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La lucha por la solución de la ecuación de cuarto grado

Especial Año Internacional de la Cristalografía

La resolución de las ecuaciones de segundo grado a principios del s. XVI es digna de novela: traiciones, engaños, muertes y duelos. Repasamos, a través de sus protagonistas -algunos de los grandes matemáticos italianos del Renacimiento-, una de las grandes hazañas matemáticas.

Tartaglia

Las ecuaciones de tercer grado aparecen con el cálculo de volúmenes de sólidos. Podríamos preguntarnos, si tenemos un cubo cuyo volumen es de 8 cm^3, ¿cuánto mide su arista? Esto se traduce en la ecuación cúbica x^3=8, cuya solución es fácil de calcular, x=2. Pero este es el caso más sencillo, la forma general de la ecuación de tercer grado es ax^3+bx^2+cx+d=0.

Los matemáticos que trabajaron en la resolución de la ecuación, y que finalmente lo consiguieron, no planteaban problemas generales ni respuestas generales. Sin embargo, el objetivo sí era encontrar una fórmula, similar a la de 2º grado, que pudiera aplicarse como una receta: se sustituyen los valores de a, b, c y d (los coeficientes de la ecuación) y se obtienen las soluciones. Sin embargo, no era tan sencillo como se planteaba: éste supuso uno de los grandes retos matemáticos hasta el s. XVI.

Los duelos matemáticos

En la Bolonia del s.XVI eran habituales los debates públicos y disputas orales entre matemáticos, que atraían a grandes multitudes. Estas peleas callejeras tenían un profundo impacto en la sociedad científica: los ganadores eran mejor considerados para plazas universitarias, y los perdedores podían perder su puesto, o los favores de la nobleza. Más allá de eso, los ciudadanos mostraban un gran interés por estos acontecimientos, entorno a los cuales se organizaban apuestas.

En este contexto, la resolución de la ecuación de tercer grado se convirtió en un desafío intelectual. Hubo aquellos que arrojaron la toalla: el matemático Luca Pacioli llegó a asegurar, en su obra El compendio de conocimiento sobre aritmética, geometría y geodesia, que “para las ecuaciones de tercer y cuarto grado por el momento no ha sido posible encontrar reglas generales”. Otros, sin embargo, perseveraron. Scipione dal Ferro (1465-1526, Bolonia), impulsado posiblemente por el propio Pacioli se puso a trabajar sobre el tema. Alrededor de 1515 obtuvo los primeros resultados: resolvió la ecuación ax^3+bx+c=0, que todavía no es la forma general, pero se acerca.

Dal Ferro quiso conservar su hallazgo como un tesoro, y decidió no divulgarla. Tan solo compartió su resultado con su yerno, Annibale della Nave, y al menos otro estudiante, Antonio Maria Fiore. Fiore fue un matemático mediocre, que a falta de méritos propios, intentó usar a su favor el secreto de su maestro. Una vez muerto Dal Ferro no la publicó, sino que guardó el arma para usarla en el momento conveniente. Y ese momento no tardó en llegar. En 1535, Fiore desafió públicamente a Niccolo Tartaglia a una competición pública para resolver problemas.

Niccola Tartaglia

Tartaglia, que significa tartamudo en italiano, no era el nombre original de este matemático nacido en Brescia alrededor del 1500, si no que era su apodo. Aunque de adulto ocultaba las cicatrices con su barba, parece ser que un corte de sable de un soldado francés, cuando tenía 12 años, le dejó secuelas en el habla. Procedía de una familia muy pobre, y tuvo que ser autodidacta. Pese a ello, mostró un gran talento para las matemáticas, y, en 1530 afirmó haber resulto la ecuación x^3+3x^2=5. Fiore, desconfiado del logro de Tartaglia, decidió desafiarle públicamente.

Quedaron en que cada uno de ellos escribiría una lista de 30 problemas que tendría que resolver su oponente, y la lista quedaría sellada y depositada ante notario. Después de esto, cada uno dispondría de 50 días para buscarles solución.

Todos los problemas planteados por Fiore eran de la misma forma ax^3+bx=c (los que él sabía resolver con al fórmula secreta de dal Ferro). Sin embargo, Tartaglia propuso problemas de diferente tipo. El 12 de febrero de 1535 fue la fecha escogida para entregar los problemas, frente a un nutrido público formado por universitarios y miembros de alta sociedad intelectual veneciana. Tartaglia logró resolver los problemas en tan solo 2 horas, Fiore, ninguno.

Tartaglia solo tuvo que aplicar el método para resolver las ecuaciones del tipo ax^3+bx=c., que según cuenta en su biografía, había descubierto tan solo 8 días antes del reto. Pocos días después encontró la solución de ax+b =x^3. Y como ya conocía la de x^3 +ax^2=b, del día a la mañana se convirtió en el experto mundial de la resolución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, el éxito le duró poco.

