Historias de pi: las agujas del conde de Buffon
El problema de la aguja de Buffon es una cuestión planteada por primera vez en el siglo XVIII por Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon, y relaciona de una manera sorprendente la teoría de probabilidades con el número π.
En su obra Essai d’Arithmetique Morale, publicada en 1777, Buffon propone este problema:
Supongo que en una habitación en la que el suelo está simplemente dividido por juntas paralelas uno lanza un palo al aire, y que uno de los jugadores apuesta a que el palo no cruzará paralelas en el suelo, y que el otro, por el contrario, apuesta a que el palo cruzará alguna de estas paralelas; se pregunta por las probabilidades de estos dos jugadores. Se puede jugar a este juego en un tablero de damas con una aguja de coser o un alfiler sin cabeza.
Este problema fue el primero en lo que se llama probabilidad geométrica, y la solución, que ahora mostraremos, es que la probabilidad de que la aguja cruce una de las líneas paralelas viene dada por la fórmula
p = (2/π) (l/L)
donde l es la longitud de la aguja y L la anchura que separa las paralelas (se supone que l < L). Aquí la probabilidad se entiende que si arrojamos N veces la aguja y en P de ellas la aguja cruza una paralela, entonces p es el límite de esos cocientes.
Hay muchas pruebas matemáticas de este resultado, y aquí recordamos una bastante intuitiva. Sea X un punto de la aguja, por ejemplo uno de sus extremos (el más cercano a una de las rectas paralelas), y denotemos por d la distancia de ese extremo a la paralela más próxima. La otra variable es el ángulo θ que forma la aguja con la paralela. Las dos variables que necesitamos para describir la aguja son precisamente estas dos, (d, θ), donde 0 ≤ d ≤ L y 0 ≤ θ ≤ π. Un simple cálculo trigonométrico nos indica que habrá cruce si
d < (L/2) sen θ
Para calcular lo que tenemos que hacer es dividir los casos favorables por los totales. Es decir, el área bajo la curva de la función (L/2) sen θ entre 0 y π, dividida por el área del rectángulo de lados L y π. Ese cociente nos da precisamente la probabilidad buscada.
Georges-Louis Leclerc nació el 7 de septiembre de 1707 en Montbard, Francia, y falleció el16 de abril de 1788 en París. Fue un naturalista, con amplios conocimientos matemáticos y astrónomicos. Su influencia fue enorme, autor de una enciclopédica Historia Natural (L’Histoire Naturelle, générale et particulière, avec la description du Cabinet du Roi) en 36 volúmenes en vida y 8 más tras su fallecimiento. Buffon ocupó el cargo de director del Jardín Real (hoy conocido como Jardin des Plantes).
Fue nombrado Conde de Buffon en 1773. Como muestra de su relevancia en Francia, decir que en1776, Luis XVI encargó una estatua suya al escultor Augustin Pajou, estatua erigida a la entrada del Museo de Historia Natural con la inscripción: Majestati Naturæ par ingenium («un genio a la altura de la majestad de la Naturaleza»). Su muerte a los 80 años fue causada por sus problemas de cálculos renales.
Una de las aplicaciones del problema de la aguja de Buffon es el cálculo de las expresiones decimales de π, lo que resulta en una extraordinaria relación entre paralelas y el círculo. Para ello se usa el método de Montecarlo y de esto hablaremos en otra entrada.
___________
Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).
