La misteriosa ley de Zipf


De este blog y de sus diez años dedicados a las matemáticas, queda claro que las mismas tienen muchas aplicaciones en otros campos: en la biología, medicina, en las finanzas, ymuy especialmente, en la física.

En la biología,  por ejemplo, las matemáticas han desarrollado modelos del equilibrio y supervivencia de las especies. Son los llamados modelos de Lotka-Volterra, en los que se predice la coexistencia de dos poblaciones: la de presas y depredadores, o la invasión parasitaria sobre otro organismo. El modelo consiste en dos ecuaciones diferenciales acopladas, regidas por ciertas condiciones iniciales y parámetros que dan cuenta de las condiciones ecológicas del entorno.

En la medicina, las aplicaciones son muy numerosas: desde el cálculo de las dosis de fármaco pertinentes a la explicación de un diagnóstico radiológico. Especialmente, se están desarrollado grandes modelos matemáticos (teoría de grafos, por ejemplo) para la explicación de los procesos neuronales.

En finanzas, existen modelos predictivos del mercado (aún muy poco refinados, de lo contrario la inversión en valores estaría más concurrida que la de los abuelos dirigidos por brokers del mismo banco al que han confiado todos los ahorros de su vida laboral, como hemos visto en la última crisis económica). Por ejemplo, los modelos de Black-Scholes tientan la subida de precio de un activo. Sin embargo, sus redefiniciones son continuas, y su rango de aplicación va a opciones europeas o inversiones con dividendos.

En física, es imposible elegir un ejemplo característico de aplicación entre los centenares de modelos teóricos basados en las matemáticas más formales (invitamos a seguir los que aparecen en el arxiv diariamente). Las aplicaciones a la física pueden dividirse en ramas de las matemáticas con su relación a su rama física correspondiente. Por ejemplo, la geometría diferencial es el punto de partida de la relatividad general, pero también en la termodinámica. El análisis matemático tiene un gran peso en la teoría de fluidos y el álgebra lineal y el análisis funcional son primordiales en mecánica cuántica y sus operadores matriciales.

Sin embargo, las matemáticas parecen no haber llegado a calar tan intensamente en otros campos no científicos, como  la biblioteconomía o la lingüística. Para desmentir su carencia de aplicación en el campo de las letras, hoy queremos describir la llamada ley de Zipf.

En los años cuarenta, el lingüista George Zipf se dio cuenta de que las palabras y su número de apariciones en textos, seguían alguna ley especial. La palabra más utilizada ocuparía el número uno en el ranking, el número dos se corresponde con la segunda palabra más veces repetida, etc. Así, se guardaba una estrecha relación entre el número de apariciones de las palabras más populares. La primera palabra más utilizada aparecía el doble de veces que la segunda y tres veces más que la tercera, y sigue el patrón según esta norma. Por ejemplo, en el Mago de Oz, de Franz L. Baum, publicado en 1908, la palabra más frecuente fue “the” con 3137 apariciones, la segunda es “and” con 1544 apariciones, y la tercera “to” aparece 1107 veces. La ley dice que

Pn 1⁄na

donde P n es la frecuencia de una palabra en el orden n y el exponente a es aproximadamente 1.

Gráfico mostrando el rango versus la frecuencia para las primeras 10 millones de palabras en 30 Wikipedias en una escala a log-log (extraído de Wikipedia)

George Kingsley Zipf (1902–1950) fue un lingüista americano, nacido en Freeport, Illinois, que se encontró con este fenómeno en sus estudios estadísticos de filología comparada. Estudió en Harvard, Bonn y Berlin, siendo luego profesor en Harvard.  Digamos como curiosidad de que fue Zipf quien popularizó esta ley, la misma parece haber sido descubierta previamente por el estenografo francés Jean-Baptiste Estoup y también por el físico alemán Felix Auerbach en 1913.

George Kingsley Zipf

Esta ley se convirtió en una ley curiosa que no sólo describe el comportamiento de la redacción y el uso de las palabras, sino que también distribuía, por ejemplo, el salario de los hombres más adinerados del planeta; en efecto, en un mismo país, la persona con mayor sueldo recibía el doble que el siguiente en orden descendente.

Otro uso de esta ley fue para el cálculo de habitantes en las ciudades más pobladas de un mismo país. También se corroboró que, aproximadamente, el número de personas en la capital más poblada es el doble que en la segunda capital más poblada y el triple que en la tercera, etc. Por ejemplo, los números concuerdan con las capitales estadounidenses: según el censo del 2010, Nueva York tenía una población total de 8.175.133 personas, siendo la siguiente capital más poblada Los Ángeles, con 3,792,621 habitantes y las siguientes capitales en el ranking, respectivamente,  Chicago, Houston and Filadelfia con 2,695,598, 2,100,263 y 1,526,006 . Efectivamente, parece que la ley se cumple. En este citadísimo artículo de 1999 el economista Xavier Gabaix describió esta ley para las ciudades como una ley de potencias, y el gráfico sería algo así:

La ley parece cumplirse hasta en el caso de ciudades con crecimiento caótico. Sin embargo, parece que los números no se siguen para ciudades de pequeño tamaño. Se bajara que la ley de Zipf sea un reflejo del crecimiento de ciudades con condiciones económicas similares, como pueden ser las integradas en la Unión Europea.

Otra de las leyes matemáticas aplicadas a la sociología y las poblaciones es la regla de los tres cuartos. Esta regla es aplicable al cálculo de la cantidad de recursos necesarios dependiendo del crecimiento de la ciudad. A primera vista, diríamos que si el número de habitantes de una ciudad es el doble que el otra, el número de gasolineras necesarias sería el doble. Sin embargo, el número de recursos se corresponde con los mencionados ¾, y la eficiencia de la ciudad será la misma con sólo un 77%  más de gasolineras.

Existen variaciones de la ley de Zipf e investigaciones recientes concernientes a tal ley. Los investigadores Álvaro Corral, Isabel Moreno García y Francesc Font Clos, del Centro de Recerca Matemática (CRM) de Barcelona, vinculado a la Universidad Autónoma de Barcelona, han completado un análisis a gran escala de miles de textos digitalizados para el primer tratamiento empírico de la ley de Zipf. Su trabajo se basaba en el estudio de más de 30.000 volúmenes en inglés para la formulación clara de la ley desde el punto de vista probabilístico: una que no asocie probabilidad a las palabras, sino variables numéricas.

