Historias de pi: las agujas del conde de Buffon
El problema de la aguja de Buffon es una cuestión planteada por primera vez en el siglo XVIII por Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon, y relaciona de una manera sorprendente la teoría de probabilidades con el número π.
En su obra Essai d’Arithmetique Morale, publicada en 1777, Buffon propone este problema:
Supongo que en una habitación en la que el suelo está simplemente dividido por juntas paralelas uno lanza un palo al aire, y que uno de los jugadores apuesta a que el palo no cruzará paralelas en el suelo, y que el otro, por el contrario, apuesta a que el palo cruzará alguna de estas paralelas; se pregunta por las probabilidades de estos dos jugadores. Se puede jugar a este juego en un tablero de damas con una aguja de coser o un alfiler sin cabeza.
Este problema fue el primero en lo que se llama probabilidad geométrica, y la solución, que ahora mostraremos, es que la probabilidad de que la aguja cruce una de las líneas paralelas viene dada por la fórmula
p = (2/π) (l/L)
donde l es la longitud de la aguja y L la anchura que separa las paralelas (se supone que l < L). Aquí la probabilidad se entiende que si arrojamos N veces la aguja y en P de ellas la aguja cruza una paralela, entonces p es el límite de esos cocientes.
Hay muchas pruebas matemáticas de este resultado, y aquí recordamos una bastante intuitiva. Sea X un punto de la aguja, por ejemplo uno de sus extremos (el más cercano a una de las rectas paralelas), y denotemos por d la distancia de ese extremo a la paralela más próxima. La otra variable es el ángulo θ que forma la aguja con la paralela. Las dos variables que necesitamos para describir la aguja son precisamente estas dos, (d, θ), donde 0 ≤ d ≤ L y 0 ≤ θ ≤ π. Un simple cálculo trigonométrico nos indica que habrá cruce si
d < (L/2) sen θ
Para calcular lo que tenemos que hacer es dividir los casos favorables por los totales. Es decir, el área bajo la curva de la función (L/2) sen θ entre 0 y π, dividida por el área del rectángulo de lados L y π. Ese cociente nos da precisamente la probabilidad buscada.
Georges-Louis Leclerc nació el 7 de septiembre de 1707 en Montbard, Francia, y falleció el16 de abril de 1788 en París. Fue un naturalista, con amplios conocimientos matemáticos y astrónomicos. Su influencia fue enorme, autor de una enciclopédica Historia Natural (L’Histoire Naturelle, générale et particulière, avec la description du Cabinet du Roi) en 36 volúmenes en vida y 8 más tras su fallecimiento. Buffon ocupó el cargo de director del Jardín Real (hoy conocido como Jardin des Plantes).
Fue nombrado Conde de Buffon en 1773. Como muestra de su relevancia en Francia, decir que en1776, Luis XVI encargó una estatua suya al escultor Augustin Pajou, estatua erigida a la entrada del Museo de Historia Natural con la inscripción: Majestati Naturæ par ingenium («un genio a la altura de la majestad de la Naturaleza»). Su muerte a los 80 años fue causada por sus problemas de cálculos renales.
Una de las aplicaciones del problema de la aguja de Buffon es el cálculo de las expresiones decimales de π, lo que resulta en una extraordinaria relación entre paralelas y el círculo. Para ello se usa el método de Montecarlo y de esto hablaremos en otra entrada.
___________
Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).
Слушайте кто сталкивался Муж просто потерял себя Жена в истерике В больницу тащить страшно Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя на дому цена доступная Приехали через 40 минут В общем, вся инфа по ссылке — вывод из запоя телефон вывод из запоя телефон Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Здорова, народ Муж просто потерял себя Жена в истерике В больницу тащить страшно Короче, врачи приехали и поставили систему — снятие интоксикации на дому быстро Через пару часов человек пришёл в себя В общем, телефон и цены тут — выведения из запоя на дому круглосуточно https://kodirovanie.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Yo travelers Fed up with agencies that promise one thing and deliver another Almost stopped renting luxury cars altogether The only rental place in Miami that doesn’t mess around — rental luxury car miami straightforward process Rates lower than Enterprise or Budget Anyway, click so you don’t lose it — miami executive airport luxury car rental https://www.pinterest.com/pin/1092122978529360671 Don’t fall for those sketchy rental companies Pass this on to anyone heading to Miami in style
Слушайте кто сталкивался Муж просто потерял себя Соседи стучат в стену Таблетки не помогают Короче, единственное что вытащило из запоя — выведение из запоя на дому качественно Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, вся инфа по ссылке — прерывание запоя на дому https://anonimnyj.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara-1.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Нижний Новгород, всем привет Ситуация критическая Родственники не знают что делать Таблетки не помогают Короче, только это реально спасло — вывод из запоя на дому цена доступная Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, не потеряйте контакты — вывести из запоя на дому нижний новгород вывести из запоя на дому нижний новгород Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Самара, всем привет Брат снова сорвался Жена в истерике В больницу тащить страшно Короче, только это реально спасло — вывод из запоя на дому самара с гарантией Через пару часов человек пришёл в себя В общем, не потеряйте контакты — вывод из запоя вызов на дом вывод из запоя вызов на дом Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди помогите советом Брат снова сорвался Соседи стучат в стену Таблетки не помогают Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя недорого с выездом Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, жмите чтобы сохранить — запой выезд на дом https://anonimnyj.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara-1.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Здорова, народ Брат снова сорвался Соседи стучат в стену Таблетки не помогают Короче, только это реально спасло — вывод из запоя самара круглосуточно Через пару часов человек пришёл в себя В общем, жмите чтобы сохранить — круглосуточный вывод из запоя https://kodirovanie.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Слушайте кто знает Муж просто потерял себя Жена в истерике В больницу тащить страшно Короче, единственный кто реально помог — нарколог на дом цена доступная Через пару часов человек пришёл в себя В общем, жмите чтобы сохранить — номер нарколога на дом https://alkogolizm.narkolog-na-dom-nizhnij-novgorod-2.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди помогите советом Отец не выходит из штопора Дети напуганы Таблетки не помогают Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя самара круглосуточно Через пару часов человек пришёл в себя В общем, телефон и цены тут — запой вызов на дом https://lechenie.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Здорова, народ Муж просто потерял себя Соседи стучат в стену В больницу тащить страшно Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя на дому самара с гарантией Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, жмите чтобы сохранить — вывод из запоя вызов https://anonimnyj.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara-1.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Слушайте кто сталкивался Отец не выходит из штопора Дети напуганы Таблетки не помогают Короче, только это реально спасло — врач нарколог на дом анонимно Приехал через 40 минут В общем, вся инфа по ссылке — анонимный вызов врача нарколога анонимный вызов врача нарколога Нарколог на дом — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Самара, всем привет Муж просто потерял себя Соседи стучат в стену Нужна срочная помощь на дому Короче, только это реально спасло — вывод из запоя самара круглосуточно Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, жмите чтобы сохранить — вывод из запоя самара вывод из запоя самара Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации