¿Quién lo vió primero?


Aunque ese grupo que tanto queremos se refiere a la música y no creo que ninguno de los personajes de los que hablaremos acaben algún día en El Hormiguero, el “yo lo ví primero” es algo que a los científicos, pero muy especialmente a los matemáticos, nos afecta sobremanera.

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Las Odio: Yo lo ví primero

Imagínese que esta usted años trabajando sobre un tema determinado, tratando de probar un resultado y cuando ya casi lo tiene, descubre que otro se le ha adelantado y lo ha publicado ya. Ahí es donde usted se tira de los pelos y odia con todas sus fuerzas al competidor. Esto ocurre con alguna frecuencia en matemáticas, cada vez menos por la reciente digitalización que permite colocar en el mercado el primer producto (preprint) en algún servidor de archivos (en nuestro caso, en arxiv) sin tener que esperar meses y muchas veces años hasta que nuestro artículo era aceptado en una revista especializada.

La fuerza que juega en contra es la los múltiples congresos donde uno va a contar los estados todavía no finales en muchos casos de nuestra investigación, y de donde algún avispado puede querer tomar ventaja. Y no digamos en los procesos de evaluación, donde ya hemos visto a alguno aprovechándose del acceso confidencial a un artículo sometido a referato.

Y es que lo que era colaboración ha pasado a competición, y el “publish and perish” está por delante de cualquier consideración ética (aunque en honor de la verdad debemos decir que, afortunadamente, queda mucha gente honesta en la disciplina).

Grigori Perelman

Y podemos poner algunos ejemplos de historias famosas. Algunas que han acabado muy bien, otras que han ido a los tribunales. Hace ahora poco mas de diez años, el mundo matemático se vio conmocionado por al terremoto Perelman. El matemático Grigori Perelman anunció la demostración de la conjetura de Poincaré, una de las cuestiones mas apasionantes de las matemáticas de los últimos cien años. Perelman, en un ejercicio de pureza matemática a lo Dostoyevsky, renunció a su medalla Fields y a su premio del Instituto Clay, pero puesto que no había publicado sus resultados mas que en forma de preprints en arxiv, se anunció que la demostración había sido hecha por dos estudiantes del chino-norteamericano Shing-Tung Yau, catedrático en la Universidad de Harvard y medallista Fields. Se trataba de Huai-Dong Cao de la Universidad de Lehigh y Xi-Ping Zhu de la Universidad de Zhongshan. Yau anunció que ellos habían demostrado la conjetura de Poincaré en una revista, The Asian Journal of Mathematics, de la cuál Yau era director. Esto que dio lugar a una polémica en The New York Times que acabó en los tribunales. Recomendamos al lector esta página web en la que puede encontrar todos los detalles.

El segundo caso, de éxito, es el de una prueba de un importante resultado en teoría de nudos. Cuatro grupos diferentes de investigadores (P. Freyd, D. Yetter; J. Hoste; W. B. R. Lickorish, K. Millett; y A. Ocneanu) llegaron a las mismas conclusiones al tiempo y sometieron sus resultados al Bulletin of the American Mathematical Society entre finales de septiembre y principios de octubre de 1984. El resultado era la obtención de existencia y propiedades de nuevos invariantes de nudos. Decidieron publicar un artículo conjunto en el Bulletin of the American Mathematical Society en el que tras una introducción común, se detallaban los diferentes puntos de vista de cada uno. Un ejemplo de colaboración.

Andrew Wiles al lado de una estatua de Pierre de Fermat

Y finalizamos con el caso de Andrew Wiles, el hombre que resolvió el teorema de Fermat. Consciente del interés del tema, Wiles estuvo recluido seis años trabajando en lo que era su obsesión desde muy joven, sin que nadie supiera lo que estaba haciendo excepto su esposa. Cuando ya estuvo seguro, impartió una serie de tres seminarios en el Instituto Isaac Newton de la Universidad de Cambridge en 1993 que iban atrayendo cada vez a mas curiosos. Finalmente, dijo: “He probado un caso general de la conjetura de Taniyama y por lo tanto el último teorema de Fermat es cierto”.  Él lo vió primero.

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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Amasar el blog


“Hay que amasar el pan con las manos, con la punta de los dedos, con los antebrazos, con los hombros, con fuerza y con debilidad… Hay que amasar el pan con rencor, con tristeza, con recuerdos, con el corazón hecho pedazos, con los muertos… amasar el pan con cansancio, por cansancio, contra el cansancio… Hay que amasar el pan para vivir, porque se vive, para seguir viviendo. Escribir. Amasar el pan. No hay diferencia”.

Estas palabras las leí hace unas semanas en la columna de la escritora Leila Guerriero en El País, y se me quedaron grabadas porque reflejan perfectamente la tarea que hay detrás de un blog. Cada dos o tres días, una entrada nueva, amasada el día anterior, casi siempre cuando ya no te quedan muchas fuerzas para escribir al final de la jornada. Pero amasas, porque el blog demanda su ración de pan.

Y debes buscar la inspiración. ¿Dónde? Cuando vas ya camino de las mil entradas se adquiere una cierta habilidad (nunca maestría, el fracaso acecha a la vuelta de la esquina), y la inspiración llega desde cualquier lugar. Una canción, un artículo, una frase, un acontecimiento, son suficientes para poner en marcha los músculos de amasar.

Pero cada día es diferente, y lo que vale para hoy puede no gustar mañana, así que nos tenemos que reinventar. Y es un reinventarse frecuente. Yo digo a veces que siempre estamos escribiendo el mismo artículo de investigación, buscando el artículo perfecto que nunca acaba de llegar. No se si alguna vez llegará la entrada perfecta de este blog.

Y las grandes preguntas son: ¿Por qué escribimos? ¿Para quién escribimos, si es que escribimos para alguien? Sabemos que alguien nos va a leer, si nadie fuera a leernos probablemente no lo haríamos, ¿o sí? Porque saber que esa gente que no conocemos espera nuestro producto nos satisface, colma nuestra vanidad. Y seguimos amasando.