Se obtuvo una ley equivalente de contar el número de apariciones de una palabra, y una segunda estadística que de cuenta del número de palabras diferentes que aparecen un número dado de veces. Así, el número de palabras que aparecen una única vez es el cuádruplo del número de palabras que aparecen dos veces, el nónuplo del número que aparecen tres veces, y sucesivamente. Las dos leyes de las frecuencias se han considerado hasta ahora quasiequivalentes, salvo porque la frecuencia de las palabras no es una variable continua.

La falta de empiricidad había derrotado muchas de estas teorías. Sin embargo, los nuevos métodos computacionales pueden simplificarnos mucho su corroboración. Como hemos visto, el estudio relatado anteriormente es muy reciente, del 2015, y se ha llevado a cabo gracias al software accesible del siglo XXI.

Sin embargo, todavía no está muy clara la explicación de la ley de Zipf, una ley empírica. Aparte de las explicaciones estadísticas, se habla por ejemplo de una ley del mínimo esfuerzo por parte de los que hablan, escriben o escuchan que para simplificar sus frases elijen las palabras mas corrientes, o el principio de que el éxito atrae el éxito. El tema es intrigante y requerirá mas y mas interés en el futuro inmediato.

Sao Paulo, Brasil

Gracias a a  revolución informática y su crecimiento exponencial, con la creación diaria de nuevas apps, estamos viviendo la era del Big Data. Esta ciencia se dedica a la clasificación y almacenamiento de volúmenes de datos que no pueden ser tratados normalmente, debido su ingente cantidad. Para ello, se están desarrollando nuevas herramientas en software y nuevas modas estadísticas. El concepto engloba infraestructuras, tecnologías y servicios creados para el procesamiento de estos conjuntos de datos estructurados, no estructurados o semi-estructurados (mensajes en redes sociales, señales de móvil, archivos de audio, sensores, imágenes digitales, datos de formularios, emails, datos de encuestas, logs etc,) que pueden provenir de sensores, micrófonos, cámaras, escáneres médicos, etc.

En el ICMAT se ha puesto en marcha el Laboratorio Robert Grossman, en el que este experto mundial que trabaja en la Universidad de Chicago colaborará con investigadores del instituto en estos temas. A la vez, la recientemente lanzada Fundación CorBI (Coruña Biomedical Institute) tiene entre sus objetivos el desarrollo de proyectos relacionados con Big Data y está cerrando importantes colaboraciones en los Estados Unidos.

Les dejamos con este video que explica con detalle la ley de Zipf:

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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Crónicas de Berlín: Sociedad Matemática Europea, una breve historia


En esta entrada trazaremos una breve historia de la Sociedad Matemática Europea (EMS) que completa –más bien extiende- el artículo aparecido en Café y Teoremas en Materia-El País, donde la limitación de espacio impidió incluir más detalles. Con esta entrada damos por finalizadas estas Crónicas de Berlín, cuyo objetivo ha sido simplemente trazar unas pinceladas de un congreso tan interesante como el 7ECM. Además del artículo citado en El País, remitimos a este otro, publicado en El Mundo. Recordamos también las dos magníficas entrevistas de nuestra colaboradora Ágata Timón y algún artículo más publicados también en El Mundo y en el blog del ICMAT.

Es el 28 de octubre de 1990, en Mandralin, un centro de congresos de la Academia Polaca de Ciencias (PAN), junto al río Swider, en un área boscosa a unos 25 kilómetros de Varsovia, un día frío pero soleado, un grupo de matemáticos de casi una treintena de países europeos está exultante; acaba de ver la luz la Sociedad Matemática Europea (EMS). Vamos a contar como se llegó a este día.

Madralin, Polonia

Aunque mucha gente lo ignore, el germen de la Sociedad Matemática Europea está en los esfuerzos de la Fundación Europea de la Ciencia (ESF) para tratar de impulsar la colaboración entre los matemáticos de Europa. Como primer resultado, se creó el Consejo Europeo de Matemáticas (European Mathematical Council) tras el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) de Helsinki en 1978. Las dificultades políticas del ICM de Varsovia en 1982 que obligaron a retrasar su celebración a 1983, supusieron un revés en este camino, aunque finalmente, tras varias reuniones, se llegó a esta de Mandralin en 1990 a la que asistieron representantes de 28 sociedades matemáticas nacionales con la clara intención de crear una sociedad europea.

A pesar del ambiente positivo, la tarea no resultó fácil (nada resulta fácil en esta Europa tan diversa). La primera gran objección vino de la Sociedad Matemática Francesa, con su presidente a la cabeza, Jean Pierre Bourguignon. Los franceses no deseaban una sociedad que admitiese socios individuales y que pudiera hacer competencia a las sociedades nacionales. Se salvó el escollo con la condición de que los socios lo serían a través de las sociedades nacionales, y solo cuando se alcanzaran los 4000 se permitirían afiliaciones individuales (esta cifra se rebajó posteriormente a 3000 y hoy coexisten las dos vías para hacerse socio de la EMS, la individual o a través de una sociedad nacional).

Friedrich Hirzebruch (1927-2012), primer Presidente de la EMS

No fue el único problema, ya que hubo un amplio debate sobre la pertinencia o no de que la EMS publicara una revista de investigación, debate que persistió por varios años, junto con el consecuente de si se debía o no contar con una editorial propia. Esto es ahora un hecho, y como curiosidad, en el ICM de 2006 en Madrid tomamos la decisiEste primer congreso ba desencaminado). me , se le mantuvo en la organizacimblicara una revista de investigacias con la intenci.ón de apoyar esta editorial con la publicación de las actas en la EMS, lo que supuso una fuerte inyección económica.

Las relaciones con las sociedades de matemática aplicada también fueron delicadas, especialmente desde el momento en el que la EMS comenzó a hacer lobby en Bruselas a fin de destacar la importancia de la investigación matemática para el desarrollo europeo, al considerar que por ellos mismos tendrían mas éxito. Hoy en día, esos problemas ya han sido solventados y se va de la mano, coordinando los esfuerzos del consorcio European Consortium for Mathematics in Industry (ECMI) formado por instituciones académicas y compañías industriales, con los de la red europea European Service Network of Mathematics for Industry and Innovation, mas conocida por sus siglas EU-MATHS-IN, que consta de 14 países, entre ellos España con la red Math-in – Red española matemática-industria. De nuevo, y ahora en este tema de las aplicaciones, la ESF deseempeñó un papel muy importante con el desarrollo de un estudio prospectivo (un Forward Look) con la colaboración de la EMS. Este estudio, Mathematics and Industry, tuvo como colofón un congreso final que se celebró en la sede central del CSIC y en el que tuve la oportunidad de colaborar (de hecho, por partida doble: como miembro del Core Group del comité PESC –Physical and Engineering Sciences Committee-, y como investigador del CSIC en el comité organizador).

