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Ver para pensar


“En muchos casos, una demostración farragosa puede ser sustituida por una geométrica análoga, tan simple y bella que la veracidad de un teorema es casi vista en una ojeada”, Martin Gardner, 1973

Los Libros de la Catarata, la Federación Española de Profesores de Matemáticas y el Instituto de Ciencias Matemáticas del CSIC continúna su colaboración editorial con un nuevo título de la colección Miradas Matemáticas,  y  esta vez es el turno de Demostraciones visuales en matemáticas. Ver para pensar, de Ana Carvajal Sánchez y José Luis Muñoz Casado.

 

Ya hemos reseñado en Matemáticas y sus fronteras los volúmenes que han ido apareciendo desde la puesta en marcha de Miradas Matemáticas, una colección que trata de combinar divulgación y didáctica con el fin de acercar la disciplina tanto a los profesores como a cualquier persona que guste de la ciencia.

En este libro se aborda uno de los temas más populares de las matemáticas, las llamadas demostraciones visuales. Recordemos el dicho de “una imagen vale más que mil palabras”, aunque en este caso, la palabra demostrcaión debe entenderse de una manera más informal: las imágenes ayudan pero no pueden sustituir a la prueba formal sin la que las matemáticas perderían su esencia (Euclides ya nos lo adelantó, veáse la entrada Dibujos que ayudan a probar teoremas).

¿Cuá es la suma de esta serie?

 

Como se dice en la descripción del libro, “las imágenes siempre han sido un poderoso recurso para, entre otras funciones, transmitir información o representar la realidad. En las matemáticas, la realización de esquemas, diagramas, dibujos, etc., sirve para mostrar o ejemplificar complejas ideas matemáticas de forma sencilla. Este libro es una introducción a las llamadas demostraciones visuales en matemáticas. Aunque no son estrictamente demostraciones formales, se trata de imágenes que permiten visualizar con claridad ciertas propiedades o teoremas, comprender y resolver mejor los razonamientos y problemas matemáticos y estimular la generación de ideas.”

Hablamos pues de demostraciones sin palabras, que la imagen lo diga todo. En el libro se traza un recorrido histórico de las demostraciones visuales, que se remontan a la antigua China, la Grecia clásica o la India del siglo XII.

 

El Teorema de Pitágoras ha sido siempre un referente en este tema, ya lo citamos en una anterior entrada, Perigal, el británico que incluyó su demostración del Teorema de Pitágoras en sus tarjetas de visita, pero añadimos ahora este video que nos muestra en un minuto seis demostraciones visuales del teorema

 

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Sobre los autores

Ana Carvajal Sánchez es matemática, especialista en metodología y didáctica de las Matemáticas en las etapas de Educación Infantil, Primaria y Secundaria. Es autora y editora, y compagina su oficio con su actividad de formación a estudiantes y docentes.

Ana Carvajal Sánchez

 

José Luis Muñoz Casado es matemático y posee el título de máster en Investigación matemática. Ha escrito varios libros y artículos en diversas revistas de educación matemática. Coordina la sección “CreoGebra” de la revista SUMA y es el actual presidente de la Sociedad Madrileña de Profesores de Matemática.

José Luis Muñoz Casado

 

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Karl Pearson, el hombre que estudiaba matemáticas en Cambridge pero leía a Spinoza


Si en la entrada anterior trazábamos una breve reseña de Sir Francis Galton, no podemos menos que hacer lo mismo con su discípulo favorito, Karl Pearson (antiguamente llamado Carl Pearson).

 

Karl Pearson

Karl Pearson nació el 27 de marzo de 1857 en Londres, ciudad en la que falleció eñ 27 de abril de 1936. Es uno de los nombres vinculados aa las aplicaciones de la estadística a la biología y al nacimiento de la bioestadística, aunque con ello tuvo que poner en marcha nuevos conceptos de la propia estadística.

Carl Pearson nació en una familia de clase media-alta, con un hermano mayor que él y una hermana más joven, y ese fue su mombre original, Carl, que luego cambió a Karl a los 23 años, probablemente por admiración hacia Karl Marx. Hasta los nueve años fue educado en su casa, y luego pasó a la University College School de Londres hasta los dieciséis años. Debido a una enfermedad se le asignó un tutor privado que completó su educación, ganando una beca en el prestigioso King’s College, de la Universidad de Cambridge.

Pearson tuvo unos profesores excelentes, algo importante para conseguir una carrera científica exitosa, nada menos que Stokes, Maxwell, Cayley, Burnside y Routh. Pero el joven Carl tenía una mente inquieta y se interesaba tambiñen por la religión y la filosofía, y él mismo decía de aquellos años de formación: “En Cambridge estudié Matemáticas, pero leía las obras de Spinoza”. Es interesante como todos estos grandes científicos que han hecho contribuiciones excepcionales tenían además una excelente formación en humanidades.

Tras sus estudios en Cambridge, finalizados en 1879, se trasladó a Alemania, para estudiar Físca y Metafísica en la Universidad de Heilderberg. Visitó también la Universidad de Berlín, donde estudió Leyes, Historia Medieval, Lieratura Alemana. De hecho, cuando volvió a Inglaterra, la Universidad de Cambridge le ofreció un puesto de profesor en Literatura Alemana. Una de sus obras es The New Werter, influenciado por la obra de Goethe. Además de todo esto, se dedicó a estudiar Derecho, aunque no ejerció nunca como abogado. En 1885, obtiene un puesto de catedrático de matemáticas en University College, donde se gana una fama de buen profesor aunque algo heterodoxo. Una de sus publicaciones de la época es la terminación de un libro de Clifford, The Common Sense of the Exact Sciences, y otro de Todhunter, History of the Theory of Elasticity.

