Historias de pi: las agujas del conde de Buffon
El problema de la aguja de Buffon es una cuestión planteada por primera vez en el siglo XVIII por Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon, y relaciona de una manera sorprendente la teoría de probabilidades con el número π.
En su obra Essai d’Arithmetique Morale, publicada en 1777, Buffon propone este problema:
Supongo que en una habitación en la que el suelo está simplemente dividido por juntas paralelas uno lanza un palo al aire, y que uno de los jugadores apuesta a que el palo no cruzará paralelas en el suelo, y que el otro, por el contrario, apuesta a que el palo cruzará alguna de estas paralelas; se pregunta por las probabilidades de estos dos jugadores. Se puede jugar a este juego en un tablero de damas con una aguja de coser o un alfiler sin cabeza.
Este problema fue el primero en lo que se llama probabilidad geométrica, y la solución, que ahora mostraremos, es que la probabilidad de que la aguja cruce una de las líneas paralelas viene dada por la fórmula
p = (2/π) (l/L)
donde l es la longitud de la aguja y L la anchura que separa las paralelas (se supone que l < L). Aquí la probabilidad se entiende que si arrojamos N veces la aguja y en P de ellas la aguja cruza una paralela, entonces p es el límite de esos cocientes.
Hay muchas pruebas matemáticas de este resultado, y aquí recordamos una bastante intuitiva. Sea X un punto de la aguja, por ejemplo uno de sus extremos (el más cercano a una de las rectas paralelas), y denotemos por d la distancia de ese extremo a la paralela más próxima. La otra variable es el ángulo θ que forma la aguja con la paralela. Las dos variables que necesitamos para describir la aguja son precisamente estas dos, (d, θ), donde 0 ≤ d ≤ L y 0 ≤ θ ≤ π. Un simple cálculo trigonométrico nos indica que habrá cruce si
d < (L/2) sen θ
Para calcular lo que tenemos que hacer es dividir los casos favorables por los totales. Es decir, el área bajo la curva de la función (L/2) sen θ entre 0 y π, dividida por el área del rectángulo de lados L y π. Ese cociente nos da precisamente la probabilidad buscada.
Georges-Louis Leclerc nació el 7 de septiembre de 1707 en Montbard, Francia, y falleció el16 de abril de 1788 en París. Fue un naturalista, con amplios conocimientos matemáticos y astrónomicos. Su influencia fue enorme, autor de una enciclopédica Historia Natural (L’Histoire Naturelle, générale et particulière, avec la description du Cabinet du Roi) en 36 volúmenes en vida y 8 más tras su fallecimiento. Buffon ocupó el cargo de director del Jardín Real (hoy conocido como Jardin des Plantes).
Fue nombrado Conde de Buffon en 1773. Como muestra de su relevancia en Francia, decir que en1776, Luis XVI encargó una estatua suya al escultor Augustin Pajou, estatua erigida a la entrada del Museo de Historia Natural con la inscripción: Majestati Naturæ par ingenium («un genio a la altura de la majestad de la Naturaleza»). Su muerte a los 80 años fue causada por sus problemas de cálculos renales.
Una de las aplicaciones del problema de la aguja de Buffon es el cálculo de las expresiones decimales de π, lo que resulta en una extraordinaria relación entre paralelas y el círculo. Para ello se usa el método de Montecarlo y de esto hablaremos en otra entrada.
___________
Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).
