Harald Helfgott y la conjetura débil de Goldbach

Hace apenas unos meses el nombre de Harlard Helfgott saltó a los medios internacionales, tras haber resuelto la conjetura débil de Golbach. El próximo viernes 21 de febrero, el matemático estará en el ICMAT presentando su demostración. Javier Cilleruelo, investigador del ICMAT, presenta al ponente y hace un repaso de la larga historia detrás de esta conjetura.

En una carta dirigida a Euler y fechada en 1742, Goldbach decía haber observado que “todo número par mayor que 2 es suma de dos primos” y que “todo número impar mayor que 5 es suma de tres primos”. Más de doscientos años después, la sencillez y belleza del primer enunciado lo han convertido en uno de los problemas más codiciados de las matemáticas, la llamada Conjetura de Golbach.

Conjetura de Goldbach: Todo número par mayor que 2 es suma de dos primos.

La segunda observación de la carta es la conjetura débil de Goldbach (también llamado problema ternario de Goldbach) y ha pasado a la categoría de teorema al haber sido demostrada por Harald Helfgott en dos artículos de 79 páginas cada uno, 271 años después de la misiva dirigida a Euler.

Teorema (Harald Helfgott, 2013): todo número impar mayor que 5 es suma de tres primos.

Harald Helfgott es el conferenciante del próximo Coloquio  que organizan conjuntamente el ICMAT y el Departamento de Matemáticas de la UAM. Con el título “La conjetura débil de Goldbach”, Harlad Helfgott nos contará de primera la mano las estrategias seguidas para la resolución de este problema histórico, el próximo 21 de febrero a las 11:30  en el Aula Naranja del ICMAT.

Helfgott (1977, Lima) es investigador CNRS en la École Normale Supérieure (Paris). Sus intereses matemáticos son tan variados como profundos sus resultados. Ha sido invitado a dar una conferencia en el próximo ICM y ha recibido varios premios por sus contribuciones a la teoría de números,  la combinatoria aritmética y  la teoría de grupos.

Aproximaciones a la conjetura de Goldbach

La teoría de números, a la que Gauss denominó “la reina de las matemáticas”, destaca sobre otras áreas de las matemáticas por la sencillez y belleza de sus enunciados. Algunos han sido ya resueltos, como el último Teorema de Fermat, pero otros han resistido a todos los intentos, como la conjetura de Goldbach que hoy nos ocupa.

¿Es cierto que todo par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos primos?

Si probamos a mano con los primeros pares, vemos que efectivamente todos ellos se pueden escribir como suma de dos primos. Además observando la tabla parece que según va creciendo el número par también va aumentando el número de representaciones que tiene como suma de dos primos.

La conjetura de Goldbach se ha comprobado numéricamente hasta 4 x (0^18) (y ha sido utilizado por Harlad Helfgott para comprobar la conjetura débil hasta 10^29).

El siguiente argumento heurístico puede convencernos de que la conjetura de Goldbach debería de ser cierta:

El Teorema de los números primos afirma que el número de primos menores que N es aproximadamente N/logN. Así que si elegimos un impar al azar menor que N, la probabilidad de que sea primo será aproximadamente 2/logN. Por otra parte cada N par tiene N/4 representaciones como suma de dos enteros impares. La “probabilidad” de que los dos enteros impares involucrados en una representación dada sean primos debería ser 4/(logN)^2 y el número de representaciones de N como suma de dos primos debería de un orden de magnitud comparable con N/(logN)^2. Por supuesto está muy lejos de ser una demostración (ni ser primo es un suceso aleatorio ni el modelo probabilístico es del todo correcto) pero explica bien el por qué va aumentando el número de representaciones.

Entre otras aproximaciones a la conjetura de Goldbach hay que destacar que Vinogradov demostró que ésta era cierta para casi todos los números pares. Es decir, que aquellos para los que no es cierta ocupan una proporción muy pequeña (que tiende a cero) en la sucesión de todos los números pares.

