¿Esto es Matemáticas?


Hoy comentamos un reciente resultado sobre matemáticas discretas y teoría de números que pone de nuevo el foco sobre el debate de si las pruebas con ordenador pueden ser consideradas pruebas matemáticas en un sentnido estricto.

Marijn Heule

Un problema que llevaba años sin resolver es el llamado de los triples pitagóricos booleanos. El problema en cuestión, que une dos nombre míticos en la historia de las matemáticas, Pitágoras y George Boole, se plantea de la siguiente forma:

¿Es posible colorear cada entero positivo de rojo o azul de manera que en ningún triple de números enteros a, b y c que satisfaga la ecuación de Pitágoras a2 + b2 = c2 sean todos del mismo color?

Un ejemplo: para el archiconocido triple 3, 4 y 5, si 3 y 5 son azules, entonces 4 no podría ser rojo. Es un problema de interés en Teoría de Ramsey.

En la década de los ochenta, el matemático Ronald Graham ofreció un premio de 100 dólares para la solución del problema, que ahora ha sido otorgado a Marijn Heule, de la University of Texas en Austin. Heule, Oliver Kullmann de Swansea University, UK, y Victor Marek de la University of Kentucky en Lexington demostraron que hay muchas maneras de colorear los enteros hasta 7824, pero cuando pasas a, 7825, es imposible. Son la sorprendentes maravillas de los números y las matemáticas.

Ronald Graham

Ronald Graham está considerado uno de los mayores expertos mundiales en matemática discreta y es profesor en el California Institute for Telecommunications and Information Technology y es también Irwin y Joan Jacobs Professor en Ciencias de la Computación e Ingeniería en la Universidad de California en San Diego (USCD). El premio puede parecer exiguo, pero la gloria matemática no suele estar hecha de grandes cheques.

Digamos que el artículo en el que se describe la demostración fue publicado en forma de preprint en arXiv el 3 de mayo de este año, y ha sido aceptado para el congreso SAT 2016. Para mas información, digamos que SAT 2016 es el acrónimo del 19th International Conference on Theory and Applications of Satisfiability Testing que se celebrará en el Laboratorio de Ciencia de la Computación de Burdeos del 5 al 8 de julio próximos.

El superordenador Stampede

 

Lo interesante de este resultado es que ha necesitado la ayuda de un supercomputador, el Stampede de la Universidad de Texas. La prueba está condensada en un archivo cuyo tamaño es de 200-terabytes, una auténtica monstruosidad. Y obviamente, Stampede no ha sido capaz de decir por qué ocurre esta rotura de comportamiento en el número 7825. Los matemáticos tendrán que exprimir sus mentes para encontrar la explicación.

La polémica estaba servida con este resultado, y recuerda la famosa prueba de Thomas Hales en 1998 de la conjetura de Kepler. Como en el caso de ahora, Hales tuvo necesidad de usar la computación para examinar la multitud de casos que se le presentaban, y la comunidad matemática tuvo muchos reparos en aceptar la prueba. Finalmente el resultado se publicó en la prestigiosa revista Annals of Mathematicas, de la Universidad de Princeton, con un anexo que contenía el programa de ordenador. Otro caso notable fue la prueba por Kennet Appel y Wolgang Haken en 1976 del Teorema de los cuatro colores, con ayuda también de un ordenador.

Es realmente interesante debatir sobre lo que podemos admitir como prueba, y si el ordenador será capaz de pensar como lo hace un humano cuando trata con un problema matemático. ¡Alan Turing estaría feliz de participar en la discusión!

Manuel de León (Fundador del ICMAT, CSIC, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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Enrique Zuazua obtiene un segundo Advanced Grant del Consejo Europeo de la Ciencia


Se ha hecho público hace unos días la resolución de los Advanced Grants del European research Council. El número total de proyectos financiados en España en en todas las áreas del conocimiento ha sido de 12, habiendo recaído todos ellos en Barcelona y Madrid.

Nos hacemos eco aquí del único financiado en el campo de las Matemáticas, logrado por Enrique Zuazua Iriondo y titulado “DYCON: Dynamic Control”, galardonado con dos millones de euros y dedicado al estudio de la Teoría Matemática del Control. Este proyecto permitirá ofrecer contratos, por un total de en torno a 35 años de trabajo, a jóvenes en los diversos estadios de formación en el campo.

El proyecto se desarrollará en la Universidad Autónoma de Madrid (UAM)  donde Enrique Zuazua es catedrático de Matemática Aplicada. Es destacable que este es el segundo ERC Advanced Grant obtenido por Zuazua, uno de los pocos casos en Europa.

Breve biografía

Enrique Zuazua Iriondo nació en Eibar (Gipuzkoa) en 1961 y es, desde 2001, titular de la Cátedra Estratégica de Matemática Aplicada de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM). Del 2008 al 2015 ocupó una plaza de “Distinguished Research Professor” en Ikerbasque-Fundación Vasca para la Ciencia, dirigiendo el grupo de investigación  “Ecuaciones en Derivadas Parciales, Control y Numérico” en el Centro BCAM – Basque Center for Applied Mathematics que creó en septiembre del 2008 como Director Científico Fundador (2008-2012). Es asimismo miembro de número de Jakiunde, la Academia Vasca de las Ciencias, Artes y Letras, desde su creación, y de la “Academia Europaea”, “Visiting Professor” de la Universidad de Reading y Embajador de la Universidad FAU de Erlangen-Nuremberg.

Licenciado (Premio Extrardinario) en Matemáticas por la UPV-EHU, Doctorado (Premio Extrardinario) por la misma universidad en 1987 y en 1988 por la Universidad Pierre et Marie Curie (Francia), habiendo realizado la Tesis bajo la dirección de Alain Haraux y en estrecha colaboración con Jacques-Louis Lions, durante el curso 1987-1988 fue Profesor Asociado de la UPV-EHU para después ser Profesor Titular de Análisis Matemático de la UAM. En 1990 obtuvo una Cátedra de Matemática Aplicada en la Universidad Complutense de Madrid para en 2001 trasladarse  a la UAM.

Sus campos de especialización  abarcan las Ecuaciones en Derivadas Parciales, el Control de Sistemas y el Análisis Numérico, así como sus aplicaciones en diversos ámbitos del I+D+i. Sus aportaciones transversales en estos campos han tenido fuerte impacto científico.

