En el séptimo número del ICMAT-Newsletter  se publicó un reportaje con los perfiles de los jovenes investigadores del ICMAT que acudieron al ICM2014, así como reseñas de los trabajos que presentaron en el gran congreso de las matemáticas. En el blog estamos ofreciendo los contenidos uno a uno, y el siguiente es el del estudiante predoctoral Alberto Navarro.

Alberto Navarro estudió su licenciatura y su máster en la Universidad Complutense de Madrid. Después realizó sus cursos de doctorado en la Universidad de Extremadura. Actualmente es alumno de tesis de José Ignacio Burgos (ICMAT) y Frédéric Déglise (Escuela Normal Superior de Lyon).  “A lo largo de la licenciatura de Matemáticas hay ciertos teoremas que te cambian la óptica desde la que quieres estudiar (por ejemplo, el teorema de Galois o el teorema egregio de Gauss). Al acabar mi licenciatura, mientras estudiaba geometría riemanniana, escuché hablar a alumnos de la escuela de Salamanca del teorema de Gauss-Bonet, de cómo este tipo de teoremas puede enunciarse en geometría algebraica e incluso aritmética, y de cómo tienen su marco adecuado en la obra de Grothendieck sobre motivos. Animado por esta visión a la que no se podía llegar ni con la licenciatura ni con los cursos de Máster, decidí hacer una tesis”.

Sobre teorías cohomológicas en geometría algebraica. Alberto Navarro (ICMAT).

En geometría diferencial existen dos formas fundamentales para describir la topología de una variedad: su homotopía y su cohomología. Mientras que la primera, aunque más fina, es muy complicada de calcular y de estudiar, la segunda es sencilla, relativamente fácil de calcular y suficiente para muchas cuestiones, por lo que es una herramienta muy importante para entender diferentes características de las variedades.

A mediados del siglo pasado el matemático apátrida Alexander Grothendieck, mientras revolucionaba la geometría algebraica, encontró que en el contexto algebraico  había una pléyade de teorías cohomológicas más o menos análogas a la clásica: étale, deRham algebraica, el anillo de Chow y la teoría K. El teorema de Riemann-Roch de 1957, probablemente el resultado más brillante de los trabajos que valieron a Grothendieck su medalla Fields en 1966, compara varias de estas teorías cohomológicas.

Para comparar dos cohomologías H y H’ primero es necesario construir una relación -un morfismo ch_X: H(X)àH’(X)– para todas las variedades X. Por último, en las teoría cohomológicas siempre es artificioso y relativamente complicado la construcción de la imagen directa. La imagen directa de un morfismo f:XàY de variedades algebraicas es la aplicación lineal f_*:H(X)àH(Y) que refleja la información de ese morfismo en cohomología.

Definir la imagen directa entre cualquier par de variedades X e Y siempre requiere hipótesis sobre las variedades, por ejemplo que ambas sean lisas. Durante la pasada década Gabber probó la llamada conjetura de pureza de Grothendieck para cohomología étale haciendo uso de una imagen directa generalizada para variedades regulares no necesariamente lisas. Alberto Navarro presentó en este ICM  una construcción basada en la Teoría de Motivos de la imagen directa generalizada de Gabber válida para todo tipo de teorías cohomológicas. Además, presentó una demostración de un teorema de Riemann-Roch en contexto no liso.

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Boletín ICMAT

El Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) lanza este boletín con el que quiere mostrar a la comunidad científica y a todos aquellos interesados en el avance de esta disciplina la actividad investigadora de excelencia que se lleva a cabo en el centro. El boletín quiere ser un reflejo de lo que ocurre en el ICMAT y, de manera más amplia, en un centro de excelencia de investigación matemática. Se presentan temas de interés relacionados con la investigación matemática actual, la actividad científica del centro y algunos de los perfiles desatacados de la comunidad científica, presentados para público general con interés por la ciencia.  Los autores de estos artículos son los propios investigadores del Instituto u otros matemáticos que colaboren con el ICMAT, además de un equipo especial dedicado a la comunicación de las matemáticas.

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