Niels y Christine


La historia matemática de Abel, es conocida. Sin embargo, no lo es tanto su historia amorosa. Abel, como muchos otros matemáticos, también sufrió los sinsabores del amor. En esta entrada contaremos la historia de Niels Abel y Christine Kemp.

La historia matemática de Abel es conocida. Su padre fue un pastor luterano, Sören Georg Abel, con siete hijos (seis varones y una mujer), de los que Niels fue el segundo. Abel nació en Stavanger, Noruega, el 5 de agosto de 1802, y creció en un periodo complicado para Noruega, aliada de Dinamarca y por tanto de Napoleón, bloqueada por los británicos hasta que tras el final de la guerra es cedida a Suecia. Su padre tuvo un papel en la escritura de una nueva constitución para Noruega.

Niels Henrik Abel

Abel es enviado al colegio en 1815, ya con una familia deteriorada, su padre caído en desgracia y tanto él como su esposa alcoholizados. En 1817 tiene lugar un evento que cambiará su vida. Su profesor de matemáticas maltrató a un estudiante y es expulsado, tomando su lugar Bernt Michael Holmboe, quien descubre el talento de Abel y se convierte en su profesor particular y un amigo para el resto de su vida. El discípulo supera pronto al maestro, y ahí comienza una historia que llevará a Abel a visitar Alemania y después París para que pueda contactar y mostrar los resultados de su investigación a los grandes matemáticos europeos.

Previamente ha viajado en el verano de 1823 a Copenhague, para visitar a los matemáticos daneses. Allí hace vida de estudiante, vive con su tía materna y su esposo, un oficial naval. Asiste a un baile y conoce a Christine Kemp, de 19 años; suena la música de un vals, un nuevo baile en esa época pero ninguno de los dos sabe como bailarlo. Sin embargo, no pueden dejar de mirarse. Christine Kemp viajará después a Noruega y se comprometerán al año siguiente.

Tras conseguir financiación (tras dos largos años en los que le imponen aprender idiomas para poder sacar mejor provecho de su visita europea), Abel inicia su periplo. En Berlín hará otro amigo para el resto de su corta vida, Leopold Crelle, quien publica en su recién lanzada revista Journal für die reine und angewandte Mathematik numerosos artículos de Abel, entre ellos su prueba de la imposibilidad de resolver por radicales la ecuación de quinto grado.

Abel viaja a París, trabaja incansablemente obteniendo resultado tras resultado, y sin acabar de conseguir el reconocimiento, aunque este llegará pronto.

Tras su peregrinaje, Abel vuelve a Oslo, enfermo ya de tuberculosis, sin empleo, y viviendo en la penuria. Sigue sin poder casarse con Christine. Fallece el 6 de abril de 1829, con apenas 26 años, y es enterrado en una tumba que sufragan sus amigos. Dos días después recibe una alegre carta de Crelle diciéndole que ha conseguido un puesto fijo para él en Berlín.

Christine Kemp

Abel no ha podido consumar su amor con Christine, y tras su muerte, uno de sus amigos, Baltazar Keilhau, que no la ha visto nunca, le escribe una carta pidiéndole matrimonio, oferta que Christine acepta. La historia detrás de esta petición es la súplica de Abel a su amigo Keilhau cuando se da cuenta de su muerte inminente:  “Ella no es guapa, es pelirroja y pecosa, pero es un espléndido ser humano”.

Aunque sus expectativas amorosas nunca se satisfacieran, sin embargo, el legado matemático de Abel y su genialidad a temprana edad son indiscutibles. Hoy nos gustaría comentar una de sus aportaciones quizás menos conocidas, la llamada ecuación diferencial de Abel, una ecuación ordinaria de primer orden, no lineal, con un término cúbico en la función desconocida

y’ = f3(x) y3 + f2(x) y2 + f1(x) y + f0(x)

Esta ecuación fue clasificada en el grupo de ecuaciones diferenciales irresolubles. Sin embargo, la investigación presente continua con esfuerzo en la búsqueda de sus soluciones. El ímpetu por dar con una solución completa y global (existen soluciones particulares y métodos numéricos que dan buenas aproximaciones) radica en sus aplicaciones en problemas físicos reales: aparece en modelos de circulación de corrientes oceánicas, en modelos de magnetostática, en teoría de control y en pasos intermedios de terapias contra el cáncer.

Uno de las teorías más en auge para la resolución de este tipo de ecuaciones no lineales es la denominada teoría de los sistemas de Lie. Las propiedades de los sistemas de Lie son exquisitas y muy particulares. Es por esto que las ecuaciones que cumplen las propiedades geométricas de un sistema de Lie son una excepción y no una regla en la literatura matemática. Sin embargo, las ecuaciones con propiedades afortunadas pueden integrarse (como es el caso de la mencionada ecuación de Abel) en función de un principio de superposición no lineal. Para aquellos entendidos, si la ecuación puede representarse como una curva en un álgebra finito dimensional de campos vectoriales, entonces admite un principio de superposición (en general, no lineal). Este es el denominado teorema de Lie-Scheffers.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

 

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De noche, bajo el puente de piedra


La lectura del libro “De noche, bajo el puente de piedra”, de Leo Perutz, publicado recientemente por Libros del Asteroide, nos ha deparado la sorpresa de encontrar entre sus personajes a uno de nuestros científicos y matemáticos mas apreciados, Johannes Kepler.

Pero no debería extrañarnos, ya que según la biografía de Libros del Asteroide, “Leo Perutz (Praga, 1882-Bad Ischl, 1957) nació en una acomodada familia de origen sefardita, estudió matemáticas y trabajó en una compañía de seguros en Viena y Trieste antes de dedicarse por completo a la escritura.” Algunos escritores de esa época, que fueron muy populares en los años veinte y treinta del siglo XX, han sido casi olvidados. Perutz huyó de los nazis y en 1938 se marchó a Tel Aviv, volviendo en 1950 a Viena.

Leo Perutz

Esta obra de Leo Perutz a la que aludimos consta de 15 relatos ambientados en la Praga del siglo XVI, en los que aparecen el emperador Rodolfo II, el gran rabino Loew, místico y vidente, el rico judío Mordejai Meisl y su bella esposa Esther. El articulador de los relatos es un misterioso estudiante de medicina llamado Jakob Meisl.

