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Los calculadores de Merton


El Merton College albergó a un grupo de estudiosos dedicados al cultivo de la física, la astronomía y las matemáticas, que son conocidos como “los calculadores de Merton”.

Merton College

 

El Merton College es uno de los colegios de la Universidad de Oxford en Inglaterra. Su fundación se remonta a la década de 1260 cuando Walter de Merton, canciller de Enrique III y más tarde de Eduardo I, redactó por primera vez los estatutos de una comunidad académica independiente y estableció una dotación económica. Es interesante saber que en este colegio las dotaciones se otorgaban directamente al director y a los becarios para que fuera autogobernado sin influencias externas.

Los principales “calculadores”, que escribieron en el segundo cuarto del siglo XIV, fueron Thomas Bradwardine, William Heytesbury, Richard Swineshead y John Dumbleton. Estos “calculadores” dedicaron mucho tiempo al estudio de la mecánica, tratando de encontrar las leyes que determinaban el movimiento de los cuerpos. Al hacerlo, anticiparon muchos desarrollos que después Galileo Galilei e Isaac Newton convirtieron en los resultados que contribuyeron a poner los cimientos de la ciencia moderna, especialmente en física y matemáticas.

 

Walter Merton

Entre los calculadores, el más destacado sea probablemente Thomas Bradwardine. Nació en Sussex, en 1290 (algunos autores señalan el 1295 o 1300), estudió en el Balliol College, de Oxford, y tras conseguir su título en 1321 pasó a formar parte delMerton College. Allí trabajó hasta 1335, y es en esa época cuando hizo sus contribuciones más relevantes, entre ellas el”Tractatus de proportionibus velocitatum in motibus”. El objetivo de esta obra era encontrar las leyes de la dinámica. Fue confesor del rey Eduardo III y lo acompañó en la guerra en Francia. A su vuelta a Inglaterra, ocupó varios cargos, y en 1349 los canónigos de Canterbury lo eligieron arzobispo, pero Eduardo III prefirió nombrar a su canciller John de Ufford. Ufford murió por la peste y Bradwardine ocupó su lugar, pero cuando volvía de recibir la confirmación del Papa Clemente VI en Aviñón, también sucumbió por la epidemia, sinendo enterrado en Canterbury.

Su influencia fue enorme, convirtiéndose en un célebre teólogo, que llegó a ser conocido como Doctor Profundus. Esa fama le hizo aparecer citado en Los cuentos de Canterbury de Geoffrey Chaucer:

“Con todo, yo no puedo llegaral fondo de la cuestión como aquel santo teólogo San Agustín, Boecio o el obispo Bradwardine y deciros si la divina presciencia de Dios constriñe necesariamente a uno a que realice cualquier acto en particular (cuando indico «necesariamente» quiero decir «sin más» o si uno está en situación de decidir libremente lo que hará o dejará de hacer, incluso cuando Dios sabe por anticipado que el acto en cuestión tendrá lugar antes de que ocurra o si el hecho de que lo sepa no constriñe en absoluto excepto por «necesidad condicional»). En tales problemas no entro en absoluto.”

Hoy sabemos (Newton dixit) que la fuerza que se aplica a un cuerpo le proporciona una aceleración en relación con su masa, es la llamada segunda ley de Newton, fuerza = masa x aceleración. Pero esto no estaba claro en esa época, en la que tampoco se conocía la noción de derivada (de nuevo Newton).

Bradwardine desarrolló sus ideas en el tratado De proportionibus velocitatum in motibus, publicado en 1328. Parece evidente lo que Aristóteles estableciera: el movimiento sólo puede ocurrir cuando las fuerzas que actúan en un cuerpo superan las fuerzas de resistencia. Lo que Bradwardine intentaba dilucidar es cómo la velocidad de un cuerpo en movimiento depende de las fuerzas que actúan sobre él. Así, si V denota la velocidad, F la fuerza motriz y R la fuerza de resistencia, entonces ya Aristóteles decía que V debería ser proporcional al cociente F/R. Supongamos que en principio tenemos una fuerza F fijada, una resistencia R0 tal que F> R0  y una velocidad inicial V0. Si V es proporcional a F/R y las velocidades fueran reduciéndose a la mitad en cada instante de tiempo y, en proporción las fuerzas de resistencia se doblaran, llegaríamos a un momento en que F<Rt.

Pero se podía considerar otro tipo de proporción, por ejemplo que reducir continuamente a la mitad V0 se corresponde a tomar continuamente raíces cuadradas de F/R0. En términos modernos, diríamos que V debería ser proporcional al logaritmo de F/R.

La “Ley de Bradwardine” fue ampliamente aceptada hasta finales del siglo XVI, pero como la formulación inicial de Aristóteles, era errónea. Fue Newton quien formuló la ley que hoy conocemos como verdadera.

