El último secreto del dodecaedro

He leído en Quanta Magazine, esa espectacular revista digital de matemáticas (pero también con contenidos de Física, Biología y Ciencias de la Computación) un artículo que me ha llamado la atención y cuyo contenido me gustaría compartir con los lectores de Matemáticas y sus fronteras. La lectura del mismo me ha llevado, como ocurre siempre en estos casos, a investigar los resultados que allí se reflejan.

Dodecaedro

El artículo de Quanta Magazine se titula Mathematicians Report New Discovery About the Dodecahedron, y lo firma Erica Klarreich. Recoge, de una manera sensacional, los resultados de estos dos artículos A Trajectory from a Vertex to Itself on the Dodecahedron,  de los matemáticos, Jayadev S. Athreya y David Aulicino, y este otro, Platonic solids and high genus covers of lattice surfaces, de Jayadev S. Athreya, David Aulicino y W. Patrick Hooper. Athreya es profesor en la Universidad de Washington, Aulicino trabaja en el Brooklyn College, y Hooper en el City College de Nueva York.

Jayadev S. Athreya
David Aulicino
Pat Hooper

 

El resultado que han obtenido ha sorprendido al colectivo matemático, ya que pocas novedades desconocidas se podían esperar de los dodecaedros.

Los cinco sólidos platónicos

Como sabemos, se pueden construir polígonos planos regulares de cualquier número d elados, no hay ninguna limitación. Pero no es así cuando nos pasamos al mundo tridimensional. Solo se pueden construir cinco poliedros con caras iguales y que sean polígonos regulares: tetraedro ( 4 triángulos equiláteros), cubo o hexaedro (6 cuadrados), octaedreo (8 triángulos equiláteros), dodecaedro (12 pentágonos regulares) y el icosaedro (20 triángulos equiláteros). La razón está en la fórmula de Euler C+V = A+2 (el número de caras más el número de vértices debe ser dos unidades mayor que el número de aristas).

Esta sorprendente realidad ha dado lugar a que estos sólidos, llamados a veces platónicos, sean objeto de supuestas propiedades mágicas o esenciales, como hemos ya comentado en otras entradas de este blog (veáse por ejemplo De cómo el demiurgo construyó el universo con triángulos).

Jayadev S. Athreya, David Aulicino y W. Patrick Hooper se han estudiado el siguiente problema sobre los sólidos platónicos:

Partiendo de un vértice en uno de ellos, ¿se puede trazar una trayetoria recta de manera que se vuelva al vértice de partida sin pasar por ninguno de los otros vértices?

Lo primero a dilucidar es lo que se entiende por una línea recta, y es esto: Una trayectoria en línea recta en la superficie de un poliedro es una línea recta dentro de una cara que se extiende únicamente sobre un borde de modo que cuando las caras adyacentes se aplanan la trayectoria forma una línea recta en el plano.

La respuesta es negativa (así se consideraba al menos) en todos los casos excepto en el dodecaedro, que hasta ahora era desconocido. La demostración ha requerido el uso de modernas técnicas geométricas así como de computación. Primero, Athreya y Aulicino, en su paper publicado en The Amer. Math. Monthly, probaron la existencia de un tal camino, y después con Hooper, elaboraron una teoría completa.

La idea fue considerar los desplegables o desarrollos de los sólidos platónicos. Como vemos en estas figuras,

 

se convierten en una red o grafo plano a partir del cuál, usando las identificaciones adecuadas, se reconstruyen los sólidos. Es algo que los estudiantes trabajan en las escuelas. Estos retículos poseen cada uno de ellos unas curvas de Teichmüller cuyas topologías calcularon. La curva de Teichmüller del dodecaedro desplegado tiene el género 131 con 19 singularidades cónicas y 362 cúspides. Esto les permite obtener que hay 31 maneras diferentes de conectar vértices por trayectorias rectilíneas (en realidad, geodésicas).

En este video, Jayadev S. Athreya explica sus resultados de una manera muy clara, lo recomiendo encarecidamente

[youtube]https://www.youtube.com/watch?v=G9_l8QASobI&feature=emb_logo[/youtube]

En esta página web creada por David Aulicino, puede usted visualizar todas esas trayectorias de las que hablamos

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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