Habilidades matemáticas, Monsieur Joseph, o como juntar a Platón y a Jean Genet


Leo ‘El funambulista’, de Jean Genet (es un cuchillo, dice mi amiga María Sánchez) y encuentro este texto:

“¿Qué más me da, por tanto, que sepa leer? Conoce las cifras lo suficiente para medir los ritmos y los números. Sutil calculador, Joanovici era un judío – o un gitano – iletrado. Ganó una inmensa fortuna durante una de nuestras guerras vendiendo chatarra.”

Genet se refiere (y a él está dedicada la obra) al joven acróbata Abdallah Bentaga, su amante y  protegido, al que pide transformarse en un funambulista. El tal Joseph Joanovici (1905-1965) fue un chatarrero francés que se hizo rico en la Segunda Guerra Mundial vendiendo metal a los alemanes durante la Ocupación. Esto es lo que nos dice la nota a pie de página. Pero la vida de Monsieur Joseph es mucho más compleja: era judío, y esa fue su manera de protegerse. Y al parecer, colaboraba también con la Resistencia. Es condenado  a prisión en 1949 y liberado en 1952. Nadie lo acoge, ni siquiera Israel. Vuelve a ser encarcelado en 1958 y liberado en 1962 por razones de salud, y muere arruinado en 1955.

Joseph Joanovici

No es muy conocido en España que Joanovici es el protagonista de una famosa serie titulada “Il étaits une fois en France”,  cuyos auotores son Fabien Nury y la dibujante Sylvain Vallée, serie que ha obtenido numerosos premios. Y es que la figura de Joanovici sigue siendo muy controvertida: héroe, patriota, villano, … Los episodios son

  1. L’Empire de Monsieur Joseph (2007)
  2. Le Vol noir des corbeaux (2008)
  3. Honneur et police (2009)
  4. Aux armes, citoyens ! (2010)
  5. Le Petit Juge de Melun (2011)
  6. La Terre promise (2012)

Il était une fois en France

Joanovici tenía habilitades extraordinarias para los cálculos, pero ¿por qué una persona nace con ellas? ¿Existe alguna estructura cerebral, alguna condición genética, que suponga una diferencia para el trato con las matemáticas? ¿Y cómo esto puede ser independiente de otras habilidades mentales? La neurociencia nos indica que los bebés nacen con una predisposición innata a los procesos numéricos, y aunque la manera en la que el cerebro maneja las matemáticas es muy compleja, uno puede admitir que algunas personas tienen al nacer mas desarrollada su capacidad matemática, tal y como ocurre con la música.

Platón

En el libro VIl de la República de Platón, Socrátes debate con Glaucón acerca de los estudios que debe emprender el futuro hombre de estado. Sobre el cálculo dice Socrátes:

“¿y no has observado que los calculadores , por naturaleza son rápidos, por así decirlo, en todos los estudios, en tanto que los lentos, cuando son educados y ejercitados en este estudio, aunque no ‘obtengan ningún otro provecho, mejoran, al menos, volviéndose más rápidos que antes? -Así es. -y no hallarás fácilmente, según pienso, muchos estudios que requieran más esfuerzo para aprender y practicar. -No, en efecto. -Por todos estos motivos, no hay que descuidar este estudio, sino que los mejores deben educar sus naturalezas en él.”

Podemos concluir que los cerebros de ciertas personas están preparados para las matemáticas, otros no; así y todo, si nos aplicamos, si desarrollamos habilidades matemáticas, seremos mejores, Platón dixit.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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El librito rojo de Enver Hoxha


Dedicado a mi amiga Armela Dino

Si hay un país que se pueda considerar como paradigma del aislamiento del resto del mundo es Albania: durante décadas su gobierno dictatorial funcionó al margen de Europa, salvo episodios de alianza con potencias comunistas. A pesar de ello, los matemáticos han gozado siempre de aprecio por parte de los gobernantes del país y su actividad se ha mantenido a lo largo de décadas.


La Academia de Ciencias de Albania, creada en 1972

Tras la Segunda Guerra Mundial el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Tirana, dirigido por Petraq Pilikam, era nada más que un proyecto. Pero entre sus miembros se encontraba un joven matemático visitante, Leonard Ivanovich Kaminin, quién convertiría el departamento en una referencia europea. Entre 1955 y 1957 impartió cursos de todo tipo, puso en marcha la investigación, creó un seminario de física matemática y fue construyendo lazos entre las universidades de Tirana y Moscú. Este último aspecto fue fundamental, ya que permitió que los textos rusos y sus traducciones se pudieran comprar a precios muy reducidos y que los estudiantes viajaran a Moscú en intercambios de investigación.

Petraq Pilikam

Eran tiempos de Guerra Fría entre el bloque soviético y EE UU, y la investigación física y matemática entraba en la carrera nuclear. Según cuenta el matemático Peter R. Christopher en The Mathematical Intelligencer en 1997, cuando Kaminin llegó a Tirana reunió a los matemáticos, entre los que se encontraba un físico, para preguntarles: “¿Cuál de vosotros es el espía que me han asignado?”. Tras un largo silencio, Kaminin se dirigió al físico y señalando con su dedo índice, le dijo: “¡Debes ser tú!”.  Una risotada rompió el hielo, Kaminin estaba bromeando.