Bradwardine es autor también de otras interesantes obras matemáticas. Creó una teoría de polígonos estelares regulares en su libro Geometria speculativa, de 1496. Recordemos como se construyen polígonos estrellados. Si a partir de los vértices de un polígono regular de p lados se unen sus vértices alternadamente, es decir, cada q vértices (orden q) sucesivamente hasta alcanzar el vértice inicial, se obtiene un polígono regular estrellado, cuyos lados y ángulos son todos iguales. La figura que se obtiene puede representarse mediante la expresión {p/q}. Por ejemplo, a partir de un pentágono regular (p = 5) puede trazarse una estrella de cinco puntas uniendo el primer vértice con el tercero (q = 2), el tercero con el quinto, el quinto con el segundo, el segundo con el cuarto y el cuarto con el primero. Se obtiene así el polígono estrellado {5/2}. Para generar un polígono estrellado, la fracción p/q debe ser irreducible, esto es, p y q han de ser primos relativos.

 

Los polígonos se pueden clasificar por orden y especie: dos polígonos son del mismo orden si tienen un número igual de lados mientras que dos polígonos son de la misma especie si la suma de sus ángulos es igual. Bradwardine probó resultados vcomo estos: el primer polígono estelar regular de la segunda especie es el polígono de cinco lados; la suma de los ángulos del polígono estelar de cinco lados es igual a los ángulos rectos; o el polígono es el primer polígono estelar regular de la tercera especie. Estableció además este principio general: el primer polígono estelar regular de cualquier especie se obtiene extendiendo los lados de la tercera figura constructible de la especie anterior.

En conjunto, la obra de Bradwardine es excepcional, y en cuanto a la ciencia su gran logro fue impulsar la idea de que las leyes naturales solo se pueden entender al expresarlas en una formulación matemática.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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La máquina de Galton


Siempre que puedas, cuenta

Sir Francis Galton

No es la primera vez que Francis Galton se asoma a Matemáticas y sus fronteras. En El matemático que quiso medir la inteligencia hablamos de sus estudios sociológicos y antropológicos  , y en La extinción de los apellidos entre la aristocracia victoriana y el número R sobre el ahora famoso número R en el caso de la transmisión vertical. Pero hoy nos centraremos en uno de sus diseños, la llamada máquina de Galton.

 

Galton nació en Birmingham, el 16 de febrero de 1822, y falleció en Haslemere, Surrey, el 17 de enero de 1911).  Se le puede calificar de polímata, porque sus intereses y actividades fueron de lo más variado y abarcaban la estadística, la sociología, la psicología, antropología, geografía, y muchas más cosas.

Galton fue pionero en la aplicación de los métodos estadísticos a las ciencias sociales y a la medicina, también a la meteorología. En realidad, fue por esas aplicaciones por lo que Galton se dedicó a estudiar la estadística. En las citadas entradas previas podemos encontrar muchos más detalles.

Sir Francis Galton

En Estadística nos interesa conocer los valores medios y como las mediciones se dispersan en torno a estos. A finales de 1860, Galton fue capaz de proponer la llamada desviación estándar. En su estudio de la distribución normal, Galton inventó una máquina que se llamó la Máquina (o Tablero) de Galton. Su objetivo era demostrar el teorema del límite central, en particular que, con una muestra lo suficientemente grande, la distribución binomial se aproxima a la distribución normal. Como comentamos, su curiosidad era conocer por qué ciertas características humanas, como la altura, en lugar de variar aleatoriamente dentro de una población, parecían variar dentro de una cierta estructura, una distribución normal. Galton quería precisamente era proporcionar una demostración práctica de por qué ocurre este hecho (aparte, por supuesto, de la demostración matemática, basada en el Teorema Central del Límite).

 

Diseño original de Galton

El Tablero de Galton consiste en un tablero vertical en el que se van intercalando filas de clavijas tal y como se muestra en la imagen. Ahora vamos dejando caer desde arriba cuentas o bolitas que van rebotando en las clavijas. Al golpearlas, pueden rebotar a la izquierda o hacia la derecha. Las cuentas acaban agrupándose en los recipientes de la base del tablero, y uno observa como las alturas de las columnas se aproxima a la curva de campana. La razón de esto es que hay muchas más formas de llegar a estos contenedores centrales que a los extremos. En efecto, aunque la probabilidad de ir a un lado o a otro es de ½, hay más maneras de irse hacia el centro que hacia los lados.

La fascinanción de Galton por la curva de campana queda de manifiesto en su libro Herencia Natural, publicado en 1889:

Orden en el Caos Aparente: Sé de casi nada tan apto para impresionar la imaginación como la maravillosa forma de orden cósmico expresada por la Ley de la Frecuencia del Error. La ley habría sido personificada por los griegos y deificada, si hubieran sabido de ella. Reina con serenidad y en completo olvido en medio de la más salvaje confusión. Cuanto más grande es la multitud, y cuanto más grande es la anarquía aparente, más perfecto es su dominio. Es la ley suprema de la irracionalidad. Cada vez que una gran muestra de elementos caóticos son tomados en mano y reunidos en el orden de su magnitud, una insospechada y más bella forma de regularidad demuestra haber estado latente todo el tiempo.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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STEAM en Miradas Matemáticas


“La enseñanza de las matemáticas se enriquece si se le dota de un contexto STEM”, Manuel García Piqueras

Miradas Matemáticas, la colección de libros que publica Catarata en colaboración con la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) y el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) lanza su decimoquinto título,  Aventuras STEAM, escrito por Manuel García Piqueras.