Decía Amelie Nothomb: “Me preguntan por qué elegí escribir. Yo no lo elegí. Es igual que enamorarse. Se sabe que no es una buena idea y uno no sabe cómo ha llegado ahí pero al menos, hay que intentarlo. Se le dedica toda la energía, todos los pensamientos, todo el tiempo. Escribir es un acto y al igual que el amor, es algo que se hace. Se desconoce su modo de empleo, así que se inventa porque necesariamente hay que encontrar un medio para hacerlo, un medio para conseguirlo.”

Por eso escribimos en este blog, por eso amasamos cada día el pan que trataremos de colocar al día siguiente. El blog nos eligió.

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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Instrumentos musicales, animales y las matemáticas


Seguimos en esta nueva entrada hablando de música y matemáticas, hoy con los instrumentos musicales.

Las familias de instrumentos se dividen en tres clases: cuerda, viento y percusión. A su vez, cada una de estas familias se divide en subfamilias: arco, arpa y piano para la primera, madera y metal para la segunda y parches e idiófonos para la última. La característica común de todos estos instrumentos tan distintos en principio, es que su sonido enmascara una ley física y, consecuentemente, una ley matemática.

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Los Straitjackets – “Yeah Yeah Yeah”

Ya hemos comentado el monocordio de Pitágoras, y es evidente que éste supuso el preludio de los instrumentos de cuerda. El mecanismo de una guitarra es el mismo monocordio multiplicado por seis. También lo es en el caso del piano, cuyo mecanismo, aunque más escondido, también se corresponde con el de la cuerda pulsada.

Instrumentos de la orquesta

Para entender el mecanismo de los instrumentos, necesitamos utilizar la física de las ondas. La física de ondas es una materia de estudio desde hace siglos; de hecho, todos hemos disfrutado en nuestra niñez de nuestro primer experimento con la física de ondas: lanzar una piedra al agua y observar la propagación del agua circundante en forma de frente de onda con simetría esférica.

En 1834, John Scott Russell observó por primera vez un caso particular de onda, los denominados solitones. El fenómeno observado por este ingeniero escocés, fue la propagación de una onda surgida en las aguas de un canal como estela de la pieza arrastrada por dos caballos uncidos al yugo.

El solitón se definió en aquel momento como una onda imperturbable, muy localizada, que remontaba su altura y velocidad a pesar de la corriente. Desde entonces, las propiedades de scattering de estas ondas y su presencia en múltiples fenómenos físicos (principalmente a altas energías en las que se ponen de manifiesto los efectos no lineales) son un tema de enorme interés.

Sin embargo, la física de ondas subyacente a los instrumentos es más sencilla que la de los denominados solitones. Para poder entenderlo, conviene revisar cómo se produce el sonido.

De forma muy simplificada, podemos definir la música como un conjunto de sonidos armoniosos que deleitan nuestro sentido auditivo. También de forma muy simplificada, diremos que el sonido es un conjunto de ondas sonoras. Si seguimos concatenando definiciones simplificadas, a su vez las ondas sonoras son un conjunto de vibraciones que alteran el aire en que se propagan, produciendo cambios de presión, que constituyen las ondas sonoras.

Las ondas de sonido son longitudinales, quiere decir que su dirección de vibración y desplazamiento son la misma. Existen ondas transversales, en las que la dirección de desplazamiento de la onda es perpendicular a la dirección de vibración. Este es el caso del ejemplo descrito para las ondas esféricas provocadas al tirar una piedra en un estanque.

Las ondas longitudinales vienen descritas por su longitud de onda que se define como la distancia entre dos crestas o vientres o la distancia entre dos nodos. Se representa mediante la letra griega lambda. En otras palabras, la longitud de onda es  distancia entre dos puntos consecutivos de máxima vibración o de mínima, respectivamente. La inversa de la longitud de onda se denomina frecuencia, y así puede entenderse como el número de repeticiones por unidad de tiempo. Se mide en Hertzs en el SI, en honor al físico alemán, premio Nobel en 1925 por sus aportaciones al estudio de la corriente eléctrica.

El tono de nuestro sonido musical se identifica con la frecuencia. Decimos que nuestro sonido es grave si las vibraciones son de baja frecuencia y decimos que sonamos agudo si emitimos vibraciones de alta frecuencia. En el caso de que nuestra frecuencia sonora se duplique, decimos que estamos una octava por encima. El oído humano es capaz de identificar un rango de diez octavas en la escala de frecuencias sonoras, pero muchos animales superan con creces nuestras posibilidades. Por ejemplo, los murciélagos emiten sonidos, cuya onda rebotada contra el entorno, es interpretada por sus sistemas nerviosos. Los delfines proceden de manera similar, lanzando chillidos que rebotan en sus mandíbulas, con lo que consiguen una idea clara de cómo es su entorno.

Los elefantes tienen un oído más agudizado que el humano, siendo capaces de detectar frecuencias veinte veces inferiores a nuestro rango auditivo. Este hecho se debe al fenómeno de propagación de ondas sonoras a través de sus patas y trompas. Las palomas, también son capaces de detectar frecuencias tan bajas que hacen de su sentido de la orientación un paradigma.

El volumen de nuestra música está relacionado con la amplitud de las ondas de sonido. Definimos la amplitud de la onda como la distancia entre el eje de las X y la altura máxima de vibración de la onda.

Sin embargo, nuestra forma de percepción del volumen acústico no es lineal. La escala es logarítmica y sigue la siguiente ecuación matemática.

L= 10 log10 I/I

donde I es la potencia a estudiar en vatios, I0 es un valor de referencia igual a 10-12 v/m2 (vatios por metro cuadrado) y el logaritmo es el logaritmo en base diez.

El cálculo resultante mide la sensación de un oyente. Es una cantidad de potencia y se mide en decibelios. Un decibelio es la décima parte de un belio, que es el logaritmo de la relación entre la cantidad estudiada y la de referencia. A efectos prácticos, es más cómodo el uso de los decibelios. El nombre belio se acuñó en honor al científico escocés Graham Bell.

