Archivo de septiembre, 2017

Una nueva visión de la geometría: Felix Klein

“La matemática ha avanzado por aquellos que se distinguieron más por su intuición que por rigurosas pruebas.”

Felix Klein

 

Hoy reseñamos en Matemáticas y sus fronteras un interesante libro publicado recientemente en la clección “Genios de las Matemáticas”, de RBA. Se trata de la obra “Una nueva visión de la geometría: Felix Klein”, de Roberto Rodríguez del Río , profesor de Matemática Aplicada de la Universidad Complutense de Madrid.

La figura de Felix Klein es singular: un matemático que hizo investigación pura, pero que también se interesó por las aplicaciones a otas ciencias y a la industria, sin olvidar su preocupación por la enseñanza de las matemáticas en las aulas alemanas e internacionales. Klein tuvo también un papel importante en la organización internacional de las matemáticas, y fue el primer presidente de ICMI, las siglas inglesas de la Comisión Internacional para la Educación Matemática, funada en 1908 y germen y parte hoy en día de la futura Unión Matemática Internacional (IMU).

Felix Klein

La vida de Klein se desarrolla en un período fascinante de las matemáticas, entre la segunda mitad del siglo XIX y principios del siglo XX. Es el tiempo en el que se descubren las geometrías no euclidianas, por obra de Janos Bolyai, Nikolai Lobachevsky y Bernhard Riemann. Y es también el tiempo en el que comeinza a fructificar las ideas de Niels Abel y Evariste Galois; el primero probando que, en general, no hay solución por radicales para la ecuación de quinto gardo, el segundo dando la manera de sbaer cuando e introduciendo la teoría de grupos.

Y Felix Klein aunará la geometría y el álgebra en su programa e Erlangen, mostrando que lo que define una gemetría es el grupo de transformaciones que la deja invariante, un logro extraordinario. Klein se traslada de Erlangen a Munich, y luego a Leipzig, recalando finalmente en Gotinga, donde consigue crear uno de los centros míticos de la historia de las matemáticas. Es aquí donde Klein muestra sus extraordinarias dotes de organizador.

Tumba de Klein en Gotinga

En 1900 comienza a interesarse por la enseñanza de las matemáticas que culmina con su obra “Matemáticas elementales desde el punto de vista superior”, que supone una revolución en la Didáctica de esta disciplina.

Roberto Rodríguez del Río ha escrito un libro ameno, que va repasando la biografía de Felix Klein y su obra; son poco más de 150 páginas que se leen con auténtico deleite. Lo recomiendo a cualquier lector con curiosidad por las matemáticas.

Botella de Klein

La botella de Klein

Una de las construcciones más celebradas de Felix Klein es la llamada “botella de Klein”, en 1882. Consideramos un rectángulo, identificamos dos de los lados opuestos para formar un cilindro, y después los dos círculos pero en sentidos opuestos. Aunque se denominó en principio “superficie de Klein”, “Kleinsche Fläche”, una desafortunada traducción del alemán la convirtió en la “Kleinsche Flasche”, botella de Klein, y esto, unido a la forma peculiar de la superficie, definió su nombre para la posteridad.

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Manuel de León (CSIC, Fundador y Director del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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¿Por qué los investigadores Ramón y Cajal ya no quieren venir al CSIC?

En estos últimos años ha comenzado a surgir una grave preocupación entre los investigadores del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC); la dificultad de cubrir el cupo de contratos ofertados en el programa Ramón y Cajal. De hecho, este año no parece que se vayan a cubrir las cuarenta plazas ofertadas.

Sede Central del CSIC en Madrid

Es realmente preocupante que el principal organismo público de investigación español no resulte atractivo para consolidar una carrera científica en su seno, cuando en otros tiempos era uno (o quizás, el) destino más codiciado. ¿Cuáles son las causas de este cambio? Sin ningún ánimo de ser exhaustivo ni tampoco de pontificar sobre el tema, algunas razones parecen obvias.

