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Posts etiquetados con ‘topología’

El topólogo manco

If it’s just turning the crank it’s algebra, but if it’s got an idea in it, it’s topology

(Si le estás dando a la manivela es álgebra, pero si tiene una idea, es topología)

Solomon Lefschetz

 

Solomon Lefschetz es uno de los fundadores de la topología algebraica, aunque también hizo contribuciones fundamentales a la geometría algebraica y la de las ecuaciones no lineales en derivadas paraciales. Menos conocidas son las circunstancias por las que se dedicó a las matemáticas.

 

Solomon Lefschetz

Lefschetz nació en Moscú, el 3 de septiembre de 1884, en el seno de una familia judía de nacionalidad turca que se trasladó poco después a París, y de allí emigró a los Estados Unidos en 1905. En París estudió ingeniería química en la École Centrale. Desde 1907 a 1910 trabajó en la empresa Westinghouse Electric and Manufacturing Co. de Pittsburg, pero un desafortunado accidente en el laboratorio le provoca la pérdida por quemaduras de sus dos manos, y abandona la carrera de ingeniero. Es entonces cuando decide dedicarse a las matemáticas, aunque en París ya había tenido dos buenos profesores en la materia, Émile Picard y Paul Appell.

Obtiene su doctorado en geometría algebraica por la Clark University, en Massachusetts en 1911, con una tesis titulada On the existence of loci with given singularities, dirigida por William Edward Story. Consigue un puesto de profesor en 1911 en la Universidad de Nebraska en Lincoln y, en 1913 hasta 1925, en la Universidad de Kansas en Lawrence. Es entonces cuando se traslada a la Universidad de Princeton con un puesto fijo, universidad en donde se jubilaría en 1953.

Tras su accidente, se manejó con dos manos artificiales, dentro de guantes negros. Cada mañana, un estudiante le ponía un trozo de tiza en la mano y se la quitaba al terminar la jornada. Los estudiantes de Princeton compusieron estos versillos sobre él:

    Here’s to Lefschetz, Solomon L.

    Irrepressible as hell

    When he’s at last beneath the sod

    He’ll then begin to heckle God.

 

Este es Lefschetz, Solomon L.

Incontenible como el infierno

cuando por fin esté bajo la hierba,

entonces empezará a molestar a Dios.

Lefschetz tenía un carácter rudo, poco dado a hacer amigos, y trabajó muy aislado. Consiguió resultados fundamentales en topología y geometría algebraica que tuvieron un enorme impacto en las respectivas disciplinas. En 1924, publicó su famoso libro L’analysis situs et la géométrie algébrique. Entre sus resultados están la teoría de intersección, el teorema del punto fijo, y nuevos avances en la homología y la cohomología.

Pero no sólo se dedicó a la investigación básica, su interés se concentró durante la Segunda Guerra Mundial en las ecuaciones en derivadas parciales. Sobre estos temas, dirigió un grupo de trabajo en el Glenn L. Martin Company’s Research Institute for Advanced Studies (RIAS) en Baltimore, Maryland. Tuvo una gran actividad tras su jubilación en la Universidad de Brown, donde fundó el Lefschetz Center for Dynamical Systems en la Universidad de Brown, en Providence, Rhode Island; parece ser que se enfadó con la gente del RIAS y esto motivó que trasladara su actividad a Brown. Puede decirse que estuvo activo hasta su fallecimiento en Princeton el 5 de octubre de 1972, a los 88 años de edad.

Otro de sus grandes logros fue su tarea de director de la revista Annals of Mathematics, desde 1928 a 1958. También fue presidente de la American Mathematical Society.

Sentados de izquierda a derecha: Solomon Lefschetz, Lev Semenovich Pontryagin. De pie: La Sra. de Lefschetz, Evgenii Frolovich Mishchenko, Louise A. (“Weezie”) Morse, Marston Morse, La Sra. de Pontryagin y Revaz Gamkrelidze.