Max Karoubi, fundador de los ECM

Una crisis mas preocupante fue a cuenta del primer Congreso Europeo de Matemáticas, que se celebraría en 1992 en París. Su promotor fue el matemático francés Max Karoubi (discípulo de AlexandrGrothendieck, y creador de la K-teoría), pero se descubrió que no contaba con el apoyo de la Sociedad Matemática Francesa. Karoubi fue sustituido como presidente del comité organizador, aunque debido a sus esfuerzos, se le mantuvo en la organización, ostentando desde entonces el título de “fundador” e los ECM. Finalmente se celebró el congreso en La Sorbonne, con un enorme éxito (Karoubi no andaba desencaminado en su propuesta, aunque ser fundador tiene siempre sus riesgos). En este primer congreso se entregaron por primera vez los diez premios a los matemáticos jóvenes mas distinguidos menores de 35 años, premios que fueron subvencionados por la ciudad de París y entregados por su alcalde, a la sazón Jacques Chirac que luego sería el presidente de la República.

A día de hoy, la EMS es una realidad, con múltiples actividades, con una presencia europea e internacional muy elevante y con un papel extraordinario de creadora de sinergias entre los matemáticos de los países europeos.

¿Y España, qué? Es la pregunta que nos debemos hacer. Tristemente, en los primeros años, la Real Sociedad Matemática Española (RSME) no pagó nunca su cuota de entrada, y por ello fue expulsada en la reunión del Comité Ejecutivo de Budapest en 1996 (de 1990 a 1996 la RSME estuvo prácticamente paralizada). Afortunadamente, un reducido grupo de matemáticos (Antonio Martínez Naveira, Marisa Fernández, Salvador Segura y un servidor) nos arremangamos en otoño de 1996 para poner en marcha otra vez la RSME, y tras su refundación, ponerla en el sitio que le correspondía. Pero esa es otra historia que contaremos en otro momento. Digamos, eso sí, que la EMS acogió con enorme alegría este retorno, y la RSME refundada empujó de nuevo (como le corresponde por tradición y envergadura) la aventura europea de las matemáticas españolas, en compañía del resto de sociedades matemáticas de nuestro país.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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Crónicas de Berlín: ¿matemáticos o simuladores?


La transferencia de la investigación matemática es un tema se gran importancia para el futuro de la disciplina, ya que aparte de su importancia en sí, sirve para demostrar fehacientemente el valor de las matemáticas.

Felix Klein

Es sin embargo un tema no resuelto en Europa, y sobre el que se ha reflexionado en el 7ECM de Berlín. Es cierto que se han hecho avances importantes, como lo muestra la concesión del premio Félix Klein al matemático francés Patrice Hauret, que trabaja en modelización de neumáticos para la compañía Michelin. Digamos que Félix Klein (1849-1925) fue un matemático que se dedicó a la geometría, creando el llamado Programa de Erlangen, para clasificar las geometrías en base a su grupo de transformaciones. Pero dedicó también su tiempo a la investigación en la enseñanza de las matemáticas, y, quizás en su faceta menos conocida, a promover las matemáticas aplicadas, más bien diríamos matemáticas industriales. De ahí este premio que se concede a un joven científico o aun grupo de jóvenes científicos menores de 38 años, que hayan usado métodos sofisticados para dar una solución extraordinaria para un problema industrial.

Se han hecho grandes esfuerzos en promover las matemáticas industriales. Hace unos años, con la colaboración de la Fundación Europea de la Ciencia (ESF) se elaboró un Forward Look (un informe prospectivo) titulado titulado “Mathematics and Industry” que recomendaba la creación de un instituto de investigación virtual para el tema. No cuajó (los destinos de los Programas Marco son a veces inescrutables) pero la comunidad no se rindió.

Se constituyó una red de redes, denominada European Service Network of Mathematics for Industry and Innovation, mas conocida por sus siglas EU-MATHS-IN, que consta de 14 países, entre ellos España con la red Math-in – Red española matemática-industria.

Además de la EMS, EU-MATHS-IN cuenta con la ayuda del consorcio European Consortium for Mathematics in Industry (ECMI) formado por instituciones académicas y compañías industriales con los tres objetivos siguientes:

EU-MATHS-IN acaba de conseguir un importante éxito. La propuesta MSO4SC – Mathematical Modelling, Simulation and Optimization for Societal Challenges with Scientific Computing acaba de ser aprobada por la Comisión Europea dentro del Programa H2020. En ella participan 7 países (España, Alemania, Hungría, Holanda, Noruega, Suecia y  Francia).

Dejénme terminar con una reflexión. Cuando los representantes de la comunidad matemática van a entrevistarse a Bruselas con los responsables europeos o a Estrasburgo con los parlamentarios, la espuesta es siempre la misma: “¿Matemáticas?, no, no se financian matemáticas, ni física ni química”, y el consejo es también el mismo: “Busquen ustedes otras palabras, no usen matemáticas, usen modelización, simulación, optimización”. Y lo hemos hecho y hemos obtenido el resultado deseado.

La reflexión es: ¿hemos tenido que vender como Fausto nuestra alma al diablo y renegar de las matemáticas para conseguir el resultado? ¿Tenemos que renunciar a nuestra alma matemática en esta transacción? Los lectores tienen la palabra. Mientras tanto, escuchen en este enlace la representación de la ópera Fausto, del compositor francés Charles Gounod.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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Crónicas de Berlín: la leyenda del postdoc errante


Uno de los grandes problemas de la investigación hoy en día es que hay pocas plazas disponibles para un gran número de postdocs. Y esto no significa en absoluto que haya demasiados postdocs (porque en nuestro país ya hemos visto argumentos de todo tipo y mi afirmación quiero que sea muy clara). Simplemente, el sistema europeo (y muy especialmente el español) es incapaz de incorporar a todo este talento errante.

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Este es un tema que ha sido objeto de debate en los medios de comunicación y también, como no, en la mesa redonda a la que aludíamos en la entrada de ayer. Esto en inglés nos lo dicen como el problema de las “early careers” y suena mejor, pero el problema es el mismo lo digamos como lo digamos.

Tenemos sistemas de ciencia y tecnología (y ahora hablo de España) que no planifican adecuadamente. No se cuantifican ni cualifican las necesidades (la priorización es solo una palabra) y así tenemos un sistema aleatorio. Muchos investigadores formados en algunas líneas y pocos en otras. Si se planificara, una parte del problema se arreglaría, porque formaríamos investigadores en las líneas de investigación según sus necesidades. Obviamente esto chocaría con la mentalidad imperante; somos los más igualitarios, o lo mío es lo mas importante, aunque eso nos lleve a producir investigadores para el paro.