Слушайте кто сталкивался Муж просто потерял себя Жена в истерике В больницу тащить страшно Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя на дому цена доступная Приехали через 40 минут В общем, вся инфа по ссылке — вывод из запоя телефон вывод из запоя телефон Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Здорова, народ Муж просто потерял себя Жена в истерике В больницу тащить страшно Короче, врачи приехали и поставили систему — снятие интоксикации на дому быстро Через пару часов человек пришёл в себя В общем, телефон и цены тут — выведения из запоя на дому круглосуточно https://kodirovanie.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Yo travelers Fed up with agencies that promise one thing and deliver another Almost stopped renting luxury cars altogether The only rental place in Miami that doesn’t mess around — rental luxury car miami straightforward process Rates lower than Enterprise or Budget Anyway, click so you don’t lose it — miami executive airport luxury car rental https://www.pinterest.com/pin/1092122978529360671 Don’t fall for those sketchy rental companies Pass this on to anyone heading to Miami in style
Слушайте кто сталкивался Муж просто потерял себя Соседи стучат в стену Таблетки не помогают Короче, единственное что вытащило из запоя — выведение из запоя на дому качественно Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, вся инфа по ссылке — прерывание запоя на дому https://anonimnyj.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara-1.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Нижний Новгород, всем привет Ситуация критическая Родственники не знают что делать Таблетки не помогают Короче, только это реально спасло — вывод из запоя на дому цена доступная Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, не потеряйте контакты — вывести из запоя на дому нижний новгород вывести из запоя на дому нижний новгород Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Самара, всем привет Брат снова сорвался Жена в истерике В больницу тащить страшно Короче, только это реально спасло — вывод из запоя на дому самара с гарантией Через пару часов человек пришёл в себя В общем, не потеряйте контакты — вывод из запоя вызов на дом вывод из запоя вызов на дом Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди помогите советом Брат снова сорвался Соседи стучат в стену Таблетки не помогают Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя недорого с выездом Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, жмите чтобы сохранить — запой выезд на дом https://anonimnyj.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara-1.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Здорова, народ Брат снова сорвался Соседи стучат в стену Таблетки не помогают Короче, только это реально спасло — вывод из запоя самара круглосуточно Через пару часов человек пришёл в себя В общем, жмите чтобы сохранить — круглосуточный вывод из запоя https://kodirovanie.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Слушайте кто знает Муж просто потерял себя Жена в истерике В больницу тащить страшно Короче, единственный кто реально помог — нарколог на дом цена доступная Через пару часов человек пришёл в себя В общем, жмите чтобы сохранить — номер нарколога на дом https://alkogolizm.narkolog-na-dom-nizhnij-novgorod-2.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди помогите советом Отец не выходит из штопора Дети напуганы Таблетки не помогают Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя самара круглосуточно Через пару часов человек пришёл в себя В общем, телефон и цены тут — запой вызов на дом https://lechenie.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Здорова, народ Муж просто потерял себя Соседи стучат в стену В больницу тащить страшно Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя на дому самара с гарантией Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, жмите чтобы сохранить — вывод из запоя вызов https://anonimnyj.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara-1.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Слушайте кто сталкивался Отец не выходит из штопора Дети напуганы Таблетки не помогают Короче, только это реально спасло — врач нарколог на дом анонимно Приехал через 40 минут В общем, вся инфа по ссылке — анонимный вызов врача нарколога анонимный вызов врача нарколога Нарколог на дом — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Самара, всем привет Муж просто потерял себя Соседи стучат в стену Нужна срочная помощь на дому Короче, только это реально спасло — вывод из запоя самара круглосуточно Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, жмите чтобы сохранить — вывод из запоя самара вывод из запоя самара Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди помогите советом Отец не выходит из штопора Дети напуганы Нужен врач прямо сейчас Короче, единственный кто реально помог — выезд нарколога на дом качественно Приехал через 40 минут В общем, телефон и цены тут — нарколог на дом клиника https://zapoj.narkolog-na-dom-nizhnij-novgorod-3.ru Нарколог на дом — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Слушайте кто знает Ситуация критическая Дети напуганы Таблетки не помогают Короче, только это реально спасло — вывод из запоя на дому срочно Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, не потеряйте контакты — вывод из запоя на дому цены https://alkogolizm.vyvod-iz-zapoya-na-domu-nizhnij-novgorod.