Durante la década de los 50, el número de matemáticos fue creciendo, pero en 1960 se produjo la ruptura con Moscú, y los estudiantes desplazados allí tuvieron que regresar repentinamente. Parece que la ciencia albana había quedado huérfana, pero el 25 de agosto de 1962, Hoxha dirigió un discurso a toda la inteligentsia albana, que se recogería después en el llamado “Librito rojo”, y marcaría el desarrollo de las siguientes décadas del país:

“Nuestra juventud debe dedicarse al estudio de las ciencias, y particularmente al de las matemáticas. (…) Debo confesar, camaradas, que cuando era joven no les hacía mucho caso, y creo que las clases del instituto pueden ser responsables del crecimiento de mi barba. Pero la verdad es que las matemáticas tienen su propia gran poesía, y son apasionantes y no tan brutales como yo recordaba. (…) El trabajo que el Partido me ha encargado  me indica el papel relevante de las matemáticas. Hoy en día, no solo la física, la química, la astronaútica, la teoría atómica, etc. están fuertemente relacionadas con las matemáticas, sino que se ha dicho que una ciencia no es perfecta hasta que no puede expresarse en términos matemáticos.”

Enver Hoxha, en su época de partisano

Este apasionado discurso de Hoxha fue desde entonces esgrimido por los matemáticos albaneses en su defensa en cuanta ocasión fue requerido. La importancia de la disciplina en el país se incrementó cuando se introdujeron áreas como la programación lineal que se mostraron muy útiles en la optimización de recursos (por ejemplo, en los transportes en las minas de carbón).

La alianza con la China comunista se fue afianzando en 1960, en paralelo con las discrepancias chino-soviéticas, lo que permitió a jóvenes matemáticos albaneses finalizar sus tesis doctorales en Beijing y Shanghai. Pero la Revolución Cultural china se contagió a Albania, y el trato a los profesores fue duro, aunque en vez de trabajos en las aldeas de las montañas los matemáticos salieron mejor parados. Por ejemplo, la joven estrella matemática albanesa, Mishel Fundo, había sido obligada a impartir clases en colegios de una pequeña ciudad, castigado por los antecedentes políticos de su padre. Ante esta situación, Hoxha salió de nuevo en defensa de las matemáticas: “Conozco a un matemático brillante que está impartiendo clases en un colegio de una pequeña ciudad. ¡Esto no debería pasar! … Un matemático tan capaz enviado a este destino cuando la industria necesita a esta gente. ¡El petróleo precisa de cálculos!”

En los años 1970, bajo el paraguas de la UNESCO, y preparando la ruptura con China, por discrepancias con la apertura del gigante asiático a Occidente, Albania propició que algunos estudiantes viajen a otros países como Francia, aunque con códigos de conducta muy rigurosos que les impedían por ejemplo darle la mano a un norteamericano o a un soviético.

 

Aunque este favoritismo de Hohxa permitió que las matemáticas sobrevivieron entre 1960 y 1990, su desarrollo estuvo lastrado por las condiciones políticas generales del país. Tras la apertura democrática, Albania enfrentó una situación económica muy difícil, y muchos científicos abandonaron el país. Como apoyo a los matemáticos albaneses en Albania y en el extranjero, se creó en 2007 del Albanian Journal of Mathematics, y, en 2009, el gobierno puso en marcha un plan estratégico para la ciencia que sin duda propiciará que las matemáticas sigan manteniendo una presencia importante.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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¿Cuánticamente seguros?


En entradas anteriores de este blog hablamos de la criptografía en su sentido más clásico, la que está basada en los números primos. Estos métodos de encriptación surgieron 1975 con W. Diffie y M. Hellman, de la Universidad de Stanford en California, quienes idearon el denominado cifrado asimétrico o clave pública. Estas claves garantizaban, por ejemplo, el anonimato de nuestros números secretos en las transferencias bancarias, en nuestro correo electrónico o cualquier pin introducido en la red.

El algoritmo, bastante seguro, se basa en la factorización de números grandes en dos números primos. Aunque el concepto sea sencillo, descubrir qué dos grandes números primos cuyo producto recupere un número de 10200 cifras, no es una tarea sencilla.

La denominada criptografía cuántica sustituye la teoría de números primos por las fascinantes propiedades de la teoría cuántica. Los bits clásicos de 0’s y 1’s del ordenador son reemplazados por qubits, or quantum bits, que no toman un valor fijo de 0 o 1, sino un estado entrelazado de estas dos posibilidades. Este estado mezcla nos recuerda a la paradoja propuesta por Schrödinger y su gato: un gato puede estar vivo y muerto a la vez. Un ordenador cuántico supone la misma paradoja, éste será capaz de realizar múltiples operaciones a la vez y afectará positivamente a nuestros actuales sistemas de privacidad. En el 2001, IBM logró desarrollar un prototipo que descomponía el número 15 en sus dos factores 3 y 5, sin embargo, la encriptación cuántica aún no ha sido propiamente desarrollada. Hasta el momento, la capacidad de factorización de un ordenador cuántico está demostrada sólo desde un enfoque teórico. Según el Washington Post, de acuerdo con los documentos que hizo públicos el exanalista Edward Snowden, la NSA está desarrollando un robusto ordenador cuántico que es capaz de romper todos los protocolos de cifrado actuales. Incluso existen algunos productos de critografía cuántica ya en uso. En el 2010, durante el mundial de fútbol en Sudáfrica, ya se utilizaron encriptaciones cuánticas para proteger el sistema de videovigilancia  del estado de Durban.

Investigadores de la Universidad de Shangai en China han anunciado el lanzamiento de un satélite de la ciencia cuántica con comunicación por el aire, que permitirá establecer redes mundiales encriptadas cuánticamente.

En el CSIC, el grupo de Criptología y Seguridad de la Información del Instituto de Tecnologías Físicas y de la Información (ITEFI), ha diseñado e implementado experimentalmente un sistema de transmisión cuántica de claves en espacio libre para entorno urbano. El sistema cuenta con un emisor, Alice, que genera los estados binarios ‘1’ y ‘0’ que formarán la clave criptográfica. Ambos son combinados, colimados y expandidos para ser transmitidos por el canal cuántico hasta Bob.

