De camino hacia la ecuación de quinto grado

Especial Año de la Cristalografía

El camino en la resolución de las ecuaciones polinómicas fue largo y duro. Los matemáticos italianos Tartaglia, Cardano y Ferrari obtuvieron las fórmulas para las ecuaciones de tercer y cuarto grado en el s. XVI. A partir de ese momento muchos fueron los miembros de la comunidad matemática que asumieron como propio el reto de encontrar la fórmula de la ecuación de quinto grado. En el proceso para encontrar la respuesta definitiva a este gran enigma surgieron importantes ideas matemáticas, como los números imaginarios.

Tras los trabajos de Tartaglia, Cardano y Ferrano para la ecuación de tercer y cuarto grado, la siguiente contribución  interesante en la resolución de las ecuaciones polinómicas fue del boloñés Rafael Bombelli. En 1572 escribió el libro L’Algebra, en el que reformulaba algunas de las ideas del Ars Magna de Cardano, ya que consideraba que no era lo suficientemente claro, y añadía una idea nueva y revolucionaria: la de los números imaginarios.

La unidad imaginaria, i, se define como la raíz cuadrada de (-1). De vez en cuando, en la resolución de ecuaciones cúbicas, aparecía, como paso intermedio, la raíz de un número negativo. Evidentemente, no hay ningún numero real cuyo cuadrado sea negativo (si es negativo, menos por menos será más, si es positivo, más por más será más).

Es interesante el paralelismo entre la aparición de nuevas categorías de números y la resolución de las ecuaciones con coeficientes enteros. Los número negativos aparecen en ecuaciones lineales del tipo x+4=2, los radicales en ecuaciones cuadráticas como x.x=2, y los número imaginarios, en la resolución de las ecuaciones cúbicas.

Aunque aparecían en sus escritos, Cardano no se ocupó de ellos diciendo que eran “tan sutiles que eran inútiles”. Sin embargo Bombelli sí prestó atención a estos números, que llamaba “más de menos”. Aunque fue el gran matemático Leonhard Euler el primero que llamo a la raíz cuadrada de (-1) i, en 1777.

¿Qué nuevas categorías aparecerían al resolver la ecuación de quinto grado? El problema se convirtió en uno de los grandes retos matemáticos del momento.

Los métodos usados en los casos anteriores resultaron inútiles, porque eran demasiado concretos, no trataban las ecuaciones como un objeto abstracto, no se entendían las características generales ni las relaciones entre sus elementos. Muchos grandes matemáticos lo intentaron, entre ellos Euler. Sin embargo, el célebre matemático solo llegó a intuir que, con cuidado, podría reducirse la ecuación de quinto grado a una de cuarto, que ya sabían resolver. También Joseph-Louise Lagrange, otro de los grandes pesos pesados de las matemáticas, trabajó en el problema. Publicó un libro llamado “Reflexiones sobre la solución de ecuaciones algebraicas” en el que proponía un procedimiento uniforme para resolver ecuaciones hasta cuarto grado, que sustituía todos los trucos anteriores. Conseguía, mediante un método concreto, reducir la ecuación a la de un grado menor (la de cuarto a la de tercero, la de tercero a la de segundo, la de segundo a la de primero), y por tanto tras un número de pasos, reducir el problema a un cálculo trivial.

Sin embargo, al aplicar este procedimiento a la ecuación de quinto grado, ¡obtenida una ecuación de grado 6! En el libro, el propio Lagrange asumía su fracaso, “es improbable que estos métodos conduzcan a la solución de la ecuación de quinto grado”. Pese a ello, sus trabajo era tremendamente interesante: Lagrange descubrió la relación entre las propiedades de las ecuaciones y su resolubilidad y ciertas simetrías de las soluciones por permutaciones.

Había también una cuestión a considerar: quizás no se podían encontrar estas soluciones. En aquella época los matemáticos empezaron a preguntarse si dada una ecuación (de cualquier orden), ¿podían asegurar que siempre tuviese al menos una solución? O más allá, dada una solución de grado n, ¿cuántas soluciones tendrá?

Hizo falta uno de los mayores talentos de la historia de las matemáticas para resolver este enigma: el de Johann Carl Fredrich Gauss. En su tesis doctoral, que leyó con apenas 22 años, en 1799, Gauss demostró el famoso Teorema Fundamental del Álgebra, en el que afirma que todas las ecuaciones de grado n tienen exactamente n soluciones (que pueden ser números reales y complejos).

Más información:

Sobre la historia de la resolución de ecuaciones: https://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/tag/resolucion-de-ecuaciones

Entradas del Año Internacional de la Cristalografía: https://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/tag/ano-internacional-cristalografia

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Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias y Academia Canaria de Ciencias) es Director del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y vocal del Comité Ejecutivo de IMU.

Ágata A. Timón es responsable de Comunicación y Divulgación del ICMAT