Persiguiendo estrellas, descifrando triángulos


¿A dónde vas, Gilgamesh?

La vida que tú buscas

nunca la encontrarás.

Poema de Gilgamesh

 

Estos últimos meses han supuesto una dedicación al estudio de los triángulos, para escribir un libro más con mi compañera habitual de escritura, la querida/odiada Ágata Timón, que abrirá una nueva aventura matemática a la que esa manía de pisar charcos me lleva con demasiada frecuencia. Por lo tanto, hoy hablaremos de triángulos, pero también de estrellas, pues hoy, 24 de mayo, es el día de Esther.

La diosa Ishtar

No hace mucho, en una entrada de este blog con mi colombiana favorita, Viviana Márquez, recordábamos las palabras de Galileo Galilei en Il Saggiatori:

“La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta  aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ qua li è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a  intenderne  umanamente  parola;  senza  questi  è  un  a ggirarsi  vanamente  per  un  oscuro laberinto”.

Así que los triángulos son los caracteres del universo, y con ellos aprenderemos a comprenderlo, y sus estrellas (somos polvo de estrellas) abrirán para nosotros sus misterios. Porque los triángulos nos sirven para medir la curvatura y así desvelan la geometría oculta del mundo en el que vivimos. En efecto, un triángulo geodésico sobre una esfera desvelará un exceso de curvatura, y otro sobre una hiperbólica señalará la curvatura negativa.

Dibujo tomado del Blog La ciencia de la mula Francis

Triángulos que nos sirvieron para medir el meridiano y ajustar la geografía del planeta mediante la técnica de las triangulaciones, y que sirven para señalar donde estamos y que rumbo tomar mediante la técnica de las trilateraciones y el GPS.

Y hoy es el día de Esther, cuya historia narra el Libro de Esther del Viejo Testamento, la esposa judía del rey de Persia, Asuero. Esther, quién salvó a sus compatriotas judíos que iban a ser exterminados al dar a conocer su condición racial a Asuero. Su nombre original era Hadassah que significaba mirto, pero lo cambió al entrar en el harén persa. Su hazaña se conmemora cada año en la fiesta judía de Purim, la fiesta de las suertes, pues el primer ministro Amán había elegido así el día del exterminio. En el Purim se lee la Meguilá, el Libro de Esther, a gran velocidad, y los que escuchan deben hacer ruido con matracas cuando se pronuncia el nombre de Amán, para que dicho nombre sea borrado de la memoria.

Lienzo de Art de Gelder mostrando a Esther y su primo escribiendo cartas a los judíosMardoqueo

Esther toma su nombre de Ishtar, la diosa babilónica del amor y la belleza, de la vida y de la fertilidad, asociada a Venus, y simbolizada por una estrella de ocho puntas.

La estrella de ocho puntas, símbolo de ishtar

El simbolismo de las estrellas es omnipresente a lo largo de la historia, porque no tenemos mas que mirar hacia arriba y ver ese cielo tachonado de estrellas. Si la judía Esther no tuvo temor en desvelar su condición a Asuero, los judíos que la siguieron fueron perseguidos y señalados con las estrellas amarillas de David; por cierto, una estrella formada por la intersección de dos triángulos en sentidos opuestos.

Estrellas que nos sirven de guía en la noche, como la Estrella Polar señalando un Norte esquivo; o Sothis, nuestro Sirio, señaladora de las crecidas del Nilo; o Las Pléyades, observadas por los mayas.

Estrellas que son usadas una y otra vez en poemas y canciones, como en esta reciente de David Bowie:

Stars are never sleeping

Dead ones and the living

We live closer to the earth

Never to the heavens

The stars are never far away

Stars are out tonight

Imagen de previsualización de YouTube

Al final del día, comprendemos que nos pasamos nuestras vidas persiguiendo estrellas que no alcanzaremos nunca; yo confieso por mi parte que soy un pésimo discípulo del maestro Galileo Galilei.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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Premio Shaw 2017 para Claire Voisin y Janos Kollar


Se acaba de anunciar el prestigioso Premio Shaw para 2017, premio al que a veces se le denomina el Nobel asiático. En esta ocasión, los premiados han sido:

En Astronomía, para Simon D. M. White (Director del Instituto Max Planck de Astrofísica); en Ciencias de la Vida y Medicina para  Ian R. Gibbons (Investigador Visitante del Departamento de Biología Molecular y Celular de la Universidad de Berkeley), y Ronald D. Vale (Profesor del Departamento de Farmacología Molecular y Celular de la Universidad de California en San Francisco e investigador del Instituto de Medicina Howard Hughes); y en Matemáticas ha ido para János Kollár (Profesor del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Princeton), y Claire Voisin (Profesora de Geometría Algebraica del Colegio de Francia en París).

El Premio Shaw se creó en Noviembre de 2002 bajo los auspicios de Run Run Shaw, y rinden homenaje a científicos que han conseguido descubrimientos que hayan supuesto un profundo impacto en la ciencia, sin tener en cuenta razas, religiones o género. Los tres Premios estás acompañados cada uno de un cheque de 1,2 millones de dólares.

János Kollár es Catedrático del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Princeton (EEUU),  y Claire Voisin es Catedrática de Geometría Algebraica del Colegio de Francia en París. El laudatio reconoce los notables resultados de ambos en muchas áreas centrales de la geometría algebraica, que han transformado el campo y conducido a la solución de problemas planteados hacía mucho tiempo y que parecían todavía muy lejos de resolverse.