STEAM es el acrónimo inglés de de Science, Technology, Engineering, Art y Mathematics, y es la evolución del original STEM: cience, Technology, Engineering y Mathematics. Ambos son una estrategia educativa que incide en la enseñanza interdisciplinar, tratando de que los alumnos adquieran competencias  y habilidades relacionadas con la resolución de problemas, la investigación científica, el pensamiento creativo, el espíritu crítico, la iniciativa empresarial, el trabajo en equipo o la gestión positiva del error.

Este tipo de educación integral se ha ido haciendo cada vez más popular por la ceciente demanda de profesionales que posean estas cualificaciones. Por otra parte, STEAM permite que el alumnado desarrolle habilidades y competencias relacionadas con la innovación, independientemente de que se vayan a dedicar o no a una profesión científico-técnica.

 

Manuel García Piqueras

Una de las características de STEAM es que abarca metodologías, herramientas tecnológicas y orientaciones pedagógicas diversas, como el aprendizaje basado en proyectos, en el que se prioriza la resolución de problemas en contextos reales o el aprendizaje-servicio, enfocado a la mejora por parte del alumnado de una situación social en su entorno cercano.

Como el propio autor comenta en esta entrevista:

“La Unión Europea prevé un incremento considerable de perfiles STEM en un futuro inmediato. Ahora mismo no es posible competir a nivel salarial con otras potencias emergentes y la única forma de tener éxito comercial es fabricar con una calidad y unas garantías excelentes. Esto se consigue mediante la aplicación de tecnología punta y los estándares científicos más avanzados.”

 

El autor en el CERN

No es de extrañar pues que la propuesta de un libro sobre STEAM fuera acogida con entusiasmo en Miradas matemáticas. El título lleva un subtítulo clarificador, Ciencia, tecnología, ingeniería y arte: Un universo de conexiones matemáticas. En efecto, el autor presenta una serie de proyectos STEAM que tienen a las matemáticas como hilo conductor. Estos proyectos han sido desarrollados por el autor en el aula, y han sido reconocidos internacionalmente con numerosos premios. Entre ellos: la construcción de un astrolabio con impresora 3D, erl estudio de los ecosistemas y las consecuencias del cambio climático o el estudio del magnetismo terrestre, y son adaptables según las necesidades del profesorado y el alumnado.

Sobre el autor

Manuel García Piqueras es consultor tecnológico, docente de secundaria y profesor asociado de la Universidad de Castilla-La Mancha, autor de múltiples artículos sobre matemáticas, ensayista y novelista. Ha coordinado equipos de estudiantes que han obtenido las más altas distinciones en competiciones STEAM internacionales. Centra sus intereses en la teoría de la complejidad aplicada al estudio de ecosistemas, los instrumentos astronómicos, el magnetismo terrestre o el aprendizaje automático, entre otros, y participa en proyectos dirigidos por la Agencia Espacial Europea (ESA) o la Organización Europea para la Investigación Nuclear (CERN). Ha publicado novelas como La SuperMATEsobrina y el enigma del gran astrolabio (Nivola, 2016) o libros de divulgación como Una historia de la proporción: Desde la prehistoria al número de oro (Nivola, 2013) o la biografía Leibniz Las matemáticas del mejor mundo posible (Nivola, 2020).

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Historias de Pi: en búsqueda de la identidad


En entradas anteriores hemos visto como la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro era constante, la misma que nos da la relación entre el área de un círculo y el cuadrado de su radio. A esa constante la bautizamos como número π. Pero, ¿cuál es la naturaleza de este intrigante número cuyas cifras decimales no terminan nunca?

William Oughtred

Para investigar sobre sus señas de identidad, vayamos primero al nombre,  y también a la notación, al símbolo que lo representa. La notación con la letra griega π proviene de la inicial de dos palabras griegas: περιφέρεια (periferia) y περίμετρον (perímetro). Esta notación se debe al matemático y clérigo inglés William Oughtred (1574-1660) (a quien, por cierto, se le deben muchas otras notaciones); previamente se representaba por la letra p. Oughtred usaba la relación π/δ, donde δ era el diámetro en su obra Clavis Mathematicae (1647).