Emisor del sistema en espacio libre (ALICE), fuente ITEFI

La criptografía cuántica supondría un sistema de encriptación inexpugnable, el mejor sistema criptográfico posible. En esencia, para entender el procedimiento, la criptografía cuántica utiliza más la física que las matemáticas para la encriptación. Se basa en el uso de partículas luminosas, los denominados fotones de la luz y sus características. La información se almacena en el espín de un fotón. Aquí es de donde surge la analogía entre el código binario del ordenador y el espín. El espín de un fotón es 1, con tres proyecciones, la 0, 1 y -1, que dependen de su polarización. De forma sencilla, explicamos la polarización de un fotón como la oscilación de la partícula en una determinada dirección. El fotón no viaja en una línea recta, sino que se manifiesta em ondas en direcciones verticales y horizontales. La medición no se restringe sólo a estas dos direcciones, sino que puede ser una composición, y por ejemplo, ver que está oscilando en una diagonal. Por ejemplo, supongamos que tenemos una rendija vertical. El fotón atravesará esa rendija vertical si está oscilando verticalmente. Sin embargo, si oscila en diagonal, puede pasar, o no. Esta incertidumbre es el quid de la cuestión para la distribución de las claves secretas. El principio de incertidumbre restringe nuestro conocimiento de cómo supera la rendija, si en vertical, o en superposición de dos estados en diagonal, por ejemplo.

Ahora, supongamos que tenemos dos interlocutores, Alice y Bob, que deciden compartir una información. Alice envía la clave con una serie de fotones con diferentes polarizaciones, en vertical, horizontal o un acoplamiento de estos dos estados. Esto es lo que se denomina elegir una base de estados. En el momento de la transmisión genera una cadena de qubits aleatoria y Bob recibe la cadena en otra base aleatoria. Bon recibirá el 50% de los fotones emitidos en la misma base en que Alice los emitió. Son los denominados qubits leídos que formarán la clave.  Una vez generada la clave, Alice y Bob pueden usar cualquier otro canal para transmitirse los datos cifrados.

Werner Heisenberg

Si un tercer interlocutor intenta interceptar la clave, se va a producir un error al menos que el intruso siempre utilice la base de emisión de Alice. Cuando Alice y Bob compartan su base de comunicación, detectarán fácilmente si ha habido un intruso, pues obtendrán resultados muy distintos a los que esperarían en sus bases fijadas. El mensaje con la clave no se filtrará sin alterarse o destruirse, al colapsar el estado tras la medición del intruso. Este es el principio de Heisenberg de la mecánica cuántica.

Aunque parezca ciencia ficción, sin ir más lejos, este mecanismo ha sido testado en el CSIC de Madrid, que ha logrado un sistema de transmisión de claves a 300 metros de distancia con una velocidad de 1Mbit por segundo.

¿Suponen estos avances, la entrada de nuestros dispositivos a un régimen cuántico robusto, libre de fallos? La verdad es que aún se detectan errores muy ténicos para comentar en pocas líneas. Pero la línea de investigación intuye que en pocos años estaremos haciendo uso de estos métodos de encriptación de forma cotidiana y nuestras tarjetas de crédito, aunque nos roben el bolso, se hallarán a salvo de los ataques de los cacos.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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¿Excelencia individual o colectiva?


Esta entrada está motivada por una conversación de hace unos días con uno de mis colegas. Tanto él como alguno más, sostienen que basta la excelencia individual para triunfar, así que uno debe contratar investigadores postdoctorales de calidad y esperar que alguno de ellos pueda probar teoremas importantes que le deparen, por ejemplo, la consecución de una de las codiciadas becas del European Research Council (ERC) (alguno se atreve a sugerir la obtención de una medalla Fields con este procedimiento).

Es verdad que la calidad individual es importantísima y que puede ayudar a probar resultados relevantes, pero en un instituto del CSIC tenemos dos graves handicaps. El primero es que los mecanismos de contratación del CSIC son tan perversos y obsoletos que al final el proceso se eterniza; a la vez, los salarios no son competitivos. La conclusión es que el número de candidatos es moderado, y se trata sobre todo de postdocs jóvenes. Estamos compitiendo con los grandes centros internacionales, que ofrecen mejores salarios y un contrato directo (no hay bolsa de trabajo ni inventos similares pensados para que, en aras de la transparencia y la igualdad de oportunidades, se dificulte todo lo posible el proceso de selección).

El segundo handicap es el número de contratos que se pueden ofertar. Si cada cuatro años ofertamos diez, no creo que el resultado tenga altas probabilidades de éxito realmente, porque el teorema de los monos tecleando las obras de Shakespeare requiere millones de monos (el Teorema del Mono Infinito fue planteado por un matemático eminente, Émile Borel, en 1913, en su libro Mécanique Statistique et Irréversibilité).

Por lo tanto, a la excelencia individual hay que añadir la excelencia institucional, la colectiva. Estos jóvenes postdocs deben encontrar en el instituto en cuestión un ambiente acogedor, una infraestructura de excelencia, que les ayude a explotar su potencial, proporcionándoles recursos para que su investigación vaya mas lejos. Son jóvenes investigadores que precisan todavía de formación y asesoramiento: un ambiente con seminarios, trimestres temáticos, congresos, los ayudará y estimulará.

A la vez, se precisa de gestores que coordinados con la dirección y la gerencia, y asesorados por ellos, los ayuden en la elaboración de proyectos, y que contemplen en un modo global la parte científica acompañada en algunos casos de las propuestas de transferencia, y siempre de las de comunicación. Por ejemplo, en el ICMAT creamos las oficinas ICMAT EUROPA e ICMAT TRANSFER y un Gabinete de Comunicación (este último dentro de una Unidad de Cultura Científica).