Es en el cuento titulado “La estrella de Wallenstein” en el que aparece Johannes Kepler; en él, el noble Wallenstein (Waldstein en el cuento, otro de los nombres por los que se conoce a Wallenstein) acude a hacerse su carta astral, y Kepler le dice que será Venus y no Marte quién regirá al día siguiente su destino. El cuento comienza con la visita de Hanniwald, el secretario particular del emperador Rodolfo II, que recrimina a Kepler su retraso en la entrega de las Tablas rudolfinas que Kepler elaboraba como astrónomo imperial; Kepler le replica contándole como debe cubrir sus necesidades económicas trabajando particularmente como astrólogo ante los retrasos y malos pagos del emperador, que no cumple con su salario pactado; de ahí que no pueda dedicar todo su tiempo a la elaboración de las tablas.

Cuando  Hanniwald se va, Kepler ve que un copo de nieve se había quedado prendido de la manga de su capote y lo observa con una lente; a continuación escribe: “De nive sexangula. Del carácter raro, multiforme, pero siempre hexagonal, de las estrellas de la nieve.”

Retrato del Duque de Wallenstein, por Michiel Jansz. van Mierevelt

Se ha debatido mucho sobre si Kepler practicaba la astrología (levantando cartas astrales, elaborando almanaques anuales) únicamente por motivos económicos, dada la tacañería del emperador, pero hay también evidencias de que intentaba darle unos fundamentos matemáticos más sólidos.

Como ejemplo, está el reanálisis y la rectificación que hace precisamente de la carta astral de Albrecht Wallenstein, o sus dos cartas a Michael Maestlin, de la Universidad de Tubinga, en la que debate los horóscopos de su familia y la muerte de su hijo, un intercambio privado que no tenía ningún interés económico.

Retrato anónimo de Johannes Kepler

De cualquier manera, Kepler acierta en su predicción astrológica y en una auténtica intriga palaciega llena de malentendidos, lo que iba a ser una operación de secuestro termina en una aventura galante que lleva a Wallenstein a enamorarse y contraer después matrimonio con la que, seguramente, fue el único amor de su vida, la condesa viuda Lucrecia von Landek, quien al fallecer prematuramente, le cede toda su fortuna.

Este tal Wellenstein es un personaje clave en la Europa convulsa de aquellos años, que darían lugar a la Guerra de los Treinta Años. La importancia de Wellenstein queda reflejada en la obra de Friedrich Stiller, Wallenstein, en 1799, y en la de Pedro Calderón de la Barca, El prodigio de Alemania, en 1634.

Para finalizar,  digamos que en otro de los cuentos, “El pintor Brabanzio”, el emperador quiere que éste, un pintor callejero, le venda uno de sus cuadros, y para convencerlo acude a la casa donde vive con su hermano, sastre de profesión. Para esta visita, el emperador se ha disfrazado de escribano para no ser reconocido. En un momento de la conversación, sin saber que su interlocutor es el propio emperador, el sastre dice:

“También se dice que allá arriba, en el castillo, hay tres hombres que son los que gobiernan el país y fijan los impuestos: un camarero, un astrólogo y un anticuario.”

El astrólogo no es otro que nuestro personaje.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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La muerte feliz


I hurt myself today
To see if I still feel
I focus on the pain
The only thing that’s real

The needle tears a hole
The old familiar sting
Try to kill it all away
But I remember everything

Hurt, por Johnny Cash

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“No te afanes, alma mía, por una vida inmortal, pero agota el ámbito de lo posible”

Píndaro, poeta griego clásico.

Así comienza “El mito de Sísifo” de Albert Camus, un ensayo filosófico dedicado al suicidio. En este pequeño librito, se discute el valor de la vida comparando ésta al mito de Sísifo, una metáfora del sufrimiento y hastío vital: elevar una piedra hasta la cima de una montaña, y antes de llegar, ver como la piedra rueda ladera abajo, repitiendo una y otra vez el frustrante proceso.

El mito de Sísifo, por Tiziano

El transfondo filosófico de este libro es realmente serio: ¿qué alternativa hay al suicidio? El absurdo de la vida ha sido ampliamente debatido por hombres de ciencias y letras, artistas y hombres de cualquier condición. La inutilidad de la vida probablemente se haya cruzado por nuestra mente, en algún momento, en algún lugar.

Nos centraremos en suicidios en el ámbito científico. Ya hablamos de este tema en una entrada centrándonos entonces en algunos personajes matemáticos. Aquí continuamos enumerando otros grandes genios (también del ámbito de la Física) que no superaron la búsqueda del sentido o transcendencia en la vida; para muchos, en sus propias investigaciones.

Por ejemplo, Paul Ehrenfest. Nació en 1880 en Viena. Fue discípulo de Boltzmann y tuvo como maestros a Hilbert, Klein, Nernst, Stark y Schwarzschild. Se doctoró por la Universidad de Viena en 1904 con una tesis sobre el fenómeno de la difusión, mediante interpretaciones estadísticas en la segunda ley de la termodinámica. Así comenzó el planteamiento de teorías no lineales de sistemas termodinámicos fuera del equilibrio.  Además trató los regímenes cuánticos, incluyendo el estudio de las transiciones de fase en termodinámica. Su mayor contribución fue el denominado “Teorema de Ehrenfest”. De manera muy resumida, el teorema  “los valores esperados de los observables en un sistema mecánico cuántico obedecen las leyes clásicas de Newton”.

Paul Ehrenfest

Mantuvo una carrera académica prolija, y en palabras de Albert Einstein:

“No sólo fue el mejor profesor que he conocido; también estaba preocupado por el desarrollo y destino de los hombres, especialmente el de sus estudiantes. Para entender a los demás, para ganar su amistad y su confianza, para ayudar a todos los que sufrían y apoyar a los jóvenes talentos, estas eran sus preocupaciones más reales, incluso más que su inmersión en los problemas científicos”.

Entre sus estudiantes se formaron grandes físicos y matemáticos: como Paul Dirac, Hendrik Casimir, Werner Heisenberg.

El exceso de trabajo y las persecuciones nazis por su origen judío, le ocasionaron depresiones insostenibles que dejaba entrever en su correspondencia con Albert Einstein. Einstein se preocupó tanto por sus palabras que se dirigió a la misma Universidad de Leiden para que redujeran las tareas de Paul; sin embargo, esto no frenó su ímpetu suicida que acabó con su vida y la de su hijo, que sufría síndrome de Down y al que se llevó consigo, con sendos disparos, en 1933.

Sorprendentemente, uno de sus colegas y mentores, también científico del ámbito físico termoestadístico, murió en circunstancias parecidas, fruto de un suicidio. Fue Ludwig Boltzmann, otro filósofo austriaco de la mecánica estadística, quien predijo cómo propiedades atómicas (carga, masa) determinan las propiedades físicas de la materia (conductividad términa, difusión…)

En 1884, Boltzmann dedujo, a partir de los principios de la termodinámica, la ley empírica de Stefan, formulada en 1879, según la cual la pérdida de energía de un cuerpo radiante es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura superficial, y demostró que ésta sólo se cumplía si el cuerpo radiante era un cuerpo negro.

Posteriormente, recibió una cátedra en Graz, Austria, donde fue profesor de Física Teórica y se relacionó con Kirchoff y Helmholtz. Sus primeros atisbos de enfermedad mental se remontan a 1900, comenzando con acaloradas discusiones con colegas de la Universidad de Leipzig, que acababan en abuso verbal e intento de suicidio de Boltzmann. Dos años después, abandona la cátedra de Graz y se marcha a la Universidad de Viena, donde ocupa la cátedra de Ernst Mach, su enemigo acérrimo, al que consideraba una dura competencia.

Su salud mental se iba agravando poco a poco, debido a los continuos ataques de otros científicos en la lucha constante entre atomistas y opositores. No obstante, en su viaje a EEUU, sus teorías se probaron correctas aunque por su carácter irascible, y extremadamente sensible, nunca pudo olvidar las críticas. Así, los  grandes reconocimientos por parte de la Academia de las Ciencias de París y su nobramiento como doctor Honoris Causa en la Universidad de Oxford, no fueron suficientes para evitar su suicidio. Durante unas vacaciones en la bahía de Decino, en Trieste, mientras su mujer y su hija disfrutaban del mar, Boltzmann decidió dejar la vida, poco antes de que sus teorías fueran corroboradas y aceptadas de forma generalizada entre sus detractores.

Planck reescribió la relación de proporcionalidad que Boltzmann había establecido entre la entropía de un sistema y el número de formas de ordenación posibles de sus átomos constituyentes: S = K Ln W, donde K es la constante de Boltzmann, W el número de formas de ordenación posibles y S la entropía del sistema. Esta fórmula forma parte del epitafio en su tumba.

Tumba de Bolztman

Tumba de Ludwig Boltzmann

Otro coetáneo influyente en estos dos científicos fue Paul Epstein. Vivió en la misma época y asistía a los mismos eventos y discusiones. Sin embargo, sus investigaciones fueron más matemáticas que físicas y pertenece a la escuela alemana, en vez de a la austriaca. Sus contribuciones fueron al área de la teoría de números principalmente, en particular, a la llamada función zeta de Epstein, una función de dos variables, utilizada en teoría de representaciones del grupo SL(2,R).

También de orígen judío, como muchos de los científicos de renombre del siglo XX, tuvo que huir de las continuas persecuciones de la Gestapo. Las historias de tortura y mutilación a otros judíos, le llevó a tomar la resolución de suicidarse antes de que eso ocurriera, con una sobredosis de barbitúricos.

Después de su suicidio, la Gestapo alegó que sólo intentaba contactar con él para poner unos papeles en regla. Sin embargo, la llamada “la solución final” de Hitler, dedicada al barrido judío, comenzaría sólo unas semanas más tarde. No sabemos si la actuación de Epstein fue apresurada o podría haberse exiliado, como muchos otros científicos, o si había otras causas para su muerte prematura.

En estos casos expuestos, las causas del suicidio se debieron a las persecuciones nazis y a las presiones científicas. La competitividad en el trabajo es una de las grandes causas de frustración y depresión en el mundo moderno. En entradas venideras, con más suicidios científicos, veremos otras causas, como el alcoholismo, esquizofrenia o el trastorno límite de la personalidad, que también son patrones recurrentes en personas sometidas al estrés continuo de la investigación, la lucha por el liderazgo y la aportación científica, pasando la vida no en vano, sino aportando grandes contribuciones científicas, con muchos sufrimientos y a veces a costa de la vida.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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¿Escuela de Doctorado del CSIC?


En los últimos tiempos algunos investigadores del CSIC han comenzado a lanzar la idea de una Escuela de Doctorado propia del CSIC. La idea no es descabellada y vamos a desarrollarla en esta entrada del blog.

Sede central del CSIC en Madrid

Digamos en primer lugar que la formación de nuevos investigadores es una tarea de enorme importancia en el CSIC. Las cifras de tesis leídas anualmente así lo confirman. Pero también las horas impartidas por investigadores del CSIC en cursos de máster así como trabajos dirigidos. Y que decir de los 9 masters y doctorados propios realizados en colaboración con la Universidad Internacional Menéndez y Pelayo (UIMP). Señalar también los recursos que el CSIC pone (en años pasados en cantidades muy importantes) en becas de introducción a la investigación, becas de máster o becas para realizar una tesis doctoral. Por cierto, tesis doctorales que siempre acaban contando en la cuenta de haberes de las universidades en donde se defienden, con lo que el beneficio para estas últimas es indiscutible. Y, finalmente, el uso de las instalaciones de los institutos del CSIC (laboratorios, equipos, bibliotecas) que contribuyen sin duda alguna a esa formación.