 

Claire Voisin

Claire Voisin nació el 4 de marzo de 1962. Ha trabajado en estructuras de Hodge y simetría especular, probando en 2002 que la generalización de la conjetura de Hodge para variedades Kähler compactas es falsa. Ha recibido numerosos premios y fue conferenciante invitada en el ICM de Zurich en 1994, y plenaria en el ICM de Hyderabad en 2010.

Janos Kollar

Por su parte, János Kollár es un matemático húngaro nacido el 7 de junio de 1956. Kollár comenzó sus estudios en la Universidad Eötvös de Budapest e hizo su tesis doctoral en la Universidad de Brandeis en 1984. Fue profesor en Harvard y Utah, y finalmente en Princeton. Kollar ha estudiado espacios de moduli de superficies algebraicas y es conocido por sus contraejemplos a una conjetura de John Nash. Ha recibido numerosos premios y ha sido conferenciante invitado en el ICM de Kyoto en 1990 y plenario en el ICM de Seúl en 2014.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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Matemáticas y ajedrez: ¿hacia la partida perfecta?


“Pero llamarle juego, ¿no es limitarle injuriosamente? ¿No es también una ciencia, un arte algo sutil que está suspendido entre uno y otro jugador? Es un pensamiento que no conduce a nada, una matemática que no establece nada, un arte que no deja obra, una arquitectura sin materia… Pero ha demostrado, sin embargo, ser más perdurable, a su modo, que los libros o que cualquier otro monumento este juego único, que pertenece a todos los pueblos y a todos los tiempos, y del que nadie sabe cuál de los dioses hizo don a la tierra para matar el tedio, para aguzar el ingenio y estimular el alma.”

Stefan Zweig

 

No es la primera vez que el ajedrez se asoma a Matemáticas y sus fronteras; hoy lo hacemos para dar cuenta de la publicación de un precioso libro de la colección ¿Qué sabemos de?, fruto de la colaboración entre el Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) y la editorial Catarata. El libro se titula Matemáticas y ajedrez, y es el número 84 de la colección.

Siempre he tenido muy claro que habría un libro de ajedrez en esta colección, y mi duda era quién sería el autor. Y tenía que ser nuestro querido Razvan Iagar, ¿quién mejor que él, matemático y ajedrecista! Esta es la semblanza de Razvan Iagar en la web de la colección:

“Razvan Iagar es licenciado en Matemáticas por la Universidad de Bucarest y doctor en Matemáticas y Aplicaciones por la UAM. Actualmente, es investigador en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) de Madrid. Ha recibido el Premio de Investigación Gheorghe Lazar de la Academia Rumana. Su campo de investigación es la teoría de las ecuaciones en derivadas parciales parabólicas no lineales, que modelizan diferentes procesos y fenómenos de la física, química e ingeniería. También es un jugador activo de ajedrez en competiciones nacionales e internacionales.”

Razvan Iagar

Añadiré por mi cuenta que, además de sus indudables méritos matemáticos y ajedrezísticos, Razvan es una extraordinaria persona, amable, colaborador siempre; uno de esos investigadores que nunca deseas que se vayan de tu instituto de investigación.

Y vayamos al libro. Comienza con un capítulo sobre los orígenes e historia del ajedrez, probablemente el juego más interesante para los matemáticos. La complejidad de sus jugadas, la dificultad en establecer las estrategias ganadoras, diseñar algoritmos que puedan vencer a cualquier maestro, ha sido siempre una fuente de inspiración y un desafío para matemáticos de todos los tiempos, algunos de la talla de Claude Shannon y Alan Turing.

Deep Blue

El libro discurre luego precisamente por esos cauces, como el desarrollo de la computación ha influido en la historia del ajedrez, y si, ye sta es la pregunta final, existirá una estrategia capaz de jugar siempre la partida perfecta. Hemos visto como Deep Blue era capaz de derrotar a un maestro como Gary Kaspárov. ¿Significa esto que el ajedrez está acabado? La respuesta de Razvan es que no, al contrario, el ajedrez está más vivo que nunca. Así concluye su Capítulo 4:

“muchos conceptos estratégicos conocidos por los grandes maestros humanos se basan en ganacias obtenidas después de un número muy grande de jugadas, y dicho número de jugadas excede en muchos casos la profundidad de búsqueda de los programas. Es por eso que un juego perfecto en la actualidad no se puede definir, y no será posible definirlo en un futuro cercano.”

‘El libro de los juegos’ (1283), Alfonso X el Sabio

El libro termina con un interesante Capítulo 5 en el que se incluyen algunos ajedrecistas ilustres que a la vez han conseguido agunas aportaciones matemáticas relevantes.

En definitiva, libro de obligada lectura para matemáticos y ajedrecistas, pero recomendable para todos.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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Triángulos de Heron


Estos últimos meses me he dedicado a leer muchos artículos sobre unos falsamente modestos objetos geométricos, los triángulos. Fruto de esa curiosidad, traemos a Matemáticas y sus fronteras un tipo de triángulos con propiedades muy interesantes, los llamados triángulos de Heron.