Pero no todo se arreglaría, y ahí debemos buscar otras soluciones. Otra obvia sería incrementar la oferta, que es muy reducida. Cuando uno ve las cifras de postdocs que financia el sistema alemán en, digamos, matemáticas, y las compara con las españolas, es para llorar: 230 por año. ¿Comparamos con la oferta Ramón y Cajal y Juan de la Cierva? Mejor no.

Una consecuencia de este problema es la cantidad de postdocs que circulan por el mundo (una buena cifra de españoles, por cierto, a pesar de que algún presidente del CSIC hablara de “leyenda urbana”). Estos investigadores son como el holandés errante, va navegando y no recala en ningún puerto. Y dos años aquí, uno allá, van pasando los días y se plantifica con mas de cuarenta años, momento en el que ya no se le va a contratar porque se prefiere a otro mas joven.

¿Qué hacemos con ellos? En Francia acaban de crear las Junior Chair (algo parecido existe en Alemania) en las que se concede un grant de 200000 euros si el investigador va solo, y 1 millón si va con equipo, y se le pide que en el desarrollo de la cátedra solicite un proyecto del European Research Council (ERC). Al menos, es otra iniciativa mas.

Émile Borel

En el CSIC contratamos postdocs, bien via los dos programas Ramón y Cajal y Juan de la Cierva, bien con el programa Severo Ochoa si el instituto lo tiene, bien con los proyectos del ERC. La estrategia debería ser “explotar” (en el buen sentido) todo su potencial, ayudarles a crecer como investigadores poniendo a su disposición toda la maquinaria del instituto en cuestión, enseñarles a comunicar sus resultados y así, de paso, a ser mas competitivos. En fin, arroparles para que su potencial alcance el máximo, con lo que ellos se beneficiarán y el instituto también. Pero no nos quedemos en lo que yo llamo la estrategia del teorema del mono infinito: pon un mono a teclear un tiempo infinito y en algún momento obtendrá un gran resultado y conseguirá un proyecto ERC, una medalla Fields, un premio Nobel o lo que tercie en su disciplina. Cambia si quieres un mono por infinitos monos durante un tiempo infinito, el resultado es el mismo. Recuerdo por cierto que el Teorema del Mono Infinito fue planteado por un matemático eminente, Émile Borel, en 1913, en su libro Mécanique Statistique et Irréversibilité. Desgraciadamente, no tenemos un tiempo infinito, ni infinitos postdocs. La flauta no suena por causualidad y se requieren muchas horas de entrenamiento y de cuidado con estos talentos; los que así lo hacen o lo han hecho están recogiendo ya los frutos.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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Crónicas de Berlín: Cooperación internacional


Una de las mesas redondas que se ha celebrado estos días estaba organizada por los representantes de matemáticas de las agencias nacionales financiadoras de la investigación en Europa.

Puerta de Brandenburgo

La verdad es que ha dado mucho de sí, por la calidad de los coordinadores y de los ponentes, y entre los tres grandes bloques tratados, vamos a centrarnos en esta entrada en la cooperación internacional en matemáticas.

Que la cooperación internacional en matemáticas es algo que los pioneros que promovieron la creación de los Congresos Internacionales de Matemáticas (ICM) ya sabían, y es bueno siempre recordar esta sabia frase de  Adolf Hurwitz:

“Las grandes ideas de nuestra ciencia a menudo nacen y maduran en soledad; ninguna otra rama de la ciencia, con excepción quizás de la filosofía, poseen tal carácter introvertido como las matemáticas. Y aún así,  un matemático siente la necesidad de comunicarse, de participar en discusiones con los colegas”.

Los ICM contribuyeron sin duda a fomentar la cooperación, tal y como este 7ECM lo hace en el ámbito europeo, pero no debe olvidarse que el intercambio de información es ya muy antiguo. Podemos remontarnos a la Francia del siglo XVII en la que el Padre Marin Mersenne servía de cartero entre eminentes matemáticos de la época como Fermat, Descartes o Huygens.

Pero tampoco debemos olvidar los viajes mas antiguos como el de Euclides a Egipto y Mesopotamia para aprender de , o los mas modernos de Nils Abel por Europa para dar a conocer sus resultados y aprender.

Si el género epistolar ha sido sustituido por el correo electrónico y las redes sociales, los viajes y los congresos no. Y de esto hablabámos ayer.

Marin Mersenne

El primer consenso es que la cooperación internacional en matemáticas es irrenunciable, sin ella no vamos a progresar. El segundo consenso también ha sido fácil: la cooperación internacional cuesta dinero.

Y ahora nos ponemos a diseñar como y en qué empleamos (en el caso español, emplearíamos) ese dinero. Necesitamos organizar congresos, escuelas, conferencias, visitas, reserach in pairs, pero también financiar proyectos. Y estos proyectos pueden ser de muchos tipos: un proyecto específico de investigación o la creación de una red colaborativa.

Y se pide a las Agencias Nacionales de Investigación (¡atenta, España!), que vayan mas allá de la financiación y procuren además facilitar los trámites administrativos que axfisian a los investigadores (sin hablar por ejemplo de las dificultades de visados diversos).

Se reconoció también el papel crucial que deben desempeñar los centros de investigación, en particular los de ERCOM, aunque no todos tienen la misma envergadura y finalidades. El ICMAT, bajo mi dirección, realizó un enorme esfuerzo para convertirse en uno de estos centros de referencia, y las cifras así lo atestigüan, pero la actividad ha decrecido y las colaboraciones internacionales con centros similares están esperando un impulso.

Se recordó el gran papel que había desempeñado la European Science Foundation (ESF), con los Research Netwoeking Programas (RNP), que implicaban a varios países con una financiación en torno al medio millón de euros por cinco años sobre un tema particular incluyendo visitas de postdocs, workshops, escuelas. Los RNP fueron una gran ayuda para la comunidad matemática europea, pero la visión miope de los estados decidió suprimir la fundación y crear Science Europe, como un lobby en Bruselas de agencias como CSIC , CNRS, Max Planck, … y que está (y esta es mi opinión personal) constituyendo un completo fracaso.

Resumiendo: la cooperación internacional es clave en la construcción de una comunidad matemática europea competitiva y unida, e imprescindible para países pequeños o económicamente mas débiles.