Hasta ahora, aparte de esos programas con la UIMP, el CSIC ha estado a expensas de lo que las universidades hayan querido proponer, sin intervención (en general) en los propios programas. Parecería evidente que si el CSIC participa en un programa de doctorado con sus recursos humanos y económicos, pudiera también participar en la elaboración de los propios programas, y no limitarse a ser simples transmisores. Se suponía que esto sería particularmente extendido en los institutos mixtos, que aunque tienen la titularidad administrativa del CSIC, son colaboraciones en convenios con una o mas universidades. La experiencia demuestra que este no es siempre el caso.

La experiencia en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) ha sido particularmente negativa. Este instituto es mixto con tres universidades (Universidad Autónoma de Madrid, UAM; Universidad Carlos III de Madrid, UC3M; y Universidad Complutense de Madrid, UCM). En los años que van desde la fundación del instituto a finales de 2007, ha sido imposible poner en marcha un programa conjunto de máster o doctorado. Pareciera que en el caso de la UAM y la UCM no se quisiera ceder protagonismo pero si acceder a los recursos generados por la investigación del instituto. Mi postura todos estos años ha sido la de tratar de abrir esa colaboración en un pie de igualdad: compartimos recursos, pero también compartimos las responsabilidades de elaborar los programas y diseñar las estrategias; ahí están los borradores de nuestras propuestas.

Esta colaboración era (y es) particularmente importante en lo que se refiere a las estrategias internacionales: conseguir colaboración con centros de renombre internacional y solicitar conjuntamente proyectos en el programa Marie Curie (modalidad ITN); o aumentar la visibilidad internacional con campañas mas “agresivas” de captación de estudiantes internacionales, porque al final, a lo que aspiras es a un programa que sea capaz de atraer estudiantes de otros países. El objetivo debería ser que cualquier estudiante se sintiera tan interesado por cursar un máster o un doctorado en Madrid como en Oxford, Berlín, Zürich o Cambridge. Desgraciadamente, este no es el caso.

Resulta difícil poner en marcha programas conjuntos con la UCM, cuando esta institución no atiende desde la misma firma del convenio a sus obligaciones financieras con el instituto ni más de la mitad de sus miembros acude a sus despachos en la sede del ICMAT. Si hay que lamentar la ocasión perdida con el proyecto de Campus Internacional de Excelencia UAM+CSIC, que ha resultado un auténtico fracaso por la falta de empeño de los responsables de ambas instituciones; recordar que en el Plan Estratégico del CEI UAM+CSIC la UAM tenía como objetivo estar en 2015 entre las 100 primeras universidades del ranking de Shanghai, y está ahora por encima del puesto 200. Esto no hubiera sido óbice para que en matemáticas se pudiera llegar a algún avance, pero el instituto se ha visto afectado por las disputas de décadas anteriores de los viejos catedráticos en el propio Departamento de Matemáticas que las han llevado al terreno del nuevo instituto.

Mi consejo para una nueva presidencia del CSIC sería la de explorar la posibilidad de una Escuela de Doctorado del CSIC, que pusiera encima de la mesa toda la potencialidad investigadora y formativa de sus investigadores, y que fuera capaz de negociar en pie de igualdad con las universidades para llevar adelante una auténtica colaboración buscando siempre la excelencia internacional. Sin duda, sería un gran cambio en el sistema español de ciencia y tecnología.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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En memoria de Jean-Christophe Yoccoz


Nos hemos enterado del deceso de un gran matemático francés, Jean-Christophe Yoccoz, medallista Fields en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1994 en Zurich. Jean-Christophe Yoccoz falleció prematuramente el pasado 3 de septiembre, a la edad de 59 años, en el hospital Necker de París donde estaba internado por leucemia.

Jean-Christophe Yoccoz

Jean-Christophe Yoccoz  nació en París el 29 de mayo de 1957, y fue  estudiante de Liceo Louis-le-Grand. Como estudiante de bachillerato destacó por sus conocimeintos matemáticos, y fue medalla de plata en la Olimpiada Matemática Internacional de 1973, y medalla de oro en la de 1974. Estudió matemáticas en la École Normal Supérieure y la Universidad de París Sur, universidad en la que realizó su tesis doctoral. Actualmente era profesor del prestigioso Collège de France y miembro de la Academia de Ciencias de París. Trabajaba también en el Instituto de Matemática Pura y Aplicada (IMPA) de Brasil, que mantiene desde hace muchos años una muy activa y fructífera colaboración con Francia (en el IMPA había hecho Yoccoz su servicio militar a principios de los años 80).

Su trabajo se centró en el estudio de los sistemas dinámicos. Como el mismo Yoccoz decía: “Los hechos dinámicos que somos capaces de entender son de dos clases, dinámica hiperbólica o dinámica cuasi periódica; puede ocurrir, especialmente en el caso conservativo, que un sistema exhiba ambas facetas … buscamos como extender esos conceptos, manteniendo una comprensión razonable de la dinámica. La gran pregunta es: ¿son estos conceptos suficientes para entender la mayoría de los sistemas?”.

Como lo describen en el artículo de J Lindenstrauss, L C Evans, A Douady, A Shalev and N Pippenger, Fields Medals and Nevanlinna Prize presented at ICM-94 in Zürich, Notices Amer. Math. Soc. 41 (9) (1994), 1103-1111, Yoccoz:

combina una aguda y extrema intuición geométrica, un conocimiento impresionante de análisis, y un penetrante sentido combinatorio para jugar el juego de ajedrez en el que es excelente. Ocasionalmente dedica medio día a “experimentos” matemáticos, a mano o con el ordenador. Él mismo dice: ·<<Cuando hago estos experimentos, no son sólo los resultados los que me interesan, sino la manera en la que se desarrollan, en lo que arrojó luz sobre lo que está realmente pasando>>. Yoccoz desarrolló un método de estudio combinario de los conjuntos de Julia y Mandelbrot, llamado Puzzles de Yoccoz, que permite profundizar en su estudio.”

Conjunto de Julia

 

Además de la medalla Fields de 1994, Yoccoz había conseguido el prestigioso premio Salem en 1988. Entre otros honores, Yoccoz, era miembro de la Academia de Ciencias de París desde 1994, lo era también de la Academia Brasileña de Ciencias, de la TWAS (Academia de Ciencias del Tercer Mundo), Caballero de la Legión de Honor el 30 de marzo de 1995, y Oficial de la Legión de Honor el 14 de julio de 2011, aparte de ser Oficial de la Orden del Mérito en 2000.