El timbre depende de la forma de la onda sonora. Los instrumentos, debido a su construcción y forma, impondrán condiciones de contorno sobre nuestra onda. De ahí que surjan diferentes sonidos, basados en la topología del instrumento.

Dos sonidos con tonos diferentes, más agudo el de 440 Hz y más grave el de 200 Hz

En general, las ondas generadas por los instrumentos son de carácter sinusoidal, es decir, su ecuación descriptiva fundamental es una función seno. Las combinaciones de conjuntos de sinusoides, componen la melodía. A la frecuencia más baja se la denomina frecuencia fundamental, por consiguiente, aquella con longitud de onda mayor (equivalente a no pulsar en ningún punto intermedio la cuerda de una guitarra, por ejemplo). A las frecuencias más altas, correspondientes a longitudes de onda menores, se les denomina armónicos. La generación de armónicos es comparable a pulsar una cuerda en un número determinado de puntos, es decir, dar lugar a la “creación de nodos” o puntos de mínima vibración por efecto de la presión ejercida (con los dedos en los trastes).

En el caso de los instrumentos de viento, la creación de estos nodos es directa, dependiendo del número de orificios que tapemos en una flauta y su disposición conveniente.

De esta manera, la propagación y características de las ondas sonoras son equivalentes en las tres familias de instrumentos, salvo que su forma de fabricación y materiales influyen en el resultado, pero la misma noción física es aplicable a todos ellos.

En el caso del tambor, la onda se propaga en la superficie construida por una membrana denominada parche. Las ondas creadas son tan sensibles que dependen del material del parche y de su grosor, afectando a los armónicos producidos. Por ejemplo, en el caso del jazz se utilizan parches texturizados, o parches con un material adicional que ejerce un efecto de fricción en las escobillas.

La geometría del instrumento también es crucial. En el caso de un tambor con simetría esférica, las ondas tienden a propagarse adecuándose a la forma del instrumento.  El sonido resultante será en parte dependiente no sólo de la geometría circular de la membrana, sino también del cilindro que actúa como caja de resonancia del tambor y además de sus bordes. Por todas estas razones, podemos decir que “podemos oír la forma de un tambor”.

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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El hombre de las rendijas


Thomas Young (Milverton, Somerset, (13 de junio de 1773-Londres, 10 de mayo, 1829) fue un científico británico muy especial. Fue lo que se suele llamar un polímata, un hombre del Renacimiento, capaz de estudiar en profundidad temas muy diversos, como la visión, la naturaleza de la luz, la música y la egiptología, sin olvidar su profesión de médico. Por ejemplo, contribuyó decisivamente a descifrar los jeroglíficos de la piedra de La Rosetta anticipándose a Jean-François Champollion. No es de extrañar que se le dedicara un libro, escrito por Andrew Robinson en 2007, con este sugestivo título: “The Last Man Who Knew Everything: Thomas Young, the Anonymous Genius who Proved Newton Wrong and Deciphered the Rosetta Stone, among Other Surprising Feats.”

Thomas Young

Como en el caso de Agustin Fresnel que recordábamos hace unos días, Young experimentó en su niñez la influencia religiosa, en este caso, de una familia cuáquera. Digamos sin embargo que abandonó por exigencias de Cambridge la fe cuáquera por la de la iglesia anglicana, y según se comenta, frecuentaba los teatros en Edinburgo.

Thomas fue un niño prodigio que a los catorce años dominaba el latín y el griego junto con casi una docena de lenguas modernas y antiguas. Aunque estudió medicina en la Universidad de Edinburgo, fue en Gotinga donde obtuvo el título de doctor en medicina. Se estableció como doctor en Londres y para no perjudicar su trabajo como médico escribió sus primeros artículos con seudónimo. Después Young fue elegido miembro de la Royal Society donde llegó a ser Secretario.

Puesto que este blog trata de matemáticas y pareciera que Young no era un experto en el tema, vayan aquí estas palabras de uno de sus tutores en Cambridge que nos dice también mucho sobre su manera de ser:

He seldom gave an opinion, and never volunteered one. He never laid down the law like other learned doctors, or uttered … sayings to be remembered. Indeed, like most mathematicians, … he never seemed to think abstractly. A philosophical fact, a difficult calculation, an ingenious instrument, or a new invention, would engage his attention …

Young hizo contribuciones a la mecánica de medios continuos, donde introdujo el llamado módulo de Young en elasticidad, una relación propia de cada material entre la fuerza ejercida y la elongación alcanzada. Hizo además grandes aportaciones a la propia medicina y a la música, en esta última introduciendo los llamados primer y segundo temperamentos para mejorar las armonías.

Pero de lo que Young estaba mas orgulloso fue de su aportación a la teoría ondulatoria de la luz. Young diseñó un experimento en 1801 en la sede de la Royal Society en el que la luz de una fuente lejana incidía sobre una tarjeta muy estrecha de manera que el haz de luz se dividía en dos y se formaban patrones de luz y oscuridad en la pared alcanzada por el haz. Esto probaba la naturaleza ondulatoria de la luz, y contradecía la teoría corpuscular impulsada por Isaac Newton.

Posteriormente, el expriemnto se hizo con dos rendijas por las que se hace pasar un haz de luz. Si se deja solo una rendija abierta, en la pared de proyección aparece un único pico. Pero si las dos están abiertas se obtiene una figura de interferencias con unas franjas oscuras y otras brillantes.

En el experimento aparecen dos conceptos diferenciados: la difracción (al pasar una onda por una rendija se forman nuevos frentes de onda), y la interferencia (dos o más ondas se superponen para formar una onda resultante de mayor o menor amplitud, incluso pueden anularse una a otra).

Este experimento fue después repetido por Agustin Fresnel, como hemos indicado en nuestra entrada sobre el mismo.