En consecuencia, se necesita excelencia individual acompañada de excelencia colectiva o institucional (la institución de acogida es siempre un plus en cualquier proceso selectivo). El apoyo mutuo genera el círculo virtuoso.

Todo ello exige dedicación por parte de la dirección del instituto en cuestión y de los directores científicos de los proyectos institucionales, y así, el sacrificar una parte de la investigación propia en aras de los intereses colectivos. La pregunta es si, en nuestro caso, mis colegas están dispuestos a ese acto de generosidad.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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El hombre que se enfrentó a la NSA


En la entrada anterior contábamos el nacimiento hace unos cuarenta años de los protocolos criptográficos llamados de clave pública. Estos avances científicos supusieron el comienzo de una batalla entre la comunidad científica y la Agencia Nacional de Seguridad de los Estados Unidos (NSA) que continúa a día de hoy.

Sede de la NSA en Fort Meade, Maryland

Nos vamos atrás en la historia al año 1977. Hasta entonces, la criptografía era cosa de seguridad nacional, pero los avances que estaban experimentado los computadores anunciaban esta necesidad también para el sector privado.

El campo de batalla fue el International Symposium on Information Theory, que se celebró en la Universidad de Cornell el 10 de octubre de 1977; y el detonante, la presentación de un grupo de investigadores de la Universidad de Stanford, Martin Hellman, profesor asociado de ingeniería eléctrica y sus dos estudiantes de doctorado, Steve Pohlig y Ralph Merkle. Ya un año antes, Hellman había publicado con otro de sus estudiantes, Whitfield Diffie, un artículo titulado “New Directions in Cryptography”, en el que introducía lo que se llama protocolo Diffie-Hellman.

Martin E. Hellman

El artículo se había publicado en las revistas del IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) una sociedad científica centrada en las ingenierías, un auténtico monstruo que hoy cuenta con 420.000 miembros. Y la NSA lo leyó y enviaron una carta no oficial amenazando a Hellman con represalias, ya que consideraban que la criptografía sólo podía estar en manos de la seguridad nacional. Incluso se argumentaba que la criptografía era un arma y su publicaión contravenía la ley de exportación de armas. Temiendo represalias, Hellman defendió su causa con la ayuda de su universidad. Esta concluyó que todo era legal.

Sin embargo, ya que Pohlig y Merkle eran estudiantes, las presentaciones corrieron a cargo del propio Hellman. Todo transcurrió sin incidentes. Y realmente, el uso que se dió a este protocolo fue sobre todo en seguridad por el gobierno (y por los traficantes de drogas).

Bobby Inman

 

El nuevo director de la NSA, Bobby Ray Inman, contactó con los investigadores, descubriendo que su interés había sido el de buscar protección para los ordenadores, lo que entonces era un problema incipiente y que había pasado inadvertido a la NSA.

El problema se complicó cuando en agosto de 1977, Ron Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman, del Massachusetts Institute of Technology (MIT), dieron a conocer su sistema RSA. El tema era ya incontrolable, aunque el gobierno ha contado siempre con un poderoso instrumento, la financiación a través de la National Science Foundation (NSF) y de la propia NSA. Y ha creado el National Bureau of Standards (NIST), que homologa los productos criptográficos.

Es digno de reconocimiento el valor de Martin Hellman, nacido en octubre de 1945, y entonces un joven de 32 años. Hellman fue el principal protagonista en esta primera “crypto war” con la administración gubernamental.  Son muchos los premios y honores que Hellman ha conseguido desde entonces, y quizás el más relevante es el Premio Turing en 2015, que se suele considerar como el Nobel de la Computación. Hellman está usando el millón de dólares del premio para impulsar sus proyectos para el diálogo y la paz en el mundo. También ha sido reconocido su trabajo para disminuir las tensiones étnicas. Las personas interesadas pueden seguirle en su página web y en su blog.

No cabe duda de que en un mundo cada vez mas interconectado, esta disputa continuará, pero no será fácil ponerle puertas al campo de la investigación.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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¿Estamos seguros?


Vivimos en un mundo de claves secretas para proteger nuestros datos: correo electrónico, transacciones bancarias, tarjetas de crédito, comunicaciones por móvil, … ¿Nos preguntamos cómo funciona el sistema? Todo está basado en la criptografía, y por lo tanto, en las matemáticas.

Hasta hace poco, la herramienta principal eran los números primos combinados mediante algoritmos de diferente índole, que dotarán de mayor o menor seguridad a nuestra clave. El cifrado de seguridad mediante el uso de números primos surgió en 1975 con W. Diffie y M. Hellman, de la Universidad de Stanford en California, quienes idearon el denominado cifrado asimétrico o clave pública (el llamado protocolo Diffie-Hellman). Diffie era estudiante ce Hellman, y debemos añadir un tercer personaje a la historia, R.C. Merkle. Ellos iniciaron una batalla en los setenta y ochenta del siglo XX con la agencia de seguridad del gobierno norteamericano que merece una entrada aparte.

Diffie, Hellman y Merkle

La clave pública usa las denominadas funciones matemáticas trampa, que hacen posible el cifrado, pero virtualmente imposible el descifrado. Son funciones unidireccionales. Esto quiere decir, que es muy fácil “ir” pero prácticamente imposible “volver”. Vamos a explicarlo con un ejemplo: si tomamos dos números primos al azar, como el 7 y el 13, y los multiplicamos, obtenemos el número 91. El proceso indirecto se trata de deshacer la operación y saber qué números dan 91, mediante diferentes operaciones. Porque la multiplicación, no es ni mucho menos, la única operación de cifrado. El sentido común sugiere, que para cifras pequeñas, podríamos hacer un listado de primos y combinarlos de todas las formas posibles para recuperar el 91. Sin embargo, los cifrados de nuestras redes sociales o cuentas bancarias manejan dígitos de gran envergadura. Por ejemplo, consideremos el número 1.409.305.684.859. Este número es el resultado de multiplicar dos números primos: 705.967 y 1.996.277. Encontrar este par de números,no es una tarea inmediata si usamos la lista de primos como en el caso del 91. Este cálculo necesita la implementación de un software, porque desde Euclides ya sabemos que hay infinitos números primos. Además, los ordenadores sólo trabajan con un sistema binario, lo que supone una gran limitación, pues se introducen aproximaciones en los números para poder expresarlos en base dos.

