Hallado un número primo de más de 17 millones de cifras

Hace unos días se ha descubierto el último primo de Mersenne: M57.885.161 = 257.885.161 - 1. Este número, que tiene más de 17 millones de cifras es el primo más grande que se conoce por el momento. Ha sido hallado por  Curtis Cooper, profesor de la University of Central Missouri, aunque es  resultado es fruto de una iniciativa creada en 1996 bajo el proyecto GIMPS (Great Internet  Mersenne Prime Search). Javier Cilleruelo y Juanjo Rué, investigadores del ICMAT, hablan de la búsqueda de primos al hilo de este acontecimiento.

Desde los tiempos de Euclides sabemos que la lista de los números primos es infinita. Su argumento, que aparece el  libro IX de su obra “Los Elementos”, fue el siguiente: si p1 , …, pk fuese la lista completa de todos los primos, el número N= p1 ··· pk + 1 no sería divisible por ninguno de los primos de la lista y por lo tanto tendría que ser un nuevo número primo.

Euclides, 325 – 265 a. C

No se conoce ninguna sucesión infinita “sencilla” que conste únicamente de números primos y comprobar si un número dado es primo requiere algoritmos que son muy costosos en términos computacionales a medida que el tamaño del número aumenta. Estos algoritmos, que se conocen como tests de primalidad, son sin embargo mucho más eficientes para algunas familias especiales de números.

Una de estas familias la constituyen  los números que son de la forma Mp= 2p-1 con  p primo. Estos números, cuando son primos, se denominan primos de Mersenne. Es fácil demostrar que si nes compuesto entonces 2n – 1 también es compuesto, pero no siempre que p es primo  2p- 1 lo es. Por ejemplo, 211 – 1 = 23 · 89.

Los primeros números de Mersenne son

M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31, M7 = 127, M13 = 8191, M17 = 131071

El último primo, descubierto el 25 de enero de 2013, también pertenece a esta familia:

M57.885.161 = 257.885.161 - 1

Tiene más de 17 millones de cifras y es el primo más grande que se conoce. El anterior, descubierto hace 5 años, tenía 12 millones de cifras y también era un primo de Mersenne.

 

Marin Mersenne, 1588-1648

 

Los primos de Mersenne son además interesantes por su conexión con los números perfectos. Un número perfecto es aquel que es suma de sus divisores propios. Los dos primeros números perfectos pares son

6=1+2+3    y    28= 1+2+4+7+14

Euclides ya observó que todos los números de la forma 2p-1(2p-1) son números perfectos cuando 2p-1 es primo. De hecho, todos los números perfectos pares son de esta forma.

Se cree que existen infinitos primos de Mersenne y, por lo tanto, infinitos números perfectos pares. Pero esta conjetura ha resistido el esfuerzo de los matemáticos durante siglos.

Los números perfectos impares también constituyen un misterio: nadie ha encontrado ninguno pero tampoco se ha encontrado un argumento que demuestre que no existen.

El proyecto GIMPS.

Volviendo al hallazgo del último primo de Mersenne hasta el momento, ¿Quién ha encontrado este primo? ¿Cómo lo ha hecho?

Aunque la autoría se debe a Curtis Cooper, profesor de la University of Central Missouri, el resultado es fruto de una iniciativa creada en 1996 bajo el proyecto GIMPS (Great Internet  Mersenne Prime Search), un proyecto en el que se puede participar libre y gratuitamente instalando el programa que proporciona GIMPS. Lo que GIMPS hace es distribuir a cada usuario un intervalo para que el ordenador de cada uno compruebe si Mp  es primo para algún primo p del intervalo asignado. En realidad, para cada p, el ordenador comprueba primero si Mp  es divisible por algún primo pequeño. Eso va a ocurrir casi siempre. De no ser así, Mp pasa a ser un candidato a número primo y se procede a aplicar un test infalible denominado el test de Lucas-Lehmer.

El test consiste en calcular los elementos de la sucesión s0 = 4, si = s2i-1 – 2 para > 0,  y concluye que Mp  es primo si y sólo si sp-2 es divisible por Mp .

Cooper ha recibido la recompensa de 3.000 $ que el proyecto GIMPS concede al afortunado descubridor de un nuevo record. Hay además una recompensa extra de 150.000 $ para quien encuentre un primo con más de 100 millones de cifras, una manera muy digna de obtener un sobresueldo.

Entre los investigadores que usualmente visitan el ICMAT y el Departamento de Matemáticas de la UAM, se encuentra el profesor Pedro Berrizbeitia, de la universidad Simón Bolivar (Venezuela), que es una de las mayores autoridades en tests de primalidad. Pedro Berrizbeitia ha encontrado nuevos test de primalidad muy rápidos para familias más generales de números. En particular mejoró el famoso algoritmo AKS, que tiene un coste computacional de orden polinomial en el número de dígitos.

¿Qué utilidad tiene encontrar primos grandes?

El descubrimiento de este número primo no constituye un hito matemático de relevancia. No hay nada que ahora se entienda mejor que antes sobre los primos.  Pero cualquier matemático presumiría, con razón, de tener el honor de haber descubierto un número primo más grande mayor que todos los anteriores conocidos.