Ha sido galardonado con el Premio Euskadi de Ciencia y Tecnología en su edición 2006, con el Premio Nacional Julio Rey Pastor 2007 en “Matemáticas y Tecnologías de la Información y Comunicación” y el Premio “Humboldt Research Award 2013” en Alemania, la Cátedra de Excelencia del CIMI (Centre International de Mathématiques et Informatique) de Toulouse, 2013-2014 y el Doctorado Honoris Causa por la Universidad de Lorraine (Francia).

Su obra, con más de 200 artículos publicados ha tenido una importante repercusión habiendo sido reconocido como “Highly Cited Researcher” por el Instituto ISI (Thomson) en 2004 (índice h = 33).

Ha dirigido un total de 23 Tesis Doctorales a jóvenes investigadores que ahora desarrollan su labor en todo el mundo: China, México, Brasil, Rumanía, Francia,..

Fue el primer Gestor del Programa de Matemáticas del Plan Nacional y Presidente del Panel de Advanced Grants de la European Research Council (ERC) durante tres convocatorias.

Su equipo ha sido financiado de manera continuada por el Plan Nacional (MINECO en la actualidad) desde 1990 y también con los Proyectos Advanced Grant NUMERIWAVES (2010-2016, 1.6 M€) y DYCON (2016-2021, 2 M€), del Consejo Europeo de Investigación (2010-2016, 1.6 M€) entre otros.

Ha sido Profesor Visitante de Courant Institute en Nueva York y las Universidades de Minnesota y Rice en los EEUU, la Universidad Federal de Rio de Janeiro, el Isaac Newton Institute de Cambridge, la Universidad Pierre et Marie Curie, Paris-Sud, Versailles, Orleans, Toulouse, Niza y la Escuela Politénica de Paris, entre otras.

Es Editor en Jefe de “ESAIM:COCV”, y miembro del  Comité Editorial de otras revistas de fuerte impacto y reputación.  Forma parte asimismo de Comités Científicos de diversos Centro y agencias entre los que cabe destacar la pertenencia al “IMU Circle” y la presidencia del Comité Científico del “Centre International de Mathématiques Pures et Appliquées” (CIMPA) que impulsa las Matemáticas en los paises en vías de desarrollo.

Desarrolla asimismo una intensa labor divulgativa a través, en particular, de los programas de radio “Boulevard” y “Faktoria” y de television “Azpimarra” del ente público vasco EITB y de sus columnas “Matemanías” del diario Deia y “cons-CIENCIA” del semanal “7k”. Estas aportaciones se recogen en su web de divulgación multilingüe “enzuazua.net”.

Manuel de León (Fundador del ICMAT, CSIC, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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Qué es ERCOM y por qué es importante estar ahí


Se relata en esta entrada la historia del ICMAT en su objetivo para entrar en ERCOM, comisión en la que hay ya tres centros españoles: CRM, que exhibe una larga y fructífera trayectoria europea, y ahora el BCAM y el ICMAT.

ERCOM (European Research Centres on Mathematics), es un Comité de la EMS (European Mathematical Society) que está formado por los centros europeos de investigación en matemáticas más relevantes.  ERCOM se fundó en 1997, en una reunión celebrada en uno de sus centros, el CIRM de Marsella, y fue el matemático Ole Barndorff-Nielsen quién actuó como presidente fundador hasta 2002. El presidente actual de ERCOM es Ari Laptev, que es desde 2011 también el director del Institut Mittag-Leffler. El Vicepresidente actual es Patrick Foulon, director del CIRM, y como secretaria científica actúa Annika Augustsson, que trabaja en el Mittag-Leffler en tareas administrativas.

Recordemos que la European Mathematical Society (EMS) se fundó en 1990, en Madralin, ciudad próxima a Varsovia aunque el recorrido había ya comenzado en Helsinki en 1978 con la ocasión de la celebración en esa ciudad del International Mathematical Congress.

ERCOM es en realidad un foro de debate en el que se reúnen los directores de los centros integrantes para comentar la situación de las matemáticas en Europa, buscar sinergias y establecer estrategias comunes. Uno de los focos es potenciar la formación de investigadores.

ERCOM se reúne anualmente, en diferentes lugares de Europa, y también se aprovechan los grandes eventos como los ICM o los Congresos Europeos de Matemáticas para intercambiar impresiones.

El ICMAT, caminando hacia ERCOM

Desde el primer momento de la gestación del ICMAT incluimos en la agenda la incorporación a ERCOM (ya se incluía en el Plan estratégico que elaboramos en 2005 para el CSIC y que fue ya evaluado muy positivamente por el correspondiente comité internacional), sabiendo que no iba a ser una tarea fácil. De hecho, en abril de 2008, preparamos con la inestimable ayuda de Diego Córdoba nuestra petición a la EMS para la entrada en ERCOM, que fue enviada al chair de ERCOM en ese momento, Jan Karel Lenstra. La respuesta fue desalentadora, ya que en ERCOM entendieron que el ICMAT era un un instituto disperso por los campus de Madrid, y no un centro con identidad y con un edificio propio entonces en construcción. Por ello, mi consejo (y así fue aceptado en la Junta del instituto) fue esperar a tener el edificio en marcha y volver a solicitarlo.

En efecto, el edificio fue inaugurado oficialmente el 12 de septiembre de 2011, aunque las actividades y presencia internacional del ICMAT habían experimentado ya un aumento espectacular una vez trasladados los investigadores a la nueva sede en septiembre de 2010. Este auge fue confirmado además con la obtención del galardón Severo Ochoa en 2011. Visto ya el ICMAT como un agente de peso en el escenario europeo, la entonces Presidenta de la EMS, Marta Sanz Solé, me comentó que se vería con buenos ojos una nueva solicitud del ICMAT. Y así, el 1 de octubre de 2014, envié de nuevo nuestra propuesta, ahora mucho más sólida y elaborada con la ayuda de nuestro equipo de gestión, con el resultado de recibir la invitación para el encuentro de ERCOM de 2015.