William Jones

 

Más adelante, el matemático galés William Jones (1675-1749) en su obra de 1706, Synopsis Palmariorum Matheseos, utiliza la letra griega π en la discusión de un círculo con radio uno tal como se muestra en la imagen

Jones, sin embargo, comenta que esas ocasiones son debidas “al ingenioso Sr. John Machin (1686-1751), quien en 1706 consiguió el logro de calcular 100 cifras decimales de pi. Así que quizás Machin fue al auténtico padrino. En cualquier caso, los matemáticos siguieron usando la notación en fracción de Oughtred hasta que Leonhard Euler la popularizó en sus obras Mechanica (1736) e Introductio in analysin infinitorum (1748). La influencia de Euler pudo con cualquier otro intento, como el previo de denominarlo constante de Ludolph, en honor al matemático alemán Ludolph van Ceulen (1540-1610), quién había calculado valor de π con una aproximación de 20 cifras decimales en su libro Van den Circkel (1596) que extendió a 35 algo más tarde. Después de su muerte, el “Número de Ludolphine”,

3,14159265358979323846264338327950288…,

fue grabado en la lápida de su tumba en Leiden.

 

Réplica de la tumba de Ludolph van Ceulen

Aparte de estas pinceladas acerca del nombre, lo esencial era determinar su naturaleza como número.

π  es un número irracional, es decir, no puede expresarse como fracción de dos números enteros: Este hecho lo demostró el matemático suizo-alemán Johann Heinrich Lambert (1728-1777). Lambert expresó  π  como una fracción continua infinita. Como una fracción continua finita se puede expresar mediante un número racional y viceversa, si π fuera racional, debería existir tal fracción continua.

Johann Heinrich Lambert

Más adelante, Charles Hermite encontró una prueba que no requiere ningún conocimiento previo más allá del cálculo básico. Y otras simplificaciones de esta prueba de Hermite son debidas a Mary Cartwright, Ivan Niven y al grupo Nicolas Bourbaki. Otra prueba, simplificación de la prueba de Lambert, se debe a Miklós Laczkovich.

En 1882, el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que π no sólo es irracional, sino también trascendental, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros.

 

Carl Louis Ferdinand von Lindemann

También se sabe que π no es tampoco lo que se llama un número de Liouville, que son aquellos números trascendentes que no se pueden aproximar por una sucesión de números racionales “rápidamente convergente”, o en otras palabras, los “mejor aproximados” por racionales.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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El valor desconocido


El mundo arde en nuestro interior, no fuera de nosotros.

Una de mis últimas lecturas ha sido la novela de Hermann Broch, El valor desconocido, publicada originalmente en 1933 e inédita hasta ahora en español, a pesar de que el autor es uno de los grandes escritores europeos del siglo XX.

La novela tiene mucho que ver con las matemáticas, como veremos, y da una visión crítica del mundo académico, con sus grandezas y miserias. Esa visión de ese mundo en la Europa de entreguerras no es muy diferente a la que ahora asistimos en nuestro día a día.

El protagonista de la novela es el joven Richard Hieck, iniciado en la investigación matemática en la que se está doctorando con la supervisión del profesor Weitprecht, catedrático del departamento. Su contrapunto es el doctor Kapperbrunn, matemático y ayudante de Weitprecht y que desprecia los esfuerzos de Hieck porque este se ha pasado a la física abandonando las matemáticas puras. Este diálogo refleja con claridad ese enfrentamiento:

Richard se esforzó más todavía. ¿Cómo definir las matemáticas? Una luminosa red de realidad resplandeciente, infinita, así es como las veía, y lo suyo era ir encontrando el camino, tanteando de nudo en nudo, sí, más o mrnos eso eran, un complejo entramado celeste, como el mundo mismo, un entramado que había que desenmarañar para hacerse dueño de la realidad.

- Las matemáticas están en todo – dijo finalmente y, para sorpresa de Kapperbrunn, se puso patético -: el mero hecho de que yo pueda contar las cosas es un hecho matemático comprendido en la realidad.

- Tendría que haberse metido a poeta y no a matemático – le soltó Kapperbrunn – , aunque, bueno, a la contemplación de las estrellas ya se dedica.

La alusión a las estrellas está motivada por el trabajo que Hieck en el Observatorio astronómico de la universidad, una vez que ha obtenido su doctorado y con la ayuda del profesor Weitprecht.

Hermann Broch

La dialéctica entre la física y las matemáticas está presente en toda la novela. Cuando Hieck visita a Weitprecht para agradecerle su ayuda una vez que ya ha defendido su tesis, este le pregunta si está continuando su trabajo.

- Bueno – dijo Weitprecht -, ya conoce usted la máxima de Kapperbrunn de que la ciencia matemática no es la criada de la fíisca, sino su reina … ahí leva razón, la verdad sea dicha.

- Hay muchas cosas que se han descubierto a partir del experimento – dijo Hieck – casi todo. – Aunque era cierto, de hecho, era una conclusión que, a él, que deseaba poder dominarlo todo desde el pensamiento matemático, le venía muy a contrapelo, y sólo había hablado así porque le resultaba inquietante el intento de trabar un contacto personal que, sin saber en qué, notaba en el discurso de Weitprecht. Él quería volver a su carril habitual, así que, casi como si le saliera solo, dijo – : la teoría de grupos, por ejemplo …

Ahí Weitprecht se animó más todavía:

- Sí …, ¿la está desarrollando?