Herón de Alejandría

Un triángulo de Heron es áquel cuyos lados y áreas son números enteros. Fácilmente vemos que cualquier triángulo rectángulo con lados enteros es de Heron, porque el área es la mitad del producto de los dos catetos, ya que uno actúa como base y el otro como altura:

Un ejemplo de un triángulo heroniano que no es rectángulo es uno isósceles que se puede obtener pegando dos triángulos rectángulos de lados 3, 4, y 5 por el cateto de longitud 4; así obtenemos un triángulo isósceles con lasdos de longitudes 5, 5 y 6, y área 12 unidades cuadradas.

Esta técnica vale en general, porque si tomamos un triple pitagórico (que es equivalente a dar un triángulo rectángulo) (a, b, c), con c mayor que a y b, y tra (a, d, e), con e mayor que a y d, entonces podemos construir un nuevo triángulo pegando los lados de longitud a (veáse la figura anterior).

Las longitudes de sus lados serán c, e, y b + d, y el área es A = 1/2 (b+d) a

En consecuencia, si a es un entero par o b+d lo son, entonces el área A es entera.

Pero no todos los triángulos heronianos son así, y se llaman indescomponibles. Podemos permitir una generalización del concepto de triángulo heroniano permitiendo que los lados y el área sean números racionales. En este caso, siempre se puede hacer esa descomposición.

Heron encontró una fórmula maravillosa que relacionaba el área con el perímetro de un triángulo

dónde a, b, y c son las longitudes de los lados y s es el semiperímetro. Por lo tanto, tenemos una ecuación diofántica

El conjunto completo de soluciones para triángulos heronianos fue encontrada (¡cómo no!)  por Leonhard Euler, y las versiones paramétricas son debidas a Brahmagupta y Carmichael (1952), y son de este tipo

para los valores de a, b, c, s y Δ, respectivamente. Aquí, los enteros m,n y k verifican

Así se pueden producir infinidad de triángulos de Heron de una manera sencilla.

La curiosidad sobre los problemas matemáticos es inagotables, y así nos encontramos con tetaedros heronianos y pirámides perfectas.

¡Un mundo apasionante el de los triángulos!

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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Epiciencias: ¿el futuro de las revistas científicas?


Damos noticia en Matemáticas y sus fronteras de una nueva iniciativa en las publicaciones científicas, surgida del bando de los matemáticos, y que intenta aportar soluciones para la crisis que sufren las revistas científicas, motivadas por los monopolios editoriales, la confusión con el tema del libre acceso, las críticas a los factores de impacto, los precios crecientes, …

Así, el proyecto Episciences.org se define a sí mismo en el contexto del libre acceso y del acceso sin restricciones a la producción científica. El proyecto lo ha puesto en marcha el Centre pour la Communication Scientifique Directe (CCSD), de la Universidad de Lyon, en colaboración con el INRIA y el Instituto Fourier de la Universidad de Grenoble.

El objetivo es construir una plataforma libre y de open access que facilite, de una manera sencilla, hospedar, manejar o crear revistas basadas en arXiv o en HAL. arXiv es un muy conocido servidor de preprints, y HAL es un servicio digital del CCSD, interconectado con arXiv.

Las revistas que están alojadas en Episciences se denominan epijournals, y pueden ser revistas que ya existían y se acogen ahora a esta posibilidad, o revistas de nueva creación. La lista de revistas es esta (hay que tener en cuenta que Episciences comenzó su andadura a mediados de 2015 y por lo tanto el número es todavía reducido):

Informática y Matemática Aplicada:

Revue de l’ARIMA

DMTCS Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science

JDMDH Journal of Data Mining and Digital Humanities

JIPS Journal d’Interaction Homme Machine

LMCS Logical Methods in Computer Science

Matématicas:

Epiga : Epijournal de Géométrie Algébrique

Hardy-Ramanujan Journal

Mathematica Universalis

Humanidades y Ciencias Sociales:

Journal of Interdisciplinary Methodologies and Issues in Science

Slovo

Sociétés plurielles

Esquema de funcionamiento de Epiciencias

Uno de los aspectos interesantes de Episciences es la variedad de estilos y de estructuras internas que ofrecen, y los instrumentos para el trabajo editorial habitual. Los procedimientos para enviar un manuscrito son los tradicionales. arXiv o a HAL, y después a la revista elegida. Entonces, como es habitual, el Comité Editorial de esa revista decide aceptar la publicación o no, con los evaluadores correspondientes. Una vez aceptado, e incorporadas las revisioens a que hubiera lugar, se envía de nuevo a arXiv o HAL.

Otro aspecto muy interesante es que existe un “Epicommittee” en cada disciplina, para atender a aspectos éticos y de calidad científica. Este es el comité de matemáticas:

Les membres de l’épicomité (15 juillet 2013) sont :

Sun-Yung Alice Chang, Department of Mathematics, Princeton University, USA

Ingrid Daubechies, Department of Mathematics, Duke University, member of CEIC, USA

James Davenport, Department of Computer Science and Mathematical Sciences, University of Bath, Chair of the CEIC, UK

Jean-Pierre Demailly, UFR de Mathématiques, Institut Fourier, Université de Grenoble I, France

Timothy Gowers, Department of Pure Mathematics and Mathematical Statistics, University of Cambridge, UK

Greg Kuperberg, Mathematics Department, University of California, Davis Campus, USA, head of Davis’s front to arXiv

Gadadhar Misra, Department of Mathematics, Indian Institute of Science, India

Junjiro Noguchi, Graduate School of Mathematical Sciences, the University of Tokyo, Japan