Otro resultado teórico  importante respecto a esta conjetura se debe a Chen Jing-run.

Teorema (Chen Jing-run , 1966): Todo par suficientemente grande se puede escribir como un primo más otro número que es primo o es producto de dos primos.

La obsesión de Petros

Quizás el lector se acuerde del libro “El tio Petros y la conjetura de Goldbach”, de Apostolos Doxiadis. Era una lectura entretenida centrada en la obsesión por demostrar esta conjetura. La editorial, como gancho, ofreció un millón de dólares a quien demostrase la conjetura en un plazo de dos años. Nadie lo consiguió, como era previsible, aunque fueron muchos los aficionados que reclamaron el premio con demostraciones erróneas.

Hacia la conjetura débil de Goldbach

Este enunciado se denomina así porque sería una consecuencia sencilla de conjetura de Goldbach. Efectivamente, si la conjetura de Goldbach fuese cierta y n es un número impar mayor que 5 , entonces n-3 es un par mayor que  y por lo tanto sería suma de dos primos n-3=p+q. Y en ese caso, n= p+q+3, suma de tres primos.

A principios del siglo XX, Hardy y Littlewood inventaron “el método del círculo”, que permitía hallar fórmulas asintóticas para el número de representaciones de un entero como suma de elementos de una sucesión determinada. Consiste en expresar dicho número mediante una integral en el intervalo [0,1] y luego calcular esa integral a trocitos, donde los trocitos que más contribuyen y que se denominan “arcos mayores” son aquellos intervalos (muy pequeños) cercanos a racionales de denominador pequeño. De esta manera y asumiendo la Hipótesis Generalizada de Riemann (un conocimiento muy preciso de la distribución de los primos en progresiones aritméticas) Hardy y Littelwood demostraron que la conjetura débil era cierta para todo impar “suficientemente grande”.

En 1937 Vinogradov consiguió una demostración sin necesidad de asumir la Hipotesis Generalizada de Riemann.

Teorema (Vinogradov, 1937):  Todo número impar suficientemente grande se puede escribir como suma de tres primos.

En la demostración original de Vinogradov el “suficientemente grande” no era efectivo. Es decir, no se sabía hasta que impar habría que comprobar la conjetura por la fuerza bruta.

Aunque se consiguió finalmente dar una constante explícita y ésta fue disminuyendo en diferentes trabajos, la constante más pequeña que se había conseguido era 10^1346. Así que la conjetura débil de Goldbach quedaría demostrada si se pudiese comprobar que es cierta para todos los impares menores que esa cantidad.

En el artículo de divulgación “La conjetura débil de Goldbach” que el mismo Harald Helfgott ha escrito en exclusiva para la sección “El diablo de los Números” de la Gaceta de la RSME, el autor dice:

Incluso 10^100 sería demasiado: como 10^100  es más grande que el producto del número estimado de partículas subatómicas del universo por el número de segundos desde el Big Bang, no habría ninguna esperanza de comprobar cada caso hasta  por ordenador (aún asumiendo que uno fuera un dictador alienígena usando el universo entero como una computadora muy altamente paralela)

Harald ha introducido unas innovaciones teóricas en el método del círculo que le han permitido rebajar esa constante hasta 10^29. Comprobar la conjetura débil de Goldbach hasta esa cantidad sí que está al alcance de los ordenadores y él, junto con D. Platt, lo han hecho utilizando aritmética de intervalos (la precisión exigida para dar rigurosidad matemática a los cálculos con ordenador). De esta manera, la conjetura débil de Golbach se ha convertido en teorema.

Termino con una cita de Euler sobre los números primos, al que sin duda también le hubiera gustado conocer la demostración de la conjetura débil de Goldbach.

«Los matemáticos han intentado en vano descubrir algún orden en la sucesión de los números primos pero tenemos muchos motivos para creer que hay algunos misterios en los que la mente humana nunca podrá penetrar.»

L. Euler (1770).

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Javier Cilleruelo es investigador de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) y miembro del ICMAT.