En la reunión de ERCOM los días 27 y 28 de marzo de en Zürich 2015, el ICMAT presentó sus credenciales a ERCOM, como puede verse en el acta de la reunión (que es pública):

Item 9: ICMAT presentation (Manuel de Leon)

Director Manuel de Leon presents ICMAT’s organization, activities, newly inaugurated facilities  and objective to become a leading international research centre of excellence.  The presentation is followed by questions from the present ERCOM members regarding the centre’s internal structure, budget, admission process, among others.

Se produjo a continuación un debate sin mi presencia, como es habitual en estos casos, y en las conclusiones se lee:

The ERCOM members discussed the reasons for and against recommending acceptance of  ICMAT  to ERCOM, in view of the requirements for ERCOM membership. It was  agreed to recommend the EMS Executive Committee to accept ICMAT. However, at the next ERCOM meeting ICMAT  should report on creation of International advisory  board at the Institute.

A mi vuelta a Madrid nos pusimos a trabajar en la constitución del Comité Asesor Externo, que era además necesario para la nueva solicitud del programa Severa Ochoa, lo que quedó resuelto en unas semanas. Todo esto a pesar de las dificultades bien conocidas por las que desgraciadamente hemos tenido que atravesar.

En el recién celebrada reunión de ERCOM en St.Petersburg, en el Instituto Euler, los pasados 15 y 16 de abril, se presentó una actualización del ICMAT con todos los deberes hechos. El representante del ICMAT en San Petersburgo fue el investigador Kurusch Ebrahimi-Fard.

Importancia para el ICMAT

El ICMAT ha apostado desde el primer momento de sus existencia por su integración en los organismos internacionales, con especial interés en los euroeos. En este sentido, el instituto es miembro institucional de la EMS y ahora se incorpora a ERCOM.

Es clave para nuestro instituto mantener esta presencia institucional. Por muchos motivos. En primer lugar, Europa es el ámbito natural de actuación del ICMAT, y está resultando una fructífera fuente de financiación competitiva a través de los grants del European Research Council (ERC) y del Programa Marie Curie, y estamos tratando de conseguir también fondos via el H2020. Ser considerado un instituto de excelencia por nuestros coelgas europeos, ayuda sin duda al éxito de nuestras solicitudes individuales, pues además de la excelencia d elas mismas, se sabe que se van a desarrollar en un centro que reúne las mejores condiciones para ello. Pero también los centros de ERCOM son los socios naturales para explorar aventuras conjuntas como los proyectos colaborativos del Marie Curie, ITN y RISE.

Con los centros de ERCOM exploramos también actuaciones bilaterales conjuntas, en la organización de programas conjuntos o intercambios de investigadores. En particular, y este es uno de los objetivos fundamentales en ERCOM, podremos participar en el programa postdoctoral EPDI (European Post-Doctoral Institute for Mathematical Sciences), creado en 1995 por trees de los centros,  el Institut des Hautes Études Scientifiques ­(Bures-sur-Yvette, France), el Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences (Cambridge, United Kingdom) y el Max-Planck-Institut für Mathematik (Bonn, Germany), con el objetivo de apoyar la movilidad de jóvenes matemáticos en Europa; hasta ahora, unos 60 investigadores se han beneficiado de este programa.

Comentario final

Esta historia demuestra lo importante que es tener una visión de lo que uno quiere ser, y diseñar entonces el camino para hacerla realidad. Esto requiere perseverancia y trabajo colectivo, y aprender de los muy posibles fracasos que encontraremos en el camino. Pero, parafraseando a Euclides, “no hay camino de reyes para ERCOM”.

Ahora queda por delante otro camino, conseguir una presencia activa, no ser solo un punto en el mapa europeo de ERCOM y para ello hace falta organización, visión de futuro y mucho trabajo, porque si no, el esfuerzo habría sido inútil.

Manuel de León (Fundador del ICMAT, CSIC, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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La armonía del mundo


Continuamos la publicación de entradas que relacionan la música con las matemáticas; hoy nos centramos en los resultados de Kepler y reencontramos la armonía pitagórica referida a los planetas del Sistema Solar.

Johannes Kepler, nacido en Weil der Stadt, Alemania, el 27 de diciembre de 1571, y fallecido en Ratisbona, Alemania, el 15 de noviembre de 1630, es uno de los principales actores de la Revolución Científica que sentó las bases de la ciencia moderna. Sus aportaciones al conocimiento del movimiento de los planetas, a la Óptica o a la Cristalografía son fundamentales y fundacionales.

Johannes Kepler

Kepler viajó a Praga contratado por el astronómo danés Tycho Brahe pero al fallecer este repentinamente, fue nombrado en su lugar como astrónomo real (de hecho, matemático imperial), en la corte de Rodolfo II de Habsburgo, archiduque de Austria, rey de Hungría y de Bohemia y emperador del Sacro Imperio Romano-Germánico.

Tycho Brahe fue un personaje singular. Tenía una nariz protésica, fruto de una acalorada discusión sobre una ecuación matemática, que acabó en duelo y una cara rota. Dicen las leyendas que contaba con prótesis de plata y oro para las ocasiones importantes (fiestas y juegos en su castillo, parte de su rica herencia). La naturaleza de su nariz protésica ha sido objeto de estudios y parece ser que era de latón.

Tycho Brahe

A Brahe se le considera el primer astrónomo capaz de predecir leyes coherentes de dinámica celeste, muy semejantes a las actuales, sin ningún tipo de infraestructura: sólo avistamientos del cielo a ojo desnudo (la era del instrumental óptica comienza con el telescopio y Galileo, 9 años después de la muerte de Brahe) y con varios aparatos rudimentarios de su propia construcción.

Lejos de la esperada formalidad y rectitud de un hombre de ciencias del siglo XVI, Tycho Brahe despuntaba, además de por sus capacidades intelectuales, por sus extravagancias.  Tenía por mascota un alce que murió al caer escaleras abajo tras emborracharse con cerveza, justo antes de que lo quisiera cambiar por un caballo con su mentor el Landgrave Wilhelm de Hesse-Kassel. Otra de sus extravagancias es que  bajo su mesa se sentaba un bufón enano llamado Jepp al que Brahe atribuía dotes de clarividencia.

Tycho Brahe no fue seguidor de las tesis de movimiento planetario propuestas hasta la época, y de hecho, fue detractor de la creencia en la tierra como un planeta inmóvil, sin embargo, tampoco apoyaba la visión heliocentrista del universo, tesis muy contraproducente para los eruditos de la época: poetas, filósofos se opusieron a la idea impía de que la tierra no fuera el centro del universo, porque entraba en contradicción con la física existente hasta el momento y con las creencias religiosas reformistas.

