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El paraíso de Cantor

Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.

Nadie será capaz de expulsarnos del paraíso que Cantor creó para nosotros.

David Hilbert, en una conferencia en Münster a la Sociedad Matemática Alemana el 4 de junio de 1925.

 

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor fue un matemático de ascendencia danesa-alemana, aunque nació en San Petersburgo, el 3 de marzo de 1845: Cantor fue uno de los matemáticos más geniales del siglo XIX y comienzos del XX, al que le debemos la creación de los fundamentos modernos de las matemáticas.  Cantor estudió matemáticas en Zürich, trasladándose después a la Universidad de Berlín, donde tuvo profesores de la talla de Ernst Kummer, Karl Weierstrass y Leopold Kronecker. Con 27 años se convirtió en catedrátrico de la Universidad de Halle (también llamada Martín Lutero).

 

Georg Cantor en 1970

Entre 1874 y 1884, Cantor trabajó sobre la teoría de conjuntos.  Hasta entonces, no había una teoría formal, y el concepto de infinito era una noción más filosófica que matemática. Cantor probó que había diferentes tipos de conjuntos infinitos: por ejemplo, el de los números naturales (el aleph 0) era diferente al de los números reales (el continuo). La manera de distinguirlos fue con el concepto de cardinal. Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos, y estos últimos numerables (su cardinal o número de elementos es el de los naturales) o no numerables (en caso contrario). Por ejemplo, el conjunto de los  números pares es numerable (se puede establecer una correspondencia uno a uno con los naturales, simplemente considerando el doble de cada número natural). Y lo mismo ocurre, aunque nos sorprenda, con los números racionales (las fracciones). Pero ya no pasa así con los irracionales (los no racionales) y con todos los números reales (racionales e irracionales).

Como recordatorio, digamos que un número racional es el que se puede escribir como una fracción de números enteros. Entre los irracionales, podemos distinguir entre los algebraicos (aquellos que se obtienen como una solución de una ecuación algebraica, como ocurre con el número aúreo), y trascendentes, cuando no, como el número π o el número e.

Cantor fue mucho más allá. Construyó (o descubrió, a gusto del lector), toda una aritmética de números infinitos, que llamó transfinitos. Estos números seguían unas reglas similares a las de los números naturales. Uno de sus logros fue probar que había el mismo número de puntos en un segmento que en un cuadrado o en cubo construidos con ese segmento. Cantor le escribió a Dedekind: “Lo veo, pero no me lo creo”.

Otro de los logros de Cantor fue probar que el cardinal del conjunto de partes de un conjunto era estrictamente mayor que el del conjunto dado, algo evidente en conjuntos finitos, pero no tanto en los infinitos. Esto le llevó a formular lo que se llama la “hipótesis del continuo”: no hay ningún número entre aleph 0 (representado por el símbolo ℵ0) y el continuo (que es la cantidad de números reales), o dicho con más rigor, el aleph siguiente al aleph 0, el aleph 1 ( ℵ1 ) es igual al continuo. David Hilbert propuso esto como uno de los 23 problemas que expuso en su célebre conferencia en el Congreso Internacional de Matemáticos de París en 1900. La hipótesis del continuo llevó a Kurt Gödel en 1940 a probar que había proposiciones que no se podían probar o negar en términos de la aritmética (el famoso teorema de incompletitud). En 1963, Paul Cohen volvió sobre el tema y encontró que la aritmética era consistente tanto si admitimos la hipótesis del continuo como si no (y recibió una medalla Fields por ello).

Hasta entonces, predominaban todavía las nociones de infinito “en potencia” y “en acto” de Aristóteles, que llegaba a afirmar: “el número no puede ser infinito, ya que éste, así como todo lo que tiene número, puede contarse, y, si puede contarse, no es infinito”. Lo que Cantor proponía era una auténtica revolución del pensamiento.

Leopold Kronecker

Las reacciones  a los resultados de Cantor fueron violentas. El propio Leopold Kronecker (su director de tesis) llegó a decir de Cantor que era “un charlatán, un renegado y un corruptor de la juventud”, como si se se tratara de un nuevo Sócrates. El mismo Wittgenstein lamentó que las matemáticas se vieran dirigidas por “el pernicioso idioma de la teoría de conjuntos.” Pero a la vez, muchos de sus colegas le demostraron una admiración sin límites, especialmente tras su conferencia en el primer Congreso Internacional de Matemáticos, celebrado en Zürich en 1897.

Las ideas de Cantor fueron vistas por algunos intelectuales de la época como un desafío a la infinitud de Dios, y fue acusado de panteísmo, él, que era un devoto luterano. Su visión teológica se confundía con la matemática, y creía que esos resultados eran inspirados en su mente por el propio Dios.

No es de extrañar que Cantor sufriera depresiones muy fuertes a lo largo de su vida, con varios internamientos en hospitales psiquiátricos. Finalmente, falleció el 6 de enero de 1918, en el sanatorio donde había pasado el último año, de un ataque al corazón. Durante la Primera Gran Guerra sus condiciones de vida habían sido muy precarias.

Placa conmemorativa: “En este edificio nació y vivió desde 1845 a 1854 el gran matemático y creador de la teoría de conjuntos Georg Cantor”, San Petersburgo

Como decía Hilbert, nadie nos podrá quitar ese paraíso increíble que Cantor creó para la humanidad, y a pesar de todos sus críticos, su trabajo pervive, porque como él decía: “La esencia de las matemáticas reside en su libertad”.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Comentarios

Very Nice Post
Haryanvi Lyrics

qué artículo tan bueno

¡Muchas gracias por leerlo!

It was good reading, I totally love it.

Excelente artículo e impresionante personalidad en la ciencia matemática

Gracias a su “genio” las matemàticas están ordenadas.
Gracias por éstas líneas.

Very good
Kheti Kare

(requerido)

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