A la vez, sigue interesado en la ética e historia del cristianismo. En 1885 fundó el Club de Hombres y Mujeres, un foro de debate, en el que conoce a la quería su esposa, Maria Sharpe, con la que tuvo tres hijos. María murió en 1928 y al año siguiente Karl se casó con una colega de la universidad, Margaret Child.

 

Distribución Chi cuadrado

Y es en 1890, con 33 años y sin haber nunca estudiado la estadística. Y este interés es debido a Francis Galton, quien publica su libro Natural Inheritance en 1889. A esto se le añade la llegada de un nuevo profesor a su universidad, Weldon, un zoólogo. Pearson, animado por Weldon, se interesa por las matemáticas que describen los procesos de la herencia y la evolución, y publica una serie de artículos sobre el análisis de regresión, coeficiente de correlación e introduce el test del chi-cuadrado.

En este video se puede ver precisamente una explicación de la distribución chi cuadrado:

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En la entrada sobre Galton, El matemático que quiso medir la inteligencia, contamos que la revista Biometrika fue fundada por Galton, Weldon y Pearson. La historia detrás de esta fundación merece conocerse. Pearson presentó un artículo la Royal Society, pero los biólogos de la Academia no gustaron mucho de su análisis matemático y lo rechazaron. Fue entonces cuando Weldon le sugirió crear su propia revista, y así nació Biometrika.

Karl Pearson en 1910

Galton le puso a cargo de su oficina para la eugenesia, y a ella unió su Laboratorio de Biométrica, así que formando así el Departamento de Estadística Aplicada de la University College. Su admiración por Galton hizo que a su muerte en 1911, Pearson se propuso hacer su biografía en forma de tres volúmenes publicados en 1914, 1924 y 1930, libros para cuya impresión Pearson tuvo que poner su propio dinero.  La eugenesia tuvo una fuerte implantación en los tiempos de Galton y Pearson, apoyada por muchos científicos e intelectuales, y que en gran medida asumió el nazismo. La idea de  la selección artificial de seres humanos hoy en día está abandonada. De hecho, muchas de las afirmaciones de Galton o Pearson sobre el tema causarían hoy en día un escándalo público.

Les dejamos con un breve video sobre Karl Pearson

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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El matemático que quiso medir la inteligencia


Uno de los grandes nombres en la historia de la Estadística es Sir Francis Galton, nacido el 6 de febrero de 1822 en Sparkbrook (Birmingham), y fallecido el 17 de enero de 1911 en Haslemere, Surrey. Trazaremos en esta entrada una breve reseña de su vida y obra.

 

Francis Galton

La familia de los Galton eran cuáqueros, dedicados a la fabricación de armas y a la banca, emparentados con la familia de los Darwin, dedicados estos a la medicina y a la ciencia. Francis Galton fue un niño prodigio, que dominaba las lenguas clásicas y aritmética a los cinco años. Comenzó los estudios de medicina pero se cambió enseguida a los de matemáticas en el Trinity College, de la Universidad de Cambridge, desde 1840 hasta 1844. Aunque al finalizar quiso volver a la Medicina, la muerte de su padre que le legó una considerable fortuna, le llevó a no depender más de una profesión. Fue entonces cuando se desató su pasión viajera. Como viajero, Galton cosechó muchos éxitos, y fue premiado por la Royal Geographical Society y por la Sociedad Geográfica francesa por sus contribuciones cartográficas.

Su trayectoria vital presenta dos etapas bien diferenciadas. En la primera, estuvo entretenido en la exploración del continente africano, escribiendo sobre sus viajes, y dedicado a la geografía y la meteorología. Su segunda etapa comienza cuando lee la obra de su primo Charles Darwin, El Origen de las Especies. Impresionado por la teoría de la evolución, comienza a interesarse en los factores que determinan la inteligencia y la personalidad, que a su entender, deben tener una gran componente hereditaria. Y así se dedica al estudio de la antropometría, el papel de la psicología, promueve la eugenesia, y para hacer todo esto, funda lo que ahora se llama Biometría, e inventa dos de los instrumentos esenciales de la Estadística, la correlación y el análisis regresivo. Es esta segunda etapa la que lo consagró en el mundo de la ciencia, y especialmente, en el de la Estadística.

 

Diagrama de correlación de Galton, 1875

Galton estudiaba muchos aspectos de los seres humanos, desde las características mentales hasta las faciales y los dibujos de las huellas dactilares. Su pregunta era como intervenían la herencia y el ambiente en la formación de una persona. Esto le llevó a recolectar una enorme cantidad de datos que después debía tratar estadísticamente. Publicó sus hallazgos en el libro Hereditary Genius, en 1865, en el que defendía que el genio es fundamentalmente una cuestión de herencia.

 

Trabajando en varios experimentos con semillas de guisantes, Galton define lo que en principio llamó reversión, y luego regresión, aunque no llegaba a entender completamente las matemáticas encerradas en el concepto. En el siguiente video se explica la llamada regresión a la media.

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En 1884-85 se celebró en Londres la International Health Exhibition, y Galton diseñaltura, peso, medidas de personas: pletamente las matemen el que defendue le legregunta era como intervendad, que a su entender,ó un laboratorio para realizar medidas de personas: altura, peso, fuerza. Siguió haciendo progresos con la noción de regresión, y es cuando surge además la noción de correlación. Por cierto que este laboratorio continuó después el trabajo y se convirtió en el Laboratorio Biométrico de otro gran nombre de la Estadística, Karl Pearson en la University College.

Francis Galton y Karl Pearson

En 1889 Galton publicó otra obra, Natural inheritance, en la que trataba los conceptos de correlación y regresión.  Este libro tuvo una enorme influencia Karl Pearson, como él mismo confiesa.