Richard, como no sabía mentir, dijo:

- El tema se amplía más y más …, el doctor Kapperbrunn ha enviado los resultados provisionales de mi trabajo a la Revista de Crelle …

Y sí, poco después el artículo se publica en el Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, nombre completo de la revista que fundó Leoplod Crelle.

No podía faltar una referencia al machismo imperante en la época. Cuando Kapperbrunn se dirige a Hieck refiriéndose a un grupo de alumnas de matemáticas:

- Búsquese usted una chica de entre esas de ahí, suponiendo que haya alguna guapa, y póngase unos esquíes unos días, hombre.

Y no es el único episodio. Cuando Hieck lleva a su alumna Ilse Nydhalm de visita al observatorio, y se la presenta al doctor Lobka como una futura astrónoma, éste comenta:

- Si es que cuesta creer la de sitios en que se están metiendo las mujeres.

 

Recomiendo esta novela no sólo a los aficionados a la física y a las matemáticas, sino a cualquier lector; no olvidemos la calidad literaria del autor, Hermann Broch, que ha sido comparado con Joyce, Proust y Thomas Mann. Hermann Broch nació en Viena en 1886. Dirigió las fábricas textiles familiares hasta 1928, cuando decidió dedicarse exclusivamente a la literatura. Tras la ocupación nazi de Austria en 1938, fue encarcelado por la Gestapo. Gracias a la gestiones de su amigo James Joyce, Broch fue liberado y emigró a Gran Bretaña y finalmente a los Estados Unidos, donde residió hasta su muerte, en 1951. Su primera gran obra es la trilogía Los sonámbulos, y su obra más reconocida es La muerte de Virgilio, considerada como una obra maestra y ya un clásico.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Sobre las matemáticas y sus aplicaciones


Desde hace ya bastantes años, defiendo que la investigación matemática debe abordar tanto la investigación matemática en si (lo que he llamado alguna vez las fronteras internas) como aquellas que están motivadas por la interacción con otras ciencias, o buscan resultados tecnológicos o industriales (las fronteras externas). Si algunos matemáticos no quieren ver esa necesidad de conexión con la realidad, deberían hacerlo aunque fuera por una mera razón de supervivencia.

La exploración de las fronteras internas de las matemáticas es esencial, para expandirlas, para interconectar unas áreas con otras, lo que siempre ha llevado a moverlas hacia delante. Un ejemplo claro es el Programa de Langlands, puesto en marcha por Robert Langlands Phelan y que le hizo merecedor de premios tan relevantes como el Abel y el Wolf.

 

Robert Langlands

El programa de Langlands propone estudiar las conexiones entre un número de ramas de las matemáticas aparentemente dispares. En particular, sugiere puentes entre la teoría de los números (el estudio de los números enteros, especialmente los primos), el análisis y la geometría. Está considerado por muchos matemáticos como el mayor proyecto de la investigación matemática moderna. De hecho, los matemáticos han pasado gran parte del último medio siglo tratando de probar las diversas conjeturas que componen el programa de Langlands. El conocido matemático de la Universidad de Berkeley, Edward Frenkel, lo ha definido como “una especie de gran teoría unificada de las matemáticas”.

Más aún, las conjeturas (unas probadas, otras abiertas) desarrolladas en el programa tiene insospechadas relaciones con la física teórica, en particular, con la teoría cuántica de campos (en la imagen se pueden ver a Edward Witten y Davide Gaiotto colaborando en estas conexiones durante una conferencia en el instituto Perimeter, en mayo de 2018).

 

Este año, a causa de la pandemia, he leído y escrito muchas cosas sobre modelos epidemiológicos, lo que me ha llevado a reafirmarme en mis ideas. Si nos fijamos en los científicos que desarrollaron los modelos llamados deterministas, ninguno era matemático, aunque si poseían una buena formación en esta disciplina. Ronald Ross era médico, y su modelo sobre la malaria consistía en dos ecuaciones diferenciales que relacionaban las poblaciones infectadas de mosquitos y humanos y que incluían una serie de parámetros. El modelo SIR, o modelo de Kermack-McKendrick se formulaba con tres ecuaciones diferenciales que determinaban la evolución de la tasa de susceptibles, infectados y recuperados. Pero Kermack era bioquímico y McKendrick médico. La conclusión es muy simple: si los matemáticos no trabajamos en las fronteras externas, otros harán nuestro trabajo.

 

Sir Ronald Ross

No quiero decir que los matemáticos deberíamos dedicarnos en masa a este tipo de investigaciones, pero si fomentarlas y verlas con interés, tratar de hablar más con colegas de otras disciplinas, esforzarnos por entender sus problemas y contribuir a generar los correspondientes modelos matemáticos. Ronald Ross, que fue Premio Nobel de Medicina o Fisiología, buscó la ayuda de una matemática, Helen Hudson, para desarrollar sus teorías, consciente de sus limitaciones matemáticas. Son muchos los campos en los que los matemáticos tendríamos mucho que decir. La pandemia de la Covid-19 nos da una buena lección sobre la importancia de las matemáticas pero también de la cortedad de miras de algunos que temen la contaminación de las aguas puras de la disciplina o a lo mejor su miedo sea no estar a la altura de los enormes cambios que las matemáticas han experimentado en las últimas décadas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

 

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La historia de tu vida


Hablaremos hoy en Matemáticas y sus fronteras de un libro extraordinadio, La historia de tu vida, del genio estadounidense de origen chino Ted Chiang.

 

La pregunta sobre que tiene que ver este libro con las matemáticas la vamos a responder rápidamente. Diré en primer lugar que había leído Exhalación, su segundo libro de relatos publicado en Sexto Piso y había visto la película La llegada, inspirada en el relato que da título a su primer libro, La historia de tú vida. Recientemente pude comprar y leer inmediatamente esa primera obra, publicada en Alamut y que yo calificaría de excepcional.

La historia de tu vida consta de 8 relatos, y ya el primero, La torre de Babilonia, concluye con un uso de la topología. Yahvé no destruye esta gigantesca torre porque al llegar a la bóveda celeste, el protagonista descubre como al identificar los lados de un rectángulo, el cielo se junta otra vez con el suelo de donde procede: “no había castigado a los hombres por desear llegar más allá de los límites que tenían impuestos: pues el viaje más largo sólo les volvería a llevar al lugar del que habían partido.”

El tercer relato, Dividido entre cero, es pura matemática inspirado en Gödel. Renee Norwood, una brillante catedrática de matemáticas, descubre una nueva inconsistencia en sus fundamentos. Desarrolla un nuevo formalismo que prueba que un número es igual a cualquier otro. Como esas demostraciones fraudulentas para probar que 1 = 2 dividiendo por 0. Pero ahora si es posible. La consecuencia es que las matemáticas abstractas no tendrían sentido por sí mismas y solo como descripción de los fenómenos naturales, y así ya dejarían de ser interesantes.

Pero la verdadera joya matemática es precisamente el relato La historia de tu vida. La respetada experta en lingüística Louise Banks es solicitada por el gobierno nortemaericano, junto con otros muchos expertos, para tratar de establecer una comunicación con los extraterrestes que han aterrizado en diversos lugares de nuestro planeta. Los llamado “heptápodos”, por su anatomía, no manejan un lenguaje como los terrestes. Es un lenguaje en el que todo está presente a la vez. Louise comienza aentenderlo cuando su colega, el físico Gary Donelly, le explica el principio de Fermat.

Este principio nos dice como se propaga un rayo de luz al cambiar de medio, y es una consecuencia del cálculo de variaciones en el que la cantidad a minimizar es el tiempo, no la distancia. Comienzana  entender que mientras las matemáticas en nuetsro planeta se han desarrollado basads en el álgebra y la geometría, en el planeta de origen de los heptápodos, es el cálculo de variaciones lo que primero han desarrollado. Consecuencia: son capaces de ver el tiempo en todos sus instantes, no hay pasado ni futuro, todo lo ven de una vez. Describimos ambos el mismo universo pero de una manera muy diferente. En el caso del principio de Fermat, el rayo de luz “sabe” donde debe legar y que por el camino se encontrará dos medios diferentes. Louise es capaz de aprender este lenguaje y ello le permite ver pasado y futuro de una sola vez, como los heptápodos. Y este es otro mensaje que Ted Chiang repite en otro de sus relatos, Setenta y dos letras, como el lenguaje configura la realidad.

Este es el trailer de la película

 

Imagen de previsualización de YouTube

 

Sobre el autor

Ted Chiang nació en 1967 en Port Jefferson en ek estado de Nueva York. Sus padres eran emigrantes procedentes de China, primero a Taiwan, durante la Revilución comunista, y posteriormente marcharon a Estados Unidos. De hecho, su nombre chino es Chiang Feng-nan. Chiang estudió en la universidad Brown, donde se graduó en ciencias de la computación. Actualmente reside en Bellevue, cerca de Seattle, Washington, donde compagina su faceta de escritor de ficción con la de autor de manuales técnicos de software.

Chiang confiesa que empezó a escribir a los 11 años, después de leer a Isaac Asimov. Escribe poco, solo son dos los libros de realtos que ha publicado, La historia de tu vida y Exhalación, pero le han valido cuatro premios Hugo, cuatro Nebula, seis Locus y el British Science Fiction Association Award. Algo insólito en el mundo de la ciencia-ficción.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Aprobados los nuevos Estatutos de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de España


Los nuevos Estatutos permitirán la incorporación de más académicas y facilitarán el ingreso de científicos jóvenes en la corporación.