Uno de los sistemas de encriptación más famosos es el denominado RSA, siglas correspondientes con los apellidos de los criptógrafos matemáticos  Rivest, Shamir y Adlerman, que desarrollaron una de las versiones de criptografía de clave pública en 1977. La seguridad del algoritmo procede de la factorización de números enteros. Los mensajes se representan mediante números y el mecanismo se basa en la operación producto de dos números primos muy grandes, elegidos al azar y mantenidos en secreto. El orden de estos números es menor de 10200 hasta el momento; sin embargo, la capacidad creciente de cálculo de los ordenadores prevé un crecimiento del orden de precisión en las encriptaciones con números primos aún más gigantescos.

Ron Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman

Un dato curioso es que en 1994, se lanzó un reto a la comunidad matemática para derribar el sistema de encriptación RSA. Un grupo de 600 matemáticos con la ayuda de 1600 voluntarios consiguieron factorizar según el método RSA, un número de 129 cifras. Para desencriptar claves con cifras superiores a 1024, se necesitarían todos los ordenadores del universo desencriptando en paralelo y aún así, su tiempo de computación se calcula semejante a la edad del universo: decenas de miles de millones de años.

Uno de los paradigmas de este siglo es la computación cuántica. Y esa futura encriptación cuántica es aún un proceso emergente. La ventaja fundamental de la encriptación cuántica frente a la clásica, es una propiedad fundamental extraída de las leyes de la mecánica cuántica. Si un tercer intruso en la lectura del mensaje (el remitente, que encripta la clave, y el receptor, que la desencripta, son los dos principales roles en la emisión del mensaje) intenta hacer “eavesdropping”, término acuñado para la escucha secreta tradicionalmente relegado al ámbito de seguridad, el proceso de creación de la clave se altera, advirtiéndose el intruso antes de que se transmita la información privada. La explicación radica en el principio de incertidumbre de Heisenberg, que dicta que si realizamos una medida sobre un sistema cuántico, dicho sistema se altera después de la medida y permanece en un estado fijo, no entrelazado.

Las claves de la mecánica cuántica han de ser descifradas a nivel subatómico, pues la mecánica cuántica es la teoría del “pequeño mundo”, donde nos movemos en longitudes menores a 10-15 fermi, que es el tamaño de un núcleo atómico. Por tanto, las lecturas se harán con láser, capaz de alterar partículas cuánticas como los electrones, mediante la incidencia de fotones.

Como podemos ver, la teoría de la criptografía clásica, sólo utiliza matemáticas que podríamos llamar tradicionales, como es la teoría de números y, en particular, los números primos. Sin embargo, las teorías más contemporáneas, a partir de 1984, utilizan la mecánica cuántica, tal y como contaremos en una próxima entrada de este blog.

Para terminar, haremos unos pequeños comentarios curiosos a la teoría de la encriptación clásica. Por ejemplo, que los Estados Unidos y Canadá sólo permiten el uso de ciertas claves criptográficas en su territorio, que no tienen autorizada la venta ni la exportación. Las claves se hallan en una especie de pastillas que en contacto con el oxígeno exterior, se solidifican en una masa informe y cuya lectura con rayos X destruye la información, convirtiéndose en ceros (recordemos aquellos mensajes a James Bond) .

Sobre los números primos, existe el proyecto GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), en el que cualquiera puede colaborar con su ordenador. Se trata de que el ordenador trabaje en paralelo con los ordenadores de otros muchos colaboradores voluntarios en este proyecto común: el descubrimiento de un tipo particular de números primos, los denominados primos de Mersenne, con un mínimo de diez millones de cifras. El pasado enero, todos los colaboradores de GIMPS, proclamaron el descubrimiento de un número primo de Mersenne con más de 22 millones de cifras, cuyo valor es 274207281-1. La computación sólo se llevará a cabo en tiempos muertos de su ordenador, mientras el salvapantallas esté encendido, por lo que no impedirá su trabajo habitual.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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Las raíces de los matemáticos


Otra de esas infraestructuras digitales que la comunidad matemática ha construido es el Mathematics Genealogy Project. Su objetivo es reunir información sobre todos los matemáticos que hay en el mundo, vivos y fallecidos, a través de sus tesis doctorales.

La  información que se incluye es:

Una de las características de este proyecto es que la participación de los propios matemáticos aportando la información es esencial. La comunidad matemática ha crecido de una manera exponencial y es difícil seguir la cantidad de tesis doctorales que se defienden con éxito cada año; y, por otra parte, la indagación histórica remontándose a siglos pasados es fundamental para llegar a las raíces de la comunidad. Las donaciones (que pueden hacerse llegar a través de la propia web) son claves para poder agradecer a los estudiantes que trabajan en el día a día del proyecto.

Harry Coonce

No debemos olvidar la dificultad de la tarea, a fin de conseguir los datos exactos. Por eso es importante ir puliendo nombres de los matemáticos, universidades, títulos, fechas, etc. Por ejemplo, si se quiere estudiar la influencia de una escuela de doctorado, probablemente esta escuela haya ido cambiando con el tiempo. Y este es un proyecto de datos, no de debates históricos, que se deja en manos de los historiadores de las matemáticas.