Buscando algo intermedio, Brahe propuso su propio sistema ticónico. El propio Brahe se pronunciaba así:

Cuando me di cuenta de que la vieja disposición ptolemaica de las esferas celestes no se correspondía cabalmente con los hechos y de que el recurso a tantos epiciclos -aunque daba cuenta de la relación de los planetas con el Sol, de sus detenciones y retrogradaciones, así como en buena medida de su aparente irregularidad- era superfluo y, sobre todo, de que tales hipótesis atentaban contra los principios mismos de la disciplina al admitir indebidamente la posibilidad de un movimiento circular alrededor del de otra esfera excéntrica, que suele denominarse ecuante y no, como debiera ser, en torno a su propio centro; cuando, además reflexioné sobre la reciente innovación de Copérnico a este respecto que -pese a eliminar cuanto de superfluo había en el sistema ptolemaico, corregir los resultados observacionales y no atentar en absoluto contra los principios de las matemáticas- atribuía a la Tierra, cuerpo pesado, perezoso y por naturaleza, inmóvil, un movimiento que nada tienen que envidiar al de esas luminarias etéreas (antes bien, es un triple movimiento), lo cual es no sólo contrario a los principios de la física, sino también  a la autoridad de las Sagradas Escrituras (en las que, como luego veremos, se afirma repetidamente la inmovilidad de la Tierra); (…) cuando, como digo, reparé en los notables absurdos que entrañaba esta hipótesis, comencé a pensar seriamente en la posibilidad de inventar un nuevo sistema que observara rigurosamente los principios de las matemáticas y de la física, que no tuviera que apelar a subterfugios para eludir las censuras teológicas y que al mismo tiempo diese perfecta cuenta de los fenómenos celestes.

En la teoría de Tycho, por tanto, el Sol y la Luna giran alrededor de la Tierra inmóvil, mientras que Marte, Mercurio, Venus, Júpiter y Saturno (los planetas conocidos entonces) girarían alrededor del Sol.

El Sistema Solar según Tycho Brahe

Sin embargo, Kepler sí que fue un seguidor de Nicolás Copérnico, quien había propuesto el mencionado sistema heliocéntrico, basado en los siguientes principios:

Una antología de sus ideas maestras se recoge en su gran obra por excelencia De revolutionibus orbium coelestium (Sobre las revoluciones de las esferas celestes), que suele ser considerado como el punto inicial de la astronomía moderna.

Estatua en honor a Copérnico en Cracovia

Kepler no sólo fue discípulo de Brahe, de quien reconoció haber copiado ideas después de su muerte, aparte de haber aprovechado todos los resultados de sus observaciones, sino que también compartía la filosofía pitagórica, creyendo en los números como la esencia del universo y de Dios. Para Kepler, la distancia entre los planetas -las denominadas esferas- eran proporcionales a los intervalos entre escalas musicales. Las esferas más cercanas producían los tonos más graves, mientras que las alejadas componían los agudos. Entre ellas, conformaban la armonía del universo.

Kepler creía ciegamente en la hipótesis heliocentrista: la existencia de un Sol central que restauraba el movimiento del resto de astros y que regía la regularidad aparente. Sin embargo, parecía que no existía una respuesta conciliadora para la órbita de Marte, que no se acomodaba a la esperada circular. Despejar el entuerto sumió a Kepler en la una tarea de complicados cálculos que le supusieron más de diez años de suposiciones, hasta la más aproximada a la realidad: la órbita de Marte podría ser una combinación de círculos.  Finalmente, la idea desembocó en la teoría de una órbita elíptica a lo largo de la cual el planeta variaba su velocidad. De este punto de partida se enunciaron las famosas leyes de Kepler:

1ª) Los planetas recorren órbitas elípticas . El sol se sitúa en uno de los focos de la elipse,

2ª)  El área barrida por la recta imaginaria que une sol-planeta sobre la superficie de la elipse, es la misma en intervalos de tiempo iguales.

3ª)  El cuadrado del período de la órbita de un planeta alrededor del sol, es proporcional al cubo del semieje mayor de la elipse.  Quiere decir: T2/a3=constante. Esta es la denominada ley armónica.

Estas leyes se recogieron en la obra de Kepler, Astronomia Nova.

A partir de estos postulados, Kepler redefinió al universo como instrumento musical. De forma semejante a la música de las esferas,  ahora las velocidades angulares de cada planeta en la elipse, producían diferentes sonidos. En aquellas zonas de la elipse en que el movimiento es más rápido (es decir, en las inmediaciones del sol, si tenemos en cuenta la segunda ley de Kepler de barrido de áreas), se emiten los agudos. Existen intervalos musicales bien definidos atribuibles a diferentes planetas.

La armonía del sistema solar de Kepler

Es en su libro Harmonices Mundi donde Kepler planteó que las velocidades angulares de cada planeta producen sonidos diferentes. En aquel momento, sólo se conocía la existencia de seis planetas, que daban lugar a seis melodías distintas. Kepler representó las velocidades angulares en un pentagrama musical, en el que la nota más baja se correspondía a la del planeta más alejado. La relación entre pares de velocidades angulares es muy parecida a la relación entre intervalos musicales. Las diferentes combinaciones de intervalos musicales o velocidades angulares, daban lugar a cuatro acordes primordiales, que relacionó con el primer acorde de la creación del universo, y el final y destructor del mismo.

Decía Kepler:

“El movimiento celeste no es otra cosa que una continua canción para varias voces, para ser percibida por el intelecto, no por el oído; una música que, a través de sus discordantes tensiones, a través de sus síncopas y cadencias, progresa hacia cierta predesignada cadencia para seis voces, y mientras tanto deja sus marcas en el inmensurable flujo del tiempo.”

Las leyes de Kepler aparecen como el primer enunciado  en poder ser corroborado experimentalmente y muestar una dualidad entre explicaciones teórico-prácticas y precursor de la nueva ciencia, en que las hipótesis no son lanzadas de manera aleatoria, sino que están bien fundamentadas en la experiencia.