Peter Olver, School of Mathematics, University of Minnesota at Minneapolis, USA,

Thomas Peternell, Mathematisches Institut, Universität Bayreuth, Germany

Terence Tao, Department of Mathematics, UCLA, USA

Wendelin Werner, Department of Mathematics, ETH Zürich, Switzerland

Shing-Tung Yau, Department of Mathematics, Harvard University, Cambridge, USA and The Institute of Mathematical Sciences, The Chinese University of Hong Kong

Xiangyu Zhou, Department of Mathematics, The Chinese Academy of Sciences, Beijing, P.R. of China

Para finalizar, digamos que este proyecto es una alternativa a los modelos económicos existentes, abaratar costes, conseguir in auténtico libre acceso, y que los autores no ceden su propiedad, ésta es solamente suya.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

 

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¿A dónde van los matemáticos cuando mueren?


Los cementerios no son tan populares en España como hace unas décadas, vivimos tiempos en los que solo cuenta el presente y disfrutar de la vida. Pero siguen siendo sitios interesantes, en los que reposan unos cuantos de nuestros seres queridos, pero en donde se pueden encontrar tumbas ilustres. Nos hemos preguntado hoy por el destino final de los matemáticos, y hemos encontrado algunas respuestas.

Tumba de los Bolyai

Una de las tumbas que más llaman la atención es la de los Bolyai, padre e hijo. János, quién desobedeció el consejo de su padre Farkas de no dedicarse a estudiar el quinto postulado de Euclides, descubrió la geometría hiperbólica. Ambos yacen ahora juntos en la ciudad de Marosvásárhely, antes en Hungría, ahora es Târgu-Mureş y pertenece a Rumanía.

Pero hay muchos más matemáticos ilustres que han encontardo su descanso final en algún lugar de nuestro planeta, donde puedan ser visitados y honrados por sus logros. Y algunos de sus epitafios son tan originales como lo fueron sus vidas.

Es difícil seguir la pista a los más antiguos, como es el caso de Arquímedes, que vivió hace unos 2300 años. Su tumba ilustra su demostración matemática favorita: una esfera inscrita en un cilindro de la misma altura y diámetro. Arquímedes probó que el volumen y superficie de una esfera son dos tercios de las del cilindro incluyendo sus bases. Cicerón, que estaba como cuestor en Sicilia, decidió buscar la tumba, y la encontró cerca de la puerta de Agrigento en Siracusa, en una condición descuidada y poblada de arbustos. Posteriormente, se perdió la referencia al lugar. En 1960 se anunció que se había descubierto la tumba de Arquímedes, pero no está probada la autenticidad.

En el siglo XVI, Ludolph Van Ceulen pasó toda su vida calculando los treinta y cinco primeros dígitos de pi. Para ello utilizó las técnicas de Arquímedes y polígonos con una gran número de lados. En su tumba se leen la cota inferior y superior de pi. La tumba original desapareció, pero se conserva una réplica.

Réplica de la tumba de Ludolph Van Ceulen

Jacob Bernoulli, en el siglo XVII, fue un matemático influyente en el campo de las ecuaciones diferenciales, especialmente en ecuaciones separables y cálculo infinitesimal, lo que aprendió de Leibniz. Bernoulli estaba enamorado de la espiral logarítima y quería que fuera esculpida en su epitafio. Sin embargo, accidentalmente, le inscribieron la espiral de Arquímedes.

Tumba de Jakob Bernouilli

Isaac Newton también encontró un lugar memorable en que yacer, en la Abadía de Westminster, donde su epitafio dice: “ Aquí se encuentra Sir Isaac Newton, caballero quien con un rigor mental casi super natural, demostró por primera vez los movimientos y figuras que realizan los planetas, los caminos de los cometas y las mareas oceánicas. Dejemos que los mortales se regocijen de que exisió tal ornamento de la naturaleza”

Bernhard Riemann también es recordado como uno de los grandes matemáticos de la historia por sus contribuciones, que van desde el álgebra al análisis, de la geometría no euclideana a la topología.  La hipótesis  de Riemann sobre la distribución de los números primos es uno de los grandes problemas abiertos en la historia de las matemáticas desde el siglo XIX.  Riemann falleció en Selasca (Italia) , y reposa  en  el  cementerio  de  Biganzolo.  Su tumba tiene la inscripción:

Aquí reposa en Dios

GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN,

Prof. en Göttingen,

nacido el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz,

muerto el 20 de junio de 1866 en Selasca.

A los que aman a Dios todas las cosas le sirven para lo mejor.

Tumba de David Hilbert

David Hilbert, otro de los grandes del siglo XIX, fue reconocido por sus aportaciones a la axiomatización de la geometría y los espacios de Hilbert, que suponen las bases del análisis funcional (y de la mecánica cuántica). Su epitafio en Göttingen son sus palabras pronunciadas en la Sociedad Alemana de Científicos y Médicos el 8 de septiembre de 1930: “ Wir müssen wissen, wir werder wissen”, traducido: “Debemos saber, sabremos”. Justamente el día antes de que Hilbert pronunciara estas palabras Kurt Gödel anunció su teorema de incompletitud.

Ludwig Boltzmann, físico y matemático que revolucionó la física estadística, también dejó un epitafio matemático en el que grabó la fórmula de crecimiento de la entropía de un sistema. En el siglo XIX también Lindemann quiso dejar uno de sus resultados inscritos en su tumba. Probó que p es un número transcendente, relacionado con la cuadratura del círculo. De ahí que en su tumba aparezca un círculo inmerso en un cuadrado alrededor del símbolo de p. Sumándose a la moda del siglo XIX, William Clifford, también dejó un epitafio, aunque algo más metafísico. Así dijo: “Yo no era, pero fui concebido. Amé y trabajé un poco. Ahora no estoy,  pero no sufráis”.

La estrategia del recordatorio matemático en tumbas siguió hasta el siglo XX, Paul Dirac, inventor de la ecuación que lleva su nombre, encontró un lugar donde descansar también cerca de la Abadía de Westminster y quedó allí grabada la ley relativista de los electrones.

Para finalizar, Paul Erdos, quien dedicó su vida a trabajar en las matemáticas, murió poco depués de dar su última charla en Varsovia hace un par de décadas, dejando un legado en teoría de grafos, combinatoria, teoría de conjuntos, aproximación y probabilidad. Después de tanto trabajo y para su muerte, quería que en su epitafio figurara esta frase: “Por fin he dejado de hacerme más y más tonto”. Tan excéntrica la frase como lo fue su vida.

Tumba de Paul Erdös

Y ahora, os preguntamos, vosotros, ¿qué descubrimiento habéis hecho digno de un epitafio?

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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Las matemáticas de Karl Marx


“Ayer, por fin, encontré las fuerzas para estudiar sus manuscritos matemáticos y, aunque no utilicé libros de apoyo, me alegró ver que no los necesitaba. Le felicito por su trabajo. El asunto está tan claro como la luz del día, así que no deja de extrañarme la forma en que los matemáticos insisten en mitificarlo. Debe de ser por su manera tan partidista de pensar”.

Carta de Engels a Marx en agosto de 1881.

 

Karl Marx es probablemente una de las personas que más influencia ha tenido en la descripción de nuestra sociedad tal y como es ahora. En una encuesta de la BBC de 1999, fue elegido como el “mayor pensador del Milenio”.

Karl Marx

Las teorías de Marx sobre la sociedad, la economía y la política, el marxismo, proclaman que las sociedades avanzan a través de la dialéctica de la lucha de clases. Pero no es sobre marxismo sobre lo que vamos a hablar a continuación, sino sobre una faceta menos conocida de Marx: su interés por las matemáticas.

En una carta del 11 de enero de 1858, Marx le escribe a Engels:

“Trabajando en los Principios de la Economía,  me he sentido más entorpecido por los errores de cálculo que por la falta de esperanza. Nunca me he sentido a gusto con la aritmética. Pero haciendo un rodeo con el álgebra, encontraré rápidamente el camino”.

En esta aventura matemática le acompañó su colega, amigo y también benefactor, Friedrich Engels. Ambos dedicaron un gran esfuerzo para avanzar tanto en las matemáticas como en las ciencias en general. Las matemáticas sirven para construir modelos, y el objetivo de Marx era estudiar aquellos que servían para entender cómo funcionaba la economía.

Engels, en el prólogo de su importante obra “Anti Duhring”, dice:

“Marx y yo fuimos los únicos que salvamos la dialéctica consciente de la filosofía idealista alemana, para traerla a la concepción materialista de la naturaleza y de la Historia. Mas, para enfocar a la par dialéctica y materialmente la naturaleza, hay que conocer las matemáticas y las ciencias naturales. Marx era un concienzudo matemático”.

Karl Marx quiere entender los fundamentos del cálculo infinitesimal y, aparentemente, no estaba al tanto del desarrollo del análisis matemático de la época, así que, entre 1873 y 1883, comienza a escribir unas notas en las que plasma sus investigaciones. Estos escritos se recogen en un libro que se publica primero en ruso gracias al esfuerzo de la matemática rusa Sofya Aleksandrovna Yanovskaya; Yanovskaya comienza a estudiar estos textos en 1930 y la edición del libro es en 1968. Posteriormente, en 1983, se publica la traducción al inglés con el título “The Mathematical manuscripts of Karl Marx”. Existe una edición en español de 1987 por Ediciones Xerais.

Según los textos, parece ser que el interés de Marx iba sobre todo para entender las curvas que surgían de los gráficos realizados con los datos experimentales. En esta tarea, Marx no cuenta todavía con el edificio sólido que hoy ofrecen las matemáticas. En esa época, matemáticos de la talla de Weierstrass, Dedekind y Cantor, estaban detallandon conceptos como límite. Por otra parte, y fruto de la rivalidad de Newton y Leibniz, las relaciones entre las matemáticas del continente europeo y las de las islas británicas no eran todo lo fluidas que deberían ser.

Marx estudia la naturaleza y la historia del cálculo diferencial, pero también realiza su propia investigación, obteniendo de manera independiente resultados ya conocidos. Aunque los resultados no cambiaron el desarrollo de las matemáticas, sí es interesante señalar cómo Marx se adelanta a su tiempo conceptualmente: Él protestaba por una visión de la derivación y la integración como meros cálculos y prefería profundizar en su naturaleza.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y César de la Prida (Editor de Matemáticas en Santillana Educación).