Otra peculariedad es que las palabras “matemático” y “matemáticas” están pensadas en un sentido amplio, de manera que educación matemática, estadística o computación, son aceptadas.

Este proyecto permite hacer estudios muy interesantes, y en una próxima entrada daremos algunos detalles. De momento, valga decir que uno puede buscarse (y de paso comprobar que sus datos son correctos), e indagar en los que han dirigido su tesis, y sus ancestros, así como con los que han pasado por nuestras manos: descendientes directos (estudiantes) o descendientes de nuestros descendientes (descendientes). Siempre defenderemos que la labor de formación de jóvenes investigadores es una de las esencias de la investigación y una de las tareas más gratificantes.

Captura de pantalla con los datos de Manuel de León

El padre de este proyecto es Harry Coonce, profesor en la Universidad de Dakota del Norte. A principios de 1990 concibió esta idea, encontrándose con la incredulidad de sus colegas. Coonce recuerda la entrevista con su decano cuando le pidió ayuda (una plaza, un ordenador y fondos) y su respuesta: “No”. Pero Coonce no se desanimó y con la ayuda de su esposa, Susan Schilling, experta en ciencias de la computación, y un estudiante extraordinario, Mitch Keller, ha creado una obra maravillosa. Hoy en día, Coonce sigue liderando el proyecto, ahora sí con ayuda de su universidad y de la Fundación Clay. Y sí, Mitch Keller ya no está en Dakota, pero sigue ayudando desde su nuevo puesto en Georgia Tech.

Si hoy (16 de noviembre de 2016) entramos en la página web, veremos que hay 204528 registros. Coonce recuerda como al principio extraía sus datos del Dissertation Abstracts, que contiene información periódica de las tesis leídas en Estados Unidos. Su naturaleza madrugadora (de 5:30 a 6:00 está ya en pie) también ha ayudado a levantar este proyecto. Hoy las páginas de MathSciNet contienen un enlace de cada autor a su perfil en el Mathematics Genealogy Project.

Como en el caso de MacTutor, la constancia y la visión de una persona han sido capaces de crear un maravilloso instrumento. Toca ahora al colectivo matemático cuidarlo.

Finalmente, decir que hay un excelente artículo de Allyn Jackson en los Notices of the AMS, Septiembre de 2007, que cuenta con mucho más detalle que esta breve entrada la historia de este apasionante proyecto, Mathematics Genealogy Project.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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Haciendo historia en St Andrews: MacTutor


Vamos a escribir una serie de entradas en las que daremos cuenta de algunas curiosas infraestructuras que los matemáticos hemos creado y que nos distinguen de otras disciplinas. Hoy contaremos lo que es el portal “The MacTutor History of Mathematics”, que seguramente muchos de nuestros electores han usado frecuentemente.

En el año 1988, los matemáticos de la Universidad de St Andrews, en Escocia, adquirieron un laboratorio de enseñanza, del 30 Apple Macintosh Plus Computers. Se encontraron con que no había software accesible, pero tenían sin embargo a su alcance una aplicación llamada HyperCard, con la que podían producir materiales fácilmente. El programa permitía por ejemplo que si se hablaba de un determinado tema, clicqueando un botón se llegaba a una biografía del personaje en cuestión.

Este sistema, que llamaron MacTutor, ganó numerosos premios en Europa por su carácter innovador. Debemos recordar que no existía la Wolrd Wide Web por aquel entonces (esta comenzó en 1991).

El archivo de MacTutor ha ido desarrollándose durante muchos años, y lo importante es que contenía muchas de las cosas que hoy son familiares en la web. Aunque Wikipedia ha restado algo de interés a MacTutor, vayan aquí unas cifras actualizadas en septiembre de 2016 que lo ponen en contexto:

- 2680 biografías de matemáticos, que aumentan a razón de 100 por año (y con una gran calidad). Suponen 4 millones de palabras y el equivalente a 10.000 páginas.

- Fotografías o imágenes de 2300 matemáticos, unas 6000 en total.

- 130 temas en History Topics, que suponen 300.000 palabras.

Hay muchas otras cosas en MacTutor, como los Mathematicians of the Day, que usa mucha gente en edes sociales, o la sección de Famous Curves y la de Mathematicians’ Birthplaces, en la que pinchando los puntos en el mapa, se enlaza al matemático correspondiente, dándonos una idea muy útil de los matemáticos famosos nacidos en cada país.

John J. O’Connor

Los artífices de esta creación son los matemáticos John J. O’Connor y Edmund F. Robertson. John J. O’Connor nació el 31 de julio de 1945 en Luton, Bedfordshire, Inglaterra, es doctor por la Universidad de Oxford y especialista en topología y álgebra combinatoria. Se jubiló en 2010 tras cuarenta años de servicio en St Andrews.

Edmund F Robertson

Edmund Robertson nació el 1 de junio de 1943, en St Andrews, Escocia. Es profesor emérito en St Andrews. Es doctor por la Universidad de Warwick. Se jubiló en septiembre de 2008. Es especialista en teoría de grafos y álgebra.

Este año, hemos tenido la oportunidad de charlar con la actual directora del Departamento de Matemáticas de St Andrews, la profesora Ineke de Moortel. Ineke comentaba que los creadores de la página estaban jubilados y ahora la universidad trataba de mantener MacTutor y actualizarlo. Ojalá tengan éxito en su empeño, MacTutor es ya un patrimonio mundial.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

 

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La física de Fermat


Las dos entradas anteriores sobre Pierre de Fermat confirman que su legado es sin duda alguna muy importante. Sin embargo, la falta de interés de la época en problemas tan fundamentales como son los de la teoría de números, condujeron los intereses de Fermat por otros derroteros.