Y sí, hablamos del Brexit y una vez mas en este congreso se pidió generosidad a todos para que la cooperación futura con nuestros colegas del reino Unido se mantenga; nos necesitamos mutuamente, a pesar de los políticos.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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Crónicas de Berlín: Europa no es país para mujeres matemáticas


Humidity is rising
Barometer’s getting low
According to our sources
The street’s the place to go
‘Cause tonight for the first time
Just about half past ten
For the first time in history
It’s gonna start raining men
It’s raining men
Hallelujah
It’s raining men
Amen
It’s raining men
Hallelujah
It’s raining men
Amen
It’s Raining Men, Geri Halliwell
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En el 7ECM de Berlín se han anunciado este lunes los premios a jóvenes matemáticos otorgados por la Sociedad Matemática Europea (EMS). De los diez premiados, solo uno es una mujer, la sueca de origen iraní Sara Zahedi. Parece que no se busca bien entre nuestras colegas, porque seguro que se encontraría mas de una matemática europea menor de 35 años y merecedora del premio. Y esto lleva ya su historia, porque de los setenta premiados desde el primer ECM en París en 1992, solo ha habido nueve mujeres.

Premiados del 7ECM

Cuentan que cuando se fundó Roma, andaban escasos de mujeres, y el primer rey, Rómulo, pensó en invitar a los sabinos con el objetivo de quedarse con sus mujeres, lo que dio lugar al famoso rapto de las sabinas. La historia acabó bien gracias al buen sentido de las propias sabinas, que no querían perder a sus maridos romanos ni a sus padres y hermanos sabinos (las mujeres nos llevan dando lecciones de cordura desde hace milenios). No digo yo que tengamos que recurrir a ningún rapto de matemáticas sabinas, pero sí recomendar a nuestros colegas que busquen mejor, que hay buenas candidatas, que las propongan y que nombren comités cuyos miembros tengan mentes abiertas. Ganaremos todos.

Este premio tiene además la particularidad de concederse a matemáticos menores de 35 años, lo que sirve para identificar potenciales medallistas Fields, y así ha sido el caso, porque 9 de los setenta ganadores han conseguido una Fields. Digamos de paso que de los 56 medallistas Fields solo uno es mujer, y casualidades de la vida, otra iraní, Maryam Mirzakhani, afincada en los Estados Unidos.

¿Y cómo nos ha ido a los españoles? Mal, solo dos premiados de setenta. Uno se puede preguntar las causas, y tampoco es la escasez de candidatos, que los hay y muy buenos, tal y como ocurre en el caso de las mujeres. Aquí lo que también falta es estrategia, unir fuerzas y presentar conjuntamente dos o tres candidatos cada año. Si diez instituciones españolas (es un decir) presentan cada una un candidato, la fuerza es pequeña y los que hacen lobby (en el buen sentido) triunfan.

Volvamos a las mujeres. Es importante diseñar estrategias a corto, medio y largo plazo. A corto plazo, tenemos que hacer búsquedas exhaustivas, hay mujeres jóvenes haciensdo matemáticas de alto nivel; y una vez identificadas, a proponer sus candidaturas.

En algunos países (por ejemplo, en Australia) se están ofreciendo plazas para ser ocupadas solo por mujeres. Esta es una buena estrategia a corto plazo.

Pero a largo plazo, tenemos que enseñar a valorar el trabajo de investigación de las mujeres, organizando conferencias de destacadas matemáticas en la secundaria y primeros cursos de universidad, mostrando patrones que seguir a las chicas y que, a su vez, los chicos se den así cuenta que sus compañeras son valiosas.

Para terminar, digamos que en los próximos ECMs tienen que empezar a llover mujeres, la lluvia de hombres ya la tenemos mas vista; nos jugamos que la mitad del talento humano del planeta no esté en el lugar que le corresponde.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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Crónicas de Berlín: Cuando un amigo no se va


When the routine bites hard
And ambitions are low
And the resentment rides high
But emotions wont grow
And were changing our ways,
Taking different roads
Then love, love will tear us apart again

Joy Division, ‘Love will tear us apart’
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En Berlín hemos visto de primera mano las consecuencias del Brexit, al menos en lo que se refiere al mundo de las matemáticas. Durante décadas, los matemáticos británicos y los del continente han trabajado de la mano, construyendo una amplia colaboración social como lo prueba la propia puesta en marcha de la Sociedad Matemática Europea (EMS).
En la inauguración del Séptimo Congreso Europeo de Matemáticas (7ECM) el presidente Pavel Exner confirmó públicamente la determinación de continuar juntos. No olvidemos que dos de las sociedades mas veteranas son precisamente la Edinburgh Mathematical Society y la London Mathematical Society. Otras instituciones que forman parte de la EMS son los centros de investigación Institute of Mathematics and its Applications (IMA), International Centre for Mathematical Sciences (ICMS) y el Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences.
En este blog nos hemos hecho eco en algunas ocasiones de las disputas entre el continente y las islas británicas, motivadas por la primacía en algún descubrimiento matemático y científico. Los enfrentamientos paradigmáticos tienen por parte inglesa un único protagosnista, Sir Isaac Newton.
En efecto, Newton tuvo un durísimo desencuentro con el alemán Gottfried Leibniz. Newton desarrolló su cálculo de fluxiones unos años antes que Leibniz, cálculo de fluxiones que no era mas que el que hoy llamamos cálculo diferencial (y también el cálculo integral). Estos resultados los consigue en 1666 (cuando sólo tenía 23 años), pero no lo expone mas que en círculos privados porque no está completamente satisfecho de los resultados. Leibniz llegó a resultados similares en 1675, y se apresuró a publicarlo en Alemania. Es entonces cuando Newton monta en cólera y da comienzo a una terrible disputa por la primacía que involucra a seguidores de uno y otro bando. Newton, con enormes influencias en la Royal Society, se sale con la suya.
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Algunos dicen que esta disputa produjo una diferenciación del desarrollo matemático en las islas (mas práctico, orientado por las aplicaciones a la mecánica y la óptica), y el de la Europa continental, de naturaleza mas teórica. En cualquier caso, esta polémica amargó los últimos años de la vida de Leibniz.

El segundo contricante de Newton es el holandés Christiaan Huygens, y la disputa se produjo por las diferentes interpretaciones de la naturaleza de la luz: corpuscular para Newton, ondulatoria según Huygens. Aunque matemáticos como Robert Hooke aceptaron las premisas de Huygens, el enorme prestigio de Newton impidió que prosperaran. Hoy sabemos que ambas visiones son complementarias y ciertas, la luz se comporta de una y otra forma.

Sin embargo, mucho ha cambiado desde los siglos XVII y XVIII, y actualmente existe mucha cooperación matemática. Si vamos a los proyectos financiados por el European Research Council (ERC), vemos que el Reino Unido es el segundo país en recibir este tipo de proyectos, con 30 Starting Grants, 8 Consolidator Grants y 16 Advanced Grants, con un total de 54. Esperamos que tras el Brexit el Reino Unido acuerde algún trato con la Unión Europea que les permita continuar como buenos socios tanto en el ERC como en general el H2020, al estilo de Suiza o Israel.