Galton recibió muchos honores por todos estos trabajos, el más notable, su nombramiento de caballero en 1909. Recibió también la Medalla Real de la Royal Society, y la Medalal Darwin y la Medalla Copley de esta misma sociedad. Pero también la Medalla Huxley del Anthropological Institute y la Medalla Darwin-Wallace de la Linnean Society.

Uno de las herencias de Galton es Biometrika, revista de referencia en el mundo de la Estradística, fundada en 1901 por Francis Galton, Karl Pearson y Raphael Weldon para promover el estudio de la biométrica.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Las matemáticas, las pruebas de acceso a la universidad y un falso debate


Un examen de Matemáticas en la Comunidad Valenciana en la llamada ahora Evaluación para el Acceso a la Universidad (EvAU) (antiguamente conocidas como Selectividad) ha servido de detonador de una protesta estudiantil por la aparente dificultad de la misma. Como me he visto implicado en este tema y la mejor manera de hacer llegar el mensaje que quería enviar es hacerlo por uno mismo, aquí van algunas reflexiones.

 

En este artículo en El País: La dificultad del examen de Matemáticas de Selectividad origina una queja masiva en Valencia se explica con detalle como ha ido creciendo la polémica. Y también en este otro en El diario.es: Este es el examen de Matemáticas II de la selectividad valenciana que ha desatado una ola de quejas por su dificultad. Un alumno, Rubén García Ferrer, a través de la plataforma Change.org, ha iniciado una campaña de recogida de firmas con este texto: “Buscamos soluciones ante el examen más difícil de matemáticas II de selectividad de la Comunidad Valenciana. Se trata del examen más difícil de todos los años. Exigimos una solución ya.”que lleva recogidas casi 42.000 firmas a la hora de publicar esta entrada en Matemáticas y sus fronteras.

Imágenes extraídas de eldiario.es

El pasado 5 de junio, contactaron conmigo desde El Español para conocer mi opinión, y al día siguiente, para mostrar la mayor o menor dificultad del citado examen, se acercaron al Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) para ver sobre un encerado como se podían resolver los problemas planteados en l aprueba. El resultado fue un artículo que el medio tituló Así resuelve en 40 minutos el examen de Matemáticas de Selectividad un doctor del CSIC. Debo decir que los periodistas (todos) buscan titulares que enganchen a los lectores potenciales, y a veces se carga el mensaje en lo que pueda causar más impresión a primera vista. No puedo culparlos, porque el abc de la divulgación te dice que el título de una conferencia o de una entrad de un blog son cruciales para atraer la atención, y así lo suelo hacer en este mismo blog.

Que yo haga ese examen en 40 minutos, o que mi colega y admirado Miguel Ángel Morales, en su estupendo blog Gaussianos confiese hacerlo en 37 minutos (veáse Sobre la polémica por el examen de la PAU 2019 en la Comunidad Valenciana) no tiene la mayor importancia, porque no se trata de hacer ninguna competición matemática, es completamente irrelevante.

Pero sí es muy relevante que este hecho nos sirva para reflexionar si estas pruebas de acceso están funcionando como deberían, si están consiguiendo el objetivo que persiguen (si es que éste está bien definido, porque uno a veces lo tiene que poner en duda), o si es mejor que estas pruebas sean comunes a toda España o que cada Comunidad Autónoma haga las suyas, si los temarios se dan o no se dan al completo, o si estos temarios que se recogen en el BOE en el Real  Decreto  1105/2014,  de  26  de  diciembre,  por  el  que  se  establece  el  currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato  que consta de 378 páginas responde a las necesidades o a lo mejor nos bastaba con algo más sencillo y entendible por el ciudadano, … en fin, son muchas las cuestiones que deberíamos debatir más allá de la mayor o menor dificultad de un examen en concreto.

Porque los destinatarios de este examen no están buscando solo aprobarlo (de hecho, los porcentajes de aprobados en estas pruebas superan el 90%), sino conseguir la nota más alta posible, porque esta va a condicionar no si estudiarán o no una carrera universitaria, sino si podrán cursar la que a ellos les gustaría. Y esa es la causa de la protesta.

Desde ya, afirmo que soy partidario de una prueba única, diseñada por comités en los que haya una participación paritaria de profesores de universidad y profesores de secundaria, que se vigile (para eso deberían estar los inspectores) que se cumplan los temarios, que las calificaciones en los diferentes centros no estén sesgadas (de nuevo, la inspección), de manera que se pueda hablar de una prueba en la que todos compitan en pie de igualdad.

Leo con preocupación la opinión sobre el tema del recién elegido Presidente de la CRUE: “Es un tema que sale siempre en esta época. Son ganas de crear mayor crispación y nerviosismo a las familias. Sobre todo, cuando hablamos de carreras como Medicina, donde entrar o no es cuestión de décimas. Es meter ruido en el sistema.”

Espero que siga el debate, que no se quede esto en una mera anécdota, al menos esa era mi intención cuando acepté expresar mis opiniones.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Las matemáticas (no tan) escondidas de James Maxwell Coetzee


John Maxwell Coetze es un escritor sudafricano universalmente conocido, ganador del Premio Nobel de Literatura en 2003, y el primer escritor en conseguir dos veces el prestigioso Premio Booker: en 1983 por Vida y época de Michael K, y en 1999 por Desgracia. Lo que no es tan conocido es que Coetzee es licenciado en matemáticas y que su primer empleo estuvo intímamente relacionado con esta disciplina.