En primer lugar, un investigador que ha conseguido un contrato Ramón y Cajal está ya en una etapa avanzada de su carrera científica, no la acaba de empezar. Busca, por tanto, estabilidad (recordemos esta entrada sobre la difícil vida de los investigadores postdoctorales). ¿Y quién ofrece estabilidad? Las universidades ponen encima de la mesa un contrato permanente, con unas condiciones de mínimos; haber pasado las evaluaciones de segundo y cuarto año de contrato. Y digo de mínimos no en sentido peyorativo, sino que son fáciles de cumplir para un investigador de la calidad de un contratado Ramón y Cajal. Este paso a contrato definitivo muestra una vez más la hipocresía del sistema español: la plaza ofertada debe ser pública y cualquiera en esas condiciones podría competir con el contratado Ramón y Cajal en cuestión. ¿Por qué no se le contrata ya directamente sin esa pantomima? Digamos que la figura de contratado doctor tampoco es la óptima, y todos quisieran ser Profesores Titulares, con todas las ventajes del funcionariado.

¿Qué ocurre en el CSIC? No existe este programa (I3), así que la posibilidad de que en los cinco años de contrato pueda optar a una plaza de Científico Titular, CT (el equivalente a Profesor Titular) depende en gran medidad de la Oferta de Empleo Público. Y esta no ha sido muy generosa en los últimos años. Por lo tanto, nadie puede garantizarle que tendrá esa oportunidad. Y además, las plazas de CT suelen estar muy codiciadas y la competencia puede ser muy dura, porque no están restringidas al CSIC. La nueva figura de Investigador Distinguido, surgida de la Ley de la Ciencia, tiene todavía muchas sombras que disipar para resultar atractiva.

Otras razones importantes para elegir destino en esa negociación candidato seleccionado/centro que oferta contratos, son las condiciones de trabajo. Poder disfrutar cinco años de investigación en un centro puntero es una oportunidad para dar un salto importante en su carrera. En este aspecto, el CSIC ha bajado mucho en lo que puede ofrecer. Asfixiados por una burocracia creciente, cada vez más centralizados, los institutos en general tienen cada vez menos posibilidades de ofrecer un ambiente acogedor, en el que se pueda aportar valor añadido al investigador con proyectos de inicio, formación, asesoramiento para solicitar proyectos europeos, etc.

En conclusión, si queremos que los institutos del CSIC vuelvan a ser atratctores de talento Ramón y Cajal, tendremos que pensar en garantizar estabilidad, por ejemplo, haciendo una previsión plurianual que cubra ampliamente la oferta de contratos (40 en estos últimos años, 50 en el pasado) y negociarla con el Gobierno para que se cumpla a rajatabla. Otra posibilidad es que el CSIC disponga de su propio programa I3. A la vez, las condiciones de los institutos tienen que ir mejorando para continuar siendo atractivos, y esto pasa por presupuestos adecuados, flexibilidad administrativa y mucha más descentralización. Tenemos que imitar a los centros catalanes, que están consiguiendo un éxito grande en la atracción de talento internacional.

Otra cuestión que se debate estos días es la eficacia en conseguir Starting Grants del European Research Council. Y este problema está intímimamente ligado al anterior, porque muchos de los Strating Grants en nuestro país son conseguidos por contratados Ramón y Cajal, bien en activo o que lo han sido. Porque el Programa Ramón y Cajal es competitivo, y selecciona investigadores jóvenes de gran calidad. Puedo poner como ejemplo a nuestro propio instituto, el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) cuyos 10 proyectos ERC fueron conseguidos por contratados Ramón y Cajal. Así que si en el CSIC queremos tener más éxito en los programas de excelencia europeos, una de las acciones es atraer más investigadores Ramón y Cajal. No es lo único a mejorar, pero si es esencial.

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Manuel de León (CSIC, Fundador y Director del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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La bruja de Agnesi

María Gaetana Agnesi nació en Milán, el 16 de mayo de 1718, y procedía de una familia pudiente e interesada en las artes y las ciencias. Su padre, Pietro Agnesi, fue profesor de matemáticas en la Universidad de Bolonia. Su madre, Anna Fortunata Brivio, era de familia aristocrática (la familia Brivio), lo que sirvió a su marido Pietro para conseguir un estatus entre la alta sociedad milanesa.

