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Posts etiquetados con ‘sistemas dinámicos’

Fallecimiento del matemático brasileño Jorge Sotomayor

Desde Rio de Janeiro nos llega la triste noticia del fallecimiento este mismo día del matemático Jorge Sotomayor, uno de los grandes referentes de los sistemas dinámicos, de la noble estirpe de los que hicieron grande el Instituto de Matemática Pura y Aplicada (IMPA) convirtiéndolo en una visita imprescindible para los que quisieran conocer los resultados más relevantes en ese campo.

Jorge Sotomayor

La noticia la recibo de mi querido amigo y colega Jair Koiller, acompañada del obituario escrito por uno de los más asiduos colaboradores de Sotomayor, Ronaldo García, profesor de la Universidad de Goiás, y cuyo texto he usado como fuente para escribir esta entrada epara honrar la memoria de Sotomayor.

En la Academia Brasileira de Ciencias, de la que era académico numerario, podemos leer en su ficha una breve biografía:

Hijo de Alfonso Sotomayor Ibarra, contable, y de Clara Rosa Tello de Sotomayor, ama de casa. Cursó estudios primarios y secundarios en los siguientes colegios peruanos: Colegio América (Callao), Colegio Leoncio Prado (Huánuco), Colegio Nacional 2 de Mayo (Callao). Su interés por el estudio de las matemáticas se despertó en esta última escuela gracias a las enseñanzas del maestro Cyro Herrera en 1957.

En 1959 ingresó a la Universidad de San Marcos (Lima) donde completó su Licenciatura en Matemáticas en 1962. En este Centro recibió la influencia de los maestros José Tola, Gerardo Ramos y José Ampuero. Por recomendación del primero, y con el apoyo del matemático brasileño Maurício Peixoto, fue admitido como becario en el IMPA (Río de Janeiro), donde se doctoró en 1964. Entre 1965 y 1969 enseñó matemáticas en Perú y en Estados Unidos. En 1969 se incorporó al personal de investigación del IMPA. En 1993 obtuvo la plaza de profesor titular en el Instituto de Matemáticas y Estadística de la Universidad de São Paulo.

 

Sotomayor staba casado con Marilda Antonia de Oliveira Sotomayor, y la familia había tenido dos hijos, Leonardo y Mariana. A la ficha de la Academia Brasilira de Ciencias podríamos añadir un hecho relevante: Sotomayor e Ivan Kupka fueron los dos primeros doctores por el IMPA. Su tesis doctoral “Estabilidad estructural de primer orden y variedades de Banach” fue defendida en 1964. En su tesis, hacía una reinterpretación geométrica y gneralizaba resultados previos de A.A. Andronov y A.E. Leontovich.

En su obra A list of ODE problems, publicada en portugués en 2000 en la Revista de Matemáticas y Estadística,  Sotomaypr rememora el seminario de ecuaciones diferenciales en el IMPA, dirigido por Peixoto, y en el que se debatían los últimos resultados en ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos. Sotommayr pasó unos años (1966-68) en Estados Unidos, en Berkeley, y allí tuvo la oportunidad de aprender en el grupo pujante que dirigía otro de los gigantes del tema, Stephen Smale.

Por su trabajo científico, recibió numerosos honores, entre ellos el doctorado honoris causa de la Universidad Nacional de San Marcos, en Perú, y la Orden Nacional del Mérito Científico en grado de Gran Cruz por parte el gobierno de Brasil (se había nacionalizado brasileño).

Dirigió 12 tesis de máster y 22 tesis doctorales y ha publicado más de un centenar de artículos científicos en diversas áreas; también ha escrito libros, ensayos, cuentos, etc. Recordemos entre ellos este ensayo  en el que tradujo al portugués varias obras de Henri Poincaré: Um Poeta, um Matemático e um Físico: Três Ensaios Biográficos por Henri Poincaré.

Su logro más notable es la introducción del concepto de estabilidad estructural (en colaboracióm con Carlos Gutiérrez), y la puesta en marcha de la llamada la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales en geometría diferencial, publicando en 1982 dos trabajos pioneros sobre el comportamiento cualitativo de las líneas de curvatura en superficies inmersas en el espacio euclidiano tridimensional. Fue un pionero en la teoría de bifurcaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Una de sus obras destacables es su artículo El elipsoide de Monge (la versión en castellano se publicó en la revista electrónica MAT2 (El elipsoide de Monge y las líneas de curvatura, Materials Matemàtics, 2007 (1), pp. 25.).  Los lectores pueden encontrar más material sobre Sotomayor en estas dos páginas web: Jorge Sotomayor 60 Anos y A Mathematics Memoir (en Researchgate).