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La muchacha que analizaba los datos


En 1965, una joven graduada en Física, Jocelyn Bell, comenzó en la Universidad de Cambridge su doctorado en astrofísica bajo la dirección de Anthony Hewish, quién quería poner en marcha un nuevo método observacional de los recientemente descubiertos quasars, con la ayuda de un nuevo radiostelescopio. Con sus colegas de doctorado, Jocelyn comenzó la ardua construcción del telescopio, que comenzó a funcionar en julio de 1967, todavía sin terminar. El trabajo de Jocelyn era usarlo y analizar los datos que se iban recogiendo: casi 30 metros de papel cada día.

Susan Jocelyn Bell

 

Un día detectó un extraño patrón en los registros de las lecturas, un pulso regular, aproximadamente uno por segundo. Lo denominó temporalmente LGM (Little Green Man, Hombrecillo verde), porque tanto ella como Hewish pensaron en un principio que eran ocasionados por extraterrestes. Los quásares son también objetos luminosos y emiten en todas las longitudes de onda. La diferencia radicaba en la frecuencia de los destellos, por lo que debería tratarse de un nuevo objeto. Finalmente identificó la fuente como una estrella de neutrones de rápida rotación.

Primera observación de púlsares

Resumidamente, un púlsar es una estrella de neutrones que emite radiación periódica. Esta radiación es fruto de intensos campos magnéticos en el corazón de la estrella, y se emite a intervalos regulares relacionados con la rotación de este objeto.

 

Púlsar de la Nebulosa del Cangrejo. Esta imagen combina imágenes del telescopio HST (rojo), e imágenes en rayos X obtenidas por el telescopio Chandra (azul).

Un púlsar surge de una estrella que explota y cuyo materia residual se comprime. En este proceso, disminuye la distancia entre los átomos aunque los electrones que orbitan alrededor del núcleo se repelen mutuamente, pero en una estrella de neutrones los electrones son atraídos desde sus órbitas hacia el núcleo. Así, junto con los protones, se forman más neutrones, hasta que la estructura atómica se transforma en un cúmulo de neutrones, dando lugar a una estrella de neutrones.

Jocelyn nació en Irlanda del Norte en 1943 y desde una temprana edad mostró su interés por la Física, gracias a las enseñanzas de su profesor de Física en el Mount School de York, Inglaterra. Mr. Tillott, quién le decía: «No tienes que aprender montones y montones de datos; tan sólo aprende unas pocas cosas clave, y… entonces podrás aplicarlas y construir y desarrollar sobre ellas.”

Este descubrimiento fue digno de premio Nobel y se entregó a Anthony Hewish, el supervisor de Jocelyn. Únicamente se le entregó a él, en vez de a Jocelyn, cuando ella era la auténtica protaogonista.

Jocelyn no guarda rencor a la Academia Sueca y cree que quizás no le concedieran el Nobel porque en aquel momento sólo era una doctoranda.

No obstante, Jocelyn ha recibido muchos otros elogios. Ha pertenecido a importantes grupos de investigación en la Universidad de Southhampton, en el Royal Observatory de Edimburgo, en University College de Londres, Universidad de Princeton, Oxford, Bath y es actualmente la presidenta de la Royal Astronomical Society. También recibió la medalla de oro del CSIC hace dos años.

El trabajo de Jocelyn Bell (ahora Jocelyn Bell Burnell, por su casamiento) descansó sobre el análisis de los datos. Hace cincuenta años, los métodos eran muy primitivos, pero hoy en día existen técnicas poderosas para analizar los millones y millones de datos que los astrónomos obtienen, tanto de los telescopios y radiotelescopios en tierra como de las misiones espaciales. El análisis de estos datos descansa en las matemáticas, y el aumento exponencial que de este auténtico aluvión de datos precisa de algoritmos matemáticos cada vez más sofisticados. Esta necesidad ha creado un nicho muy interesante donde los matemáticos pueden encontrar muchas oportunidades. En los países más avanzados así lo han entendido, tal y como comentábamos en entradas anteriores.

Terminamos con esta excelente conferencia de la mismísima Jocelyn Bell sobre el descubrimiento de los púlsares.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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El fracaso del Campus de Excelencia Internacional UAM+CSIC


En 2009 se lanzó el programa Campus de Excelencia Internacional, una ambiciosa medida del gobierno de España para mejorar la calidad del sistema universitario mediante la agregación, especialización, diferenciación e internacionalización de sus mejores universidades.  Esta era una de las actuaciones desarrolladas en el marco de la llamada Estrategia Universidad 2015, dentro del ámbito estratégico del “entorno” y como impulso especial a la relación Universidad-Ciudad-Territorio.

El lanzamiento del programa fue a bombo y platillo, y trataba de emular a programas similares en Alemania y Francia. Desgraciadamente, estos créditos desaparecieron en cuanto la crisis económica se agudizó, y, como en su día ocurrió con el Programa Consolider, desapareció. Pero las universidades se lanzaron a solicitar este sello de calidad, que conllevaba unos interesantes créditos con los que poner en marcha estrategias de fortalecimiento. Un aspecto interesante era el de buscar sinergias, y en el caso de la Universidad Autónoma de Madrid, su socio natural fue el Consejo Superior de Investigaciones Científicas.