La vertiente mexicana

Lefschetz viajó a México en 1945, y quedó deslumbrado por este país. Fue profesor visitante del Instituto de Matemáticas de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), y continuó visitando Ciudad de México muchos años. Esto explica el desarrollo excepcional de la topología algebraica en México, con muchos de sus estudiantes convertidos en figuras claves en el desarrollo matemático de ese país.

Hablaba español, e incluso escribía en ese idioma (su idioma natal era el francés, aunque parece ser que también se defendía en yiddish).

En este enlace Recordando a Solomon Lefschetz se puede leer un preciosa entrevista a Alberto Verjovsky, uno de sus discípulos. Nada mejor para conocer su amor por México y su relación con los matemáticos de este país.

Finalmente, este artículo de Phillip Griffiths, Donald Spencer, y George Whitehead da una visión muy completa de su vida y obra. Sin duda que estamos ante uno de los grandes matemáticos del siglo XX.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Clasificando nudos

Seguimos hablando de nudos en Matemáticas y sus fronteras. Decíamos en la entrada anterior que el interés por los nudos decayó al probarse que las teorías que trataban de explicar con ellos el mundo atómico no se sustentaban a tenor de los nuevos descubrimientos sobre la inexistencia del éter y la aparición de la mecánica cuántica. Pero los matemáticos sí seguían interesados en el tema.

Los topólogos se sintieron fascinados por estos objetos matemáticos. Y una de las cuestiones claves es la de su clasificación, es decir, ¿cuándo podemos decir que dos nudos son equivalentes? Por ejemplo, los dos nudos que exhibimos arriba. Es un tema sutil, porque dos nudos pueden aparecer como muy diferentes pero ser idénticos desde el punto de vista topológico.

Para precisar estas ideas, vayamos a una primera definicíón de equivalencia. Dos nudos N1 y N2 se dirán equivalentes si existe un homeomorfismo

h : R3 —> R3,

que preserva la orientación del espacio y que transforma un nudo en el otro, es decir h(N1) = N2. Digamos que un homeomorfismo es una transformación que que es continua y que tiene inversa y ésta también es continua. La continuidad refleja que preserva en un cierto sentido que se puede precisar matemáticamente la cercanía de los puntos del espacio. Sobre la orientación, decir que hay dos posibles en R3 y h las debe preservar, es decir, no puede convertir una en la opuesta.

Existe otra definición de equivalencia en la que los dos nudos son equivalentes si existe una familia parametrizada de homeomorfismos por un parámetro t entre 0 y 1 que transforma el primer nudo en el segundo (esta familia es lo que se llama una homotopía). Sin embargo, esta definición y la primera son equivalentes. En cualquier caso, resulta complejo y arduo usar directamente estas definiciones.

Diagramas de nudos

Decíamos en una entrada previa que una manera de tratar con los nudos era proyectarlos en un plano y trabajar con esas proyecciones. Una manera de verlo es pensar que ponemos un foco de luz sobre el nodo tridimensional y vemos su sombra en una pared. Habrá intersecciones que se corresponden con los cruces del nodo. Trabajando con algo de cuidado se puede conseguir que estas proyecciones contengan toda la información del nudo. Así, el problema de ver si dos nudos son equivalentes o no se reduce a estudiar si lo son sus proyecciones.

El matemático alemán Kurt Werner Friedrich Reidemeister (1893 –1971) ideó en 1927 un procedimiento (llamado los movimientos de Reidemeister) que nos permite pasar de una proyección regular de un nudo a otra usando solo los siguientes tres tipos de movimientos sobre partes del diagrama en cuestión:

 

Reidemeister tipo I

Reidemeister tipo II

 

Reidemeister tipo III

El primer movimiento (tipo I) consiste en girar o crear un lazo; el segundo (tipo II) desplaza un trozo de nudo sin que se cruce con otro trozo; y el tercer movimiento (tipo III) consiste en pasar un trozo de nudo sin cruzamientos sobre o bajo un cruce. El resto del diagrama no se modifica.

