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Archivo de junio, 2014

De camino hacia la ecuación de quinto grado

Especial Año de la Cristalografía

El camino en la resolución de las ecuaciones polinómicas fue largo y duro. Los matemáticos italianos Tartaglia, Cardano y Ferrari obtuvieron las fórmulas para las ecuaciones de tercer y cuarto grado en el s. XVI. A partir de ese momento muchos fueron los miembros de la comunidad matemática que asumieron como propio el reto de encontrar la fórmula de la ecuación de quinto grado. En el proceso para encontrar la respuesta definitiva a este gran enigma surgieron importantes ideas matemáticas, como los números imaginarios.

Edición de Bolonia de 1579 del Algebra de Rafael Bombelli

Tras los trabajos de Tartaglia, Cardano y Ferrano para la ecuación de tercer y cuarto grado, la siguiente contribución  interesante en la resolución de las ecuaciones polinómicas fue del boloñés Rafael Bombelli. En 1572 escribió el libro L’Algebra, en el que reformulaba algunas de las ideas del Ars Magna de Cardano, ya que consideraba que no era lo suficientemente claro, y añadía una idea nueva y revolucionaria: la de los números imaginarios.

La unidad imaginaria, i, se define como la raíz cuadrada de (-1). De vez en cuando, en la resolución de ecuaciones cúbicas, aparecía, como paso intermedio, la raíz de un número negativo. Evidentemente, no hay ningún numero real cuyo cuadrado sea negativo (si es negativo, menos por menos será más, si es positivo, más por más será más).

Es interesante el paralelismo entre la aparición de nuevas categorías de números y la resolución de las ecuaciones con coeficientes enteros. Los número negativos aparecen en ecuaciones lineales del tipo x+4=2, los radicales en ecuaciones cuadráticas como x.x=2, y los número imaginarios, en la resolución de las ecuaciones cúbicas.

Aunque aparecían en sus escritos, Cardano no se ocupó de ellos diciendo que eran “tan sutiles que eran inútiles”. Sin embargo Bombelli sí prestó atención a estos números, que llamaba “más de menos”. Aunque fue el gran matemático Leonhard Euler el primero que llamo a la raíz cuadrada de (-1) i, en 1777.

¿Qué nuevas categorías aparecerían al resolver la ecuación de quinto grado? El problema se convirtió en uno de los grandes retos matemáticos del momento.

Leonhard Euler

Los métodos usados en los casos anteriores resultaron inútiles, porque eran demasiado concretos, no trataban las ecuaciones como un objeto abstracto, no se entendían las características generales ni las relaciones entre sus elementos. Muchos grandes matemáticos lo intentaron, entre ellos Euler. Sin embargo, el célebre matemático solo llegó a intuir que, con cuidado, podría reducirse la ecuación de quinto grado a una de cuarto, que ya sabían resolver. También Joseph-Louise Lagrange, otro de los grandes pesos pesados de las matemáticas, trabajó en el problema. Publicó un libro llamado “Reflexiones sobre la solución de ecuaciones algebraicas” en el que proponía un procedimiento uniforme para resolver ecuaciones hasta cuarto grado, que sustituía todos los trucos anteriores. Conseguía, mediante un método concreto, reducir la ecuación a la de un grado menor (la de cuarto a la de tercero, la de tercero a la de segundo, la de segundo a la de primero), y por tanto tras un número de pasos, reducir el problema a un cálculo trivial.

Sin embargo, al aplicar este procedimiento a la ecuación de quinto grado, ¡obtenida una ecuación de grado 6! En el libro, el propio Lagrange asumía su fracaso, “es improbable que estos métodos conduzcan a la solución de la ecuación de quinto grado”. Pese a ello, sus trabajo era tremendamente interesante: Lagrange descubrió la relación entre las propiedades de las ecuaciones y su resolubilidad y ciertas simetrías de las soluciones por permutaciones.

Había también una cuestión a considerar: quizás no se podían encontrar estas soluciones. En aquella época los matemáticos empezaron a preguntarse si dada una ecuación (de cualquier orden), ¿podían asegurar que siempre tuviese al menos una solución? O más allá, dada una solución de grado n, ¿cuántas soluciones tendrá?

Hizo falta uno de los mayores talentos de la historia de las matemáticas para resolver este enigma: el de Johann Carl Fredrich Gauss. En su tesis doctoral, que leyó con apenas 22 años, en 1799, Gauss demostró el famoso Teorema Fundamental del Álgebra, en el que afirma que todas las ecuaciones de grado n tienen exactamente n soluciones (que pueden ser números reales y complejos).

