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Gödel y Turing irrumpen en la física cuántica

Un problema matemático que subyace en preguntas fundamentales de la física cuántica y de partículas es indecidible, según un resultado que e se publicó esta semana en la revista Nature, lo firman investigadores de la Universidad Complutense de Madrid – ICMAT, del University College of London y de la Universidad Técnica de Múnich. Es la primera vez que se demuestra este tipo de limitación fundamental en un problema físico importante.

David Perez-Garcia (ICMAT-UCM), Michael M. Wolf (TUM) y Toby S. Cubitt (UCL) hoy en la Facultad de Matemáticas de la TUM. Imagen: Andreas Battenberg / TUM

El problema del gap espectral, una cuestión central en física cuántica y de partículas, no tiene solución de forma general. Un grupo de investigadores de la Universidad Complutense de Madrid (UCM)-Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), del University College of London (UCL), y de la Universidad Técnica de Múnich, han demostrado en un artículo publicado esta semana en Nature que aunque se disponga de una descripción completa de las propiedades microscópicas de un material, no siempre se puede predecir su comportamiento macroscópico.

El gap espectral representa la energía necesaria para transferir un electrón de un estado de baja energía a un estado excitado. Por ejemplo, un gap espectral pequeño es la propiedad central de los semiconductores. De forma similar, esta cantidad juega un papel importante en muchos otros materiales. Cuando el gap espectral se hace pequeño, es decir, se cierra, el material puede cambiar a otro estado totalmente diferente (lo que ocurre, por ejemplo, cuando un material se convierte en un súper conductor).

“La posibilidad de extrapolar la descripción microscópica del material a las propiedades del sólido es una de las herramientas más importantes en la búsqueda de materiales superconductores a temperatura ambiente o con otras propiedades de interés”, afirmaba uno de los autores del estudio, David Pérez García, investigador de la UCM y miembro del ICMAT. El estudio publicado hoy en Nature muestra una limitación fundamental en este enfoque. Usando matemáticas sofisticadas, los autores han demostrado que, aun disponiendo de una descripción microscópica completa de un material cuántico, determinar si tiene o no gap espectral es un problema indecidible.

“Alan Turing es conocido por su papel en la descodificación de la máquina Enigma”, contaba Toby Cubitt, investigador del University College of London (UCL) Computer Science, también autor del resultado. “Pero dentro de la comunidad matemática e informática, es mucho más famoso su trabajo en lógica: demostró que algunas preguntas matemáticas son indecidibles. Es decir, no son ni ciertas ni falsas. Simplemente están más allá del alcance de las matemáticas. Nosotros hemos demostrado que el gap espectral es uno de esos problemas, lo que significa que no puede existir un método general para determinar si un sistema, descrito mediante la mecánica cuántica, tiene o no tiene gap espectral. Esto limita el alcance que pueden tener nuestras predicciones de los materiales cuánticos, e incluso de la física de partículas elementales”.

Un millón de dólares que ganar

El problema más famoso sobre el  gap espectral es determinar si la teoría que gobierna las partículas elementales de la materia (el llamado modelo estándar de la física de partículas) tiene un gap espectral. Los experimentos de física de partículas, como los que se desarrollan en el CERN (Laboratorio Europeo de Física de Partículas Elementales), y las simulaciones en supercomputadores, indican que sí existe, en este caso, un gap espectral. Sin embargo, todavía no hay una demostración matemática de la cuestión, conocida como la conjetura del salto de masa de Yang-Mills. Quién la encuentre recibirá un millón de dólares de premio del Instituto Clay de Matemáticas, que seleccionó el problema como uno de los siete problemas del Milenio.

“Hay casos particulares del problema que sí tienen solución, aunque la formulación general sea indecidible, por lo que aún es posible que alguien gane el millón de dólares. Pero nuestro resultado abre la posibilidad de que algunos de los grandes problemas de la física teórica no tengan solución”, añadía el investigador Toby Cubitt (UCL).

“Desde los trabajos de Turing y Gödel en la década de 1930 se sabe que, en principio, podían existir problemas indecidibles”, afirmaba Michael Wolf, investigador de la Universidad Técnica de Múnich. “Pero, hasta el momento esto solo afectaba a la teoría de la computación y la lógica matemática más abstractas. Nadie había considerado seriamente que estas ideas pudieran afectar al corazón de la física teórica”, prosiguía. “Desde una perspectiva filosófica, el resultado también cuestiona la visión reduccionista de la realidad, porque la dificultad insalvable del problema radica en pasar de la descripción microscópica a las propiedades macroscópicas”.

No todo son malas noticias

“Pero no todo son malas noticias”, afirmaba David Pérez-García (UCM-ICMAT) “Nuestros resultados también predicen la existencia de sistemas cuánticos con propiedades no observadas todavía. Por ejemplo, nuestro trabajo muestra que el añadir una sola partícula a un cúmulo de materia puede, en principio  hacer cambiar radicalmente sus propiedades. La historia de la física nos enseña que, a menudo, propiedades nuevas y exóticas como esta se traducen, antes o después, en avances tecnológicos”, concluía.

Ahora, los investigadores quieren ver si sus resultados se pueden extender más allá de los modelos matemáticos artificiales sobre los que han trabajado, a materiales cuánticos más realistas que puedan producirse en el laboratorio.

Referencia

Toby S. Cubitt, David Pérez-García, Michael M. Wolf, ‘Undecidability of the Spectral Gap’, se publicó en Nature el 10 de diciembre de 2015.

Esta investigación ha sido financiada por el Ministerio de Economía y Competitividad español (MINECO), el gobierno regional de Madrid,  el European Research Council (ERC), la John Templeton Foundation, y la Royal Society (UK).

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