 

J.M. Coetzee

La vida de Coetzee es bien conocida, por dos razones. Su fama como escritor es evidente y le ha llevado a ganar el más prestigioso galardón en literatura, el Premio Nobel. Pero, además, Coetzee escribió una suerte de autobiografía dividida en tres libros: Infancia, Juventud y Verano, que en un estilo muy intimista, relata su vida y milagros, sin dejarse nada en el tintero.

En Infancia, Coetzee narra su vida en Sudáfrica, en Worcester, una pequeña localidad al norte de Ciudad del Cabo. Siente desprecio por su padre, abogado que pierde su empleo y se dedica a estar en casa bebiendo sin parar. A la vez, mantiene una ambigüedad sobre su madre, a la que ama pero a la vez detesta por sentirse demasiado apegado a ella. En su casa se habla el inglés, aunque su familia son boers, descendientes de los holandeses que ocuparon Sudáfrica en el siglo XVII. Con otros parientes, John habla en afrikaner. En este libro, Coetzee revela su inadaptación en esa sociedad, se encuentra a gusto solo cuando pasea por el veld, la meseta sudafricana. Coetzee es bueno en matemáticas, y hasta jugando al críquet recuerda la paradoja de Zenón sobre la flecha que no debería alzanzar nunca el blanco.

J.M. Coetzee, 1955-56

Coetzee se licencia en matemáticas e inglés en la Universidad de Ciudad de El Cabo. Pero su ilusión es llevar una vida de artista, como poeta, y solo hay tres ciudades interesantes para lograr sus objetivos: París, Viena y Londres. Viaja a Londres em los años 60, y esa etapa es la descrita en su segundo libro autobiográfico, Juventud. No entraremos en todos los detalles, pero consigue un trabajo como programador en IBM. En su libro, Coetzee habla de la incompatbilidad entre su vida como programador y sus aspiraciones como poeta. Finalmente, se despide y consigue un empleo en  la empresa International Computers.

Esta empresa está en las afueras de Londres, y ahora tiene además que visitar con frecuencia la Universidad de Cambridge. Se entusiasma con este trabajo, con gente a su alrededor que encuentra mucho más interesante que la de IBM. Coetzee llega a escribir:

Así que, sin saberlo, ¡se estaba preparando para esto! ¡Esto es a lo que le conducían las matemáticas!

Coetzee coge el tren a Cambridge cada dos o tres semanas, y allí trabaja en el superordenador Atlas, de 6 de la tarde a 6 de la mañana. A veces tiene que quedarse por la mañana para hablar con los matemáticos, “porque todo lo innovador del software del Atlas no procede de International Computers, sino de un puñado de matemáticos de Cambridge”. Hasta se hace amigo de su Ramanujan particular, el indio Ganapathi.

Este trabajo, que le permite disponer de un supercomputador como el Atlas 2, destinado a la investigación atómica, lo programa por las noches para escribir lo que llama “poesía de computadora”. Lo que hace es escribir un programa con un algoritmo que selecciona palabras de una lista y crear así líneas repetitivas.

 

 

Coetzee lo cuenta en este video

No acaba aquí su relación con la computación y los algoritmos. En 1969 se doctora en lingüística computacional por la Universidad de Texas en Austin, con un trabajo en el que desarrolla un análisis computerizado de la obra de Samuel Beckett.

Coetzee se dedicó luego a dar clases de Lengua y Literatura Inglesas en la Universidad Estatal de Nueva York en Búfalo (EE. UU.) hasta 1983. Tras un paso como profesor en la Universidad de Adelaida (Australia) como profesor de Inglés. De hecho, allí adquirió la nacionalidad australiana.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Perigal, el británico que incluyó su demostración del Teorema de Pitágoras en sus tarjetas de visita


¿Estaría usted tan orgulloso de una demostración del Teorema de Pitágoras que la usaría como logo para su tarjeta de visita profesional? Henry Perigal, contable de profesión y matemático aficionado, sí lo hizo. Contaremos algunos datos sobre la vida y milagros de este curioso personaje británico.

Henry Perigal

Henry Perigal nació en 1 de abril de 1801, en Newington, un distrito del sur de Londres, y murió también en esta ciudad a la avanzada edad de 97 años, el 6 de junio de 1898. Perigal era descendiente de una familia de hugonotes que emigraron a Inglaterra a finales del siglo XVII, huyendo de las persecuciones religiosas. Trabajó como contable desde la década de los 1840, aunque las matemáticas fueron siempre su gran pasión.

Desde 1868 a 1897 fue socio de la London Mathematical Society, tesorero y miembro de la Royal Meteorological Society durante 45 años (1853-hasta su muerte en 1898), miembro electo de la Royal Astronomical Society en 1850, y miembro de la  British Astronomical Association desde 1890. Estos datos indican que no solo era un aficionado, sino que estuvo siempre muy comprometido con la comunidad científica británica.

Perigal logró su fama con su demostración del Teorema de Pitágoras usando un método que el llamó de disección. En su obra Geometric Dissections and Transpositions, copia el cuadrado que corresponde al cateto menor en el centro del cuadrado mayor que corresponde a la hipotenusa, prolonga los lados del pequeño y descompone el grande en cinco piezas que hace encajar perfectamente en los cuadrados correspondientes a los dos catetos. Este video explica la prueba de Perigal en el tiempo récord de 33 segundos:

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Su entusiasmo fue tal que incluyó este dibujo en sus tarjetas de visita:

 

Perigal era un experto en algunos trabajos manuales, con el torno, y fue capaz de ayudar a Augustus De Morgan en la elaboración de modelos de madera de curvas para uno de sus libros de matemáticas. Este artefacto, guardado en la Royal Astronomical Society, es una de sus obras:

 

Perigal también hacía sus pinitos poéticos y se conservan algunos de sus versos. Digamos que tenía una idea errónea sobre la Luna, ya que negaba su rotación. Estos versos son parte del poema The Moon Controversy, Part I – Explanation:

Thus folks, who advocate this notion,

Ascribe to her a double-motion;

Resulting from co-operation

Of Revolution and Rotation.