Otra de las aportaciones de Young a la teoría d ela visión fue su explicación de la acomodación del cristalino para enfocar los objetos según la distancia, así como a la teoría del color y la presencia de tres tipos de fibras nerviosas en la retina (volveremos sobre esto en una próxima entrada). Esta teoría es conocida como la teoría de Young-Helmholtz. También estudió el astigmatismo.

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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Ranking de Google Scholar de 18000 científicos españoles: los matemáticos


Isidro Aguilló acaba de hacer público un importante ranking que contiene un listado de 18000 científicos españoles con perfiles en Google Scholar, ordenados por el número h (números de obras con citas iguales o superiores a h cuando las ponemos de mayor a menor según el número de citas). Dentro de los autores con el mismo número h, se les ordena por el número total de citas.

Sabemos que no todos los matemáticos tienen un perfil en Google Scholar, así que desde ya les animamos a ello. Se hace en pocos minutos y prácticamente el único requisito es contar con una cuenta de gmail. Aquí, por ejemplo, nos dan unas sencillas instrucciones.

¿Qué se obtiene con este perfil? En primer lugar tener un completo listado de todas nuestras contribuciones científicas, a veces en diferentes formatos (preprint oy artículo publicado, por ejemplo); citas de cada una de nuestras contribuciones (que pueden incluir artículos, libros, tesis doctorales, presentaciones en congresos o seminarios), y recibir un aviso de correo electrónico de cada vez que se nos cita en algún lado en cualquiera de esos formatos, con lo que estaremos al día del impacto de nuestro trabajo.

Una ventaja sobre Research Gate, Web of Science y Scimago es que aquí se recoge prácticamente todo, es gratuito, y es automático. Este ranking del que ahora hablamos está actualizado a enero de 2016, y obviamente es cambiante día a día.

Como curiosidad, digamos que los diez científicos mas citados en nuestro país son estos:

 

RANK

RESEARCHER

ORGANIZATION

H-INDEX

CITATIONS

1 Alberto Ruíz Jimeno Instituto de Física de Cantabria UNICAN CSIC 130 86363
2 Ignacio Cirac Max Planck Institute of Quantum Optics 117 63474
3 Fernando Barreiro Universidad Autónoma de Madrid 115 65289
4 Francisco Herrera Universidad de Granada 105 41681
5 Maríano Barbacid Centro Nacional de Investigaciones Oncológicas 104 49147
6 Teun A van Dijk Universitat Pompeu Fabra 100 66577
7 Ramón Miquel Institut de Fisica d’ Altes Energies 99 81086
8 Antoni Torres Hospital Clinic Unversidad de Barcelona; CIBERes; Institut d’Investigacions Biomèdiques August Pi i Sunyer 99 35798
9 Carlos Duarte Instituto Mediterráneo de Estudios Avanzados UIB CSIC 98 41279
10 Juan Antonio Aguilar Saavedra Universidad de Granada 97 44092

 

Como se ve, algunos ya no trabajan en España pero aparecen en el listado.

Si nos fijamos en los matemáticos, estos son los mas citados

RANK RESEARCHER ORGANIZATION H-INDEX CITATIONS
96 Eugenio Oñate International Center for Numerical Methods in Engineering; Universitat Politècnica de Catalunya 60 13276
98 Juan J Nieto Universidade de Santiago de Compostela 60 11989
196 Luis Vázquez Universidad Complutense de Madrid 51 12343
197 Juan Luis Vázquez Universidad Autónoma de Madrid 51 11278
247 Enrique   Zuazua Basque Center for Applied Mathematics 49 8747
297 Gabor Lugosi Universitat Pompeu Fabra 47 11711
355 José Antonio Carrillo Universitat Autònoma de Barcelona 45 8702
387 Jaume Llibre Universitat Autònoma de Barcelona 44 10254
513 Antonio Huerta International Center for Numerical Methods in Engineering; Universitat Politècnica de Catalunya 41 7554
561 Luis Vega Universidad del País Vasco Euskal Herriko Unibertsitatea 40 7337
567 J M Sanz Serna Universidad Carlos III de Madrid; Universidad de Valladolid 40 6537
755  Manuel de León Instituto de Ciencias Matemáticas CSIC UAM UC3M 37 5099
810 Daniel Peña Universidad Carlos III de Madrid 36 5435
888 Luis Bonilla Universidad Carlos III de Madrid 35 5110
1068 Ángel Sánchez Universidad Carlos III de Madrid 33 4431
1140 Alberto Cabada Universidade de Santiago de Compostela 33 3191
1183 Miguel A Herrero Universidad Complutense de Madrid 32 3985
1238 David Pérez García Universidad Complutense de Madrid 32 3230
1270 A Ros Universidad de Granada 32 2764
1351 Julian López Gómez Universidad Complutense de Madrid 31 2995
1463  Luis Rico Universidad de Granada 30 3043
1561 José Bonet Solves Universitat Politècnica de València 29 3469
1583 Wenceslao González Manteiga Universidade de Santiago de Compostela 29 2985

 

Digamos que hemos considerado el término “matemático” en un sentido mas amplio (si alguna persona con perfil en Google Scholar no se encuentra recogida en este listado, les rogamos que nos lo hagan saber para subsanar el error). En lo personal, encontrarme en el puesto 755 entre 18000 científicos españoles es estar en el top 4%, y en el caso de las matemáticas, undécimo en el país, es un gran estímulo habiéndole dedicado desde 2003 tanto tiempo a la gestión.

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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El hombre de los faros


Seguimos nuestro recorrido sobre las matemáticas y la luz con una gran científico francés, Agustin Fresnel, que aplicó sus enorme talento matemático para desarrollar las llamadas ecuaciones de Fresnel.

Agustin Jean Fresnel nació en Broglie, Francia, el 10 de mayo de1788. Digamos que Broglie era el castillo del duque de Broglie, Víctor-François, en cuya reparación trabajaba su padre, Jacques Fresnel, arquitecto, y donde éste había conocido a su madre, Augustine Mérimée. Ambos eran jansenistas, defensores de la predeterminación y la austeridad, y su influencia fue muy grande sobre el joven Agustin. Tras terminar el trabajo en el castillo, se trasladaron a Cheburgo para trabajar en la construcción del puerto.