Pierre de Fermat

Aunque su motivación por la física era moderada, una de sus contribuciones se ha convertido en uno de los enunciados más importantes de la óptica geométrica. Fermat denominaba a la física “la filosofía natural”. Según Fermat, la verdad de las ciencias físicas sólo podría ser encontrada a través de la experimentación, en contra de la opinión de Descartes, quien se convirtió en su “enemigo” por las continuas disputas entre los dos científicos. Descartes utilizaba el método racionalista, que es el sistema de pensamiento que acentúa el papel de la razón en la adquisición del conocimiento, en contraste con el empirismo, que resalta el papel de la experiencia, sobre todo el sentido de la percepción. Según Fermat, la verdad en las ciencias físicas sólo podría encontrarse a través de los sentidos y fue un seguidor acérrimo de estas teorías, propuestas por filósofos como Hume o Locke. Es paradójico que Fermat, desinteresado en las ciencias físicas, abogara por el método empirista, más cercano a la física experimental que a su afición a las matemáticas.

Para Descartes, la luz se transmitía por colisión entre partículas, hablando del símil del bastón de un ciego que al chocar con algo, su mano transmitía el impulso. La luz opera de forma similar, transmitiendo impulso entre partículas.  Además, el impulso es una fuerza que podía interpretarse vectorialmente, y cuyas leyes de reflexión y refracción se podrían deducir. La ley de la refracción de Descartes es la que hoy en día se conoce como ley de Snell, o ley de propagación de la luz entre dos medios de diferentes índices de refracción (por ejemplo, aire y agua). Desde la experiencia de las bolas de billar, tras el choque, se espera que la bola salga disparada y se aleje de la dirección normal. Sin embargo, al cambiar la resistencia del medio, el ángulo de rebote decrece y se acerca a la normal. La interpretación de Descartes es que el medio ejerce una fuerza.

Refracción de un lápiz

Fermat leyó la obra de Descartes, probablemente porque se la había enviado Jean de Beaugrand, que mantenía disputas serias con Descartes. Fermat detectó dos importantes errores en la obra de Descartes. El abate Mersenne está también, como siempre, en medio de estos debates. Descartes escribe a Mersenne.

« le défaut qu’il trouve en ma démonstration n’est qu’imaginaire et montre assez qu’il n’a regardé mon traité que de travers. et si vous aviez envie par charité de le délivrer de la peine qu’il prend de rêver encore sur cette matière»

Fermat replica

«  Ce n’est pas point par envie ni par émulation que je continue cette petite dispute, écrit-il à Mersenne, mais seulement pour découvrir la vérité; de quoi j’estime que M. Descartes ne me saura pas mauvais gré, d’autant plus que je connais son mérite très éminent, et que je vous en fais ici une déclaration très expresse. »

La querella está servida. No es hasta quince años mas tarde que Fermat elabora su teoría. Aunque el planteamiento de Fermat se basaba en el camino más óptimo para el recorrido de la luz, un estudio detallado desvela que en realidad lo que estaba optimizando era el tiempo. El principio debería ser reescrito de la siguiente manera: “los procesos físicos toman el camino que tardan menos tiempo en recorrer”.  Aunque el problema se corresponde con el de un proceso físico, sin embargo, el planteamiento de Fermat no dejó de ser de carácter matemático, un postulado axiomático lejos del empirismo.

 

Ley de la refracción

“La refracción se produce cuando la luz atraviesa un medio transparente de cierta densidad a uno de densidad distinta. La ley dice que el seno del ángulo formado entre el rayo incidente y la normal es al seno del ángulo entre la normal y el refractado como las respectivas velocidades son una a otra y como el inverso de los respectivos índices de refracción uno a otro”.

Para su demostración, Fermat planteó el principio extremal, que requiere el cálculo de máximos o mínimos. En este caso particular, el tiempo mínimo que tardaría la luz en recorrer un camino. Lo que Fermat no esperaba es que su planteamiento de optimización en términos de minimización de una función, sería el preludio de casi todas las teorías físicas. Por ejemplo, en la mecánica clásica, las ecuaciones de Euler Lagrange se derivan de la minimización de un funcional cuyos extremos se mantienen fijos. Igualmente se derivan las leyes de la relatividad o de la mecánica cuántica.

Para sorpresa de Fermat, la ley derivada del principio de mínima acción para la refracción de la luz era idéntica a la planteada por Descartes.  Más sorpresa sería aún  hoy en día si Fermat levantara la cabeza y viera que su ley de minimización es el principio de la física y también de las matemáticas aplicadas. El análisis numérico se encarga del desarrollo de algoritmos deterministas capaces de garantizar convergencia en tiempo finito a una solución óptima real, obtenida de un principio de minimización. Si Fermat o Lagrange fueron los padres de los principios de minimización, Richard Bell podría ser el padre de los principios de minimización computacionales.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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Los otros teoremas de Fermat


Seguimos contando más cosas sobre Pierre de Fermat. En una entrada reciente habíamos hablado del famoso teorema de Fermat y los intentos fallidos de resolución a lo largo de más de tres siglos. Pero este es solo uno de los problemas que Fermat propuso. Porque, aunque el trabajo oficial de Fermat no era el de matemático sino de abogado y juez, consagró sus momentos de ocio al planteamiento y resolución de problemas matemáticos.

Pierre de Fermat

Los problemas los lanzaba por la vía epistolar, escribiendo cartas que contenían retos dirigidos a la comunidad matemática europea; esto a veces tenía como consecuencia la aparición de rivalidades entre matemáticos de diferentes nacionalidades. Sus resoluciones quedaban muchas veces inconclusas, apuntadas en los márgenes de los libros, en ocasiones sin ninguna indicación de una posible prueba. En el envío de sus cartas, contó con la ayuda de Marin Mersenne, que servía de enlace entonces entre la comunidad matemática.

