

 

Arquímedes según Domenico Fetti (1620)

Una primera prueba de que el área de un círculo de radio r es A = π  r2 se debe a Arquímedes. Si pensamos en una sucesión de polígonos regulares inscritos en el círculo, sabemos que el área de cada uno de ellos es la mitad del perímetro multiplicado por la distancia del centro a sus lados (la apotema). Si imaginamos ahora al límite (por ejemplo, cuando el número de lados tiende a infinito), entonces

A = ½ x 2 π r x r

Previo a Arquímedes, Hipócrates de Quíos (470 a.C.-410 a. C.) probó que el área de un círculo era proporcional al cuadrado del diámetro, cuando trataba de resolver el problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con el mismo área de un círculo dado solamente con regla y compás). Hipócrates lo quiso resolver con el llamado problema de la cuadratura de la lúnula (veáse la figura 1).

Figura 1

Arquímedes utilizó el llamado método exhaustivo, introducido por Eudoxo de Cnido (390 a. C.-37 a. C) introdujo el método exhaustivo, un antecedente del cálculo integral, para probar que el área de un círculo era proporcional al cuadrado del radio. En el razonamiento de Arquímedes, en el paso al límite, se usa de una manera no rigurosa pero acertada como las secantes (los lados de los polígonos) se aproximan a la longitudes de arco, y las apotemas al radio.

Es interesante recordar los argumentos de Arquímedes. Primero, compara el área del círculo con la de un triángulo rectángulo cuya base mida lo mismo que la longitud de la circunferencia y cuya altura sea el radio. Entonces razona: supongamos que no coincidan, o sea que será mayor o menor, y en cada caso, llega a una contradicción. ¿Qué tiene esto que ver con los polígonos inscritos? Sea A el área del círculo y a la del triángulo, y sea E el exceso en el caso de que A sea mayor que a = 1⁄2cr, donde c es la longitud de circunferencia y r el radio. Inscribimos un cuadrado en el círculo, y nos quedan cuatro segmentos iguales. Sea S4 el área de esos cuatro segmentos y supongamos que S4  es mayor que E. Si ese es el caso, divido cada segmento en dos y obtenemos un octógono. Hacemos lo mismo, contamos el área de esos ocho segementso, que será S8 . De nuevo, vemos si es mayor que E, y así hasta que lleguemos a un polígono de n lados tal que el correspondiente área Sn sea menor que E. Entonces el área del polígono será Pn = A – Gn, mayor que la del triángulo.

Y ahora llega la contradicción. Trazamos una apotema de longitud h. Si cada lado del polígono mide s, entonces el perímetro, ns, es menor que c. El área del polígono es ½ nsh. Como h es menor que r y ns menor que c, el área del polígono debe ser menor que la del triángulo, lo que es una contradicción.

El argumento en el otro caso funciona de manera parecida, y en consecuencia, debe darse la igualdad.

Hoy en día tenemos instrumentos mucho más precisos. La integración nos permite calcular el área de un círculo de varias formas, muy elegantes y sencillas.

Me gustaría terminar con una reflexión sobre el ingenio de los matemáticos de otras épocas, que sin contar con las técnicas del cálculo diferencial e integral fueron capaces de obtener logros que ahora nos parecen evidentes.

___________

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Etiquetas: , ,

Historias de Pi: de la geometría al número

Como todos sabemos, π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Una definición puramente geométrica. Vamos a hablar de esta curiosa relación que impregna las matemáticas.

 

 

La definición de círculo aparece en el Libro I de Los Elementos; dice Euclides:

Definición 15. Un círculo es una figura plana comprendida por una sola línea (llamada circunferencia) de tal modo que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí.

Definición 16. Y el punto se llama centro del círculo.

Definición 17. Un diámetro de un círculo es una recta cualquiera que pasa por el centro y que acaba en ambas direcciones en la circunferencia del círculo; esta línea recta también divide el círculo en dos partes iguales.

Y añade este postulado:

Postulado 3. Hay una sola circunferencia con un centro y un radio dados.

Desde el punto de vista puramente geométrico, la pregunta que uno se debería hacer es esta: ¿Por qué el cociente entre la longitud de una circunferencia dada y su diámetro es una constante?

A simple vista, parece bastante intuitivo. Si aplicamos un zoom a una circunferencia, vemos como la forma no cambia y a medida que va aumentando, el diámtro también lo hace, y lo mismo si disminuyéramos el tamaño. Pero claro, esto no es una demostración.

Vamos a mostrar algunas demostraciones que circulan por la red (se anima a cualquiera que conozca demostraciones de este tipo a enviar un mensaje al blog con la referencia).

Dados dos círculos concéntricos como en la figura 1, tales que el radio del más pequeño es r, mientras que el del más grande es R. Sus circunferencias tienen longitudes c y C, respectivamente. Dibujamos dos segmentos desde el centro hasta formar los dos triángulos de la figura, que serán semejantes, ya que la proporción de los lados es la misma y tienen el ángulo común α.

 

Figura 1

Por lo tanto,  las cuerdas guardarán la misma proporción. Si β es el ángulo de  que corresponde al círculo completo ( 360o ), entonces β/α . k = β/α . K , donde k y K son las longitudes de las espectivas cuerdas. Entonces, c/C se aproximaría a r/R, y si ahora ahora α  se fuera haciendo cada vez más pequeño, serían iguales. En conclusión, c/r = C/R.

Esta demostración padece de cierta rigurosidad, pero da una idea. Se puede proponer otra parecida basada en considerar polígonos inscritos en cada una de las circunferencias y también usar un argumento de paso al límite. Este razonamiento es similar al que usó Arquímedes para demostrar la afirmación similar relativa a la relación de las áreas de dos círculos en relación con los cuadrados de los radios respectivos.

Por supuesto, lo más riguroso sería considerar la fórmula para la longitud de un arco. En nuestro caso, el teorema de Pitágoras (Figura 2) nos dice que la función que define la circunferencia es

f(x) = √r2 –x2

y de ahí integramos la función longitud de arco

entre –r y r.

Figura 2

El resultado (tras un cambio de variable) nos dirá que esa longitud es s = r c0 , donde c0  es una cosntante que no depende de r. En consecuencia, la longitud de esta circunferencia arbitraria será

C = 2 s = 2 c0 r

y por lo tanto  la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es constante, precisamente c0 (que no es más que el número π.

___________

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Etiquetas: , ,