En España su colaborador más asiduo ha sido el profesor Jaume Llibre, de la Universidad Autónoma de Barcelona. Sotomayor siempre ha gozado de un enorme cariño y pretigio en la comunidad española de ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos.

Se va un gran matemático, que supo inspirar a docenas de jóvenes matemáticos. Descanse en Paz.

Aquí lo podemos recordar en una conferencia

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En esta otra, Jorge Sotomayor recuerda a su colega Carlos Gutiérrez, tristemente fallecido en 2008, y hace un interesantísimo repaso histórico de todo ese grupo brasileño

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

 

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Trilobites

El 27 de diciembre de 1831 Charles Darwin partía en la HMS Beagle para su periplo alrededor del mundo que duraría 5 años, hasta el 2 de octubre de 1836. Fruto de ese viaje resultó el maravilloso libro El origen de las especies, en el que Darwin expuso la teoría de la evolución. Darwin decía en el prólogo:

“As many more individuals of each species are born than can possibly survive; and as, consequently, there is a frequently recurring struggle for existence, it follows that any being, if it vary however slightly in any manner profitable to itself, under the complex and sometimes varying conditions of life, will have a better chance of surviving, and thus be naturally selected. From the strong principle of inheritance, any selected variety will tend to propagate its new and modified form.”

Paradoxides davidis

 

Solo sobreviven los miembros de una especie cuyos ligeros cambios supongan un plus de supervivencia, los mas adaptados a los cambios. Eso han hecho los trilobites durante casi 300 millones de años, llegando a diferenciarse en unas 4000 especies. Aparecieron en el Cámbrico, hace unos 540 millones de años, y empezaron a diversificarse. Sufrieron la extinción masiva de finales del Cámbrico de la que sólo sobrevivieron los que habitaban en ambientes pelágicos. Revivieron y en el Ordovícico alcanzaron su máxima diversidad ocupando casi todos los nichos ecológicos marinos. Sufrieron una nueva crisis en el Devónico, que casi provocó de nuevo su extinción. Finalmente, los últimos trilobites desaparecieron hace unos 250 millones de años.

Darwin no conocía el mecanismo último de la evolución, no conocía la doble hélice, ni lo que la combinación de cuatro letras (A, T, C, G) podría ser capaz. Las matemáticas rigen en gran medida la evolución, con la combinatoria genética que el monje agustino Gregor Johann Mendel experimentó con sus guisantes; pero también la topología dicta como se enrollan las proteínas; y que decir de la dinámica que rige la evolución de las poblaciones, descubiertas por Thomas Robert Malthus, o las bases de la genética cuantitativa establecida por Sergei Sergeevich Chetverikov, y posteriormente por Sewall Wright, J.B.S. Haldane y Ronald Fisher.

 

Psychopyge elegans

Los trilobites tampoco conocían las leyes que regían su destino; reinaron durante millones de años, y sucumbieron después. Nosotros si conocemos esas leyes, y podemos hacer uso de ese conocimiento. Vivimos en un planeta que se está volviendo insostenible para nuestro futuro próximo. El comandante de la HMS Beagle era Robert FitzRoy, quien al volver dedicó sus esfuerzos a diseñar un sistema de previsión del tiempo en el mar para ahorrar las vidas de los marineros, advirtiendo de posibles temporales; el plan fue desechado pronto por los armadores, que preferían arriesgar la vida de sus marineros antes que perder sus ingresos. Los instrumentos (modelos matemáticos) que ahora tenemos para estudiar el clima son muchos y mucho mas sofisticados. Estamos ante un cambio climático que puede terminar con nuestra especie; deberíamos haber aprendido algo del destino de los trilobites.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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¿Era Paul Newman un experto en sistemas dinámicos?

En la película  “El buscavidas”, de Robert Rossen, Paul Newman interpreta un personaje mítico, Eddie Felson, un jugador de billar. Y el billar tiene mucho que ver con las matemáticas.

Paul Newman en “El buscavidas”

La siguiente sinopsis de la película ha sido extraída del blog Cine Puro: Eddie Felson (Newman) es un joven arrogante y amoral que frecuenta con éxito las salas de billar. Está decidido a ser proclamado el mejor, y busca al Gordo de Minnesota (Gleason), un legendario campeón de billar. Cuando, por fin, consigue enfrentarse con él, su falta de seguridad le hace fracasar. El amor de una solitaria mujer (Laurie) podría ayudarlo a abandonar esa clase de vida, pero Eddie no descansará hasta vencer al campeón sin importarle el precio que tenga que pagar por ello.