Agustin fresnel

Fresnel vivió “tiempos interesantes”, con la toma de La Bastilla un año después de su nacimiento, en 1789, y la ejecución de Luis XVI en 1793. Se instauró después un régimen del terror y la familia decidió trasladarse a Mathieu, en la región de Caen. Con doce años, Agustin Fresnel entró en la Escuela Central de Caen, y allí comenzó sus afición a las ciencias y especialmente a las matemáticas.

En 1804 entró en la École Polytechnique de Paris, y luego en la École des Pontes et Chaussées, convirtiéndose en ingeniero civil. Como tal, trabajó en el proyecto ideado por Napoleón de unir por carretera la ciudad de La Roche-sur-Yon  con el resto de La Vendée. Después trabajó en otro proyecto similar, la conexión por carretera de España e Italia en 1812. Y es en esa época cuando Fresnel comienza a estas fascinado por la luz. Un acontecimiento va a permirle dedicarle tiempo al trabajo teórico y los experimentos. Napoleón vuelve del exilio de la isla de Elba y toma de nuevo el poder, y Fresnel forma parte del ejército monárquico que trata de oponerse a Napoleón, sin éxito. Decide entonces, por precaución, volver a Mathieu, y allí dedicarse por completo a investigar sobre la luz. Es repuesto en su trabajo tras la derrota definitiva de Napoleón en Waterloo, pero ya no abandonará su pasión.

Experimento de François Aragao

Fresnel publica artículos y memorias desde 1815 en los que defiende la teoría ondulatoria de la luz, a pesar de que la tesis predominante entonces era la corpusculatoria. Aunque desconocía los resultados en el tema del médico inglés Thomas Young, Fresnel, con solo 27 años, concluye de sus experimentos sobre la difracción la naturaleza vibratoria de la luz. Este trabajo lo completa en 1818. Es en ese año cuando se presenta a un concurso de la Academia de Ciencias, animado por el físico francés François Arago. La comisión la componen Biot, Laplace y Poisson; este último, defensor de la teoría corpuscular, busca fallos en las demostraciones de Fresnel. Según sus críticas, debería producirse un hilo luminoso a lo largo del eje del cono de sombra proyectado por un cuerpo opaco circular.  Arago realiza con cuidado el experimento y aparece esa línea, lo que da validez a la teoría propuesta por Fresnel. El Gran Prix se le concede al año siguiente, 1819.

Uno de los grandes hallazgos de Fresnel fue su estudio sobre la velocidad de la luz atravesando un líquido en movimiento, que con los experimentos posteriores de   Hippolyte Fizeau en 1851, abrieron el camino a los logros de Albert Einstein sobre la relatividad.

Sus trabajos siguientes muestran unas sofisticadas aplicaciones de las matemáticas a la óptica, como ocurre con las llamadas ecuaciones de Fresnel, que relacionan las amplitudes de las ondas reflejadas y refractadas en función de la amplitud de la onda incidente.

Fresnel murió prematuramente de tuberculosis el 14 de julio de 1827 en Ville-d’ Avray. y está enterrado en el cementerio Pére-Lachaise de París.

Los faros de Fresnel

Una de las grandes aportaciones de Agustin Fresnel fue la llamada lente de Fresnel, en 1822, y que se probó por primera vez en el faro de Cordouan. Las lentes de Fresnel son vidrios tallados cuya misión es hacer que los rayos de luz se comporten al atravesarlas del mismo modo que cuando atraviesan lentes plano convexas. Esto permite construir lentes de gran apertura y una corta distancia focal, que resultan mucho mas ligeras que las lente de diseño convencional.

Faro de Cordouan

No solo se emplean en los faros marinos, también en lupas planas, faros de los automóviles, indicadores de dirección, visores de realidad virtual, etc.

Faro de Fresnel

 

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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Goethe coloreado


“No vemos el mundo como es, lo vemos como creemos que es útil verlo para no morir en él”

Luis Martínez

“Por mucho que profundicemos en nuestro conocimiento del mundo, él siempre guardará un lado nocturno y un lado diurno.”

Johann Wolfgang von Goethe

 

Todos conocemos la obra de, quizás, el escritor alemán mas importante de la historia, Johann Wolfgang von Goethe, el autor de clásicos como Las desventuras del joven Werther (1774) o el Fausto (1806). Pero nos resulta mas desconocida su faceta como científico, o al menos, como intelectual apasionado por la ciencia.

Johann Wolfgang von Goethe

Goethe quiso aportar humanidad a la fría ciencia de Newton, y en su libro Zur Farbenlehre (1810), Teoría de los colores, desarrolló una teoría subjetiva del color, asociando uno diferente a cada sensación. Por ejemplo, según Goethe, los colores cálidos estimulan la mente y alegran mientras que los colores fríos tranquilizan; los negros y grises deprimen y el blanco refuerza lo positivo. Es decir, los colores están mediatizados por nuestra percepción e influyen en nuestra conducta. Al entrar en contacto con un determinado color, este se sincroniza con nuestro espíritu e influye en nuestro estado de ánimo.

La luz travesando el prisma según Goethe

Goethe pretendía en su libro desarrollar una teoría mas acertada y general que la de Newton, y aunque hoy en día, la física no la acepta, si que sirvió para crear lo que hoy se llama la psicología del color. Estas palabras de Goethe son muy explícitas:

“Cuando el ojo ve un color se excita inmediatamente, y ésta es su naturaleza, espontánea y de necesidad, producir otra en la que el color original comprende la escala cromática entera. Un único color excita, mediante una sensación específica, la tendencia a la universalidad. En esto reside la ley fundamental de toda armonía de los colores…”

A pesar del rechazo de los físicos, esta obra de Goethe era tan bella y atractiva que consiguió fascinar a gente tan notable como Thomas Johann Seebeck, Arthur Schopenhauer, Hermann von Helmholtz, Rudolf Steiner, Ludwig Wittgenstein, Werner Heisenberg, Kurt Gödel, y Mitchell Feigenbaum.