L. Euler 1707-1783

Entre los matemáticos notables que consiguieron el primo más grande en su momento figura L. Euler, que en 1772 demostró que el número

231 − 1 =2147483647

es primo. Este número fue el primo más grande que se conoció hasta 1867.

Cabe comentar en estas líneas que la oficina postal de Urbana (Illinois)  utilizó un matasellos para celebrar el descubrimiento de un nuevo record obtenido por Donald B. Gillies en la universidad de Illinois.

Podría parecer por lo comentado anteriormente que el descubrimiento de primos grandes es simplemente un divertimento para satisfacer la vanidad de algunos matemáticos. Pero nada más lejos de la realidad. Además de las teorías matemáticas que ha impulsado, el conseguir fabricar muchos números primos grandes es una necesidad hoy en día. Los primos grandes se utilizan en los sistemas criptográficos y son los que nos permiten encriptar los mensajes, realizar transacciones comerciales con seguridad, etc.

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Javier Cilleruelo (ICMAT-UAM) y Juanjo Rué (ICMAT)

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Comentarios

Muchas gracias por la divulgación de esta efemérides. La ardua búsqueda de estos números es incesante y fructrante por sus escasos resultados, pero de vez en cuando, proporciona una alegría a los descubridores y un aliciente a los aficionados para seguir buscando nuevos horizontes.

[...] Matemáticas y sus fronteras -  [...]

[...] Ha sido hallado por Curtis Cooper, profesor de la University of Central Missouri, aunque es resultado es fruto de una iniciativa creada en 1996 bajo el proyecto GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).  [...]

miguel angel rey desde españa, me gustaría enviarles una demostración a la conjetura de los nos. primos de Fermat. por la cual se obtiene para todo Fn con n>4 dos ecuaciones cuadráticas de la forma x^2 + y^2 lo cual como ya es sabido supone que si p = x^2 + y^2 =x´^2 + y´^2 para todo p congruente con 1 modulo 4 entonces p no es primo. He conseguido obtener la segunda ecuación cuadrática para cada valor Fn n>4 la primera es la propia igualdad Fn = 2^2^n + 1^2. por lo que tal conjetura quedaría demostrada. mi email es: miguelangelreybonet@yahoo.es esperando su respuesta atentamente M. Rey. muchas gracias.

yo puedo calcular a todos los números si es numero primo en un 100% con una pequeña y sencilla formula, pero la dificultad es que también detecta a los números divisibles por primos como el 143 o el 221, pero en fin funciona al infinito sin equivocarse.

Esto simplificaría la tarea enorme que hacen para calcular si un numero es primo o no, con esta formula automáticamente la descartan antes de empezar con cualquier calculo complejo.

Quiero saber si pueden resolverlo como yo lo hago?, si ya fue resuelto?, si es un avance o no????

Ejemplo de los resultados sin colocar la formula que es secreta :

101 103 107 109 113 121 127 131 137 139 143 149 151 157 163 167 169 173 179 181 187 191 193 197 199 209 211 221 223 227 229 233 239 241 247 251 253 257 263 269 271 277 281 283 289 293 299 307 311 313 317 319 323 331 337 341 347 349 353 359 361 367 373 377 379 383 389 391 397 401 403 407 409 419 421 431 433 437 439 443 449 451 457 461 463 467 473 479 481 487 491 493 499 503 509 517 521 523 527 529 533 541 547 551 557 559 563 569 571 577 583 587 589 593 599 601 607 611 613 617 619 629 631 641 643 647 649 653 659 661 667 671 673 677 683 689 691 697 701 703 709 713 719 727 731 733 737 739 743 751 757 761 767 769 773 779 781 787 793 797 799 803 809 811 817 821 823 827 829 839 841 851 853 857 859 863 869 871 877 881 883 887 893 899 901 907 911 913 919 923 929 937 941 943 947 949 953 961 967 971 977 979 983 989 991 997 911 913 919 923 929 937 941 943 947 949 953 961 967 971 977 979 983 989 991 997

no creo que sepas demuestrame si 2^(2^137101)+1 es primo o no. envia respuesta a: miguelangelreybonet@yahoo.es si eres capaz de decirme uno de sus factores genial, por que hay un premio de 35.000 dolares

Cual es el numero natural que se puede encontrar entre 77 y 125

Está claro que existen infinitos números primos. Pero hay un dato (finito) que no he encontrado en la red, y es la cantidad de números primos descubiertos desde el origen de los tiempos (2, 3, 5,…) hasta este último de 17.000.000 de dígitos. ¿Es calculable esa cifra? Presupongo que será una cifra muy alta, altísima, pero finita al fin y al cabo.

ha su tanto son mas de 17 millones de cifras de números primos

saludos para mi novia massiel

para que sirven los numeros primos???
cuantos numeros primos hay??
como se buscan mas numeros primos??

Los números primos se usan en criptografía, hay infinitos y para encontrarlos ahora se usan ordenadores, aunque hay primos de un tipo especial como los de Mersenne cuyo cálculo es algo más fácil.

(requerido)

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