El origen de la fórmula de la ecuación de segundo grado

Especial Año Internacional de la Cristalografía

Del colegio recordamos que todas las ecuaciones de segundo grado pueden resolverse con una fórmula. Si se escribe la ecuación como aX^2+ B^X+C=0, la receta X= (-b+-sqrt (b^2-4ac))/2a, da fácilmente las soluciones. Pero, ¿de dónde sale esta fórmula? El recorrido en la historia de la resolución de las ecuaciones polinómicas nos lleva hoy a India y los países árabes.

Los matemáticos europeos, con la caída de la Biblioteca de Alejandría como momento clave, entraron en el gran letargo de la Edad Media, del que no despertarían hasta el Renacimiento. Mientras tanto, las matemáticas siguieron creciendo y evolucionando en otras latitudes: India, y los países árabes. El matemático y astrónomo indio Brahmagupta (598-670 d.C) fue el primero en referirse explícitamente a los número negativos, como solución de las ecuaciones (se refería a ellos como “deudas”, en contraposición de las “fortunas”, como denominaba a los número positivos).

Brahmagupta

Durante siglos, la gran referencia en cuanto a teoría algebraica fue El libro Condensado sobre Restauración y Balanceo (Kitab al-jabr wa almuwabalah). Del título de este libro viene la palabra álgebra (del término «al-yéber», que significa en árabe “restauración”o “conclusión”, y se refería a mover los términos de la ecuación de un lado a otro -lo que está sumando pasa restando, lo que está multiplicando pasa dividiendo, etc., como enseñan en el colegio, y su autor,  Muhammad ibn Musa al Kjwarizmi (vivió del 780 al 850, aproximadamente), dio también nombre a la palabra algoritmo.

En el Quijote, ocho siglos después, se hace referencia a la palabra, cuando Cervantes llama “algebrista” a un curandero, que restauraba los huesos del cuerpo.

Al Kjwarizmi fue astrónomo, geógrafo y matemático. Determinó las primeras reglas del cálculo algebraico: la transposición de los términos de uno a otro miembro de una ecuación, previo cambio de signo, y la anulación de términos idénticos en ambos miembros. También estudió las ecuaciones de segundo grado. Este libro supone la primera inclusión del álgebra en el mundo musulmán, después de haber recorrido un largo camino que desde Babilonia la había llevado a la India y a Grecia. Todavía no se emplean símbolos para refererise a las incógnitas, sino que se hace una descripción literal: «dos veces una cosa menos el cuadrado de esa cosa…»

Se resuelven ecuaciones de primer grado y de segundo, con un método prácticamente idéntico al que usamos hoy en día. Sin embargo, la solución no apareció en Europa hasta el s. XII, en el libro Tratado de Medidas y Cálculos, del matemático judeo-español Abraham bar Hiyya Ha-Nasi. Siglos después, todos los libro de matemáticas de secundaria incluyen la fórmula.

Más información:

Sobre la historia de la resolución de ecuaciones: https://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/tag/resolucion-de-ecuaciones

Entradas del Año Internacional de la Cristalografía: https://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/tag/ano-internacional-cristalografia

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Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias y Academia Canaria de Ciencias) es Director del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y vocal del Comité Ejecutivo de IMU.

Ágata A. Timón es responsable de Comunicación y Divulgación del ICMAT.

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13 comentarios

  1. ¿Y está claro que la fórmula sigue siendo la mejor opción para el siglo XXI? La experiencia demuestra que la inmensa mayoría de los estudiantes no tienen la menor idea del origen de la fórmula. ¿Está claro que tiene más valor aplicar a mano la fórmula mágica que apretar un botón y obtener la solución? ¿No tendría más sentido resolver completando cuadrados (o factorizando «a ojo») ecuaciones sencilas, y recurrir a las nuevas tecnologías (ya no tan nuevas) para resolver ecuaciones numéricamente más complicadas?

  3. Creo que la formula es necesaria,
    por lo menos se usa de varias maneras
    Concretas en niveles universitarios.
    Escribo dos ejemplos.
    1) En algunas demostraciones de la
    desigualdad de cauchy schwartz, se usa
    Que determinado polinomio de segundo
    grado no tiene raices realea,
    luego el discriminante de la ecuación
    Es positivo…
    2) Cuando se estudia la ecuación
    Diferencial de un muelle con resistencia
    ( o un circuito LCR) surge un polinomio
    De segundo grado. Saber si las raíces son reales
    O complejas es fundamental para conocer
    El comportamiento de la solucion.
    En ambos casos se ha de manejar polinomios
    Simbólicos.

  7. Que agradable es saber que existen personas interesadas en temas tan específicos como la historia de los creadores de las fórmulas en este caso algebraicas y que no dudan en compartir esa información generosamente a través de la web, gracias…

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