Ludwig Wittgenstein, en su obra Remarks on Colour, una exégesis del libro de Goethe, comenta la dificultad de explicar en que consiste su teoría del color, ya que no es en sí una teoría ni hay ningún experimento que la pueda probar o falsear. Su teoría es mas bien un catálogo de experiencias.

¿Y qué decir de las matemáticas? Nada agradable (aparte de su asignación numérica a cada color según su luminosidad), ya que según Goethe, el error de Newton fue precisamente primar las matemáticas sobre las sensaciones. Cuando Goethe intenta reproducir la descomposición de la luz blanca al pasar por un prisma, siguiendo las técnicas de Newton, algo falla. Lo que goethe encuentra es esto.

1. Cuando un haz de luz está rodeado de oscuridad, aparecen tonos amarillo-rojizos en la parte superior, y azul-violáceos en la parte inferior. El espectro con el verde en el centro aparece solo cuando los bordes violáceos se superponen a la parte rojo-amarilla.

2. Cuando un haz de oscuridad está rodeado de luz, encontramos tonos azul-violáceos en el borde superior, y amarillo-rojizos en la inferior. Cuando los bordes se solapan, aparece el magenta en el centro.

Dos de las creaciones de Goethe fueron la rueda de color, basada en la triada de colores primarios complementados con los secundarios, y el triángulo de color.

La rueda de color de Goethe

En su teoría, Goether describía los colores como la interacción dinámica entre la luz y la oscuridad. La luz podía limitar la energía de la oscuridad, y recíprocamente, y así surgía el color. Los fundamentos de Goethe fueron la simetría y la complementariedad (que depende de nuestro sistema visual).

A pesar de su influencia en el arte y en la estética, la teoría de los colores de Goethe no triunfó y las tesis de Isaac Newton, Huygens y resto de físicos y matemáticos se impusieron finalmente. Sin embargo, las ideas de Goethe sobre la percepción del color han tenido su continuidad por ejemplo con las ideas de Edwin H. Land sobre la retina.

En conclusión, como en la cita del investigador Luis Martínez que reproducíamos al principio, la visión y los colores en particular nos abren muchas preguntas en las que, sin duda, las matemáticas pueden jugar un papel esencial en resolver.

Para finalizar, digamos que Goethe estaba muy orgulloso de su teoría de los colores, llegando a decir:

“No me enorgullezco demasiado de mis logros como poeta. En mi época han vivido escritores creativos excelentes, los ha habido aun más brillantes antes de mí, y siempre los habrá después de mi tiempo. Pero de ser yo el único en mi siglo que conoce la verdad acerca de la teoría de los colores… ¡Eso es de lo que estoy orgulloso y lo que me da un sentimiento de superioridad sobre muchos!”

Les dejo con este video documental sobre la Teoría de los colores de Goethe

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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¿Cuántos matemáticos son músicos?


Dedicado a la memoria de Javier Cilleruelo, un matemático al que le apasionaba la música.

La lectura del artículo Why Are So Many Mathematicians Also Musicians?, por David H. Bailey y Jonathan M. Borwein, en la que los autores analizan esta interacción entre matemáticos y música, nos ha llevado a aportar nuestras propias reflexiones y experiencias. Digamos que el artículo citado está a su vez inspirado en otro previo de Tim Gowers titulado The enduring myth of music and maths, publicado en el periódico Independent hace ahora casi 5 años.

La pregunta viene al hilo de la circunstancia conocida de cómo un número apreciable de matemáticos son también músicos o tienen una especial prelidección por la música. Si aludimos a nuestra propia experiencia, los lectores habituales de este blog son testigos de que intentamos muchas veces hablar de música y matemáticas así como ilustrar algunos temas con canciones.

Albert Einstein al piano

Un gran ejemplo es Albert Einstein, buen ejecutor de violín y piano, que fueron muchas veces sus maneras de buscar inspiración para sus investigaciones. Así lo recuerda su segunda esposa Elsa, y el mismo afirmó que si no hubiera sido físico, se habría dedicado a la música.

Johann Sebastian Bach con tres de sus hijos

¿Cuáles son las razones para esta aficción musical de los matemáticos? Si leen ustedes la entrada previa a esta en el blog Matemáticas y sus fronteras, encontrarán un análisis similar, en el que se defiende que ambas disciplinas/artes mantienen grandes similitudes. En primer lugar, la armonía está basada en las observaciones de Pitágoras sobre los números (recuerden la entrada La escuela pitagórica y la música). Pero además, la música está llena de repeticiones y simetrías en su estructura (Bach es el paradigma). Y finalmente, música y matemáticas precisan de ejercicio continuado, así como de un talento especial si queremos acceder al virtuosismo.

Manjul Bhargava, medallista Fields en 2010, es un interpréte de tabla

Pero los autores recuerdan unas frases del artículo de Tim Gowers que nos hacen ser precavidos. Dice Gowers: “Si quieres probar que los matemáticos están por encima de la media en cuanto a la música respecto a otra gente, deberías primero definir lo que entiendes por otra gente”. Y continúa mostrando la importancia del seno familiar y social en el que un matemático se mueve, que da valor a temas como la educación y la cultura en general, entre ellos la propia música. No hay por tanto ningún estudio concluyente en esta dirección. Pero así y todo, nosotros continuaremos hablando de música y matemáticas porque ambas nos apasionan, y qué mejor entonces que tomarlas en dosis mezcladas.

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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El efecto Mozart, ¿mito o realidad?


Continuamos nuestras entradas sobre música y matemáticas, hoy hablaremos del mítico efecto Mozart.

En la rama de investigación de la neuropsicología, se ha prestado especial atención a la conexión entre la música y las aptitudes matemático-lógicas. Desde la décaca de los 90, se han desarrollado una serie de estudios sobre la conexión entre la mente-cuerpo y música-matemáticas.