El Boletín Oficial del Estado de hoy, 15 de diciembre de 2020, publica el Real Decreto 1113/2020, por el que se aprueban los nuevos Estatutos de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de España.

La RAC consideró oportuno la elaboración de unos nuevos estatutos, que tuvieran en cuenta los cambios ocurridos en el panorama científico nacional e internacional en cuanto a las diferentes disciplinas científicas, la necesidad de establecer medidas efectivas que permitiesen corregir el desequilibrio en materia de género, así como corregir en cierta medida el envejecimiento de la corporación.

Los nuevos Estatutos incorporan elementos organizativos y tecnológicos para dotar a la Real Academia de mayor agilidad y eficacia. Van acompañados de un Reglamento de Régimen Interior y conllevarán la elaboración de un Plan Estratégico que supondrá sin duda una importante dinamización de la corporación.

Los Estatutos que se aprueban  mediante  este  real  decreto  son  acordes  con  el principio de igualdad de género entre mujeres y hombres al garantizarse que al menos dos  de  cada  cinco  nuevas  plazas  de  Académico  Numerario  o  Correspondiente  que deban cubrirse, sean cubiertas por mujeres. Por otro lado, y en orden a corregir el envejecimiento de la corporación, se garantiza que al menos dos de cada cinco nuevas plazas de Académico Correspondiente sean cubiertas por una persona de menos de cincuenta años de edad. El número de académicos numerarios crecerá desde los 54 numerarios actuales hasta los 72 numerarios; este crecimiento conlleva el aumento a 144 académicos correspondientes. Por otra parte, existe un número importante de académicos correspondienets extranjeros (97 actualmente), entre los cuáles hay varios Premios Nobel y medallistas Fields.

La propuesta de estos Estatutos ha sido adoptada por el Pleno de Académicos de Número de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de España y, como es preceptivo, ha sido informada favorablemente por el Instituto de España, y tutelados normativamente para su aprobación final por este Real Decreto.

La Real Academia de Ciencias tiene entre las funciones principales la de asesorar al Gobierno en temas de su competencia, singularmente  en  los  de  política  científica  que  puedan  tener  trascendencia  en  el desarrollo  científico  y  tecnológico  del  país.  De  igual  modo,  la  Academia,  entre  otras tareas, publica su propia revista y su memoria, así como otro tipo de informes o estudios, organiza  reuniones  y  seminarios  sobre  las  ciencias  mencionadas,  fija  y  define  la terminología científica y técnica, velando por la propiedad del lenguaje, adjudica premios, etcétera.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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La constante de estructura fina


“El valor de α ha sido un misterio desde que se descubrió… y preocupa a todos los buenos físicos teóricos. Uno querría saber inmediatamente de dónde viene ese número para un acoplamiento: ¿tiene que ver con π o quizá con la base de los logaritmos naturales? Nadie lo sabe. Es uno de los condenados y más grandes misterios de la física”.

Richard Feynman

 

Hacía tiempo que quería escribir sobre la constante de estructura fina, desde que leí una excelente entrevista que Adolfo Azcárraga hizo a Sir Michael Atiyah, publicada en la Revista Española de Física  (Julio-septiembre 2018)  en la que ambos conversan sobre esta constante.

Arnold Sommerfeld

La constante de estructura fina es un número del que se habla poco en los medios y que es, quizás por ello, poco conocida entre los matemáticos. Para darse cuenta de su importancia, valgan dos citas de dos genios de la ciencia: Richard Feynman: “un número mágico que llega a nosotros sin ser comprendido”; Paul Dirac: “el problema más fundamental sin resolver de la física”.

¿Y que es esta constante de estructura fina? Esta constante, denotada por la letra griega alfa (α), se conoce también como constante de Sommerfeld, y cuantifica la fuerza de la interacción electromagnética entre las partículas cargadas elementales. Es una cantidad adimensional relacionada con la carga elemental e, que denota la fuerza del acoplamiento de una partícula cargada elemental con el campo electromagnético.

 

Su valor aproximado es 1/137, y CODATA (Comité de Información para Ciencia y Tecnología) recomendó en 2018 usar este valor 137.035999084. Su origen se remonta a Arnold Sommerfeld, quien, en 1916, amplió el modelo de Bohr para incluir órbitas elípticas y la dependencia relativista de la masa con respecto a la velocidad. El espectro del átomo de hidrógeno había sido medido con mucha precisión por Michelson y Morley en 1887. La primera interpretación física de la constante de estructura fina α fue como la relación entre la velocidad del electrón en la primera órbita circular del átomo relativista de Bohr y la velocidad de la luz en el vacío. Equivalentemente, era el cociente entre el momento angular mínimo permitido por la relatividad para una órbita cerrada, y el momento angular mínimo permitido por la mecánica cuántica. Es decir, que determina el tamaño de la división o estructura fina de las líneas espectrales del átomo de hidrógeno. En 1928, Paul Dirac presentó una fórmula para su cálculo.