 

Como despedida, recogemos aquí las palabras emocionadas que Alain Connes, Etienne Ghys y Pierre-Louis Lions le dedican como anuncio del homenaje que la comunidad matemática francesa le va a rendir:

Homme enjoué, au rire prompt même dans les pires moments de sa maladie, discret mais chaleureux et toujours disponible pour les autres, il savait rester ferme sur ses positions quand il le fallait sans jamais se départir de sa gentillesse, de sa bonne humeur et de sa simplicité.

Descanse en paz este gran matemático.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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En recuerdo de Gennadi Sardanashvily


Esta tarde de sábado he recibido un correo electrónico con una muy mala noticia, el fallecimiento de mi amigo y colega Gennadi Sardanashvily (Gena para sus amigos). En julio pasado tuve el placer de compartir con él unos días en un congreso en Turquía, en el que tuvimos ocasión de hablar largo y tendido.

Gennadi Sardanashvily (1950-2016)

Gennadi Sardanashvily nació el 13 de marzo de 1950, en Moscú. Se graduó en Física Teórica en la Universidad Estatal de Moscú en 1973, donde también realizó su tesis doctoral en Física y Matemáticas bajo la supervisión de Dmitri Ivanenko.

D. Ivanenko, P.A.M. Dirac y W. Heisenberg (Berlin, 1958)

La investigación de Gennadi Sardanashvily se centró en el uso de métodos geométricos en la mecánica clásica y la mecánica cuántica, y también en la teoría de campos y la gravitación. Escribió unos 400 trabajos científicos, entre ellos varios libros que han tenido bastante impacto en el área, como

De su impacto, digamos que, por ejemplo, en Google Scholar ha sido citado 3399 veces con un índice h de 29. Mantenía también un blog que se puede consultar en inglés.

Recuerdo cuando Gennadi Sardanashvily me consultó a mi y a otros colegas sobre la oportunidad de lanzar una nueva revista en física y geometría. Así fundó el International Journal of Geometric Methods in Modern Physics (IJGMMP), publicado por World Scientific y del que fue director desde 2003 hasta 2013, con una labor que puso a la revista en una buena situación internacional. Por invitación suya, fui (y sigo siendo) uno de sus editores.

Con Gena y nuestros amigos turcos este año

Gena era muy crítico con la actual situación política en Rusia, y mas de una vez me expresó estos sentimientos. En su muro de Facebook se pueden ver sus intereses amplios y su actitud de hombre deseoso de un mundo mejor y mas justo. Descansa en paz, amigo.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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Sobre japoneses, conjeturas y comentarios


La publicación de este artículo en la sección Café y Teoremas de El País, dentro de la colaboración del ICMAT con Materia, y la lectura de los comentarios que ha suscitado, me ha llevado a una reflexión sobre la problemática de comunicar las matemáticas.

Digamos en primer lugar que resumir un tema matemático en 700 palabras no es fácil, sobre todo si quieres conter una historia que interese. Uno de los recursos mas usados es asociar el tema a una historia, generalmente sobre las personas que están detrás de la noticia. En este caso se trataba del matemático japonés Shinichi Mochizuki y la ya famosa conjetura abc. Por cierto, recomiendo este video

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para encontrar una sencilla explicación de la conjetura, que en esencia trata de ver la relación que hay entre los primos en los que se descomponen dos números a y b y los de su suma, a+b=c, y de ahí el nombre.

Para un matemático, que se hable de matemáticas en un diario de tanto prestigio como El País, es una satisfacción. Si además, el artículo genera docenas de comentarios, pues, ¡qué mas le podemos pedir! De todos los comentarios que he leído (uno es algo morboso) los hay con genuino interés, y los hay de los que acaban hablando al final de si Rajoy o Sánchez o Iglesias o Rivera, y lo malos o buenos que son unos y otros.

Y también los hay que emiten opiniones desconsideradas bien con los autores del artículo (y esas las asumimos con estoicismo, es el riesgo que hemos decidido correr por escribir públicamente nuestras ideas), pero también con el protagonista. Y esto lo hemos vivido con otros artículos publicados en esta sección, artículos que yo mismo solicité a través de mis colegas internacionales. Sobre estos comentarios, en algún caso descalificatorios y amparados en el anonimato, deberíamos señalar que siempre es bueno indagar algo más sobre el personaje. Calificar a Mozichuki de tipo raro (para algunos parece que todos los matemáticos somos gente extraña, aquejados generalmente de dolencias mentales y que nos importa muy poco el mundo en el que vivimos) demuestra que uno no se ha leído su trayectoria.

Mochizuki nació en Japón, y a los cinco años se trasladó con su familia a Estados Unidos. Allí estudió matemáticas en la Universidad de Princeton, y después hizo su tesis doctoral bajo la dirección de un tal Gerd Faltings, tesis que defendió con 23 años. El tal Faltings, por cierto, consiguió la medalla Fields en 1986. Mochizuki ya resolvió una importante conjetura de otro tal Alexander Grothendieck, también medallista Fields en 1966. Por sus logros, Mochizuki fue un conferenciante invitado en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) de Berlín en 1998. Por lo tanto, cuando Mochizuki colgó sus cuatro artículos con unas 500 páginas en su página web hace cuatro años, la comunidad matemática pensó que allí había algo nuevo. Y esta comunidad, que es más sólida de lo que pueda parecer porque por eso creó un colectivo, la Unión Matemática Internacional (IMU) que es la unión científica más antigua, se puso las pilas para tratar de entender lo que este japonés había hecho. Y en eso estamos, y parece que las cosas pintan bien. Los expertos en teoría de números y geometría algebraica nos lo dirán pronto.

Mientras tanto, algunos comentaristas deberían navegar mas por internet para conocer un poquito mas sobre los personajes que son noticia.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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La muchacha que leía matemáticas a la luz de las velas


Marie-Sophie Germain nació en París el 1 de abril de 1776, con un padre comerciante que fue elegido representante de los Estados Generales en la Asamblea Constituyente en 1789, lo que permitió mas tarde a Sophie escuchar en su propia casa conversaciones sobre filosofía y política con personas relevantes.