Más información:

Sobre la historia de la resolución de ecuaciones: http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/tag/resolucion-de-ecuaciones

Entradas del Año Internacional de la Cristalografía: http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/tag/ano-internacional-cristalografia

Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias y Academia Canaria de Ciencias) es Director del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y vocal del Comité Ejecutivo de IMU.

Ágata A. Timón es responsable de Comunicación y Divulgación del ICMAT

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Vuelve el curso de verano “Cultura con “M” de matemáticas: una visión matemática del arte y la cultura”

El 10 y 11 de julio tendrá lugar en Bilbao “Cultura con “M” de Matemáticas”, un curso de verano de la Universidad de País Vasco (UPV/EHU), que muestra las relaciones entre las matemáticas y diferentes formas de arte. Matemáticos y artistas hablarán de los vínculos entre danza, poesía, literatura, audiovisuales… y matemáticas. Marta Macho, profesora de la UPV/EHU, presenta las jornadas.

Si consideramos el arte como una forma de expresar una concepción del mundo en que vivimos, es inevitable encontrar relaciones con la filosofía y la ciencia, en particular con las matemáticas. En la actualidad, ya no sorprende la estrecha vinculación existente entre el entorno del arte y el de las matemáticas. De hecho, la investigación matemática y la creación artística son tributarias una de la otra. La belleza estética que ofrece a su autor o autora un resultado matemático es paralela a la que puede dar la armonía arquitectónica o la elegancia literaria. Pero hay algo más: las matemáticas intervienen a menudo en la concepción y la realización de una obra de arte.

Este curso nos ofrece la oportunidad de examinar con algún detalle algunos ejemplos de esta relación: desde las artes plásticas –pintura y escultura– hasta las audiovisuales –literatura, danza, juegos–, pasando por la historia de la ciencia y del arte: todo esto se realizará desde el punto de vista de artistas y matemáticas o matemáticos.

 

Programa del curso

Día 10 de julio

  • 9:00 h. Entrega de la documentación y bienvenida por parte de Marta Macho Stadler(UPV/EHU)
  • 9:15 h. Las matemáticas de los aficionados, Pedro Alegría Ezquerra (UPV/EHU)
  • 10:45 h. Pasos de baile a ritmo de matemáticas, Judith Rivas Ulloa (UPV/EHU)
  • 12:15 h. Generadores automáticos de estructuras literarias: mito y realidad, Sofía Rhei (escritora, Madrid)

16:30 h. Taller de juegos matemáticos, dinamizado por Pedro Alegría Ezquerra, Raúl Ibáñez Torres y Marta Macho Stadler (voluntario)

Día 11 de julio

  • 9:15 h. Juegos del mundo. Jugando con las matemáticas, Raúl Ibáñez Torres (UPV/EHU)
  • 10:45 h. Traducción intersemiótica entre matemáticas y poesía, Sofía Rhei (escritora, Madrid)
  • 12:15 h. Geomorfismos, Juan Daniel Tamayo Pozueta (UPV/EHU)
  • 16:30 h Mesa redonda: Matemáticas, literatura y arte, Pedro Alegría Ezquerra, Sofía Rhei, Juan Daniel Tamayo Pozueta y Marta Macho Stadler (moderadora)

Más información:

Para matricularte, consulta este enlace.

“Cultura con “M” de matemáticas”

Fecha de inicio: 10 julio, 2014

Fecha de fin: 11 julio, 2014

Horario: de 09:00 a 14:00 y de 16:30 a 18:30

Más información: Web del evento (curso I3). También estamos en Facebook

Lugar: Bizkaia Aretoa, Avda. Abandoibarra 3 (Bilbao)

Marta Macho-Stadler es Profesora del Departamento de Matemáticas (Facultad de Ciencia y Tecnología) de la Universidad del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea.

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“La investigación me parece intelectualmente estimulante”

En todos los números del ICMAT Newsletter se presenta, como sección fija, el perfil de uno de los jovenes investigadores del Instituto. En el número cinco del ICMAT Newsletter el protagonista fue Joan Tent,  investigador del ICMAT especializado en teoría de grupos.

Selección del ICMAT Newsletter

Joan Tent (ICMAT)

Andrea Jiménez. Cuando Joan Tent descubrió el álgebra durante sus años de universidad, decidió que quería orientar su carrera profesional a inventar nuevas ecuaciones, desentrañar las incógnitas de aquellas más complejas y, en especial, a estudiar los grupos que sirven como cimientos de otras estructuras algebraicas más elaboradas.

En la actualidad, gracias a un contrato postdoctoral Severo Ochoa, investiga y trabaja precisamente sobre problemas de teorías de representaciones de grupos finitos y grupos profinitos en el ICMAT. “Los grupos son objetos que describen simetría en la naturaleza. Son objetos abstractos y pueden resultar difíciles de entender, y una forma de comprenderlos mejor es a través de sus acciones, es decir, estudiando la forma en que mueven los puntos del objeto que presenta la simetría”, explica este valenciano de 30 años que en 2012 se licenció en Matemáticas por la Universidad de Valencia y que cursó un máster de Investigación Matemática al año siguiente.

La teoría de grupos tiene una gran variedad de aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas. “Se utiliza mucho como herramienta en la teoría de números, en análisis y en la geometría. Y es que en realidad los grupos aparecen en todos lados”. Otras ciencias como la física cuántica y la química también la incorporan entre sus filas. La forma de describir una simetría en la naturaleza se hace, de hecho, a través de los grupos, y en química cobra especial importancia en la cristalografía. “Las moléculas de los cristales se disponen en el espacio en configuraciones ordenadas muy simétricas. Los grupos que describen estas simetrías son los llamados grupos cristalográficos”. Además, sus aplicaciones se extienden a materias como el estudio de los quarks, la solución del cubo de Rubik (el rompecabezas mecánico tridimensional más conocido), en criptografía y hasta en la teoría de binarios que se esconde tras las redes de internet.

Joan Tent puede decir que ha tocado las dos manos de la ciencia ya que en complementación a su labor investigadora, cuenta con experiencia docente. Ha trabajado como profesor en la Universidad Autónoma de Madrid y en la Universidad de Valencia mientras era estudiante de doctorado. “A pesar de que la investigación pueda ser intelectualmente más estimulante, es un trabajo mucho más especializado y solitario que estar delante de una pizarra trasmitiendo conocimiento, lo cual también me gusta mucho”.

Su proyecto de tesis le llevó a viajar al extranjero para investigar junto a otros matemáticos de su especialidad en la Universidad de Wisconsin primero, y en la Universidad Nacional de Irlanda, Maynoth, después. Trabajar en estos lugares le sirvió no sólo para aprender mucho sino, además, para abrir su perspectiva profesional. Ahora está contento de poder trabajar en el ICMAT, un centro que, como él dice, “es muy bueno para investigar, tanto como por la diversidad de sus temáticas como por el ambiente de trabajo”. Sabe que, como parte de su formación profesional, lo más probable es que tenga que marcharse fuera algunos años, aunque le gustaría que España fuera el lugar donde pudiera estabilizarse en un futuro.

Este apasionado del séptimo arte y viajero empedernido lo tiene claro cuando se le pregunta por su teoría favorita: “La de Galois, precisamente el matemático que acuñó el término de ‘grupo’ y que dio pie a toda una disciplina” a la que él se mantiene fiel, pues a pesar de que le gustaría aprender de otras ramas matemáticas, su intención por muchos años es seguir dedicándose a enredar y desenredar los rizos del álgebra.

Boletín ICMAT

El Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) lanza este boletín con el que quiere mostrar a la comunidad científica y a todos aquellos interesados en el avance de esta disciplina la actividad investigadora de excelencia que se lleva a cabo en el centro. En él se incluirán, además, contenidos matemáticos divulgativos dirigidos al público general. El boletín quiere ser un reflejo de lo que ocurre en el ICMAT y, de manera más amplia, en un centro de excelencia de investigación matemática. Se presentarán temas de interés relacionados con la investigación matemática actual, la actividad científica del centro y algunos de los perfiles desatacados de la comunidad científica.

Los autores de estos artículos son los propios investigadores del Instituto u otros matemáticos que colaboren con el ICMAT, además de un equipo especial dedicado a la comunicación de las matemáticas.

Puede suscribirse a la lista de distribución en este enlace

Puede descargar el último número en http://www.icmat.es/outreach/newsletter/num5

Y todos los números publicados hasta ahora en http://www.icmat.es/outreach/newsletter

 

 

 

 

 

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