Las personas presentadas a examen, en especial los niños, revelan mejores resultados imaginativos y visualconstructivos (por ejemplo, imaginar un barco y reconstruirlo con piezas de lego) después de exponerse a la música clásica. Este efecto se denominó el “efecto Mozart”.

Imagen de previsualización de YouTube

Y mucho más aún, el tocar un instrumento desarrolla la capacidad razonadora más fácilmente que simplemente escuchar música de forma pasiva. Los estudiantes de música pueden tener una mejor coordinación en el cuerpo y en los ojos, además de una mejor predisposición a la resolución de ejercicios de aritmética. Tiene una razón lógica, pues un músico sigue un continuo ejercicio de aritmética al dividir cada ritmo. Esta cuenta mental resulta muy beneficiosa para el posterior cálculo de, por ejemplo, fracciones y decimales.

En general, el ejercicio de aprender a tocar un instrumento desarrolla  la práctica constante, la atención al detalle y la disciplina, que son las aptitudes necesarias para desarrollar fuertes habilidades matemáticas.

El término “efecto Mozart” se acuñó en 1993 cuando Frances Rauscher y sus colaboradores investigaron los efectos de escuchar música de Mozart en el posterior razonamiento manipulativo-espacial, por ejemplo, como puede ser montar un puzle. Los resultados se publicaron en la revista Nature. Se demostró que escuchar música mejora estas habilidades a corto plazo. Sin embargo, parece que no tiene un efecto en la mejora del coeficiente intelectual. No obstante, sigue habiendo una creencia popular de que escuchar a Mozart te hace realmente más inteligente. El boom de música clásica y el jazz, especialmente en Nueva York, surgió de las noticias publicadas en el New York Times sobre la conexión entre inteligencia y la música clásica, interpretando exageradamente la investigación de Rauscher.

Frances Raucher

Cuatro años más tarde, se publica el libro de Campbell sobre los beneficios de la música de Mozart en infantes. Se realizan nuevos estudios sobre niños a los que se imparten clases de piano durante meses. Se asegura que su coeficiente intelectual se incrementó un 34%, debido a la plasticidad del cerebro de un niño. La neuroplasticidad del cerebro en los primeros años de vida acarrea el desarrollo de redes neuronales más complicadas, capaces de ajustarse a nuevas corrientes de información, interpretarlas y emitir estímulos eficientes y eficaces. Esto es lo que se entiende por nuevos aprendizajes. En general, el libro de Campbell quiere demostrar los beneficios de la música, no sólo en el aprendizaje, sino en la depresión, ansiedad, autismo o dislexia. Algunos de los estudios sobre el beneficio de la música en la salud se publicaron en el Journal de la Royal Society of Medicine.  El estudio se basó en tocar la sonata para piano n.23 K.488 a un conjunto de enfermos de epilepsia, dando como resultado un decrecimiento de los brotes epilépticos. Sin embargo, estas teorías aún siguen siendo controvertidas y siguen sometidas a exámenes.

Gracias a las técnicas de neuroimagen y neurociencia desarrolladas en los últimos años, los procesos cognitivos  ahora se explican por la activación de la misma parte cerebral cuando se escucha música o cuando se realizan actividades de razonamiento.

Los mapas proyectantes de diferentes partes del cerebro, se denominan conectogramas. Los conectogramas están en constante evolución, mejorando sus técnicas de visualización, análisis y representación.

De hecho, existe una línea de investigación en matemáticas dedicada al estudio del mapeo de volúmenes reales, como puede ser el cerebro, y que se plasman en representaciones de tomografía computerizada. Las matemáticas juegan su papel en el algoritmo de reconstrucción de la imagen. En general ,se usan dos técnicas: la proyección de retroceso filtrado y la reconstrucción iterativa. Sin embargo, aún queda mucho por refinar en estas técnicas, como el tiempo de cómputo y la exactitud matemática de sus algoritmos.

Las matemáticas han jugado un papel fundamental en la neurociencia desde sus primeros atisbos hace más de 100 años. En 1968, los neurocientíficos Hodgkin y Huxley obtuvieron el premio Nobel en neurociencia moderna. Estos científicos creían en las matemáticas como el elemento resolutivo de todos los problemas en la neurociencia. En particular, la física y la matemática no lineal son un camino en desarrollo para la interpretación de al actividad cerebral. Por ejemplo, la información se adentra en el cerebro en forma de estímulos, representados por “picos” o funciones muy localizadas que envuelven la información a través de la neurona. La formación del pico, o “delta de Dirac” y sus variantes, como funciones derivadas o integrales, son archiconocidas a día de hoy. Sin embargo, el patrón de formación de todos los picos o código neuronal, es un proceso muy complejo, sin resolver. Existen teorías de aproximación, como puede ser el caos, pero sin embargo, no hay resultados concluyentes, convirtiendo la transmisión cerebral en el hito de la investigación en neurociencia.

El siglo XXI se ha convertido en el siglo de las matemáticas y la neurociencia, gracias al desarrollo computacional, que ha permitido rastrear un gran rango de escalas, desde lo molecular, hasta el tamaño celular. Sin embargo, aún queda un largo camino, materia de estudio, debido a las imprecisiones existentes en cuanto a que el proceso siempre comienza con una suposición inicial de cómo ordenadar los datos y proponer una ecuación matemática que de cuenta del comportamiento. Por supuesto, la suposición está sujeta a una serie de variables imprecisas: el número de variables necesarias, la cantidad y calidad de las medidas, lo que constriñe el rango de aplicabilidad de un modelo.