 

Kurt Reidemeister

Algunos datos sobre Kurt Reidemeister

Reidemester comenzó su carrera matemática en Teoría algebraica de números, bajo la dirección de Erich Hecke, pero tan pronto defendió su tesis su intereés se fue a la geometría diferencial y a la teoría de nudos. En 1923 fue contratado como profesor en la Universidad de Viena (lo que le permitió escapar de la situación empobrecida de la Alemania de postguerra tras el tratado de Versalles y la hiperinflación) , y en 1925 se trasladó a la Universidad de Königsberg. En 1933, su posición pública al régimen nazi le supuso su cese (del que por cierto se enteró leyendo el periódico). Restituido por la presión de sus colegas al gobierno (encabezada por Wilhelm Blaschke) tuvo sin embargo que mantener ocultas sus discrepancias políticas. Tras la guerra y con una estancia en Princeton, fue nombrado profesor en la Universidad de Gotinga hasta su jubilación. Su libro Knoten und Gruppen (1926) es hoy en día un clásico sobre teoría de nudos.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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La vida anudada

Un tema tópico en el mundo de los marineros es el de los nudos; como hacerlos para que no desaten fácilmente o como deshacerlos en cuestión de segundos. Los nudos han sido estudiados por los matemáticos, pero también son cruciales en el mundo de las ciencias de la vida, como explicaremos a continuación.

La teoría de nudos es una apasionante rama de las matemáticas, ligada directamente a la topología y a la topología algebraica. Un nudo se define como un embebimiento de un círculo (en matemáticas un círculo lo representamos como S1) en el espacio euclideano R3 (aunque también podemos pensar en nudos en la esfera de dimensión 3, o encajes de esferas en otras de dimensiones mayores). También podemos decir que un nudo es una curva en el espacio de tres dimensiones que no presenta intersecciones. Como una imagen es mejor que mil palabras, en esta figura podemos encontrar un nudo que se conoce como nudo de trébol.

 

Nudo de trébol

Los matemáticos gustan de clasificar, y los nudos no iban a ser ajenos a esta manía de nuestra profesión. Una definición intutiva es la siguiente: diremos  que dos nudos son equivalentes si podemos deformar uno en el otro de forma continua sin romperlos. Claro, ahora tocaría expresar esta definición en términos matemáticos precisos. Esto requiere el uso de técnicas topológicas, como el concepto de isotopía. Digamos de momento que un nudo trivial es la propia circunferencia pensada como nudo, es de hecho, lo menos anudado que podíamos pensar. Pero los nudos pueden ser extremadamente complejos, aunque estos más sencillos, como el trébol que mostramos antes, o la figura ocho que mostramos ahora, no son triviales.

 

Nudo figura ocho

En entradas posteriores hablaremos más sobre los nudos, desde el punto de vista de la topología: hablaremos de la historia de la teoría de nudos, de cómo se desarrollar oninvariantes que permiten clasificarlos, y como no, de las aplicaciones de esta teoría (no piense que los nudos se reducen a los que formamos al atar nuestros zapatos).

Hoy vamos a centrarnos en una importante aplicación de la teoría de nudos a la biología. Las moléculad de ADN y las proteínas son cadenas muy largas, que deben estar colocadas en espacios muy pequeños. La manera de hacerlo es plegarse, retorcerse, y así minimizar el espacio ocupado. En muchos casos, se forman nudos, es decir, se pegan los extremos, y esto puede ser fatal para las células. ¿Cómo se defiende un ser vivo de esta amenaza? Pues poniendo en marcha mecanismos que minimizan el grado de anudamiento del ADN, aliviando la tensión y para que un mejor comportamiento de los cromosomas. Estos instrumentos son unas enzimas denominadas topoisomerasas, que o bien reducen el grado de anudamiento con lo cuál están cambiando (simplificando) la topología de la molécula, o, si es preciso, pegando extremos y aumentando la complejidad topológica. Poder influir en estos cambios topológicos ayudaría a mejorar las técnicas de secuenciación genómica.También nos ayudaría a conocer mejor como funcionan los enzimas.

Molécula de ADN

Así que en el mismo corazón de la vida tal como la conocemos, en el ADN, tenemos una aplicación de algo tan fundamental como la llamada teoría de nudos.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

 

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