Tartaglia vs. Ferrari

Tartaglia no quiso tampoco hacer públicos sus resultados. Pese a ello, el rumor del concurso entre Tartaglia y Fiore se extendió por toda Italia, y llegó a los oídos del médico, matemático y filósofo Gerolamo Cardano. Antes de todas esas cosas, Cardano fue jugador, y durante sus años de estudiantes el juego fue su principal sustento. Usaba sus conocimientos de probabilidad y combinatoria para ganar a los dados, al ajedrez, a las cartas… tanto es así, que su libro “El libro de los juegos del azar” se considera la primera obra escrita de cálculo de probabilidades. Pese a que estudió medicina (y la ejercía, aunque sin licencia, por discrepancias con la comunidad médica), obtuvo una plaza de profesor de matemáticas en la Fundación Piatti.

Cuando estaba finalizando su segundo libro “La práctica de la aritmética y la medición simple”, se le antojó que un gran final para la obra sería incluir la fórmula de resolución de la ecuación de tercer grado. Intentó convencer a Tartaglia de que le revelase sus trabajos mediante intermediarios, pero tuvo que llevarle a Milán, agasajarle y parece que prometerle silencio para que este accediese.

Aquí es cuando empieza la disputa. Cardano publicó el resultado en su libro, considerado el texto precursor del álgebra moderna “El gran arte o las reglas del algebra” (Ars Magna), y aunque le reconocía la autoría de Tartaglia, eso no aplacó su ira. Se desencadenó una larga pelea publica en la que se interpuso el siguiente antihéroe de la historia, Ludovico Ferrari, estudiante y gran defensor de Cardano.

Partiendo de las técnicas de Tartaglia, Cardano había de encontrado una fórmula general de la ecuación de tercer grado. Simultáneamente, Ferrari había conseguido resolver uno de los tipos de la ecuación de cuarto grado. Todo este material aparecía el Ars magna. Además, demuestra por primera vez que las soluciones pueden ser negativas, irracionales, e incluso pueden implicar raíces cuadradas de números negativos.

Todo el reconocimiento que obtuvo no hizo más que amargar aun más a Tartaglia, que emprendió una violenta campaña contra Cardano, a través de cartellos (cartas de desafíos). Sin embargo, no fue Cardano el que respondió a las mismas, pese a los muchos intentos de Tartaglia de retarle públicamente, sino que se ocupó de la pelea Ferrari. Pese a que Tartaglia no quería concursar públicamente con el estudiante, al final lo acabó haciendo, posiblemente por la presión de una posible plaza de profesor de geometría en su ciudad natal, Brescia.

El enfrentamiento sucedió el 10 de agosto de 1548 y, pese a que no hay documentación clara de lo que aconteció, no hay duda que el vencedor fue Ferrari: negaron el sueldo a Tartaglia en Brescia, después de trabajar un año como profesor, mientras que la carrera de Ferrari se catapultó.

 

Pero aun queda el desenlace trágico: la muerte dramática de Ferrari, pocos años después, al parecer envenenado por su propia hermana. No hay pruebas directas de esta acusación, pero las pruebas parecen indicar que fue así… Maddalena, la hermana de Ferrari, se casó dos semanas después de la muerte, y transfirió a su nuevo marido todas las propiedades de Ferrari. Incluso parece que se apropió de algunos de escritos inéditos para que los publicara a su nombre su nuevo hijastro.

Por suerte, Ferrari no había guardado, como Dal Ferro o Fiore hicieron con sus avances en la resolución de la ecuación de tercer grado, ningún gran resultado oculto.

Más información:

Sobre la historia de la resolución de ecuaciones: http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/tag/resolucion-de-ecuaciones

Entradas del Año Internacional de la Cristalografía: http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/tag/ano-internacional-cristalografia

Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias y Academia Canaria de Ciencias) es Director del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y vocal del Comité Ejecutivo de IMU.

Ágata A. Timón es responsable de Comunicación y Divulgación del ICMAT

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[...] La lucha por la solución de la ecuación de cuarto grado por mainaberd a madrimasd.org enviado: ____ La resolución de las ecuaciones de segundo grado a principios del s. XVI es digna de novela: traiciones, engaños, muertes y duelos. Repasamos, a través de sus protagonistas -algunos de los grandes matemáticos italianos del Renacimiento-, una de las grandes hazañas matemáticas. etiquetas: resolución de ecuaciones, duelos matemáticos, tartaglia, ferrari usuarios: 1   anónimos: 0   negativos: 0   compartir: sin comentarios cultura karma: 14 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); [...]

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