Por lo tanto, el amigo se queda, el amor no nos separará en este caso. ¡Larga vida a las matemáticas europeas!

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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Crónicas de Berlín: Más allá de la tradición


Con ocasión de la celebración del 7ECM en Berlín, se ha presentado una exposición con el título Transcending Tradition, que explora las vidas y actividades de los matemáticos judíos en los países de habla alemana en el periodo que va desde la emancipación política y legal de los judíos en el siglo XIX hasta la persecución nazi. Se trata de señalar los hitos del papel tan relevante que los matemáticos judíos jugaron entre el Gran Imperio Prusiano y la República de Weimar, y a todos aquellos que sufrieron la emigración o la muerte después de 1933. La exposición está producida por el Grupo de Trabajo de Historia de la Ciencia de la Universidad Goethe en Frankfurt.

Felix Hausdorff

Debemos recordar que alemanes y franceses lideraban las matemáticas mundiales en el siglo XIX,. Los alemanes, con centros como Königsberg (Prusia Oriental), Viena, Berlín o Gotinga. Matemáticos como Carl Friedrich Gauss, Johann Dirichlet, Bernhard Riemann, Félix Klein, y David Hilbert pusieron los cimientos de la matemática alemana.

Por ejemplo, entre los que contribuyeron a ese logro, están Leopold Kronecker, creador de la teoría de los determinantes; Carl Gustav Jakob Jacobi, que fue el primer judío en conseguir una cátedra en una universidad alemana; Hermann Minkowski, quién abrió caminos para Albert Einstein. Entre los que vivieron la tragedia, podemos contar a Felix Hausdorff, que no pudo escapar a Estados Unidos y fue internado en un campo nazi donde se suicidó en compañía de su esposa y su cuñada; o Emanuel Lasker, que fue además campeón del mundo de ajedrez y terminó su vida en Estados Unidos.

Ludwig Bieberbach

En el lado contrario, tras el advenimiento nazi, algunos matemáticos se unieron a las fuerzas de la barbarie, como Ludwig Bieberbach, que jugó el papel de líder en esta nefasta etapa, pero también otros como Theodor Vahlen  u Oswald Teichmüller. Como recordaba hace poco George Steiner, es algo paradójico pero cierto, que mentes brillantes puedan dar pábulo y unirse a causas abyectas, pero así es la condición humana. Bieberbach abrazó la causa nazi, aceptando las ideas del nazi Erich Rudolf Jaensch quien en obra Fundamentos del Conocimiento Humano clasificó a las personass en varias tipologías. Su alumno, Fritz Althoff lo aplicó a los matemáticos. Aquí va una “perla” del mismo Bieberbach:

“… la imaginación espacial es una característica de las razas germánicas, mientras que el razonamiento lógico puro es ricamente desarrollado por las razas románicas y hebreas. En el ámbito intelectual la raza se muestra en la forma de crear, la evaluación de los resultados, y considero que también en el punto de vista de las cuestiones de los fundamentos…”

Fundaron incluso una revista, Deutsche Mathematik, con el objetivo de crear una matemática étnicamente pura alemana, sin contaminación judía.

Nazis tratando de impedir la entrada a judíos en la Universidad de Viena

Todos estos prejuicios no tenían, evidentemente, ninguna base científica. Al contrario, los judíos han sido siempre grandes científicos y matemáticos, probablemente por su entrenamiento en la Torá y la Cábala durante muchos siglos.

Esta persecución de la ciencia judía, y en particular de las matemáticas, tuvo como consecuencia la huida de muchos científicos a otros países, especialmente, tal y como apuntamos antes, a los Estados Unidos, país que se benefició extraordinariamente de la diáspora. En este blog hemos recordado el caso de Emmy Noether, sin duda paradigmático, pero no es el único, al que se añadió su condición de mujer.

Recomiendo vivamente el extraordinario artículo Nazis y Matemáticas. Crónica de una Barbarie, de José Manuel Sánchez, del que he extraído material muy interesante.

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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El triángulo evanescente


That there, that’s not me
I go where I please
I walk through walls
I float down the Liffey

I’m not here
This isn’t happening
I’m not here, I’m not here

In a little while
I’ll be gone
The moment’s already passed
Yeah, it’s gone

I’m not here
This isn’t happening
I’m not here, I’m not here

Radiohead “How To Disappear Completely”

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Consideremos un triángulo equilátero, lo dividimos en cuatro triángulos equiláteros iguales, y eliminamos del conjunto el triángulo central. Esta operación la repetimos una y otra vez con los triángulos equiláteros que van apareciendo en el proceso, y así es como se construye un triángulo de Sierpenski, o quizás sería mejor decir, como se desvanece el triángulo del que partíamos (que podíamos suponer hecho de algún material de espesor infinitesimal).

Esta construcción es debida al matemático polaco Wacław Franciszek Sierpiński (de ahí el nombre), nacido el 14 de marzo de 1882 en Varsovia, y fallecido el 21 de octubre de 1969 en la misma ciudad. Sierpinski hizo importantes contribuciones a la teoría de conjuntos y la lógica, la topología y la teoría de números, cosechando en esta última materia un premio por su primer trabajo aún como estudiante. Aunque coemnzó a dar clases de matemáticas y física, el cierre de su escuela le animó a tomar la decisión de realizar un doctorado en la prestigiosa universidad de Cracovia.

Wacław Sierpiński

 

Sierpinski fue un matemático muy prolífico, y se cuentan más de 700 artículos y unos 50 libros, lo que en matemáticas es simplemente excepcional. Fue profesor en la universidad de Lwow desde 1908, pero con la primera guerra mundial le obligó a marcharse a Moscú, donde fue internado debido al uso político de rusos y austríacos de la cuestión polaca. Los matemáticos rusos Egorov y Luzin consiguieron liberarlo y allí trabajó con Luzin. Volvió a Lwow al terminar la guerra, y en 1919 se trasladó a Varsovia hasta su fallecimiento.

Sierpinski sufrió de nuevo la bestialidad de la guerra con la segunda guerra mundial, y aunque siguió trabajando en la universidad, su trabajo oficial era de bedel. Su casa fue quemada en 1944, perdiendo sus libros y su correspondencia personal. Es dramático como describió estos horrores, con los asesinatos de sus estudiantes, en una conferencia que impartió en Cracovia en 1945. Sierpinski había fundado la revista polaca mas prestigiosa, Fundamenta Mathematicae; durante la guerra el siguió trabajando enviando sus artículos a Italia, y escribiendo al final de cada uno: “Las demostraciones de estos teoremas aparecerán publicadas en Fundamenta Mathematicae”, lo que todos interpretaban como “Polonia sobrevivirá”.