Maria Gaetana Agnesi

La joven María perdió a su madre a la edad de trece años, por lo que  su padre llegó a casarse dos veces más, y extendió la familia a 21 hijos.  Maria fue una niña muy brillante: a los cinco años hablaba francés perfectamente, como su italiano natal. Unos pocos años más tarde, dominaba el latín, el griego, el hebreo y el español, y ya desde una temprana edad, se preocupó por los derechos de la mujer y su acceso a la educación. El ambiente familiar influyó muy positivamente en que pudiera explotar todo su potencial intelectual. De hecho, una de sus hermanas, Maria Teresa Agnesi Pinottini, fue una famosa compositora que deleitaba a las visitas tocando el clavicémbalo.

Maria era una chica retraída y muy devota, deseaba entrar en un convento pero su padre no se lo permitió. Cuando la madre de María muere durante el parto de su octavo hijo, ella misma se hizo cargo de la casa y de sus hermanos, apartándose de la vida pública. Sus deseos se redujeron a poder ir a misa siempre que quisiera, vestir sencilla y humildemente, y no tener que asistir a bailes y fiestas. Probablemente esta vida austera fuera el mejor derrotero para María, ya que su padre pecaba de un afán exhibicionista con sus dos talentosas hijas, en un salón de los más concurridos por los intelectuales de toda Italia.

A los doce años, María había sufrió una enfermedad que los médicos no fueron capaces de diagnosticar. Sus convulsiones se achacaron al estudio excesivo, por lo que se le indicó que se divertirse más y pasearse a caballo. Sin embargo, estos remedios no resolvieron el problema y se le pidió que fuera moderada en todas sus actividades.

Frontispicio de la primera edición de las Instituzioni

María tuvo una excelente formación matemática; por ejemplo, a los catorce años ya estudiaba balística y geometría. Tuvo tutores que la iniciaron en estos estudios matemáticos, como el monje Ramiro Rampinelli, que había enseñado matemáticas en Roma y en Bolonia, y fue quién la puso en contacto con los Ricatti. Su fama matemática se consolidó con su obra “Instituzioni analítiche ad uso della gioventú italiana”, publicada en Milán en 1748, y dedicada al análisis matemático. La obra fue editada por ella misma, y adquirió rápidamente notoriedad entre los matemáticos de la época, porque puede considerarse como el primer texto completo de Cálculo, incluyendo el cálculo diferencial y el cálculo integral. Es un auténtico tour de force con unas 1000 páginas repletas de ilustraciones y ejemplos.

Entre 1750 y 1752 consta que era catedrática de matemáticas en la Universidad de Bolonia, aunque puede que de forma honorífica. En 1775 la Academia de Ciencias publica en París la edición francesa, y en 1801, dos años después de la muerte de María, se publica la inglesa.

 

La bruja de Agnesi

Hoy en día, María Gaetana es también recordada por su curva “embrujada”, pero que no se trata de ningún hechizo, ni María era una bruja.

La historia por la que la curva recibió este nombre surge de la mala traducción del término versiera, del latín vertere, que es un término naval, que identifica la cuerda o cabo que hace girar la vela. John Colson, el traductor inglés, la confundió con la palabra avversiera, que significa diablesa o bruja.

La ecuación de su curva hechizada es la siguiente

donde a es un parámetro (de hecho, el radio de la circunferencia inicial con la que se construye la curva). Para a = 1/2, resulta

 

y esta es su representación gráfica

La magia de esta curva es que aunque su contorno sea infinito, el área encerrada bajo la curva es finita y proporcional al área de un círculo; además, el volumen engendrado por la revolución de esta curva alrededor de su asíntota es cuatro veces su hipotético volumen.

La curva tiene interesantes aplicaciones en física y en estadística. Desde el punto de vista de la estadística, la distribución de Cauchy de una variable aleatoria se expresa como una curva de Agnesi. Así mismo, en la física, pueden explicarse fenómenos de resonancia atómica cuando incide radiación monocromática sobre un electrón. La intensidad de esta radiación dependerá de la longitud de onda con que incide esta luz, y la relación entre estos dos parámetros puede modelizarse mediante la bruja de Agnesi.

Su padre Pietro Agnesi muere en 1752, y a partir de ese momento, María se siente libre para atender a sus tendencias religiosas, dedicando mucho tiempo al estudio de la Teología, especialmente de la Patrística. De hecho, María se desprendió de gran parte de su fortuna en obras de caridad y ejerció, desde 1771, por designación del arzobispo Tozzobonelli, el cargo de directora del Hospicio Trivulzio de Milán donde se concentró en el cuidado de los menesterosos y enfermos, sobre todo mujeres mayores, y donde ella misma muere el 9 de enero de 1799.

Las incertidumbres y la leyenda la acompañan hasta la muerte: unos sugieren que si murió en el Hospicio Trivulzio es porque sus donaciones la habían sumido en la pobreza, y fue entonces una residente menesterosa más. Otros sostienen que había cumplido por fin sus deseos de convertirse en monja agustiniana (o “monja azul”, por el color del hábito) del hospicio.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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Construyendo la catedral de la Inteligencia Artificial

Traemos hoy a Matemáticas y sus fronteras un interesante libro recién salido de la imprenta: “Inteligencia Artificial”, la última entrega de la colección ¿Qué sabemos de? que el Consejo Superior de Investigaciones Científicas y La Catarata llevan adelante con mucho éxito.

La Inteligencia Artificial (IA) es uno de los temas más apasionantes de nuestros tiempos. Sabemos que eso que llamamos inteligencia no es exclusiva de los seres humanos, que los animales exhiben comportamientos inteligentes, y que se debería hablar de inteligencias en plural. Y quizás lo que estamos construyendo como IA podría llegar a ser considerado como un tipo nuevo de inteligencia.

La IA se divide en la IA débil (diseñar y programar ordenadores que requieran inteligencia) y la IA fuerte (que esas máquinas repliquen la inteligencia humana). Estamos lejos de la IA fuerte pero convivimos ya con la IA débil. Esta distinción fue introducida por el filósofo John Searle, en 1980, en un artículo que levantó una gran polémica.

Lejos quedan aquellos pioneros trabajos de Alan Turing, desarrollando primero el concepto de máquina de Turing y luego preguntándose si las máquinas pueden pensar, desarrollando programas de ordenador para el juego de ajedrez o el famoso test de Turing para decidir si estamos conversando con una máquina o con un ser humano. No sabemos de lo que hubiera sido capaz Turing sin su trágica muerte en 1954. Poco después, en 1956, se produjo el encuentro de Dartmouth (New Hampshire), con John McCarthy, Marvin Minsky y Claude Shannon, entre otros, que supuso un lanzamiento de la investigación en IA. Fue John McCarthy quién acuñó el término inteligencia artificial, como “…la ciencia e ingenio de hacer máquinas inteligentes, especialmente programas de cómputo inteligentes”.

Este libro, del que llama la atención una hermosa portada, hace un recorrido por la inteligencia artificial, desde sus orígenes hasta el día de hoy, analizando los logros pero también las limitaciones encontradas, y analizando el posible futuro del tema.

Recuerdan los autores del libro “Inteligencia Artificial” lo que se conoce en su campo como la metáfora de la catedral: construir una IA de propósito general es como construir una catedral. La construcción de la primera catedral requirió de varias generaciones y muchos de los que trabajaron en ellas murieron sin llegar a ver terminada la obra. Cada artesano que trabajaba para la catedral construía ladrillos cada vez más perfectos. Así se ven ahora los investigadores en inteligencia artificial, construyendo los ladrillos (algoritmos en este caso) que conformarán la catedral.

Ramón López de Mántaras Badia

 

Pedro Messeguer González

 

Los autores

Ramon López de Mántaras Badia es Profesor de Investigación del CSIC y director del Instituto de Investigación en Inteligencia Artificial. Es uno de los pioneros de la inteligencia artificial en España. Actualmente investiga en razonamiento y aprendizaje basado en casos, en robots autónomos capaces de aprender interactuando con su entorno físico y en inteligencia artificial aplicada a la música.

Pedro Meseguer González es Investigador científico del CSIC en el Instituto de Investigación en Inteligencia Artificial, donde es jefe del Departamento de Lógica. Sus principales temas de investigación son el razonamiento con restricciones (con especial atención a la versión distribuida) y la búsqueda heurística.

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Manuel de León (CSIC, Fundador y Director del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

 

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Cometas que cambian la historia

Dedicado a mi amigo Ogul Esen, que me comentó esta historia

Taqi al-Din fue un sabio musulmán nacido en 1526 en Damasco y fallecido en 1585 en Estambul, dos de las ciudades imporatntes durante el Imperio Turco u Otomano. Escribió más de 90 libros sobre temas muy diversos, como astronomía, óptica, matemáticas, mecánica, ingeniería, relojes y filosofía.

El observatorio de Taqi ad-Din

Taqi al-Din había realizado estudios en El Cairo (Egipto), siendo sus primeras obras sobre Teología. Pero atendió también a cuestiones muy prácticas, como la descripción de una turbina de vapor, en 1551, en su libro con el maravilloso título de Al-Turuq al-samiyya fi al-alat al-ruhaniyya (“El Sublime Método de las Máquinas”). Su invento era análogo al posterior de John Wilkins en 1648.

Hay una fecha importante en la biografía de Taqi al-Din, 1574, cuando el sultán Murad III lo invita a construir el observatorio astronómico de Constantinopla, la actual Estambul. Según parece, Taqî al-Dîn quería construir ese observatorio y el Gran Visir Soqullu Muhammad Pasha lo apoyó entusiásticamente. Taqi al-Din preparó un informe para presentárselo al sultán, explicando la necesidad de ese observatorio porque las tablas astronómicas de las que disponían se habían quedado anticuadas y se necesitaba elaborar unas nuevas basadas en nuevas observaciones.

Un sextante

Las investigaciones más recientes confirman que ese observatorio fue uno de los más importantes construidos en el siglo XVI, comparable al que poseía Tycho Brahe en Uroniborg, o a los de Ulug Bey en Samarcanda en el siglo XV.

Plano de Uraniborg

En el artículo The Instruments of Istanbul Observatory, de Sevim Tekeli, se hace una comparativa de los observatorios de Brahe y Taqî al-Dîn, en cuanto a los instrumentos que ambos usaban, de los cuáles algunos existían ya y ambos los mejoraron, y otros fueron diseñados directamente por ellos. Para poner en valor el observatorio de Estambul, recordemos que Tycho Brahe poseía el más avanazado de Europa que le permitió obtener observaciones muy precisas, datos que fueron después utilizados por Johannes Kepler para elaborar sus leyes.

Por ejemplo, había una esfera armilar en ambos, sextantes, cuadrantes y muy importante, relojes muy avanzados, fundamentales para medir con precisión la longitud del meridiano.

Unos meses después de la inauguración del observatorio, en el primer día del Ramadán en 1577, apareció un cometa en el cielo nocturno. Justo en el momento en el que el sultán iba a iniciar una campaña militar contra Persia. El cometa iba aumentando su brillo, y el sultán inquirió a Taqi sobre el significado del cometa y si anunciaba buenas nuevas con respecto a la próxima guerra. Taqi observó que el cometa apuntaba en dirección a Persia, y que había aparecido en la constelación de Sagitario, que representaba al arquero turco, y terminaría e  la de Acuario, que representaba la paz. Por lo tanto, aconsejó la campaña militar. Esta fue un fracaso, y el sultán enfurecido ordenó la destrucción del observatorio en 1580.

El sultán Murad III

Mientras en Occidente la ciencia se consolidaba con figuras como Brahe y Kepler, en Oriente la superstición acabó con un proyecto que, sin duda, hubiera significado un avance de la ciencia otomana. Ambos observatorios coexistieron en el tiempo, ambos observaron el mismo cometa, el llamado el Gran Cometa. Brahe obtuvo de esas observaciones importantes descubrimientos, como por ejemplo, que el coma (o cabellera)  del cometa apunta siempre lejos del Sol. Un curiosa historia paralela con finales bien distintos.

Notas de Tycho Brahe sobre el Gran Cometa

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Manuel de León (CSIC, Fundador y Director del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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