Vida de π

    Hizo luego un mar de metal fundido, de diez codos de borde a borde; era perfectamente redondo, de cinco codos de altura, y un hilo de treinta codos ceñíale alrededor.

Reyes I, 7, 23

Este conocido texto de «El Libro de los Reyes» se toma como una de las primeras aproximaciones al número π, dando un valor de 3; este valor se confirma más adelante en otro libro del Antiguo Testamento, el II Crónicas o II Paralipómenos, cuando se dan una serie de especificaciones para la construcción del Templo de Salomón. No es una aproximación muy buena, aunque en esa época estaban disponibles otras más certeras, debidas a los egipcios (25/8=3.125) y a los babilonios (√10 = 3.162). Incluso, en el Papiro de Rhind, en el 1650 aC, los escribas calcularon π como 4 × (8/9)2 = 3.16049. Su razonamiento fue que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9; es decir, igual a 8/9 del diámetro.

Estos cálculos correspondían a mediciones directas, no a disquisiciones teóricas. Es Arquímedes quien usa un método lógico, mediante aproximaciones poligonales, y consigue acotar π: 223/71 < π < 22/7. Arquímedes traza polígonos inscritos y circunscritos a un círculo y calcula sus perímetros.

Es muy interesante además cómo Vitruvio, arquitecto e ingeniero romano, calcula π en el 20 dC dándole el valor de 25/8, midiendo la distancia recorrida en una revolución por una rueda de diámetro conocido. Realmente, se nos antoja el método más práctico desde el punto de vista ingenieril.

Los matemáticos arábes hacen también algún progreso, pero son Wallis (1616-1703) y James Gregory (1638- 1675) con las fórmulas

2/π = (1.3.3.5.5.7. …)/(2.2.4.4.6.6. …)

y

π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + ….

respectivamente, quienes enseñan el camino para conseguir mucho mejores aproximaciones de π.

Un hecho sorprendente de π es que siendo su naturaleza geométrica (la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro), su cálculo se haga por estas fórmulas analíticas. En cualquier caso, el cálculo de los decimales de π pasa a ser uno de los intereses de los matemáticos. Aquí se puede encontrar una interesante cronología de estos logros.

Para calcular decimales de π se usan muchas de sus representaciones; algunas son auténticos logros matemáticos, por su belleza y por introducir las más extrañas relaciones: como fracciones, integrales, series numéricas, …

Una cuestión curiosa es el porqué de su nombre. A π se le llegó a conocer durante un tiempo como la constante de Arquímedes, y luego como la constante de Ludolph, por Ludolph van Ceulen (1539-1610), un holandés que se dedicaba a calcular decimales de π. Su símbolo representativo como letra griega lo introdujo el matemático galés William Jones en 1706 en su obra Synopsis Palmariorum Matheseos, pues era la primera letra de la palabra perímetro (περίμετρον) en griego. Leonhard Euler adoptó esta notación en su obra Introducción al cálculo infinitesimal (1748); la enorme influencia de Euler fijó para siempre la notación π.

Aparte del interés en conseguir aproximaciones, desde el punto de vista teórico, uno de los problemas relevantes era el conocer si π era en verdad irracional. La prueba de la irracionalidad de π (no se puede expresarse como una fracción de dos números enteros) se debe a Johann Heinrich Lambert en 1761. π también es un número trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio, hecho que fue probado por Ferdinand Lindemann en 1882. Desde entonces, sus demostraciones se han modificado y simplificado gracias al trabajo de varios eminentes matemáticos, como Hilbert y Hurwitz.

Hoy en día se usan los ordenadores para calcular los dígitos de π, tarea que se nos antoja inacabable.

Terminemos con Kate Bush cantando al número π

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).