Слушайте кто знает Ситуация критическая Дети напуганы Таблетки не помогают Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя на дому самара круглосуточно без выходных Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, не потеряйте контакты — доктор вывод из запоя https://alkogolizm.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara-abc.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Питер, всем привет Отец не выходит из штопора Соседи стучат в стену В больницу тащить страшно Короче, врачи приехали и поставили систему — вывести из запоя санкт петербург эффективно Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, не потеряйте контакты — вывод из алкогольного запоя https://czena.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg-zqe.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди помогите советом Отец не выходит из штопора Дети напуганы Таблетки не помогают Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя на дому спб качественно Через пару часов человек пришёл в себя В общем, телефон и цены тут — врач вывод из запоя спб врач вывод из запоя спб Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди помогите советом Близкий человек уже несколько дней в запое Родственники не знают что делать Нужна срочная помощь на дому Короче, только это реально спасло — вывод из запоя самара с капельницей Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, жмите чтобы сохранить — помощь вывода запоя https://kapelnicza.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara-def.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Здорова, народ Ситуация критическая Жена в истерике Нужна срочная помощь на дому Короче, врачи приехали и поставили систему — вывод из запоя с выездом врача Через пару часов человек пришёл в себя В общем, телефон и цены тут — запой врач на дом https://alkogolizm.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara-abc.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Екатеринбург, всем привет Отец не выходит из штопора Дети напуганы Таблетки не помогают Короче, врач приехал и поставил систему — нарколог на дом анонимно с препаратами Осмотрел и поставил капельницу В общем, вся инфа по ссылке — нарколог домой https://alkogolizm.narkolog-na-dom-ekaterinburg-10.ru Нарколог на дом — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Екатеринбург, всем привет Близкий человек уже несколько дней в запое Соседи стучат в стену Таблетки не помогают Короче, единственный кто реально помог — наркологическая помощь на дому круглосуточно эффективно Дал рекомендации и успокоил семью В общем, вся инфа по ссылке — нарколог на дом недорого нарколог на дом недорого Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Здорова, народ Близкий человек уже несколько дней в запое Родственники не знают что делать Нужен врач прямо сейчас Короче, только это реально спасло — вызов нарколога на дом анонимно Осмотрел и поставил капельницу В общем, не потеряйте контакты — помощь нарколога на дому https://zapoj.narkolog-na-dom-ekaterinburg-11.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Слушайте кто сталкивался Ситуация критическая Соседи стучат в стену Таблетки не помогают Короче, врач приехал и поставил систему — нарколог на дом круглосуточно без выходных Через пару часов человек пришёл в себя В общем, телефон и цены тут — выезд нарколога на дом цена выезд нарколога на дом цена Нарколог на дом — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Слушайте кто сталкивался Муж просто потерял себя Жена в истерике Нужен врач прямо сейчас Короче, единственный кто реально помог — вызвать нарколога на дом быстро Приехал через 40 минут В общем, телефон и цены тут — вызов нарколога на дом вызов нарколога на дом Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Здорова, народ Ситуация критическая Дети напуганы Нужен врач прямо сейчас Короче, врач приехал и поставил систему — вызов нарколога на дом анонимно Осмотрел и поставил капельницу В общем, не потеряйте контакты — нарколога на дом нарколога на дом Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди подскажите Близкий человек уже несколько дней в запое Соседи стучат в стену Нужен врач прямо сейчас Короче, врач приехал и поставил систему — нарколог на дом круглосуточно без выходных Дал рекомендации и успокоил семью В общем, жмите чтобы сохранить — вызвать врача нарколога на дом срочно вызвать врача нарколога на дом срочно Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди помогите советом Отец не выходит из штопора Дети напуганы В больницу тащить страшно Короче, единственный кто реально помог — нарколог на дом круглосуточно без выходных Дал рекомендации и успокоил семью В общем, телефон и цены тут — нарколог на дом цены нарколог на дом цены Нарколог на дом — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Народ всем привет В офисах очереди и нервотрёпка А в итоге всё равно переплачиваешь Короче, единственный где реально экономия — оформить полис осаго без посещения офиса Сравнил все предложения В общем, там калькулятор и цены — купить страховку на автомобиль осаго купить страховку на автомобиль осаго Оформляйте ОСАГО онлайн выгодно Перешлите тому у кого машина
Екатеринбург, всем привет Муж просто потерял себя Жена в истерике В больницу тащить страшно Короче, единственный кто реально помог — вызвать врача нарколога на дом срочно с гарантией Дал рекомендации и успокоил семью В общем, не потеряйте контакты — нарколог на дом анонимно нарколог на дом анонимно Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Екатеринбург, всем привет Брат снова сорвался Жена в истерике В больницу тащить страшно Короче, только это реально спасло — нарколог на дом цена доступная Дал рекомендации и успокоил семью В общем, телефон и цены тут — нарколог на дом цена нарколог на дом цена Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Ребята у кого машина Менеджеры навязывают дополнительные услуги Обзвонил кучу страховых Короче, нашел нормальный способ — оформить полис осаго без посещения офиса Оплатил картой за 2 минуты В общем, вся инфа вот здесь — оформить осаго на авто https://osagomaster.ru Оформляйте ОСАГО онлайн выгодно Перешлите тому у кого машина