La experimentación: instrumentación óptica

El telescopio del s. XVI fue la pieza fundamental en el destierro de teorías geocentristas frente a las nuevas teorías heliocentristas. Se consolidó como la primera extensión de la visión humana a largo alcance, mediante un instrumento.

Las referencias históricas sobre los comienzos del telescopio son opacas. En contra de su esperada invención por parte de un científico, fueron, sin embargo, los hombres de oficio quienes mostraron los primeros atisbos de construcción de los instrumentos ópticos.

Algunos de los componentes de un telescopio eran ya conocidos en el sigo XVI. Por ejemplo, las lentes se introdujeron en el s. XIII junto con sus propiedades de ampliación y disminución de imágenes, dadas sus características de fabricación: concavidad y convexidad, para tratar la presbicia. Los artesanos italianos, especialmente en Venecia, se dedicaron al tallado de las primeras gafas. Durante el siglo XVI la popularidad de las lentes se extendió debido a las leyendas de magia blanca, que creían en las lentes como objetos para detectar al enemigo.

Parece que la primera construcción de un telescopio se produjo en los Países Bajos, siendo el gobierno nacional de la Haya el primero en pronunciarse sobre las posibles aplicaciones de un instrumento capaz de “traer objetos lejanos, a nuestras inmediaciones”, presentado por Hans Lipperhey.  Sin embargo, el telescopio no obtuvo su reconocimiento hasta que no fue perfeccionado por Galileo Galilei, quien en la primavera de 1610 construyó el primer telescopio de calidad que le permitió avistar los satélites de Júpiter. El uso del telescopio llevó al descubrimiento de las manchas solares, avistadas simultáneamente por Galileo y otros astrónomos.

Telescopio de Galileo

Los telescopios pueden ser de diversos tipos, dependiendo del efecto físico que tenga lugar en su estructura. Existen los denominados telescopios reflectores, que en vez de constituirse por lentes, cuentan con espejos para enfocar la luz. Se colocan dos espejos en los extremos del tubo, y cuando esta alcanza uno de los espejos, éste la refleja hacia el otro que la dirige al ocular. La correcta disposición de espejos cóncavos y convexos en determinados ángulos, puede permitirnos explorar grandes regiones del firmamento lejano.

Réplica del segundo telescopio fabricado por Isaac Newton

Los telescopios reflectores son adecuados para evitar la aberración cromática, que es la imposibilidad de enfocar diferentes longitudes de onda, -colores-, en un mismo punto. Someramente, la focal de una lente depende de su índice de refracción -a su vez dependiente de su material de composición- y de su forma. Dado que el índice de refracción depende de la longitud de onda, la distancia focal varía con cada color. De ahí que no todos los colores vayan a parar al mismo punto al formar la imagen. La aberración cromática longitudinal produce, por ejemplo, bordes coloreados en la imagen.

El telescopio refractor usa lentes convergentes en las que se refracta la luz. La refracción de la luz hace que los rayos procedentes de un punto lejano (se consideran rayos paralelos procedentes del infinito), acaben convergiendo en el plano del foco.

El parámetro más importante de un telescopio es el diámetro de su objetivo. Los telescopios portables de aficionados tienen lentes de diámetro 70-150 mm. Sin embargo, los telescopios utilizados para prácticas educativas, como los instalados en universidades, cuentan con lentes de diámetro superior a 200 mm, que permiten ver cúmulos, nebulosas, detalles de la superficie lunar, etc.

Las características secundarias son el ocular (posicionado en el foco para aumentar la imagen), la lente de Barlow, que contribuye magnificando por dos o tres la imagen del ocular, la razón focal (distancia entre la distancia focal y el diámetro de la lente) y la magnitud límite, o distancia observable bajo condiciones óptimas de utilización del telescopio. Tal distancia puede calcularse usando la fórmula:

m(límite) = 6,8 + 5log(D)

siendo D el diámetro de la lente o espejo que compone el telescopio.

Quién le diría a Kepler, que siglos más tarde, los telescopios de nuestra era, serían capaces de corroborar todas sus conjeturas teóricas.

Como comentario final, cabe preguntarnos si habrá alguna manera experimental de escuchar la música celeste, porque ¿quién está seguro de que también la teoría musical del genial Kepler no pudiera  ser corroborada? El reciente descubrimiento de las ondas gravitacionales nos indica que sí sería posible escuchar el espacio, aunque quizás no sea tan armónico como nos gustaría.

 

Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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El amor, las matemáticas y unas cuantas ciencias más


Esta entrada está dedicada a una muy querida amiga

a quien me gustaría ver siempre feliz

 

Take me now baby here as I am
Pull me close, try and understand
Desirous hunger is the fire I breathe
Love is a banquet on which we feed

Come on now try and understand
The way I feel when I’m in your hands
Take my hand come undercover
They can’t hurt you now,
Can’t hurt you now, can’t hurt you now
Because the night belongs to lovers
Because the night belongs to lust
Because the night belongs to lovers
Because the night belongs to us

Have I doubt when I’m alone
Love is a ring, the telephone
Love is an angel disguised as lust
Here in our bed until the morning comes
Come on now try and understand
The way I feel under your command
Take my hand as the sun descends
They can’t touch you now,
Can’t touch you now, can’t touch you now
Because the night belongs to lovers

Patti Smith y Bruce Springsteen: Because de night

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Dicen unos que el amor es química. Otros que es biología. De hecho, al enamorarnos, intervienen las feronomas, sustancias que los animales secretan y que son capaces de producir atracción en el sexo opuesto. También durante el orgasmo se sabe que se producen oxiticinas que realizan cambios en los vínculos neuronales con el fin de afianzar la atracción. La física interviene, pero su papel es mas prosaico (y el lector me perdonará que no me pierda en jardines).

También se dice que el amor es ciego, y parece ser que descubrimientos recientes prueban que ante la visión del ser amado las áreas encargadas de realizar juicios y valoraciones se inactivan.