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Здорова, народ Отец не выходит из штопора Родственники не знают что делать Таблетки не помогают Короче, врач приехал и поставил систему — нарколог на дом нижний круглосуточно Приехал через 40 минут В общем, вся инфа по ссылке — срочный вызов нарколога на дом срочный вызов нарколога на дом Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Слушайте кто знает Ситуация критическая Жена в истерике Таблетки не помогают Короче, только это реально спасло — нарколог на дом цена доступная Через пару часов человек пришёл в себя В общем, вся инфа по ссылке — наркология на дом наркология на дом Нарколог на дом — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Нижний Новгород, всем привет Брат снова сорвался Соседи стучат в стену В больницу тащить страшно Короче, только это реально спасло — нарколог на дом срочно без выходных Осмотрел и поставил капельницу В общем, вся инфа по ссылке — врач на дом кодирование https://zapoj.narkolog-na-dom-nizhnij-novgorod-3.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Слушайте кто знает Муж просто потерял себя Жена в истерике Нужен врач прямо сейчас Короче, врач приехал и поставил систему — нарколог на дом нижний новгород недорого Осмотрел и поставил капельницу В общем, телефон и цены тут — нарколог на дом клиника https://alkogolizm.narkolog-na-dom-nizhnij-novgorod-2.ru Нарколог на дом — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди подскажите Брат снова сорвался Соседи стучат в стену Нужна срочная помощь на дому Короче, врачи приехали и поставили систему — вывести из запоя санкт петербург эффективно Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, телефон и цены тут — вывод из запоя с выездом дом цена https://alkogolizm.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg-abc.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Питер, всем привет Близкий человек уже несколько дней в запое Дети напуганы Таблетки не помогают Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя Санкт Петербург круглосуточно Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, жмите чтобы сохранить — вывод из запоя на дому вывод из запоя на дому Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди подскажите Брат снова сорвался Жена в истерике Нужна срочная помощь Короче, только стационар реально спас — вывод из запоя с выездом и госпитализацией Провели полную детоксикацию В общем, не потеряйте контакты — вывод из запоя вызвать нарколога https://alkogolizm.vyvod-iz-zapoya-v-staczionare-nizhnij-novgorod-mqz.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Здорова, народ Близкий человек уже несколько дней в запое Родственники не знают что делать В больницу тащить страшно Короче, единственное что вытащило из запоя — выведение из запоя в нижнем новгороде быстро Положили в палату В общем, телефон и цены тут — капельница от запоя нижний новгород капельница от запоя нижний новгород Стационар — это единственный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Питер, всем привет Отец не выходит из штопора Дети напуганы В больницу тащить страшно Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя на дому спб цены адекватные Приехали через 40 минут В общем, телефон и цены тут — прерывание запоев на дому в спб https://kapelnicza.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg-xyt.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Слушайте кто знает Муж просто потерял себя Дети напуганы В больницу тащить страшно Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя круглосуточно Санкт-Петербург без выходных Приехали через 40 минут В общем, вся инфа по ссылке — вывод из запоя дешево санкт петербург https://alkogolizm.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg-abc.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Слушайте кто знает Ситуация критическая Дети напуганы Нужна срочная помощь Короче, только стационар реально спас — выведение из запоя нижний новгород недорого Провели полную детоксикацию В общем, вся инфа по ссылке — вызов нарколога на дом запой https://alkogolizm.vyvod-iz-zapoya-v-staczionare-nizhnij-novgorod-mqz.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Нижний Новгород, всем привет Отец не выходит из штопора Дети напуганы Нужна срочная помощь Короче, врачи вытащили с того света — выведение из запоя нижний новгород недорого Провели полную детоксикацию В общем, вся инфа по ссылке — вывод из запоя дешево вывод из запоя дешево Стационар — это единственный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Слушайте кто сталкивался Ситуация критическая Соседи стучат в стену Нужна срочная помощь на дому Короче, врачи приехали и поставили систему — вывод из запоя круглосуточно Санкт-Петербург без выходных Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, жмите чтобы сохранить — выведение из запоя на дому санкт петербург цена https://kapelnicza.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg-xyt.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Слушайте кто знает Близкий человек уже несколько дней в запое Родственники не знают что делать В больницу тащить страшно Короче, врачи приехали и поставили систему — вывод из запоя недорого Санкт Петербург с выездом Приехали через 40 минут В общем, жмите чтобы сохранить — вывод из запоя круглосуточно спб https://alkogolizm.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg-abc.