La última tendencia es la de proponer una matemática más clásica para la interpretación de los modelos. En lugar de hacer suposiciones ad hoc que den cuenta de los datos experimentales recogidos, existe la tendencia de relegar la neurociencia de las hipótesis al pasado y proponer la investigación sistemática y analítica: la idea fundamental es que las conjeturas han de escribirse de forma lógica y ser expresadas en un conjunto de afirmaciones que puedan probarse explícitamente, cuyos puntos de partida no sean suposiciones, sino verdades que superen los límites experimentales. Por ejemplo, como contribución a descibrar el código neuronal, a escala celular, el proceso puede describirse como un haz de curvas que surge de cada neurona. Podría decirse que el conjunto de vértices de la red neuronal no presenta un conjunto de curvas euclídeas, pero podrían representarse geométricamente como curvas de Jordan. La clave está en representar una hecho neurobiológico y convertirlo en un “axioma experimental” gracias al lenguaje de las matemáticas. Un conjunto de axiomas deberían representar una teoría que pudiera probarse, he aquí la gran desviación entre la matemática hipotética y el razonamiento lógico eximido de los conjuntos de datos anteriores. La diferencia más importante es que los axiomas propuestos son irreducibles y permanentes, mientras que las conclusiones hipotéticas pueden variar a medida que los experimentos avanzan.

Como podemos apreciar, las matemáticas son una ciencia en desarrollo, de la que surgen nuevas ramas a partir de otras disciplinas. Lo anterior es un claro ejemplo de que la modelización experimental ha dado lugar a la propuesta de una neurociencia más rigurosa desde el punto de vista matemático, que dará lugar a mucha más investigación teórica, pero también a mucha más investigación experimental. Cabe plantearnos, qué sería de las matemáticas por si solas si no existieran experiencias que modelizar.

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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Dos hombres, dos realidades


Nuestro recorrido sobre la luz y las matemáticas llega ahora a un momento clave, la disputa entre Newton y Huygens con la intervención de un tercero en discordia, Gregory.

El debate sobre la naturaleza de la luz dio lugar a una fuerte polémica entre Isaac Newton (1643-1727) y Christian Huygens (1629-1695) durante el siglo XVII.

Sir Isaac Newton

Por una parte Newton escribió un tratado completo de Óptica (Opticks, 1704) en el que defendía que la luz estaba compuesta por corpúsculos luminosos, que se propagan en línea recta y atraviesan medios transparentes. Este modelo le venía bien para explicar algunos fenómenos de la luz, en particular los referidos a los colores.

Portada de Opticks

Recordemos que Sir Isaac Newton, británico, fue uno de los científicos mas brillantes de la historia, fundador de la mecánica moderna y autor de la teoría de la gravitación universal, entre otros muchos descubrimientos.

Christiaan Huygens

Por otra parte, en el continente, Christiaan Huygens, matemático y físico holandés, defendió con uñas y dientes su teoría contrapuesta a la de Newton. Una disputa que recuerda a la similar a la de Newton con  Gottfried Leibniz y que tuvo al final el mismo ganador.

Huygens era hijo de una rica y notable familia holandesa (su padre era diplomático y consejero de la Casa de Orange). Ya de joven un matemático brillante, y en este campo hizo contribuciones importantes a la teoría de curvas así como en las probabilidades y la teoría de juegos.

Era también un fino diseñador y fabricante de relojes y telescopios, y entre otros importantes resultados relacionados con la primera ocupación, encontró la fórmula para determinar el periodo de un péndulo. En relación con su segundo hobby, consiguió muy buena sobservaciones astronómicas, y propuso la existencia de un anillo sólido en torno a Saturno además de descubrir el primer satélite de este planeta, Titán.

La luz blanca no es blanca

La idea sobre los colores hasta ese momento era que estos resultaban de modificar la luz blanca, mezclando lo oscuro con la misma más o menos. Lo que Newton probó es que ocurre al revés: la luz blanca se descompone en los colores del arco iris, y no hace falta más que atravesar un prisma para ver este fenómeno. Este fenómeno le llevó a plantear la construcción de un telescopio (conocido como newtoniano) qie evitara los problemas de aberración cromática.

Esto es lo que hizo Newton en 1666, enunciando la hipótesis de que los corpúsculos de luz eran diferentes según el color. Recordemos que el argumento principal de Newton para preferir la hipótesis de Gassendi a la de Descartes era que la luz producía sombras bien definidas. El agua, el sonido, persisten incluso si hay un obstáculo, pero eso no parecía pasar con la luz, es decir, no se observaba el fenómeno de la difracción.

Pero Newton no estaba en lo cierto, y el escocés James Gregory realizó un experimento, en el que dispersó la luz blanca en sus colores individuales (como un año después hizo Newton con un prisma) y consiguió difractar la luz utilizando una pluma de ave. A fin de evitar disputas con Newton, del que era un destacado admirador, no fue mas allá con estos experimentos. Gregory publicó una notable obra, Optica Promota, en 1663, donde incluye un diseño para un telescopio reflectante, llamado el telescopio gregoriano.

James Gregory

Digamos que James Gregory tuvo a su vez una dura disputa con Huygens por la prioridad en un resultado matemático sobre la cuadratura de la hipérbola. Esta disputa perjudicó sobre todo a Gregory, cuyo trabajo permaneció casi desconocido por mucho tiempo.

Con el principio de Huygens se pueden explicar comportamientos que la teoría corpuscular de Newton no conseguía hacer. Por ejemplo, la doble refracción aire-vidrio-aire, en la que la luz se desvía acercándose a la dirección normal al pasar del aire al vidrio y recupera la dirección inicial al volver al aire. Otros ejemplos de comportamientos que se pueden interpretar de forma satisfactoria usando el principio de Huygens son la difracción y las interferencias luminosas.

Sin embargo, el éxito de la Mecánica de Newton y su enorme prestigio, llevaron a que la teoría ondulatoria no fuera tenida en la misma consideración. Incluso, Newton modificó ligeramente su hipótesis para explicar la difracción. Estos minúsculos corpúsculos de diferentes colores que forman la luz se mueven a través del éter, y al hacerlo, producen ondulaciones a su alrededor, que explicarían los fenómenos de difracción. Recordemos finalmente que las disputas de Newton no fueron solo con Huygens, ya se las tuvo con su contemporáneo Robert Hook, sobre la gravitación y también con la teoría de la luz, temas que Hooke había tratado en su obra de 1665, Micrographía.

Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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