Una curiosidad más sobre Perigal. Fue elegido miembro de la Royal Institution (hoy en día, una prestigiosa institutción dedicada a la difusión de la ciencia en la vida cotidiana), a los 94 años, propuesto por eminentes científicos. Y como muestra final de su amor por las matemáticas y Pitágoras, su prueba con la técnica de la disección ilustra también su tumba, supuestamente por encargo expreso suyo.

Su cuerpo fue incinerado y las cenizas sepultadas en la Iglesia de St. Mary and St. Peter en Wennington, Essex, a unas 15 millas del centro de Londres. En la tumba está escrito:

    Sacred to the memory of / HENRY PERIGAL / (Cyclops) / F.R.A.S. F.R.M.S. M.R.I. / 40 years treasurer of Met. S. &c. / Born 1st April 1801. / Died 6th June 1898. / Cremated at Woking / His ashes lie beneath / Descended from a Huguenot family / who escaped from France to England / after the revocation of the / edict of Nantes in 1633.

    A learned and ingenious geometrician / he investigated and illustrated / the laws of / compound circular motion.

 

 

Perigal no fue un matemático profesional, pero ya hemos alabado en otra entrada de Matemáticas y sus fronteras el trabajo de los aficionados a las matemáticas (veáse Elogio del matemático aficionado). En su caso, la técnica de las disecciones cuajó y hoy es un tema que genera bastante actividad matemática.

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¡No diga backgammon, diga Matemáticas!


Una de mis últimas lecturas ha sido la última novela de Jonathan Lethen, titulada “Anatomía de un jugador”. Lethen no es un cualquiera, ha sido Premio Nacional de la Crítica en 1999 en Estados Unidos por su obra “Huérfanos de Brroklyn”. “Anatomía de un jugador” es la historia de Alexander Bruno, un jugador, pero un jugador de backgammon. Va de un lado a otro, con su estuche de backgammon y la funda del esmoquin, dispuesto a jugar sus partidas con gente de dinero dispuestos a apostar grandes sumas. Su habilidad le sirve para que pueda darse una vida lujosa. Un día pasan cosas y aquí me detengo porque no le voy a fastidiar la trama a ningún lector.

 

Mi interés matemático por la novela se despierta por el juego en sí, el backgammon, que es un auténtico protagonista en la historia. No es un juego tan popular como el ajedrez, y mezcla el azar con la estrategia. La pregunta que me hice fue, ¿cúanto hay de azar y cuánto de estrategia?

En primer lugar, digamos que es un juego muy antiguo, que se emonta a la antigua Babilonia y a unos 5000 años de existencia. De hecho, se le considera el juego de tablero más antiguo del mundo. Se encontró una mesa de juego durante unas excavaciones arqueológicas en la ciudad de Shahr-i Sokhta, en el actual Irán. El juego se conoce en España con nombres como tablas reales, chaquete o chanchullo.

Describamos brevemente el juego (remitimos a esta página web para más detalles) . El backgammon consiste en un tablero dividido en cuatro partes de seis regiones triangulares sobre las que se colocan las piezas o fichas. Los jugadores son dos, y las fichas son de dos colores diferentes, por ejemplo, blancas y marrones, o rojas y negras. Las fichas se colocan en una posición inicial tal y como puede verse en la figura:

 

Se van tirando dos dados simultáneamente, y las fichas se pueden mover (unas en el sentido de las agujas de un reloj, las otras en el sentido contrario) de acuerdo con los resultados de las tiradas (una de las gracias del juego y que permite acciones estratégicas es que se pueden mover dos fichas según el resultado en cada dado, o una con la suma de ambos dados).

El juego comienza con una tirada de dados para decidir quién comienza el juego, que será el que obtenga mayor puntuación. En este caso, se tira uno solo de los dados y se comienza ya (según el orden) a mover las fichas. Posteriormente, el jugador que tiene el turno tira los dados y mueve las fichas según hemos indicado antes. Hay que recordar que una ficha no se puede mover a una posición bloqueada, es decir, donde se encuentran dos o más fichas contrarias. Si sólo existe una ficha contraria, la ficha es “capturada” y se coloca en la barra vertical (veáse la figura). Otra regla importante es que si el rtival captura una de tus fichas, tienes la obligación de volverla a introducir en cuanto puedas (si no se puede, se perdería el turno de jugada).

Otra característica interesante del backgammon es la doblada. Cuando un jugador en el momento de lanzar consigue un doble (los dos dados con el mismo valor), debe duplicar a su vez el movimiento, es decir, debe realizar cuatro movimientos por el valor que hubiera salido en los dados.

En el backgammon, los jugadores suelen pactar previamente un número de puntos, y vencerá el jugador que antes los alcance. Así que habitualmente son varias las partidas que se juegan. A lo largo de un juego, antes de tirar sus dados, cada jugador tiene la opción de ofrecer doblar la apuesta al contrario. Si en un momento dado un jugador ofrece una apuesta y el contrario no acepta, el que ha realizado la apuesta gana lo apostado hasta entonces y el juego se da por finalizado. El jugador que acepta la apuesta podrá volver a doblarla posteriormente; este mecanismo de doblar la apuesta ambos jugadores alternativamente puede repetirse sucesivas veces. Cuando el jugador que vence un juego queda a un solo punto de ganar la partida, durante el siguiente juego no será posible doblar la apuesta.