Wacław Sierpiński describió su triángulo en 1915, aunque históricamente este patrón se encontraba en los mosaicos Cosmati de siglo XIII en la catedral de Anagni en Italia, así como en la Basílica Romana de Santa María en Cosmedin, y también en otras iglesias y basílicas (aquí se puede leer sobre esto un magnífico artículo de Francisco Martín Casalderrey en Suma).

Civita Castellana – Santa Maria Maggiore

El triángulo de Sierpinski es un ejemplo de fractal, objetos matemáticos que se pueden definir por poseer la propiedad de autosimilaridad (si ampliamos un trozo, encontramos el mismo patrón siempre, lo que ocurre en el triángulo de Sierpinski, como vemos por su propia construcción).

Aunque el triángulo original lo vamos “consumiendo” en nuestro proceso, algo queda. Y somos capaces de saber que dimensión tiene. Para ello, se usa la llamada dimensión Hausdorff. En el caso del triángulo de Sierpinski, sospechamos que la dimensión estará entre 1 y 2, y efectivamente, su dimesnión fractal o de Hausdorff es ln 3/ln 2, aproximadamente 1,585. Así que nuestro triángulo no es tan evanescente como podría parecer.

Este cálculo se hace tomando esta definición de dimensión fractal:

Dimensión del fractal = logaritmo del número de piezas autosimilares/logaritmo del factor de magnificación

Por supuesto, existen construcciones similares y análogos en dimensiones superiores, todos ellos objetos fractales, y de una gran belleza.

Para finalizar, digamos que existe un proyecto para construir el mayor triángulo de Sierpinski del mundo, a cargo del profesor José Luis Rodríguez Blancas (el mago Moebius) de la Universidad de Almería y de su equipo; aquí se pueden encontrar detalles del mismo.

Sobre la canción de Radiohead: “How to dissapear completely” está basada en un sueño de Thom Yorke en el que veía flotando como un fantasma. “I float down the Liffey” puede referirse al río Liffely que aparece en el Ulises de James Joyce. Los versos “I’m not here, this is not happening”, se suponen una referencia al consejo que Michael Stipes, de R.E.M., le dio a Thom para enfrentar el estrés de la gira O.K. Computer.

Esta es una de las canciones mas hermosas de Radiohead, en la que música y palabras se combinan de una manera magistral, creando un ambiente onírico. Desaparecemos a cada momento, porque cada segundo que pasa ya no somos los mismos que erámos. ¡Y cuántas veces nos gustaría desaparecer por completo de verdad, aunque solo fuera por unos momentos!

Esta entrada es para Esther, confiando en que su risa no desaparezca nunca (ni tan siquiera parcialmente).

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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La música fractal


Continuamos nuestro recorrido por la música y las matemáticas, esta vez de la mano de los fractales.

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Fractales y caos

Los fractales son estructuras geométricas caracterizadas por la repetición de un patrón en diferentes escalas. Por ejemplo, Kanadoff, en un artículo en Physics Today, en 1986, dice: “La gente usa el adjetivo fractal de diferentes maneras, pero la mayoría de las definiciones identifican a los objetos fractales como cajas chinas o muñecas chinas”.

La autosimilaridad es pues la noción clave para un fractal. Hay dos tipos de relaciones de autosimilaridad. La primera es la similaridad idéntica, que es la de los fractales lineales, en los que el factor de escala reproduce exactamente la misma forma en diferentes tamaños. Sin embargo, en el caso de fractales no lineales, la reproducción del patrón a diferentes escalas no es exacta, pero puede describirse como autosimilaridad casi idéntica.

Originalmente, la palabra fractal procede de la palabra latina fractus, que significa quebrado o fracturado. La característica más sorprendente de un fractal es su dimensión fraccionaria. Vamos a explicarlo. Si nos planteáramos medir las dimensiones de un terreno abrupto, como por ejemplo una línea costera, deberíamos marcar una unidad de medida. Si vamos haciendo un zoom de los detalles, nos damos cuenta de la dificultad,  porque cuanto más pequeña se haga esa unidad de medida, el perímetro tenderá a infinito.

La costa de Gran Bretaña

Las dimensiones fractales dan cuenta de la capacidad de la unidad de medida para cubrir todo el espacio, sin resquicios. Aparentemente, la costa podría visualizarse como una línea de una dimensión, desde una vista aérea, por ejemplo. Sin embargo, al aproximarnos a su forma detallada, comenzamos a visualizar el plano en el que está inscrita. Beniot Mandelbrot demostró que la dimensión fractal de una línea costera es 1.26, intermedia entre una línea y un plano.

Sorprendentemente, muchos objetos en la naturaleza  son fractales no lineales, en los que la recursión de su estructura interna, a diferentes escalas, es casi idéntica.

Por ejemplo, encontramos fractales no lineales en:  las nubes, los copos de nieve, las fluctuaciones del mercado de valores o la propagación de señales en nuestro sistema nervioso.

El interés en los fractales surge de la famosa teoría del caos, que atrae una gran atención tanto de expertos como del público en general, por las múltiples menciones al fenómeno en las artes visuales, en los guiones de películas o en la creación de música. La teoría del caos es, junto con la relatividad general y la mecánica cuántica, una de las teorías revolucionarias de la ciencia del s. XX.

En términos matemáticos, muchos fenómenos naturales vienen modelizados por medio de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales, si son integrables, se pueden resolver para casos particulares imponiendo unas condiciones iniciales (condiciones para los parámetros de los que depende, que están relacionados con nuestro entorno en el momento inicial en que consideramos el problema).

Decimos que una ecuación es determinista, si dadas unas condiciones iniciales, podemos encontrar la solución de ésta para cualquier tiempo indefinido.

Las ecuaciones meteorológicas, por el contrario, no son deterministas. Una pequeña variación en las condiciones iniciales del problema, puede desencadenar resultados inesperados. Estos son los regimenes caóticos de las ecuaciones diferenciales.

Una frase descriptiva que da cuenta de la sensibilidad de las ecuaciones diferenciales como modelos predictivos es:  “el batir de alas de una mariposa en nuestro jardín puede desencadenar un huracán en otro continente”. (De ahí el nombre teoría del caos o efecto mariposa). Si estas ecuaciones fueran deterministas, tendríamos una solución general que podría darnos el tiempo meteorológico predicho de aquí a un año, o de aquí a cien. Sin embargo, la sensibilidad a las condiciones iniciales restringe las predicciones certeras a un rango de unos diez días (aunque las previsiones mejoran constantemente).