Retrato de Sophie Germain a los 14 años

Cuando estalló la revolución en 1789, Sophie estuvo un tiempo confinada en casa para protegerse de la vorágine de aquellos días. Se dedicó entonces a literalmente devorar la biblioteca de su padre y quedó fascinada por la muerte de Arquímedes en uno de los libros de historia de las matemáticas que encontró. Decidió entonces que debía dedicar todos sus esfuerzos a las matemáticas, llegando a aprender latín y griego para poder ller las obras de Isaac Newton y Leonhard Euler. Sus padres no aprobaron tal entusiasmo y llegaron a prohibirle encender una estufa para calentar su cuarto o que usara ropas de abrigo para evitar que siguiera leyendo. Nada pudo contra la voluntad de aquella muchacha que pasaba noches enteras a la luz de las velas para poder seguir con sus lecturas.

Cuando Sophie tenía 18 años, en 1794, abrió sus puertas la Escuela Politéctica de París, y aunque no admitían mujeres, si se podían seguir los cursos por las notas de clase, y así Sophie se inscribió con un nombre falso de hombre, Antoine-August Le Blanc. Los alumnos también podían enviar observaciones a sus profesores y así Joseph Louis Lagrange no tardó en recibir los comentarios de Monsieur Le Blanc. Al darse cuenta de su valía, le instó a reunirse y allí descubrió su identidad, aunque Lagrange continuó apoyándola.

Sophie Germain mantuvo una correspondecia activa con matemáticos de mucho renombre, como Legendre y Gauss. Con Carl Friedrich Gauss entabló una correspondencia regular con resultados interesantes sobre teoría de números, usando el seudónimo de M. LeBlanc. Su verdadera inquietud por la correspondencia con Gauss se acusaba en su interés por el teorema de Fermat, publicando posteriormente un resultado en un caso particular que llegó a ser conocido como Teorema de Germain.

La primera carta intercambiada entre ellos está fechada de 1804  y dura hasta 1809, aunque luego se reanudaron en 1815. Gauss contestaba con retraso y en muchos casos no lo hacía. Un episodio de la invasión napoleónica de 1807 fue la causa de que Sophie revelara su identidad a Gauss. Germain intercedió por Gauss que estaba en la invadida ciudad de Braunschweig por medio de un amigo de su familia, el general Pernetti, quien así lo hizo. Tres meses después se lo descubre y Gauss se lo agradece diciendo:

“Pero cómo describir mi admiración y asombro al ver que mi estimado corresponsal Sr. Le Blanc se metamorfosea [...] cuando una persona del sexo que, según nuestras costumbres y prejuicios, debe encontrar muchísimas más dificultades que los hombres para familiarizarse con estos espinosos estudios, y sin embargo tiene éxito al sortear los obstáculos y penetrar en las zonas más oscuras de ellos, entonces sin duda esa persona debe tener el valor más noble, el talento más extraordinario y un genio superior.”

Su segundo resultado importante en teoría de números fue la demostración de que para todo número primo n menor que 100 no existe solución a la ecuación de Fermat, cuando los números x, y, z no son divisibles por n, aunque de hecho la demostración valía para primos menores que 197. Mas tade, L.E. Dickson usa el Teorema de Germain para elevar la cota a 1700.

Récherches sur la théorie des surfaces élastiques, 1821

Sophie Germain, además de destacar en la teoría de números, desarrolló un trabajo incipiente en teoría de la elasticidad. Un concurso propuesto en La Academia de las Ciencias de París concedía el “Prix Extraordinarie” a quien resolviera un problema propuesto sobre el efecto de las vibraciones de una superficie elástica y permitiera comparar los resultados teóricos con los experimentos. Este problema venía de los experimentos de Ernst Florens Friedrich Chladni sobre placas metálicas vibrantes.

Sophie tuvo que presentar hasta tres manuscritos para que se le concediera el premio, aunque con ciertas reservas por parte de Poisson.Quizás por ello no fue a recogerlo, al haberse sentido desprestigiada por muchos de sus colegas, por el hecho de ser mujer. En este trabajo Sophie propuso las ecuaciones diferenciales de superficies vibrantes. Las dos primeras entregas estuvieron inconclusas, hasta que la tercera fue la premiada, bajo la supervisión del análisis matemático por parte de Lagrange. El postulado principal de este trabajo fue: “en un punto de la superficie la fuerza de elasticidad es proporcional a la suma de las curvaturas principales de la superficie en dicho punto”. Las consideraciones de simetría translacional y rotacional de la placa, llevó a Sophie a la formulación de una ecuación en derivadas parciales de sexto orden, cuyas soluciones se daban en forma de series trigonométricas. Poisson, con el que tuvo varias consultas, publicó su propio trabajo sobre elasticidad sin agradecerle sus consejos.

Sophie supo en 1829 que tenía cáncer de mama, y así y todo, siguió trabajando sobreponiéndose al dolor  hasta su fallecimiento el 27 de junio de 1831 en su casa de París.

Tumba de Sophie Germain en el cementerio del Père Lachaise

Sophie, víctima de su sexo, y debido a su restringido acceso a la ciencia, no tuvo la oportunidad ni de acceder a una educación mas formal en matemáticas (se le criticó en su momento alguna falta de rigor en sus planteamientos matemáticos) ni de publicar sus resultados a tiempo, antes de que muchos otros lo hicieran, utilizando en varios casos sus ideas.

Sophie Germain fue una mujer que no sólo destacó en las matemáticas. También contribuyó con obras filosóficas que fueron bien acogidas por filósofos como Auguste Comte. Sin embargo, todos sus tratados no fueron siempre aceptados, debido al mismo problema de raíz: su naturaleza de ser mujer.