Si un jugador consigue sacar todas sus piezas del tablero antes de que el contrario haya conseguido siquiera sacar una sola, el juego es declarado doble o gammon, lo que implica que el valor de lo apostado será computado doble. Si además de no sacar ninguna pieza el contrario todavía tiene alguna de sus piezas capturada o en el primero de los cuadrantes del recorrido, el juego se considera backgammon, y en este caso la apuesta computa el triple.

En su novela, Lethem hace un guiño a la doblada, así que los capítulos se numeran como sigue: Uno, Dos, Cuatro, Ocho, Dieciséis, Treinta y dos, Sesenta y cuatro, Gammon y Backgammon. Y cada uno cuenta con cuatro partes.

Si no ha quedado muy clara la dinámica del juego, este video ayudará mucho (y hay muchos más circulando por la red):

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Una de las características de nuestro mundo es que en cualquier tema que te llame la atención, encontrarás multitud de personas que ya han pasado por allí. Así que tras una búsqueda en internet, encontramos libros como este, “The Mathematical Theory Behind Backgammon”, de Ali Khayat,

o este otro, “Luck, Logic, and White Lies: The Mathematics of Games”, de Jörg Bewersdorff, con su capítulo “”Backgammon: To Double or Not to Double”

 

así como una buena cantidad de artículos en los que se tratan desde diferentes puntos de vista las matemáticas que rigen la dinámica del juego.  La teoría de probabilidades es una de las cuestiones a tener en cuenta, ya que conocer las probabilidades de sacar un número, bien en uno de los dados o con la suma, será de gran ayuda.

Esa combinación de azar y estrategia ha llevado también a un interés de los investigadores en las ciencias de la computación, y hoy en día, se ha desarrollado software como el TD-Gammon de IBM, con potencia suficiente para derrotar a jugadores humanos.

En su artículo “It’s All About Math—How I Learned This the Hard Way!”, Phil Simborg cuenta como llegó a la conclusión de que para ser un buen jugador de backgammon, hay que aplicar las matemáticas. Su resumen es aplastante:

Backgammon is Math.  If you want to improve your game, work on the math.  It’s that simple.

Y es que el backgammon reúne muchos elementos de las matemáticas: Lógica, Combinatoria y Probabilidades. ¡Qué más podíamos pedir! Si están interesados en saber más desde el punto matemático, este es uno de los numerosos artículos que se publican sobre el tema “Estimating Winning Probabilities in Backgammon Races”.

Confieso que hace muchos años jugué al backgammon, no muchas partidas. No recuerdo si ganaba o no, pero en caso de pérdida siempre nos quedará el consuelo de la sabiduría de los jugadores de backgammon que nos recuerda Ali Khayat: “Si pierdes en el backgammon, ganarás en el amor”.

Les dejo con una partida completa de backgammon, y les animo a practicarlo (trataré de seguir mi propio consejo):

 

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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El yo creativo de los matemáticos


Siempre digo que Oliver Sacks es una fuente de inspiración, y este es el caso de esta entrada. Una pregunta que se hace en su libro “El río se la conciencia” es donde reside la fuente de la creatividad. Sacks afirma que es precisa una base de conocimiento y pericia, fruto de una educación centrada pero no rígida, es necesaria para que la inteligencia, el talento y la creatividad se manifiesten.

Henri Poincaré

A veces, es necesario incubar un tema durante un tiempo hasta que surge la idea. En el capítulo “El yo creativo” narra el caso del matemático Henri Poincaré, recogido también en el libro de Jacques Hadamard, “Psicología de la invención en el campo matemático”, recientemente reeditado en 2011 de la antigua edición de Espasa-Calpe por la Real Sociedad Matemática Española con ocasión del centenario de su fundación. Cuenta Poincaré en su autobiografía que estando trabajando en un problema matemático al que no le encontraba una solución, decidió emprender una excursión geológica patrocinada por la Escuela de Minas, para aliviar su frustación y ventilar su cabeza. Y esto es lo que le sucedió uno de esos días que duró la excursión:

“Entramos en un ómnibus para ir a no sé dónde. En cuanto puse el pie en el estribo, se me ocurrió una idea, sin que nada en mis pensamientos anteriores pareciera haber preparado el terreno: que las transformaciones que había utilizado para definir las funciones fuchsianas eran idénticas a las de la geometría no euclidiana. No verifiqué la idea; es posible que no tuviera tiempo, pues proseguí una conversación ya iniciada, pero sentí una certeza absoluta. A mi regreso a Caen, para quedarme tranquilo, verifiqué el resultado con calma.”

No fue la única vez que le ocurrió algo similar. En otra ocasión, trabajando en otro problema, se decidió por pasar unos días en la playa. Y allí:

“Una mañana, paseando or la costa, me vino la idea, con las mismas características de brevedad, instantaneidad e inmediata sensación de certeza, que las transformaciones aritméticas de las formas cuadráticas ternarias indefinidas eran idénticas a las de la geometría no euclidiana.”

Estas dos historias comenzaron con una terrible noche de insomnio y café negro, de la que Poincaré dice“se me presentaban multitud de ideas que sentía chocar entre sí hasta agruparse en pares y formar, or decirlo así, combinaciones fijas”. Poincaré estaba fascinaso con este fenómeno de la “iluminación instantánea”, porque tenía que ser precedido de un trabajo profundo e inconsciente que no controlaba.

En mi experiencia personal como investigador matemático, y sin pretender compararme con un genio como lo fue Henri Poincaré, si he disfrutado de experiencias parecidas. Te pasas semanas pensando en un determinado problema que no acabas de entender y, de repente, un día lo tienes delante con toda claridad. Es la cocina matemática de nuestro inconsciente.