El amor es adictivo, y de eso se encargan también algunas otras sustancias, en conjunto, se liberan dopamina, serotonina y oxitocina. Esto nos llena de energía y optimismo, la vida es maravillosa cuando uno se enamora. Ya lo cantaban Roxy Music:

T’ain’t no big thing
To wait for the bell to ring
T’ain’t no big thing
The toll of the bell
Aggravated – spare for days
I troll downtown the red light place
Jump up bubble up – what’s in store
Love is the drug and I need to score

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Pero también pasa a ser horrible cuando el amor ya no es correspondido, y si no, que se lo pregunten a Duran Duran:

Mine, immaculate dream made breath and skin
I’ve been waiting for you
Signed with a home tattoo
Happy birthday to you was created for ya
Can’t ever keep from falling apart at the seams
Can’t I belive you’re taking my heart too pieces
Oh, it’ll take a little time
Might take a little crime
To come undone now
We’ll try to stay blind
To the hope and fear outside
Hey child stay wilder than the wind
And blow me in to cry

Who do you need?
Who do you love?
When you come undone

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Y todo ello es un fruto de la evolución y la trampa del sexo con el objetivo de la reproducción, que es la que nos ha llevado a estos comportamientos.

Pero también las matemáticas tienen algo que decir. Recordamos todos este fabuloso libro de Edward Frenkel, “Las matemáticas y el amor”, en el que repasa su amor por las matemáticas de una manera brillante. Dice Frenkel que, “buscando la fórmula del amor, en 2008, en París, tuve la idea de rodar una película acerca de las matemáticas.” Inspirado en la película del escritor y director de cine japonés  Yukio Mishima, El rito de amor y de muerte, realizó Ritos de amor y matemáticas.

Yukio Mishima con Shintaro Ishihara en 1956

Ya que en la obra de Mishima hay una gran inscripción colgada en la pared, shizei, sinceridad, Frenkel hizo lo mismo en la suya con la palabra rusa verdad, es decir, pravda. Porque el matemático se sacrifica por la verdad, y de ahí la conclusión de que la investigación matemática es como una historia de amor.

También otros matemáticos han reflexionado sobre el tema, y aseguran haber encontrado la fórmula que predice la duración del amor, para lo que han elaborado una ecuación del amor basada en una serie de parámetros. Y que decir de las matemáticas ocultas bajo diversas aplicaciones telemáticas como eDarling o Meetic.es.

En cualquier caso, el amor es algo maravilloso y nos seguiremos dejando engañar por ese principio llamado evolución. Dejénme finalizar con otra versión de la canción de Patti Smith con la que empezábamos y nos daremos cuenta de que a veces, el amor no es mas que el sonido del timbre de un teléfono (o el del Whatsapp o el Messenger). Esta (magnífica) versión es la de 10,000 Maniacs

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Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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Premio del Institute of Physics para el investigador David Gómez Ullate


La editorial IOP Publishing acaba de anunciar los ganadores del premio al mejor artículo científico del Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical.

David Gómez Ullate

Estos tres artículos han sido elegidos por su novedad, logros, impacto potencial y presentación. Entre los galardonados está David Gómez-Ullate, Profesor Titular de la Universidad Complutense de Madrid e investigador del ICMAT con su artículo

Rational extensions of the quantum harmonic oscillator and exceptional Hermite polynomials

David Gómez-Ullate, Yves Grandati and Robert Milson

Published 3 December 2013 • 2014 IOP Publishing Ltd

Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, Volume 47, Number 1

Los otros dos autores son Yves Grandati (Université de Lorraine–Site de Metz) y Robert Milson (Dalhousie University).

Descripción del artículo

Son muy pocos los potenciales en Mecánica Cuántica cuya descripción completa se puede realizar de manera explícita, y casi todos ellos aparecen en los libros de texto. Por ejemplo, las funciones de onda de los estados ligados del oscilador armónico (probablemente el problema más fundamental de la mecánica cuántica) se expresan en términos de polinomios de Hermite y los niveles de energía están equiespaciados.

El Prof. Gómez-Ullate de la Universidad Complutense y el ICMAT, y sus colaboradores Yves Grandati (Univ. Lorraine) y Robert Milson (Dalhousie Univ.) han investigado extensiones racionales del potencial armónico, es decir, potenciales V(x)=x² + r(x), donde r(x) es una función racional. El problema consiste en buscar las extensiones regulares en la recta, que se comporten asintóticamente como el potencial armónico y tales que la ecuación de Schrödinger se puede resolver exactamente.

Un ejemplo de una extensión racional se encuentra en las siguientes figuras:

En el trabajo “Rational extensions of the harmonic oscillator and exceptional Hermite polynomials” han conseguido caracterizar todos los potenciales que tienen esta propiedad, apoyándose en un resultado obtenido por Oblomkov hace 20 años sobre potenciales con crecimiento cuadrático y monodromía trivial, y su conexión con transformaciones de Darboux.

Los estados ligados de estas extensiones racionales se expresan en términos de una nueva clase de polinomios ortogonales que los autores han denominado polinomios excepcionales, y cuya característica principal es que para un cierto conjunto de grados, no existe polinomio definido en la secuencia. Por este motivo, el conjunto de energías de estos potenciales ya no es equiespaciado (ver las figuras anteriores), sino que existen una serie de huecos en algunos niveles, que corresponden a los grados ausentes en la secuencia.

Sin embargo, las características matemáticas del problema son muy parecidas a las del oscilador armónico: el espectro es puramente puntual y el conjunto de todos los polinomios excepcionales de Hermite (aunque falten grados) sigue formando una base completa del espacio de Hilbert.

Sería interesante explorar si alguno de estos potenciales puede describir fenómenos interesantes para la Física.

David Gómez-Ullate es Profesor Titular en la Universidad Complutense y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas. Su investigación se centra en temas de Física Matemática. Recientemente trabaja también en ciencia de datos e inteligencia artificial.

David Gómez-Ullate realizó sus estudios en Madrid y Kent (UK) , obteniendo su título de doctor por la Universidad Complutense en 2001. Ha sido investigador en el prestigioso Centre de Recherches Mathématiques y en la Universidad de McGill (Montréal), la Universidad de Bolonia (con una beca Marie Curie) y en la Universidad Politécnica de Cataluña como contratado Ramón y Cajal.

Ha publicado ma sde 40 artículos de investigación en revistas como  Communications in Mathematical Physics, Inverse Problems, New Journal of Physics, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Foundations of Computational Mathematics. Su artículo sobre polinomios ortogonales excepcionales  fue considerado como New Hot paper en Matemáticas por Thomson Reuters en Noviembre de 2010.

Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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Las teorías de la luz en la Europa moderna: René Descartes y Pierre de Fermat


Continuamos el recorrido histórico de las matemáticas de la luz con dos importantes personajes, René Descartes y Pierre de Fermat.

René Descartes

René Descartes (La Haye, Francia, 1596 – Estocolmo, Suecia, 1650), fue sin duda uno de los matemáticos y filósofos más importantes de su época, y al le debemos entre otras cosas el invento de la geometría analítica (o cartesiana, en honor a su nombre latinizado, Renatus Cartesius) y de la filosofía moderna, con su famoso Discurso del Método.

René Descartes y la Reina Cristina de Suecia

En el campo de la óptica, Descartes introdujo la llamada ley de refracción o ley de Descartes (hoy en día conocida como ley de Snell), que nos dice como calcular el ángulo de refracción de la luz al atravesar la superficie de separación entre dos medios con índice de refracción distinto (por ejemplo, aire y agua).

Si consideremos dos medios con índices de refracción n1 y n2, separados por una superficie, entonces los rayos de luz que atraviesen los dos medios se refractarán en la superficie variando su dirección de propagación dependiendo del cociente entre los índices de refracción.

Figura de la Dióptrica de Descartes

Así, si el ángulo de incidencia del rayo es θ1 en el primer medio (ángulo entre la normal a la superficie y la dirección de propagación del rayo) entonces el rayo se propaga en el segundo medio con un ángulo de refracción θ2 de manera que

n1 sen  θ1 = y n2 sen θ2

También descubrió de manera independiente la ley de la reflexión.

Descartes también dió la explicación de como se producían los arcoíris, tal y como contamos en esta entrada anterior del blog, Las matemáticas del arcoíris, aunque hubo que esperar a Newton para incluir el color en la escena.

Descartes murió en Estocolmo, en donde había sido nombrado tutor de la reina Cristina de Suecia, y su muerte arrojó una serie de misteriosas circunstancias.

Descartes y Gassendi

Descartes tuvo un adversario duro en su época, Pierre Gassendi (1592-1655), fun sacerdote católico, filósofo, astrónomo y matemático. Gassendi refutaba los argumentos de Descartes en sus Segundas Objeciones a las Meditaciones metafísicas del primero con sentencias como esta:

“Usted admite que una idea clara y distinta es verdadera porque Dios, que es el autor de esta idea y que no puede ser engañado, existe; y por otra parte, usted admite que Dios existe, que es creador y veraz, porque tiene de él una idea clara. El círculo es evidente.”

¡Los matemáticos vemos ahí un buen argumento, sin duda!

Pierre Gassendi

Gassendi hizo muchas contribuciones científicas de nivel, por ejemplo a la acústica. Fue el primero en medir la velocidad del sonido, haciendo disparar un cañón a una larga distancia y midiendo el tiempo transcurrido entre la llegada del resplandor y la del sonido.

En cuanto a la luz, Descartes defendía la naturaleza ondulatoria de la luz, pero Pierre Gassendi recuperó con gran finura la naturalrza corpuscular de la materia de Demócrito y Epicuro. Sin embargo, Gassendi no tuvo tanto éxito como Descartes.

 Pierre de Fermat

Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 1601; Castres, Francia, 1665) fue jurista y matemático aficionado, y ha pasado a la historia por su famosa conjetura que ha pasado a ser el Teorema de Fermat una vez probado por Andrew Wiles en 1995 . Sus contribuciones a la teoría de números, el cálculo diferencial y la teoría de la probabilidad fueron enormes.

Pierre de Fermat

Pero también hizo sus contribuciones a la Óptica, con el llamado Principio de Fermat, que dice que el trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es el mínimo.

 

Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

 

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Matemáticas y sus fronteras, diez años después


Stay in the shadows

Cheer at the gallows

This is a round up

This is a low flying panic attack

Sing a song on the jukebox that goes

Burn the witch

Burn the witch

We know where you live

Red crosses on wooden doors

And if you float you burn

Loose talk around tables

Abandon all reason

Avoid all eye contact

Do not react

Shoot the messengers

This is a low flying panic attack

Sing the song of sixpence that goes

Burn the witch

Burn the witch

We know where you live

We know where you live

 Radiohead, “Burn the Witch” 2016

Hace ya unos cuantos años, el 2 de enero de 2010, publiqué una entrada que se titulaba Adiós a Simumat en la que contaba los inicios y vicisitudes de este blog, Matemáticas y sus fronteras, que nació con el proyecto SIMUMAT financiado por la Comunidad de Madrid desde 2006 a 2009, proyecto que desgraciadamente no fue renovado. Sin embargo, como anuncié en esa entrada, el esfuerzo de esos cuatro años no iba a ser en vano, y anuncié que Matemáticas y sus fronteras seguiría y con mas fuerza, albergando ahora al Instituto de Ciencias Matemáticas.

 

Así fue, y si el esfuerzo para publicar material valioso fue grande hasta finales de 2009, es de imaginar el de 2010 a bien entrado 2012, en el que no contamos con ningún apoyo administrativo. Desde 2012 hasta finales de 2015, la tarea fue mas llevadera al contar con ese apoyo, aunque debo decir que este blog, como muchos otros, requiere un compromiso especial, y yo mismo he tenido que elaborar una gran cantidad de entradas, muchas otras son invitaciones a participar, y el resto son institucionales, que en estos cuatro últimos años coordiné con la persona del ICMAT encargada de la comunicación. Se podría decir con mucha exactitud que Matemáticas y sus fronteras ha sido de facto un blog personal que generosamente aportó muchísima visibilidad al instituto que, no olvidemos esto, yo también fundé (en algún momento contaremos los años de lucha desde enero de 1986 hasta 2007, año de la fundación del ICMAT).

El objetivo de este blog ha sido que todo el instituto (e incluso personas externas) colaboraran, lo que hemos conseguido a cuentagotas, pero como ocurre siempre, se echa de menos lo que de repente se pierde.

Imagen de previsualización de YouTube

No voy a entrar aquí en las razones por las que este blog ya no será el blog del ICMAT, no era desde luego lo yo que hubiera querido y no ha sido tampoco mi última palabra. La verdad es que los valiosos jarrones chinos con los que se refería Felipe González a los expresidentes son un problema, nadie sabe que hacer con ellos, y aunque en el caso de este jarrón (por modestia elimininaré lo de valioso), la solución era bastante simple, no se ha querido abordar. Bueno, siguiendo el símil de Felipe González espero cuidarme lo suficiente para que nadie me quiebre.