El billar es un juego popular, cuyos inicios se remontan a culturas tan antiguas como las de Grecia y Egipto, aunque es en el siglo XVII cuando toma la forma actual. El nombre viene de la palabra francesa “bille”, bola. Hoy en día lo asociamos a las cervezas y reuniones de amigos, y también ha tomado carta de presencia en las televisiones con concursos en los que los jugadores, en sus distintas variantes, hacen jugadas que nos parecen imposibles.

Estudiantes de Tubinga jugando al billar en el siglo XIX

El billar es un juego con un alto contenido matemático, y ya en 1835 el francés Gaspar Gustave de Coriolis escribió la obra titulada “Teoría matemática del juego de billar” en la que se estudian las trayectorias parabólicas. El grabado que se acompaña, es incluso más antiguo, del libro de Charles Cotton de 1674 titulado “The Compleat Gamester”.

Existe una analogía entre un billar y un sistema físico como puede ser un gas atrapado en un recipiente. Las bolas del billar se comportan de manera similar a los átomos del gas. Se mueven libremente hasta que chocan con el recipiente que las contiene. En el billar, de forma similar, las bolas ruedan por la mesa hasta que se encuentran con los bordes. A pesar de suponer condiciones perfectas en nuestros modelos (por ejemplo, el gas no pierde energía), un diagrama que represente las posiciones y velocidades de cada átomo o cada bola del billar, dista de ser sencillo. A estos modelos en que no se pierde energía o los modelos de “bolas duras” como las del billar, sin rotación y que interactúan elásticamente entre sí, se les denomina sistemas hamiltonianos.

De hecho, el modelo de los gases fue comparado al modelo de billar por la hipótesis ergódica de Boltzmann (hace más de cien años). La teoría ergódica presenta  precisamente la integrabilidad o no integrabilidad de un sistema dinámico.

En la riqueza de los diferentes movimientos y combinaciones, surgen los regímenes integrables o no integrables. En palabras sencillas, que podamos obtener una ecuación que explique el movimiento o no. Por otra parte, los sistemas pueden ser caóticos: pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden implicar cambios profundos en el compartamiento futuro que imposibilitan la predicción a largo plazo.

Los sistemas integrables  presentan la coexistencia de hipersuperficies llamadas toros,

unas superficies muy comunes en matemáticas, (los “donuts” o rosquillas), y en los no integrables existen componentes ergódicas (dicho de manera muy simplificada).

Un ejemplo notable de billar es el de Hadamard, que analiza el movimiento de una partícula libre en una superficie que posee una curvatura negativa constante. Es el ejemplo por antonomasia de caos determinista. El ensamble de Boltzmann—Gibbs para un gas ideal es esencialmente el más caótico de los billares de Hadamard.

El billar de Sinái es un billar de mesa cuadrada plana y en su centro se extrae un círculo. Surge al estudiar el comportamiento de dos discos que se desplazan dentro del billar cuadrado, reflejándose en los bordes del cuadrilátero y que pueden chocar entre sí. Este billar es caótico y sirve también como modelo de un gas clásico, como un gas de Lorentz.

Sin embargo, también hay ejemplos de billares no ergódicos. El matemático  estadounidense George Birkhoff (1884 – 1944) demostró que los billares de mesa elíptica son completamente integrables. Aquí, las órbitas representadas en un espacio de fases (de posiciones y un factor de la velocidad, denominados momentos) son periódicas. Las órbitas en un espacio de fases de un sistema ergódico acaban recubriendo el espacio.

 

Y es que, aunque los sistemas dinámicos y la integrabilidad sean muy complicados, jugar al billar es muy divertido y la película es muy buena. Este video es una charla divulgativa de Víctor Arnaiz (ICMAT-CSIC) sobre billares (aunque ojo, es avanzada, más bien para un público con una amplia base de matemáticas, aunque invitamos a verla a cualquiera que se atreva).

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Paul Newman recuperó su personaje en “El color del dinero”, película de 1986 dirigida por Martin Scorsese y protagonizada además por Tom Cruise; su argumento supone la continuación de la historia de Eddie “Relámpago” Felson. Pero no es la única película en la que los billares son protagonistas, aquí se pueden encontrar unas cuantas.

Finalmente, y volviendo al título de nuestra entrada, los actores de “El buscavidas” hicieron ellos mismos todas al sjuagadas de la película. Así que Paul Newman si sabía algo de este tema.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU); Cristina Sardón (ICMAT-CSIC), y Víctor Arnáiz (ICMAT-CSIC).

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