Jacques Hadamard

Recomiendo vivamente no solo la lectura del libro de Sacks, sino también la del libro de Hadamard, porque es una obra ciertamente singular y que merecería una lectura atenta por parte de los neurocientíficos.

 

Srinivasa Ramanujan

Quiero terminar con otro genio de las matemáticas, Srinivasa Ramanujan. Ramanujan era un creyente hindú, ascético y vegetariano, y decía que sus teoremas matemáticos eran inspirados directamente por la diosa Namagiri, durante sus sueños (véase la entrada de este blog, La inspiración de Namagiri). Que esos resultados venían a él. Namagiri, Sri Namagiri Lakshmi, la diosa hinduista venerada como la esposa de Narashima, un avatar del dios Vishnu, era la diosa familiar de la familia de Ramanujan. Digamos que entre el yo inconsciente de Poincaré y la divinidad de Ramanujan, se han ido construyendo grandes resultados matemáticos. Que disfrutemos de muchos Ramanujan y muchos Poincaré.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Goro Shimura, un gigante de la Teoría de números


Goro Shimura, que en la actualidad era profesor emérito en la Universidad de Princeton, falleció el pasado 3 de mayo, en Princeton, a la edad de 89 años. Aunque no hemos hablado directamente de Shimura en Matemáticas y sus fronteras, si que nos hemos referido a él en varias ocasiones por su relación con la conjetura de Shimura-Taniyama y la prueba por Andrew Wiles del Teorema de Fermat.

Goro Shimura

Shimura fue uno de los grandes matemáticos japoneses del siglo XX. Nació el 23 de febrero de 1930, en la ciudad de Hamamatsu. Sus estudios escolares estuvieron mediatizados or la Segunda Guerra Mundial, y él mismo recuerda como en 1944 la escuela se cerró y los llevaron a una fábrica para trabajar en la elaboración de piezas de aeroplanos. Finalmente, hizo sus estudios de matemáticas en la Universidad de Tokyo, graduándose en 1952. En 1958, se doctoró en esa misma universidad.

Sus primeros comienzos como profesor fueron en Tokyo, aunque viajó a París y después a Princeton, al Instituto de Estudios Avanzados, para volver a Toyko. A su vuelta, se casó con Chikako Ishiguro, y se trasladó a la Universidad de Osaka. Como muchos profesores asiáticos, ante la mala situación económica en esos años, decidió trasladarse a los Estados Unidos, y con la ayuda de su amigo André Weil, obtuvo una plaza en Princeton en 1964. Allí trabajó hasta su jubilación en 1999.

Goro Shimura es uno de los grandes nombres en Teoría de Números y Geometría Algebraica, y su nombre quedará ligado para siempre al de su gran amigo Yutaka Taniyama, con el que desarrolló la llamada conjetura de Shimura-Taniyama, decisiva en la demostración del teorema de Fermat por Andrew Wiles. Taniyama tuvo una vida trágica, y se suicidó el 17 de noviembre de 1958, a los 31 años. Dejó escrito: “Hasta ayer, no tenía la intención definitiva de suicidarme. Más de uno debe haber notado que últimamente estoy cansado tanto física como mentalmente. Yo mismo no lo entiendo del todo, pero no es el resultado de un incidente particular, ni una cuestión específica. Simplemente quiero decir que he perdido la confianza en el futuro. Quizás mi suicidio pueda perturbar o ser un duro golpe para ciertas personas. Espero sinceramente que este incidente no ensombrezca la vida de esta persona. En cualquier caso, no puedo negar que esta es una especie de traición. Excusad mi comportamiento. Es el último acto que hago a mi manera, como he venido haciendo mi manera toda mi vida.” Poco después su novia, Misako Suzuki, también se suicidó dejando una nota que decía: “Nos prometimos que no importaría a dónde nos dirigiéramos, nunca nos separaríamos. Ahora que se ha ido, yo también me tengo que ir a reunirme con él.” (Para más detalles, consultar la entrada Suicidos matemáticos). Shimura siempre se sintiói culpàble de no haber prestado más atención a su amigo (escribió este artículo, YUTAKA TANIYAMA AND HIS TIME. Very Personal Recollections, sobre su querido amigo).

Ese famoso postulado de Taniyama-Shimura dice que a cada forma modular le corresponde una curva elíptica y viceversa. Años después, en 1980, el matemático alemán Gerhard Frey planteó que el último teorema de Fermat podría representarse como una curva elíptica muy especial, cuya correspondencia modular no podría establecerse. Así, si la curva elíptica que describiera el teorema de Fermat existiera, habría un contrajemplo para la conjetura japonesa y se refutaría. En la década de los 90, el inglés Andrew Wiles decidió probar la conjetura de Taniyama-Shimura, que demostraría automáticamente el teorema de Fermat. Su prueba se presentó en una serie de conferencias en la Universidad de Cambridge, y aunque contenía un error, este se resolvió satisfactoriamente con la ayuda de uno de sus estudiantes, Richard Taylor. (Más detalles en La demostración de un teorema y en el artículo Del margen a la gloria: la historia de Andrew Wiles).

Pieza de porcelana del periodo Edo

Shimura ha dirigido casi una treintena de tesis doctorales, con alumnos muy distinguidos. Ha recibido también numerosos reconocimientos por su trabajo de investigación. Dos de sus grandes hobies fueron el juego del shogi (el llamado ajedrez japonés) y las porcelanas de Imari, que él coleccionó durante 30 años y sobre las que escribió un libro.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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El hombre que pudo ser el matemático más brillante del siglo XX


Leyendo el último libro de Oliver Sacks, “El río de la conciencia”, me he encontrado en el capítulo “El yo creativo”, con una referencia a la autobiografía de Norbert Wiener (el matemático considerado el padre de la Cibernética) que me ha llevado a un personaje hasta ahora desconocido por mi parte, William James Sidis.

 

William James Sidis

La autobiografía de Wiener se titula “Ex Prodigy”, y en ella recuerda sus años de estudio en la Universidad de Harvard. Wiener entró en Harvard a la increíble edad de catorce años, y se doctoró en matemáticas a los diecisiete; un claro ejemplo de genio. Pero él recuerda a un brillante colega suyo, Sidis, que entró en Harvard a los once años para estudiar matemáticas, aunque abandonó sus estudios a los dieciséis para dedicarse a otras actividades. Sidis alcanzó mucha notoriedad en su tiempo en Estados Unidos, y se le adjudicaba un coeficiente intelectual entre 250 y 300, lo que llevó a considerarle “el hombre más inteligente del mundo”. No cabe duda que Sidis merecía ser recordado en Matemáticas y sus fronteras.

Los padres de William James Sidis, Boris y Sarah, llegaron a los Estados Unidos como muchos inmigrantes judíos que huían de las persecuciones en Rusia y Ucrania (los progroms). Boris Sidis se convirtió en un eminente psicólogo, y su esposa Sarah en una de las pimeras mujeres en obtener una licenciatura en Medicina. Además de su brillantez intelectual, también adquirieron cierta fama de excéntricos.

William James Sidis, niño prodigio

 

William James nació el 1 de abril de 1898, y su nombre le viene del ilustre filósfo William James, que fue su padrino. Estimulado por el ambiente de su casa, desarrolló su genialidad innata: a los dieciocho meses leía The New York Times y a los ocho años hablaba latín, griego, francés, ruso, inglés, alemán, hebreo, turco y armenio, y había inventado un nuevo lenguaje que él llamó el vendergood.  También a esa edad, propuso una nueva tabla de logaritmos con 12 como base en vez de 10. Su padre escribió un libro sobre su hijo, Philistine and Genius, con lo que William comenzó a gozar de una gran fama en todo el país.

A los once años, en 1909, entró en la Universidad de Harvard, y dio una charla en enero de 1910, en el Club de Matemáticas, una distición insólita para su edad. Su audiencia se componía de un centenar de profesores y alumnos de cursos avanzados de matemáticas, y el tema que trató fue sobre los “cuerpos de cuatro dimensiones”. Este es un extracto:

“My own definition of the Fourth Dimension would be that it is an Euclidian space with one dimension added. It is the projection of the figures of the Third Dimension into space. The third dimensional figures, such as the cube, are used as sides of the figures of the Fourth Dimension, and the figures of the Fourth Dimension are called configurations. It is not possible to actually construct models of the figures of the Fourth Dimension, or to conceive of them in the mind’s eye, but it is easy to construct them by means of Euclid’s theorem.”

El Profesor Daniel F. Comstock del Massachusetts Institute of Technology (MIT) declaró a los periodistas que el joven Sidis sería uno de los más grandes matemáticos de la historia (lo comparó con Gauss por su precocidad).

William James Sidis, en 1914

Se graduó a los dieciséis años, con la máxima calificación, el 18 de junio de 1914. Todo prometía una brillante carrera en la investigación matemática. Sus intenciones eran dedicarse al estudio llevando una vida monacal.

Tras algunos problemas de acoso en Harvard por otros estudiantes, William se trasladó como profesor a la Universidad de Rice, aunque lo dejó porque su juventud y la fama que le precedía no le permitían el sosiego que buscaba. Volvió a Harvard, y comenzó a estudiar Derecho, pero no acabó de gustarle esta carrera. Sus ideas políticas, orientadas al socialismo, le llevaron a un arresto tras una manifestación el 1 de mayo de 1919.  Un policía lo vió enarbolando una bandera roja y le preguntó que por qué no portaba la enseña norteamricana; su respuesta fue: “Al infierno con la bandera americana!”. Lo negó todo en el juicio, y fue condenado a 18 meses de cárcel.

Evitó la prisión gracias a la influencia de sus padres, que lo llevaron a California para mantenerlo alejado un tiempo. Volvió en 1921 a la Costa Este, y desempeñó empleos de portero, y similares. Pasaron años hasta que pudo volver libremente a Massachusetts, debido a un peligro de arresto por su detención y sus ideas.

William James Sidis y su gran amigo Isaac Rabinowitz, en 1943

Sidis escribió sobre muchos temas: cosmología, la historia de los indios americanos, antropología, transportes, … Una de sus obras más conocidas es The Animate and the Inanimate, publicada en 1925, en la que afirma que habría regiones del espacio en las que no se cumpliría la segunda ley de la termodinámica. Una de sus obsesiones era el transporte, especialmente los tranvías, y era un coleccionista de billetes (llegó a reunir unos 1600), una aficción que se llama peridromofilia (Sidis acuñó el nombre); escribió bajo seudónimo un tratado sobre Notes on the Collection of Streetcar Transfers.

 

Sidis trató de vivir en su madurez fuera de los ojos del público, como un oficinista más, pero había alcanzado cierta notoriedad por su genio precoz, y defendió siempre este derecho. De hecho, un artículo en The New Yorker sobre él le llevó a demandar a la publicación, que fue condenada por la invasión de su vida privada.

 

Sidis murió en Boston el 17 de julio de 1944, a los 46 años, a causa de una hemorragia cerebral, tal y como le había sucedido a su padre, también a una edad relativamente temprana. Su casera telefoneó a la policía para dar cuenta de que lo había encontrado inconsciente en su apartamento, y ya no pudo recuperarse.

Este video relate su historia

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La de un hombre que pudo ser un gran genio de las matemáticas pero que no encontró su lugar.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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