Si se va a la página web del CEI UAM+CSIC, el proyecto no podía ser más ambicioso:

La universidad del sigo XXI es sin duda, uno de los pilares sobre los que se debe construir la sociedad del conocimiento y una economía competitiva y sostenible. En estos momentos de profundos cambios sociales, económicos y tecnológicos, la universidad se perfila como motor de desarrollo en la generación del conocimiento y su transferencia hacia la sociedad, y ello solo es posible con un modelo de campus en el que se sumen los esfuerzos con otras instituciones y agentes sociales. El Campus de Excelencia Internacional UAM+CSIC (CEI UAM+CSIC) representa la suma de esfuerzos de la Universidad Autónoma de Madrid y el Consejo Superior de Investigaciones Científicas para construir un campus de educación superior, investigación e innovación, con proyección internacional. El proyecto, al que se agregan también los Institutos IMDEA del Campus, cuatro institutos de investigación sanitaria, dos centros nacionales de investigación en enfermedades prevalentes, los Ayuntamientos y organizaciones empresariales del entorno y un buen número de empresas, tiene tres puntos de partida: una clara vocación docente, un talento y prestigio investigador consolidado, ya de relevancia internacional incuestionable en algunas áreas, y un firme compromiso con nuestro entorno social, cultural y económico. En este contexto, durante el período 2009-2014 comenzó el desarrollo del proyecto estratégico con una importante transformación de la universidad a nivel de agregación con centros e institutos de investigación, especialización e internalización que se potenciará en su próximo plan de actuación 2015-2018.

Edificio del Rectorado de la UAM

El Plan de Trabajo se articulaba en estos ejes estratégicos:

Se crearon una serie de Comisiones de Trabajo, que funcionaron los primeros años. Pero desgraciadamente, no se aprovechó la oportunidad de crear auténticas sinergias. La UAM y el CSIC tienen una historia larga de colaboración, y ésta es la universidad que alberga en sus campus el mayor número de institutos del CSIC (propios y mixtos). Este hecho ha dotado al campus de unas infraestructuras únicas.

Porque en vez de tomar ventaja de unas condiciones iniciales óptimas, se mantuvo la diferenciación entre la UAM y el CSIC. Los trabajos para dotar de una identidad jurídica al CEI no han seguido adelante. Las reuniones de las comisiones se terminaron en cuanto el ministerio detuvo el flujo de los créditos. Hasta en la página web hubo que insistir en un cambio para que se mostrara una única institución y no dos. Es una característica demasiado común en el colectivo universitario el reunirse para repartir los recursos, pero no para diseñar estrategias para conseguir más con los que se dispone en un momento dado, olvidando que la estrategia solo requiere inteligencia y sentido común. Y, desde luego, no se reduce a llenar un campus de banderolas o enviar un boletín donde se incorporan actividades que se realizan independientemente del CEI.

Edificio Plaza Mayor de la UAM

El actual rectorado es obviamente responsable de que el CEI no haya cuajado, y un momento crítico fue el conflicto en la dirección del Instituto de Ciencias Matemáticas, ICMAT. UAM y CSIC llegaron a una situación de incomunicación mutua que todavía está sin resolver y donde solo por la participación de la Secretaria de Estado se logró reducir el revuelo mediático. Las consecuencias de este innecesario conflicto están siendo muy graves, y se percibe en la disminución de actividades científicas e ingresos por proyectos europeos.

A pesar de que las inversiones del CSIC en el campus de la UAM han sido importantes, entre ellas el edificio que alberga a los dos institutos, Instituto de Física Teórica (IFT) e ICMAT, el eje estratégico de Física Teórica y Matemáticas, que englobaba al Departamento de Física Teórica de la Facultad de Ciencias y el IFT, y al Departamento de Matemáticas y al ICMAT, no ha funcionado.

En Matemáticas, ni siquiera se ha sido capaz de lograr un acuerdo en las sinergias entre las bibliotecas del instituto y el Departamento, ni tampoco se ha puesto en marcha un programa conjunto de máster y doctorado. Y entre la Física Teórica y las Matemáticas la relaciones son simplemente inexistentes.

Ahora se presentan unas elecciones a Rector, cuya primera vuelta será el 4 de mayo. Acabo de presenciar el debate de los tres candidatos, y es muy significativo que en una hora y cuarenta y cinco minutos, ni se ha mencionado al CSIC (una ojeada a los programas electorales confirma esta falta de interés). Las previsiones que se hicieron en su momento de conseguir la presencia del campus en los cien primeros puestos de los rankings internacionales han fallado, y al contrario, se está retrocediendo, y mucho.

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La UAM (y el resto de universidades madrileñas) tienen frente a sí dos retos, dos leyes de calado regional: la LEMES (Ley del Espacio Madrileño de Educación Superior), y el V PRICIT (Plan Regional de Investigación Científica e Innovación Tecnológica). Poco se ha debatido sobre la LEMES y menos sobre el PRICIT.

Alguno de los candidatos se refería a la necesidad de detener el declive de la UAM. Es cierto, habría que detener este declive de una universidad que un día fue puntera (a pesar de las proclamas triunfalistas del candidato “oficial”, ya no lo es). Pero si los candidatos se atienen únicamente a contentar a todos, no lo conseguirán, y la agonía se prolongará. Harían bien en aplicarse esta frase de Woody Allen: “No conozco la clave del éxito, pero sé que la clave del fracaso es tratar de complacer a todo el mundo.”