Hoy en día, la constante de estructura fina es una pieza de la llamada electrodinámica cuántica (QED), como una constante de acoplamiento general para el campo electromagnético, determinando la fuerza de la interacción entre los electrones y los fotones. La expresión α /2π está grabada en la lápida de Julian Schwinger, uno de los pioneros de la QED.

Inscripción en la tumba de Julian Schwinger

Recientemente he leído en Quantamagazine el artículo Physicists Nail Down the ‘Magic Number’ That Shapes the Universe informa de la última medida que se ha hecho de esta constante en el Laboratorio Kastler Brossel de París, hasta el undécimo decimal: α = 1/137.035999206. La líder del laboratorio, Saïda Guellati-Khélifa, lleva la friolera de 22 años con su experimento.

Y volvamos a Sir Michael Atiyah. En la citada entrevista, éste habla sobre su fórmula, una nueva expresión inspirada en la famosa fórmula de Euler, y en donde i se sustituye por una  ω y π pasa a ser una nueva constante que es precisamente la inversa de la constante de estructura fina. Vale la pena leer a ambos físico-matemáticos en ese apasionante debate sobre esta constante y muchas otras cosas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Lo que no podemos saber


Lo que no podemos saber (subtitulado Exploraciones en la frontera del conocimiento) es el cuarto libro publicado por Marcus du Sautoy, y como los anteriores, en la editorial Acantilado. Du Sautoy explora las fronteras del conocimiento actual a la luz de las matemáticas.

 

El libro está estructurado en siete partes, incluyendo una introducción. Cada parte está bautizada como una frontera:

  • Frontera cero: lo que sabemos que no sabemos
  • Primera frontera: los dados de casino
  • Segunda frontera: el violonchelo
  • Tercera frontera: el pomo de uranio
  • Cuarta frontera: el universo con recortables
  • Quinta frontera: el reloj de pulsera
  • Sexta frontera: el robot parlante
  • Séptima frontera: el cracker navideño

En cada una de ellas explora los líomites del conocimiento, comenzando con un objeto cotidiano en su vida particular. Así, la primera frontera es una análisis de las probabilidades a partir de un dado que obtuvo de un casino. ¿Podemos predecir el resultado de una tirada a partir de las leyes de la mecánica? Y de ahí explora los sistemas deterministas y el caos desvelado por Henri Poincaré. La segunda frontera explora los límites de la materia y el modelo estándar, con el descubrimiento extraordinario de los quarks. La tercera frontera nos adentra en el mundo misterioso e incomprendido de la mecánica cuántica, y la cuarta se adentra en el origen y final del universo. En la quinta explora la naturaleza del tiempo, y la sexta los límites de la conciencia y la inteligencia artificial. La séptima frontera se dedica a los límites de las propias matemáticas, con los descubrimientos de Cantor y Gödel.

Marcus du Sautoy

 

En su viaje, du Sautoy se pregunta por los límites del conocimiento humano. “En una época en que la ciencia parece desvelar los misterios más profundos del mundo físico, ¿queda algo que nunca podremos explicar ni comprender?” El libro contiene unas reflexiones interesantes sobre la idea de Dios en este universo que no podremos explicar completamente. Recordemos que du Sautoy es ateo y, como él mismo confiesa, “su única religión es el Arsenal”.

Marcus du Sautoy es natural de Londres, donde nació 26 de agosto de 1965. Estudió Matemáticas en la Universidad de Oxford, donde actualmente es profesor de matemáticas. En 2008 fue nombrado Simonyi Chair for the Public Understanding of Science, una cátedra para fomentar la divulgación de la ciencia y las matemáticas. Su investigación se centra en el estudio de la teoría de números desde el punto de vista de la teoría de grupos. Du Sautoy fue galardonado con el Premio Berwick en 2001 por la Sociedad Matemática de Londres. En 2009 ganó el Premio Michael Faraday de la Royal Society de Londres por “la excelencia en la comunicación de la ciencia al público del Reino Unido”. Du Sautoy fue nombrado Oficial de la Orden del Imperio Británico (OBE) y en 2012 sfue elegido fellow de la Sociedad Matemática Americana y en 2016 académico de la Royal Society.

 

Ha sido profesor invitado en el Collège de France y la École Normale Supérieure de París, en el Max-Planck-Institut de Bonn, la Universidad Hebrea de Jerusalén y la Universidad Nacional Australiana en Canberra. Colabora en la televisión con programas de divulgación matemática, así como en la prensa escrita. Todos sus libros han aparecido publicados en Acantilado:La música de los números primos (2007), Simetría (2009), Los misterios de los números (2012), Lo que no podemos saber (2018) y Programados para crear (2020). De este último publicaremos próximamente una reseña en Matemáticas y sus fronteras.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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