Muchos de los problemas planteados por Fermat son clásicos en teoría de números. Por ejemplo, los referidos a los números perfectos, aquellos cuya suma de divisores es el propio número. El primer ejemplo es el 6. Sus divisores son 1, 2 y 3, cuya suma iguala 6. Esta particularidad del 6 lo dotó de un significado místico por la escuela pitagórica; representaba la unicidad, la dualidad y la trinidad.

Euclides había probado en Los Elementos que 2p−1(2p − 1) es un número par perfecto siempre que 2p − 1 sea primo. Estos son los llamados primos de Mersenne (cuando p es primo, lo que no garantiza que el correspondiente número de Mersenne lo sea).

Hay muchos resultados sobre números perfectos que aún no se ha demostrado, por ejemplo, si existen números perfectos impares. Tampoco se sabe si los números de Mersenne son infinitos. Lo que sí se sabe, evidentemente, es que no todos los números son perfectos. Los que no lo son pueden dividirse en dos tipos: aquellos cuya suma de divisores es menor que el número, que son los denominados números abundantes; y aquellos para los que la suma de divisores excede al propio número, que son los denominados números deficientes. Finalmente, también existen los números amigos: dos números son amigos cuando la suma de los divisores de uno es igual al otro número y viceversa; por ejemplo, el 220 y el 284. A este tipo de números se le dio un significado místico; se creía que si dos personas comían dos panes en los que se inscribían tales números, entonces serían amigos para siempre.

En 1636 Fermat planteó el problema de cómo determinar la suma de los divisores de un número. René Descartes fue el primero en aceptar el reto y plantear un método. Dado que todo número puede expresarse como  el producto de potencias de sus factores primos

N= p1k1 p2k2 … pnkn

cuyos divisores serán todas las combinaciones entre dichos factores, Descartes propuso un método que cubría los divisores anteriores de forma recursiva. Posteriormente, Fermat propuso un método alternativo aunque similar, pero que nunca apareció probado.

Otro resultado sobre primos se refiere a los llamados ahora números de Fermat; un número de Fermat es un número natural de la forma:

Fn = 22n + 1

donde n es natural. Fermat conjeturó que todos ellos eran primos, pero Leonhard Euler probó que no era así, ya que

F5 = 4294967297 = 641 x 6700417

Súbitamente, Fermat dejó de escribir a sus colegas matemáticos y se mantuvo en silencio más de diez años. Las consecuencias fueron que perdió a muchos de sus colaboradores; algunos habían muerto, y con otros perdió el contacto.

Este aislamiento llegó a su fin cuando Blaise Pascal le propuso algunos problemas sobre probabilidades. Pascal y Fermat son hoy en día considerados como los fundadores de la teoría de la probabilidad.

Otro campo en el que Fermat consiguió importantes resultados fue el de los números triangulares. Recordemos que un número triangular es aquel que se descompone en sumandos que forman un triángulo. Por ejemplo, el 10: 1+2+3+4.

El número 10 se denominó tetrakys y fue venerado como número de la cambiante creación. Sorprendentemente, todo número perfecto es triangular.

A pesar del misticismo y las cábalas pitagóricas, estos números no sólo demuestran una belleza matemática, sino que también pueden ser números claves en la naturaleza. Años después, el misticismo se ve corroborado en la aparición del patrón tetrakys en procesos físicos. En 1969, Murray Gell-Mann recibió el premio Nobel de Física al predecir la existencia de una partícula a partir del pico inconcluso del triángulo formado por diez partículas, clasificadas atendiendo a dos parámetros: hipercarga e isospin.

 

 

Este es el denominado decuplete del modelo estándard de la física de partículas, cuyas partículas elementales (aquellas formadas por dos o tres quarks) han sido ampliamente clasificadas y predichas en diagramas gráficos, todos correpondientes con polígonos regulares. La verdadera raíz de esta interpretación recae en la teoría de grupos y las representaciones irreducibles del grupo del modelo estándar, al que dedicamos una entrada de este blog hace unos meses, titulada Teoría de grupos, más allá del formalismo.

Murray GellMann

Dejando la corroboración física y volviendo al misticismo, el tetrakys representaba los cuatro elementos. La armonía de las esferas, y el ordenamiento del espacio: 0, 1, 2 y 3 dimensiones representadas por cada línea.

El concepto se generalizó fácilmente, siendo un número cuadrado el que puede descomponerse en sumandos que formen un cuadrado y así sucesivamente.

Para terminar con Fermat y la teoría de números, enunciamos uno de sus últimos teoremas: todo número es, o bien triangular, o bien la suma de dos o tres números triangulares. También, o es cuadrado, o la suma de dos o tres cuadrados. O pentagonal, con un enunciado similar.  Una vez más, el resultado fue consignado en otro margen de la Aritmética de Diofanto con una observación típica de Fermat: “La demostración de este resultado tampoco tiene cabida en este margen, pero pienso escribir un libro sobre ello”.

Sin embargo, Fermat cada vez se sentía más hastiado de no encontrar correspondencia ni interés en sus problemas planteados. En un extracto de unas de sus cartas se pone de manifiesto las querellas internacionales que propiciaba a costa de retar con sus problemas:

“Esperamos estas soluciones, y si Inglaterra o Bélgica o la Galia Celta, no las producen, entonces la Galia Narbonesa lo hará”.

Los últimos científicos con quienes mantuvo contacto, como Huygens y Pascal también se negaron a participar en la nueva teoría de los números. En la época, no se veía la utilidad de la resolución de tales problemas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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