Hoy en día, Sophie Germain ocupa un lugar estelar entre los grandes matemáticos de la historia.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

 

 

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Eres la música que escuchas


Don’t you feel it growing, day by day
People getting ready for the news
Some are happy, some are sad
Oh, we got to let the music play
What the people need
Is a way to make ‘em smile
It ain’t so hard to do if you know how
Gotta get a message
Get it on through
Oh now mama, don’t you ask me why
Whoa listen to the music
Whoa listen to the music
Whoa listen to the music
All the time
Listen to the music, por Doobie Brothers

 

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La música es parte de nuestra existencia, quizás no haya otro arte que inunde nuestra vida cotidiana como lo hace la música. Pero, ¿cómo la música influencia nuestro cerebro? Sabemos que libera dopamina de la misma manera que lo hacen las drogas o el deporte, y que activa muchas áreas del cerebro de manera simultánea: los sonidos llegan al oído, van a la corteza auditiva primaria y a redes que almacenan una base de datos de los sonidos que se han escuchado previamente.

Muchos experimentos sociales han demostrado a lo largo de décadas que la combinación de ciertas notas musicales resulta mucho más agradable a nuestro sentido auditivo que otras. Hasta el momento, se creía que esta respuesta generalizada podría deberse a cierta estructura cerebral que favoreciera la percepción de tales agrupaciones musicales como las más “agradables”. Sin embargo, se ha probado que no existe una estructura privilegiada en el cerebro que distinga el carácter agradable o desagradable de la música, sino que nuestra percepción está mediatizada culturalmente.

Las hipótesis científicas siempre apostaron por ciertas formaciones neuronales que respondieran favorablemente a agrupaciones como “quintas” (denominada así porque una de las notas es cinco veces más alta que otras). Las diferentes civilaciones, incluso desde los griegos, siempre eligieron las quintas y los sonidos consonantes en que la proporción entre las frecuencias de las notas fuera un número natural. En el caso de quintas, la razón es 3:2, y se denomina la quinta justa.

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Intervalo de quinta justa

Se creía que las combinaciones disonates no eran bien recibidas por el cerebro. Sin embargo, se cree que la preferencia por ciertas agrupaciones tonales reside en la música occidental más popular y de moda. El experimento es difícil de llevar a cabo, pues son pocas las personas que no estén familiarizadas con canciones actuales con coros consonantes, los supuestamente aceptados como “aguantables” y que nuestro cerebro prefiere.

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Video del MIT sobre el estudio de Godoy y McDermott

Para evitar la predilección por los coros consonantes, probablemente aprehendidos de nuestra cultura musical moderna, el profesor Ricardo Godoy, de la universidad de Brandeis en Boston, y Josh Mc Dermott, del Instituto Tecnológico de Massachusetts, han llevado a cabo una serie de experimentos con habitantes de un pueblo boliviano y otras sociedades de la Amazonia entre 2011 y 2015, exponiéndolos a una serie de sonidos que han de ordenar de más a menos desagradables para su gusto auditivo. Los resultados han sido sorprendentes: entre aproximadamente 12.000 individuos desconocedores de la música en boga, las composiciones consonantes o disonantes han resultado igualmente apaciguadoras y aceptadas. Por lo tanto, la hipótesis de la preferencia por ciertas agrupaciones consonantes no se puede sostener, tal y como exponen en un artículo conjunto en Nature.

Ricardo Godoy

 

Josh McDermott

También cabe preguntarnos que si dado que no existe una “formación neuronal privilegiada” para disfrutar de una u otra música, si pudieran existir patrones o formaciones cerebrales privilegiadas para el desarrollo de facultades lógico-matemáticas. Los resultados resultaron opuestos a los que se obtuvieron para el gusto musical. Estudios de la universidad de Standford apuntan a la existencia de cerebros estructurados con cierta disposición para el cultivo de las matemáticas.

El experimento se realizó en niños entre seis años y una edad adolescente, sometidos a resonancia magnética cerebral, estructural y funcional. Después se les realizaron test de coeficiente intelectual.Las predicciones fueron muy acertadas. Aquellos que presentaron la estructura cerebral “matemáticamente privilegiada” demostraron ser grandes estudiantes de matemáticas y obtuvieron mejores resultados en tests de inteligencia.

Los científicos que llevaron a cabo este proyecto quedaron muy sorprendidos por la extensión de la conexión entre las dos regiones cerebrales que revelaban el futuro desarrollo del niño como un posible matemático. Cuanto más volumen y conectividad,  mayor era previsión de desarrollo de actividades lógicas. Por ejemplo, la conexión entre la corteza occipital ventro-temporal (que encarga de la percepción visual de los objetos), el surco intra-parietal (que compara y diferencia números lógicamente) y la corteza prefrontal, ofrece grandes predicciones en el desarrollo inteligente y adulto del individuo.

Por lo tanto, si un niño no presenta una estructura cerebral privilegiada, no es una noticia tan descorazonadora para los padres. El resultado de este estudio es que se puede ayudar al niño a desarrollar sus capacidades lógicas, haciendo hincapié en las habilidades menos desarrolladas en su estructura cerebral congénita.

Una de las tareas más importantes ahora es el conocimiento de cómo evoluciona la relación entre las partes cerebrales citadas a lo largo del tiempo. Para ello, se necesitan complejos modelos matemáticos, que den cuenta de esta evolución. El cerebro y sus constituyentes han de considerarse como pequeños sistemas dinámicos, con su consecuente evolución e interconexión. Muchos centros de investigación en matemáticas, física y otras discipilinas como la biología, medicina y por supuesto, la neurociencia, se han unido para desarrollar futuros tratamientos en el aprendizaje, además de para prevenir y combatir enfermedades relacionadas con la neurociencia: como son el alzehimer o el autismo.

La matemática aplicada actual dedicada a esta rama está fundamentada en sistemas no lineales entendidos desde el punto de vista numérico y analítico. Además, se utilizan métodos de perturbación que son posteriormente integrados mediante la computación numérica. Estas actividades se están desarrollando en un gran número de universidades, principalmente en los Estados Unidos y centros de investigación británicos.

Por ejemplo, uno de los centros dedicados a la unión  de las matemáticas y la neurociencia es el Courant Institute, en pleno corazón de Manhattan. La puesta en marcha de la fundación privada CorBI (Coruña Biomedical Institute Foundation) tiene como uno de sus objetivos fomentar la investigación en estos campos. En los próximos meses se irán dando mas noticias de CorBI y sus actividades.