Слушайте кто знает Муж просто потерял себя Соседи стучат в стену В больницу тащить страшно Короче, только это реально спасло — нарколог на дом анонимно с препаратами Приехал через 40 минут В общем, не потеряйте контакты — вызов нарколога на дом вызов нарколога на дом Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Екатеринбург, всем привет Ситуация критическая Жена в истерике Нужен врач прямо сейчас Короче, врач приехал и поставил систему — наркологическая помощь на дому круглосуточно эффективно Осмотрел и поставил капельницу В общем, не потеряйте контакты — нарколог на дом срочно нарколог на дом срочно Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Ребята у кого машина Замучился я уже с этой страховкой Везде разные цены и условия Короче, быстро и без гемора — оформить осаго онлайн за 5 минут Сравнил все предложения В общем, там калькулятор и цены — оформить осаго по вин номеру https://osagomaster.ru Не переплачивайте в офисах Перешлите тому у кого машина
Ребята у кого машина Замучился я уже с этой страховкой Мучаешься по полдня Короче, быстро и без гемора — оформить осаго онлайн за 5 минут Полис пришел на почту сразу В общем, жмите чтобы не потерять — купить полис осаго онлайн недорого страховой автострахование https://osagomaster.ru Не переплачивайте в офисах Перешлите тому у кого машина
Люди помогите советом Отец не выходит из штопора Родственники не знают что делать В больницу тащить страшно Короче, только это реально спасло — выезд нарколога на дом качественно Дал рекомендации и успокоил семью В общем, вся инфа по ссылке — выезд нарколога на дом цена выезд нарколога на дом цена Нарколог на дом — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Слушайте кто платит поставщикам То сроки по две недели Никто не знает как нормально перевести деньги за рубеж Короче, единственные кто помогает быстро — международные платежи с низкой комиссией Перевели деньги за 2 дня В общем, жмите чтобы не потерять — консультация по международным платежам https://platezh.mezhdunarodnye-platezhi-dom.ru Не мучайтесь с банками Перешлите тому кто работает с зарубежными поставщиками
Мамы и папы слушайте Каждый день как на работу А эти бесконечные ремонты в классе Короче, реально удобный и простой — школа дистанционного обучения с 1 класса Никаких нервов В общем, смотрите сами по ссылке — школа с дистанционным обучением https://obuchenie.shkola-onlajn-obh.ru Не мучайте себя и детей Перешлите другим родителям
Слушайте кто устал от обычной школы Задолбали эти сборы в 7 утра Ребёнок не высыпается Короче, реально удобный формат — школа онлайн с официальным аттестатом Ребёнок реально понимает материал В общем, сохраняйте себе — онлайн школа для школьников онлайн школа для школьников Хватит мучить себя и ребёнка Перешлите другим родителям
Люди помогите советом Ситуация критическая Родственники не знают что делать В больницу тащить страшно Короче, единственный кто реально помог — вызов нарколога на дом анонимно Приехал через 40 минут В общем, не потеряйте контакты — вызов нарколога на дом цена вызов нарколога на дом цена Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Народ у кого бизнес за границей Задолбался я уже с этими международными платежами Никто не знает как нормально перевести деньги за рубеж Короче, единственные кто помогает быстро — платежи по всему миру с гарантией Комиссия в 3 раза ниже банковской В общем, жмите чтобы не потерять — агент по международным платежам агент по международным платежам Не мучайтесь с банками Перешлите тому кто работает с зарубежными поставщиками
Слушайте кто платит поставщикам То комиссии бешеные Обзвонил всех знакомых Короче, единственные кто помогает быстро — международные платежи для бизнеса без проблем Перевели деньги за 2 дня В общем, вся инфа вот здесь — перевести деньги из австралии в мексику https://platezh.mezhdunarodnye-platezhi-dom.ru Используйте нормальный сервис Перешлите тому кто работает с зарубежными поставщиками
Екатеринбург, всем привет Брат снова сорвался Соседи стучат в стену Таблетки не помогают Короче, единственный кто реально помог — вызвать нарколога на дом быстро Дал рекомендации и успокоил семью В общем, телефон и цены тут — наркологическая помощь на дому в екатеринбурге https://czena.narkolog-na-dom-ekaterinburg-14.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Народ у кого дети Двойки замечания вечные А эти бесконечные ремонты в классе Короче, реально удобный и простой — ломоносов онлайн школа с опытными педагогами Аттестат настоящий как в обычной школе В общем, вся инфа вот здесь — lbs это https://obuchenie.shkola-onlajn-obh.ru Переходите на дистанционное обучение Перешлите другим родителям
Мамы и папы всем привет Вечные двойки и тройки в дневнике Ребёнок не высыпается Короче, реально удобный формат — ломоносов онлайн школа с реальными знаниями Преподаватели профи В общем, вся инфа вот здесь — дистанционная школа для детей https://distanczionno.shkola-onlajn-gtn.ru Хватит мучить себя и ребёнка Перешлите другим родителям
Екатеринбург, всем привет Ситуация критическая Дети напуганы Таблетки не помогают Короче, только это реально спасло — вызов нарколога на дом анонимно Через пару часов человек пришёл в себя В общем, вся инфа по ссылке — телефон нарколога на дом https://kodirovanie.narkolog-na-dom-ekaterinburg-15.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации