Los puntos de Feynman

Las representaciones decimales del número pi no dejan de sorprendernos; en esta entrada de Matemáticas y sus fronteras comentaremos unas sucesiones de nueves consecutivos que es lo más extraño que uno podría encontrar en esa serie inacabable de números que entraña el número pi.

Cuando uno llega el decimal número 762, nos encontramos seis nueves consecutivos. Este hecho llevó al matemático Douglas Hofstadter a bromear:

“Yo mismo aprendí una vez 380 dígitos de π, cuando era un chaval loco de instituto. Mi ambición nunca alcanzada era llegar al punto, a 762 dígitos en la expansión decimal, donde dice «999999», para poder recitarlo en voz alta, llegar a esos seis nueves y luego decir pícaramente: «¡y así sucesivamente!». “

Y la consecuencia sería que el número pi sería racional, ¡gran herejía! Popularmente se atribute este descubrimiento de estas secuencias (ya que esta a la que nos referimos no es la única) a Richard Feynman, y se denominan puntos de Feynman, pero no parece que exista documentación que sustente esta afirmación.

En efecto, tras esta primera secuencia de seis nueves, la siguiente se produce en la posición 193.034, y con seis ochos en la posición 222.299. Estos puntos de Feynman están en el origen del conjunto A048940 del OEIS. 

Recordemos que la Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros (OEIS) es una base de datos de secuencias de números enteros que s epuede consultar en internet. Fue creada y mantenida por Neil Sloane mientras investigaba en los laboratorios AT&T. En 2009 transfirió la propiedad intelectual y el alojamiento de OEIS a la Fundación OEIS.

OEIS registra información sobre secuencias de números enteros de interés para matemáticos profesionales y aficionados; contiene más de 370.000 secuencias, y crece aproximadamente 30 entradas al día. Cada entrada contiene los términos principales de la secuencia, palabras clave, motivaciones matemáticas, enlaces bibliográficos, etc.

Otro tema relacionado es la noción de número normal. Un número real es simplemente normal en una base entera b si su secuencia infinita de dígitos se distribuye uniformemente en el sentido de que cada uno de los valores de b dígitos tiene la misma densidad natural 1/b. Se dice que un número es normal en base b si, para cada entero positivo n, todas las posibles cadenas de n dígitos de longitud tienen densidad b-n. Se dice que un número es absolutamente normal) si es normal en todas las bases enteras mayores o iguales que 2. Intuitivamente, que un número sea simplemente normal significa que ninguna cifra aparece con más frecuencia que otra. Si un número es normal, ninguna combinación finita de dígitos de una longitud dada ocurre con más frecuencia que cualquier otra combinación de la misma longitud.

Se conjetura que π es un número normal. Para un número normal muestreado uniformemente al azar, la probabilidad de que una secuencia específica de seis dígitos ocurra tan pronto en la representación decimal es de alrededor del 0,08%.

Sea cierta o no la historia con Feynman, sirvan estos puntos para mantener viva esta fascinación por el número pi.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).