Estamos convencidos que el reforzamiento del maridaje entre la neurociencia y las matemáticas puede ser una de las grandes novedades de años venideros, con la puesta en marcha de una auténtica investigación multidisciplinar.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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Una matemática contra la intolerancia


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“Hypatia”, por el grupo Wray

Los sabios antiguos, como en el caso de los griegos, eran pensadores de amplio espectro; una misma persona podía ser médico, matemático, astrónomo y filósofo. Esto parece algo imposible en nuestros días con el aumento del grado de especialización y los esfuerzos necesarios para ser un experto en un campo determinado.

En el caso de Hipatia de Alejandría (durante los siglos IV y V) desarrolló una gran labor científica en campos como las matemáticas y la astronomía. Lo que sigue interesándonos de esta conjunción de entradas del blog, es la labor científica de una mujer. La historia ha ido demostrando las aptitudes de las mujeres en ciencia, y como no existe ninguna desventaja intelectual de ellas frente a los hombres. La brecha de género es simplemente una cuestión de roles sociales asignados por siglos a uno y otro género.

Hipatia de Alejandría

Hipatia estuvo muy influenciada en el mundo intelectual por su padre Teón, filósofo y matemático griego que fue el último director del Museo de Alejandría. La educación impartida por su padre fue una educación liberal, conociéndose hoy a Hipatia como la legendaria pensadora libre ante la intoleracia.

Hipatia fue una mujer libre, educada en la escuela neoplatónica y líder de las creencias neoplatónicas en Alejandría. Nunca se casó: a pesar de su belleza y elocuencia, dedicó su vida al trabajo científico.

Su labor investigadora se vió reflejada en numerosos manuscritos, como los “Comentarios a la Aritmética de Diofanto”. Diofanto fue un matemático griego que vivió a lo largo del siglo III y fue considerado el padre del álgebra y la aritmética, cuyos trabajos se centraron en ecuaciones algebraicas y teoría de números. De su nombre vienen las ecuaciones diofánticas. En una edición de este libro de Diofanto fue donde Pierre de Fermat escribió su famosa frase:

Por el contrario, no se puede dividir un cubo en dos cubos, ni un bicuadrado en dos bicuadrados, ni en general una potencia superior al cuadrado, hasta el infinito, en dos potencias del mismo grado: he encontrado una demostración verdaderamente admirable de esta afirmación. La exigüidad del margen no podría contenerla.

Otra de sus aportaciones fue la edición de los “Elementos de Euclides”, con los comentarios de su padre Teón, un experto en la obra euclidiana. Los Elementos de Euclides ha sido el libro con más ediciones después de la Biblia, y recogen un tratado completo de geometría (la obra de Euclides ha sido tratada en varias entradas de este blog).

También reescribió un tratado sobre las “Cónicas” de Apolonio. Sus reinterpretaciones simplificaba los conceptos de Apolonio, con un lenguaje más asequible y convirtiéndolo en un manual fácilmente seguible por el lector interesado.

Desafortunadamente, muchas de las aportaciones de Hipatia se perdieron. Gracias a su correspondencia con su estudiante Sinesio de Cirene (posteriormente obispo de Ptolemaida), sabemos muchas de sus otras aportaciones. Sinesio de Cirene compartía el gusto por las matemáticas y astronomía de su tutora, pero tomó otros derroteros, convirtiéndose en el clérigo filósofo. Sinesio deja constancia de la singularidad de Hipatia como intelectual. Reclama su autoría en la construcción de un astrolabio, un hidrómetro y un hidroscopio.

El astrolabio es un instrumento construido para  determinar el posicionamiento de astros en la bóveda celeste. Este instrumento servía de guía para marineros o para ingenieros o arquitectos para determinar distancias por triangulación. Un dato curioso es el uso de este instrumento por los marineros musulmanes, con el cual se guiaban en la determinación de la Meca para poder orar.

Hipatia también destacó por sus dotes oradoras, y seguidora del neopitagorismo y neoplatonismo, se convirtió en una eminente profesora de matemáticas, dando clases en su casa a un grupo selecto de aristócratas, tanto paganos como cristianos. Su inteligencia le alzó el puesto de consejera de Orestes, prefecto del Imperio Romano de Oriente, exalumno suyo.

El carácter especial de Hipatia, con un trato de iguales a todos sus pupilos, educados desde la tolerancia y la racionalidad, despertó una serie de envidias que levantarían a muchos enemigos en su contra. Como pagana, partidaria del racionalismo científico griego y personaje político influyente, amiga de Orestes, sufrió la intensa hostilidad entre Cirilo (fanático cristiano, obispo de Alejandría)  y Orestes. Las acusaciones en su contra de blasfema y anticristina, por el simple hecho de negarse a traicinar sus ideales y dejar el paganismo, propició la emboscada del obispo Cirilo, arrastrando a masas populares para asesinarla brutalmente.

Asesinato de Hipatia

Sin embargo, Hipatia nunca proclamó su antipatía por el cristianismo. Simplemente, su carácter abierto aceptaba cualquier tipo de discípulo, independientemente de sus creencias religiosas.

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La vida de Hipatia fue una vida interesante. La vida de una mujer fuerte, luchadora por sus ideales y que emprendió el estudio de las ciencias en unos siglos en que a las mujeres se les negaba el acceso al conocimiento. Así se la retrata en la reciente película “Agora”, dirigida por Alejandro Amenábar en 2009, donde Hipatia aparece ensimismada en los Elementos de Euclides, las cónicas de Apolonio y el sistema heliocéntrico de Aristarco de Samos. Además, se la presenta como profesora de astronomía, en una clase en la que plantea las preguntas: ¿Por qué caen las estrellas?, ¿por qué sólo giran de oeste a este? ¿por qué, en cambio, el pañuelo cae al suelo en la tierra? Los alumnos responden e Hipatia analiza sus respuestas y explica desde un punto de vista Ptolemaico: “Las estrellas no caen porque están en un círculo. En la tierra caen porque es el centro del universo”.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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