Así que aquí estamos de nuevo, casi diez años después del comienzo, y una vez mas asegurando a los lectores que este blog continúa, con mas fuerza y ganas que nunca, y que buscará como siempre hemos hecho, todo tipo de colaboraciones externas para hacerlo mas valioso y atractivo a cada nueva entrada.

Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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Ha fallecido Javier Cilleruelo


Hoy he recibido una noticia que no por ser esperada ha dejado de ser muy triste, el fallecimiento de nuestro amigo y colega Javier Cilleruelo Mateo, profesor del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid e investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas.

Echaré mucho de menos esos cafés mañaneros, cuando Javier subía a la quinta planta de dirección y nos tomábamos un café haciendo un repaso a como iba el mundo matemático, o si se terciaba, el mundo en general.

Javier era una persona querida por todos, con su sonrisa abierta, a veces socarrón, pero también una persona con criterio, que cuando tenía que dar su opinión públicamente o ante las autoridades académicas, la daba, algo que yo agradecí profundamente sobre todo vistos los tiempos de zozobra que tuvo que vivir el ICMAT.

Javier ha sido una persona comprometida con su departamento, con su instituto, con su universidad, y también con el Colegio Mayor Juan Luis Vives que dirigió varios años.

No pretende ser esto un obituario, si un recordatorio personal para una persona a la que profesé un gran cariño, y que se además que también me apreciaba mucho. Su pérdida es una gran pena.

Con el Premio Abel Endre Szemeredi y dos de sus estudiantes de doctorado, Ana Zumalacárregui y Juanjo Rué

Javier Cilleruelo era soriano, nacido en 1961, y estudió su licenciatura de matemáticas en la Universidad Autónoma de Madrid donde defendió también su doctorado bajo la dirección de Antonio Córdoba. Además de una gran persona, era un excelente matemático, y estaba en un momento extraordinario de su capacidad creativa. Javier Cilleruelo era un experto en Teoría de Números, reconocido así internacionalmente.

Había resuelto problemas importantes, como el de los conjuntos de Sidón en colaboración con Carlos Vinuesa e Imre Ruzsa, que fue recogido en una entrada de este blog: Resuelto el problema de los conjuntos generalizados de Sidon. Recientemente había resuelto otro problema en Teoría de Números, en colaboración con Florian Luca, y recogido en una entrada del blog Gaussianos, Todo entero positivo es suma de tres capicúas.

También publicó varios libros de divulgación, y todos recordamos además su sección El diablo de los números, que vió la luz en el tercer número de La Gaceta de la RSME en 1998.

Seguramente su tarea matemática será ampliamente glosada en los próximos días y semanas, lo merecen su memoria y su familia y amigos. Aquí me resta solo darle las gracias por haber sido tan buen compañero en estos años de instituto, lo vamos a echar muchísimo en falta porque pocas personas tienen la estatura moral que Javier poseía. Descansa en paz, amigo.

Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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Las teorías de la luz en la Europa moderna: Johannes Kepler


Examinaremos en esta entrada las aportaciones de Johannes Kepler a la teoría de la luz y la visión, y en la siguiente, la de dos matemáticos mas conocidos por sus resultados en este tema que por sus aoortaciones en Óptica, René Descartes y Pierre de Fermat.

Johannes Kepler (Weil der Stadt, Alemania, 1571 – Ratisbona, Alemania, 1630), es sin duda uno de los mayores científicos de la historia. Aparte de sus aportaciones científicas en matemáticas, sus contribuciones más relevantes son el enunciado de las tres leyes que rigen el movimiento de los astros en el Sistema Solar, conocidas hoy en día como leyes de Kepler.

En 2014 se conmemoró el Año Internacional de la Cristalografía, y una de las razones está en el descubrimiento por Kepler de la estructura hexagonal de los cristales de nieve que se considera como el comienzo de la cristalografía moderna.

Pero sus contribuciones a la Óptica y a la teoría de la luz han sido también trascendentales. Estos estudios estaban motivados porque durante los eclipses lunares y solares aparecían tamaños de sombras inesperados, o fenómenos de enrojecimiento. Puesto que los fenómenos de refracción de la atmósfera eran decisivos para su trabajo de observación, así que Kepler dedicó un tiempo a la Óptica, escribiendo el manuscrito Astronomiae Pars Optica (1604).

Su trabajo como astrónomo le llevó también a inventar el llamado telescopio refractante. Recordemos que Kepler fue contratado por Tycho Brahe como ayudante debido a sus conocimientos teóricos que complementarían los trabajos observacionales de Brahe, y que a la muerte repentina de éste, lo sustituyó como astrónomo real en la corte de Rodofo II en Praga.

El telescopio de Kepler

En este manuscrito, que responde en cierta medida a las ideas de Vitelio, quién había escrito el tratado medieval más importante en torno a la luz, Kepler describe la ley que afirma que la intensidad de la luz de una fuente en un punto varía inversamente con el cuadrado de la distancia desde la fuente, la reflexión por espejos curvos y planos, el paralaje y los tamaños aparentes de los cuerpos celestes.

Pero también estudia el ojo humano, y se le atribuye por los neurocientíficos ser el primero en descubrir que las imágenes se proyectan invertidas en la retina. Decía que luego el cerebro era capaz de reconstruir la imagen adecuadamente (me diante la actividad del alma), un pensamiento extremadamente avanzado para la época. Kepler cambia el sentido de los conos de luz ideados por Alhacén y ahora la base está en el propio objeto luminoso. Otros temas que Kepler trata por primera vez es la explicación del uso de las lentes para gafas, que eran usados desde hacía siglos pero sin una explicación sobre su funcionamiento.

Ilustración en la Óptica de Kepler

Kepler es conocedor de los resultados de Galileo en su Siderius Nuncius, en 1609, ya que recibe una copia personal de éste, y le responde con varios tratados, en especial este, Dioptrice, en 1610, en el que proporciona muchas evidencias en apoyo de las tesis de Galileo. Galileo se lo reconoce diciéndole: “Gracias porque usted es el primero y prácticamente el único que ha mostrado una fe total en mis afirmaciones.”

Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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