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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El lenguaje de las matemáticas


En una entrada anterior, citábamos el famoso párrafo de Galileo Galilei en Il Saggiatore, en la que se preguntaba en que lenguaje estaba escrito el universo, y decía: “… Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, …”

Estatua de Galileo Galilei en Florencia

Galileo nos dice cuáles son las “letras” que debemos usar para describir el mundo. Y estos caracteres han ido construyéndose a lo largo de siglos, más bien, milenios. Algunos eruditos sostienen que es la necesidad de contar haciendo marcas en las vasijas de barro lo que condujo al nacimiento de la escritura. En cualquier caso, los símbolos se fueron creando. Pensemos por ejemplo en hueso de Ishango, que pudo ser tallado para establecer un sistema de numeración hace 20.000 años.

El hueso de Ishango

Los símbolos para representar los números fueron diferentes para las muchas culturas: símbolos cuneiformes para los babilonios, jeroglíficos para los egipcios, los números romanos, y la aparición del sistema decimal y los números indo-arábigos que hoy en día usamos universalmente, culminados con el cero, de valor clave para desarrollar un sistema posicional.

El primer escrito occidental donde aparecen los números indo-arábigos, sin incluir el cero, es el Codex Vigilanus o Albeldensis, manuscrito anónimo escrito en latín y finalizado en el 881.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Estos diez símbolos se utilizan el sistema de numeración decimal y son ampliamente reconocidos universalmente. Prácticamente cualquier persona, sin importar su idioma y alfabeto nativo, está en la capacidad de entender y comprender su significado.  Sin embargo, el nombre que los números tienen en un idioma permiten entrever otros sistemas de numeración que estuvieron presentes en la antigüedad.

Por ejemplo, a pesar de que Francia adoptó el sistema decimal en el Siglo XVI, aún se pueden evidenciar trazos del sistema vigesimal. Vemos que el número 80 en francés se dice quatre-vingts (“cuatro veintes”), ya que este idioma utiliza el número 20 como base para contar entre el 70 y el 100. En adición, el hospital Quinze-Vingts de París aún conserva su nombre en honor a las 300 camas que allí habían. Se cree que el sistema vigesimal originó de la suma de los dedos de las manos y de los pies de los humanos.

Otro caso lo vemos en el ruso a la hora de expresar la edad. Este idioma tiene casos gramaticales, es decir, los sustantivos cambian según su papel en la oración. Para no entrar en detalles, veamos cómo se dice “Tengo 31 años”: Мне 31 год (“mnie 31 god”). Fijemonos en la última palabra. Si la edad acaba en 1 (11,21,31,… años) se usa la palabra год (“god”). Pero si la edad acaba en 2, 3, 4, 5  se usa la palabra года (“goda”). Para las edades que acaban en los números restantes, se utiliza la palabra лет (“let”). Detrás de esta regla gramatical que parece un tanto absurda, está el concepto de “uno, pocos y muchos” que se desarrolló en culturas antiguas donde no existía la necesidad de contar grandes cantidades.

Pero no solo los números llevan a crear un simbolismo. Los Elementos de Euclides contienen los primeros modos del razonamiento lógico. Esta es probablemente lo que le da a las matemáticas ese carácter universal; de axiomas incontestables, por deducción lógica, vamos obteniendo proposiciones y teoremas.  El rigor matemático ya no iba a abandonar nunca más a la humanidad.

Signos tan habituales para nosotros como + y – tienen una historia muy reciente: aparecen en la obra Mercantile Arithmetic, del matemático alemán Johannes Widman, publicado en Leipzig en 1489. En este texto, no tienen la connotación algebraica, sino que esta es posterior, y aparece así en otros manuscritos de finales del siglo XV.

Página del “Mercantile Arithmetic” de Johannes Widmann

Otro signo como el de igual, =, aparece en el libro The Whetstone of Witte, y el signo de la multiplicación, ×, se utiliza por primera vez en la obra Clavis Mathematicae (1631), del matemático inglés William Oughtred. El punto en vez de la cruz de San Andrés x, fue popularizado por Leibniz, aunque ya lo usaban algunos autores. La notación de los dos puntos, :, para la división fue también popularizada por Leibniz.

Pero se puede ver como previamente a estos cuatro símbolos, +, -, x y :, se usaron otros muchos menos manejables.

El símbolo de la raíz cuadrada apareció por primera vez en en un libro alemán a mediados del siglo XVI. Para evitar escribir “raíz de…” se empezó a escribir una “r”, donde el trazo horizontal cubría todo el número, dando orígen al símbolo que conocemos actualmente.

Nociones como la derivada y la integral se desarrollaron en la segunda mitad del siglo XVII, por obra de Isaac Newton y Leibniz. A Leibniz se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos de derivada d/dx y el símbolo de la integral ∫.

Esto es solo un breve recuento de símbolos, estos han ido configurando un auténtico lenguaje para las matemáticas, lo que ha permitido un desarrollo vertiginoso en los 3 últimos siglos. El desarrollo de la lógica matemática ha finalmente completado un sistema de manera que una proposición puede escribirse como un auténtico jeroglífico.

Así nos comunicamos los matemáticos

Este desarrollo del lenguaje de las matemáticas, del que aquí solo se ha hecho un esbozo, es lo que permite escribir un resultado por medio de una ecuación. Las ecuaciones serían por lo tanto los auténticos caracteres con los que describir el universo.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Viviana Márquez (Estudiante de matemáticas, Konrad Lorenz Fundación Universitaria).

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