Atractor de Lorentz

La imagen que reproducimos se corresponde con el famoso atractor de Lorentz. Este atractor surge de las ecuaciones simplificadas para describir los fenómenos de convección en la atmósfera terrestre. Para ciertos valores de parámetros presentes en las ecuaciones, aparece un comportamiento caótico. Precisamente es su forma de mariposa ha inspirado el nombre del efecto mariposa.

Desde el punto de vista matemático, el desarrollo de potentes paquetes de cálculo como Wolfram Mathematica, o Maple, nos ha dado la capacidad de desarrollar herramientas para la programación de estos algortimos recursivos. Además, sus múltiples opciones de representación gráfica, nos proporcionan excelentes dibujos del fractales.

Música fractal

El éxito de las matemáticas en la música se ha reflejado, en los últimos años, en la denominada música fractal.  Durante la pasada década, se hicieron muchos debates sobre la creación artística fractal. Beniot Mandelbrot, en colaboración con Harlam Brothers, propusieron en particular el tratamiento matemáticamente formal de la música fractal.

Conjunto de Mandelbrot

Como resultado de este debate, se organizaron una serie de seminarios en Geometría fractal en la Universidad de Yale. Otra consecuencia fue la publicación “Structural Scaling in Bach’s Cello Suite No. 3,” (Fractals Vol. 15, No. 1, 2007), en la que se revela la existencia de una estructura fractal semejante al conjunto de Cantor en la Suite nº 3 para violonchelo, de Bach.

El conjunto de Cantor recibe su nombre en honor a su descubridor George Cantor en el s. XIX. Es  conjunto de Cantor es un subconjunto fractal en el intervalo [0,1], y se construye de la siguiente manera: se elimina el tercio de segmento central, respecto al inicial, recursivamente.

El libro  “Benoit Mandelbrot: a life in many dimensions”, de World Scientific Publishing publicado en 2015, constituye una antología de música fractal. Uno de los descubrimientos más importantes expuesto en este libro es la existencia de música fractal desde hace más de seis siglos.

Un ejemplo de música contemporánea fractal, es la del compositor brasileño Dmitry Kormann.

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Dmitry, un aficionado a los sintetizadores de música con generadores de melodías aleatorias, explica cómo puede crearse música con un patrón fractal subyacente, que da lugar a resultados armoniosos. La era de la música fractal comienza con  la transcripción de las representaciones gráficas a sonidos mediante programas como Coagula o Metasynth. Iniciado el proceso, la implementación de mayor estructura cambia la dinámica del timbre, ritmo o tono.

Su idea surgió de la observación de texturas musicales que cautivaban su atención. Cuenta que podía identificar patrones recursivos en la percusión de ciertas composiciones de heavy metal, en particular con John Cage, quien ha dedicado más de veinte años de percusión basada en recursión de micro y macro composición y estructuras autosimilares.

En el siguiente ejemplo, el autor muestra la estructura fractal dentro de los ciclos de batería. Comienza con dieciséis series de compases divididos en cinco frases de diferente longitud:

Dado que a la primera frase se le ha asociado la longitud cuatro, podemos repetir esta estructura cuatro veces

A su vez, la segunda frase tiene longitud tres, por lo que repetiremos la figura anterior tres veces, posteriormente, la resultante se repetirá dos, dada la longitud de la tercera, etc.

El resultado de la composición sería:

 

El autor ha decidido llamar a su proceso creativo el Fractal de Wuferspiel, en honor al Wuferspiel  (juego de dados) de Mozart y Haydn, en que los compases pueden organizarse al azar siguiendo el lanzamiento de un dado, y aún así, la melodía sonaría musicalmente coherente.

Otro compositor influyente en la creación de música fractal fue el español Francisco Guerrero, de gran prestigio internacional, interesado desde su niñez en  las matemáticas y su relación con la música, astronomía o psicología. El caracter fractal de sus composiciones se plasmó, principalmente, en su gran sinfonía para orquesta titulada Sahara. Dado el carácter matemático de sus obras, estas adquirieron una gran complejidad sinfónica, que le llevó al éxito en el extranjero. Su música fue tildada de anárquica, con un gran sentimiento. Él mismo decía: “Me gusta el arte potente y el que sólo se sustenta en sí mismo. No me interesa el arte panfletario y el que tiene que recurrir a lo externo para justificarse. No me interesa el minimalismo, el serialismo integral, el espectralismo, los neos de ninguna especie”. Desafortunadamente, este enigmático compositor murió joven debido a una enfermedad fulminante, dejándonos un legado de de música compuesta, muy meticulosa y radicalmente basada en las matemáticas. En el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) celebrado en Madrid en 2006 se organizó un homenaje a este gran compositor.

Teoría del caos, fractales y las artes

Los fractales y la teoría del caos no sólo han servido como fuente de inspiración en la música. Son muchas las referencias a esta teoría matemática en campos multidisciplinares.

MC Escher

Por ejemplo, el artista Maurits Ernelis Escher (1898-1972), cambió las acuarelas de paisajes por técnicas menos populares: recubrir el plano completamente con figuras dibujadas, o plasmar el concepto del infinito en la pintura. A pesar de ser un ignorante de las matemáticas desde el punto de vista operacional,  sus trabajos hicieron referencias directas a elementos matemáticos: recubrimientos del espacio con poliedros, el juego con la geometría proyectiva, la inclusión de cintas de Moebius,  o la experimentación con geometrías alejadas de la euclídea. “Mi interés principal es lo asombroso”, decía Escher.

El tema preferido de Escher fueron las estructuras en superficies y la denominada metamorfosis. La metamorfosis es el proceso en que se iteran pequeños cambios de la figura patrón, a veces idénticos, otras veces con alteraciones de la figura, recubriendo siempre las superficies. Escher siempre buscaba la armonía visual en su composición, como un músico busca su armonía auditiva. Sus inspiraciones procedían de sus lecturas de tratados matemáticos, si bien no entendía el lenguaje, sí supo captar la naturaleza pictórica de las leyes. La Alhambra fue una gran fuente de inspiración para él, en sus excursiones a la ciudad de Granada durante 1926. Algunos de sus trabajos pueden contemplarse plasmados en las mismas calles de Madrid. El siguiente fresco se corresponde con el Escher Castizo,  con particiones regulares de la superficie.

 

En la calle Conde de Romanones, Madrid, un gran esgrafiado recubre la fachada de un edificio con uno de los diseños de Escher (obra de Julio Barbero)

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

 

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