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Нижний Новгород, всем привет Близкий человек уже несколько дней в запое Родственники не знают что делать В больницу тащить страшно Короче, только стационар реально спас — вывод из запоя недорого и эффективно Провели полную детоксикацию В общем, жмите чтобы сохранить — выведение из запоя выведение из запоя Стационар — это единственный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Здорова, народ Брат снова сорвался Жена в истерике Таблетки не помогают Короче, только это реально спасло — вывод из запоя на дому в Санкт-Петербурге недорого Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, не потеряйте контакты — выведение из запоя санкт-петербург https://kapelnicza.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg-xyt.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Здорова, народ Ситуация критическая Жена в истерике В больницу тащить страшно Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя в нижнем новгороде анонимно Врачи и медсёстры 24/7 В общем, жмите чтобы сохранить — доктор вывод из запоя https://kapelnicza.vyvod-iz-zapoya-v-staczionare-nizhnij-novgorod-mqz.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Питер, всем привет Отец не выходит из штопора Жена в истерике Таблетки не помогают Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя недорого Санкт Петербург с выездом Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, жмите чтобы сохранить — выведение из запоя на дому санкт-петербург выведение из запоя на дому санкт-петербург Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди подскажите Муж просто потерял себя Дети напуганы Нужна срочная помощь Короче, врачи вытащили с того света — выведение из запоя под контролем врачей Положили в палату В общем, телефон и цены тут — выведение из запоя на дому выведение из запоя на дому Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Здорова, народ Муж просто потерял себя Жена в истерике В больницу тащить страшно Короче, только стационар реально спас — вывод из запоя клиника с палатой Капельницы и уколы по схеме В общем, телефон и цены тут — вывод из запоя срочно https://kapelnicza.vyvod-iz-zapoya-v-staczionare-nizhnij-novgorod-mqz.ru Стационар — это единственный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди помогите советом Близкий человек уже несколько дней в запое Дети напуганы Нужна срочная помощь на дому Короче, врачи приехали и поставили систему — вывод из запоя на дому срочно Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, жмите чтобы сохранить — врач вывод из запоя спб врач вывод из запоя спб Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Здорова, народ Муж просто потерял себя Дети напуганы Нужна срочная помощь на дому Короче, только это реально спасло — вывод из запоя круглосуточно Санкт-Петербург без выходных Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, жмите чтобы сохранить — вывод из запоя недорого санкт петербург вывод из запоя недорого санкт петербург Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Питер, всем привет Близкий человек уже несколько дней в запое Соседи стучат в стену Нужна срочная помощь на дому Короче, единственное что вытащило из запоя — вывести из запоя санкт петербург эффективно Через пару часов человек пришёл в себя В общем, жмите чтобы сохранить — вывод из запоя на дому в санкт-петербурге вывод из запоя на дому в санкт-петербурге Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Питер, всем привет Близкий человек уже несколько дней в запое Соседи стучат в стену Таблетки не помогают Короче, врачи приехали и поставили систему — вывести из запоя санкт петербург эффективно Через пару часов человек пришёл в себя В общем, не потеряйте контакты — вывод из запоя недорого санкт-петербург вывод из запоя недорого санкт-петербург Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Питер, всем привет Близкий человек уже несколько дней в запое Родственники не знают что делать Нужна срочная помощь на дому Короче, только это реально спасло — вывод из запоя Санкт Петербург круглосуточно Приехали через 40 минут В общем, телефон и цены тут — вывод из запоя круглосуточно спб https://narkolog.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg-mnq.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди помогите советом Близкий человек уже несколько дней в запое Жена в истерике В больницу тащить страшно Короче, только это реально спасло — вывод из запоя на дому санкт петербург цены фиксированные Приехали через 40 минут В общем, телефон и цены тут — вывод из запоя в спб вывод из запоя в спб Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди подскажите Ситуация критическая Родственники не знают что делать Нужна срочная помощь на дому Короче, врачи приехали и поставили систему — вывод из запоя на дому спб качественно Через пару часов человек пришёл в себя В общем, вся инфа по ссылке — вывод из запоя анонимно недорого вывод из запоя анонимно недорого Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Питер, всем привет Муж просто потерял себя Соседи стучат в стену В больницу тащить страшно Короче, врачи приехали и поставили систему — вывод из запоя на дому спб цены адекватные Через пару часов человек пришёл в себя В общем, вся инфа по ссылке — санкт петербург вывод из запоя на дому санкт петербург вывод из запоя на дому Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Самара, всем привет Отец не выходит из штопора Дети напуганы Нужна срочная помощь на дому Короче, врачи приехали и поставили систему — вывод из запоя анонимно с препаратами Приехали через 40 минут В общем, не потеряйте контакты — вывести из запоя капельница на дому цена https://alkogolizm.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara-abc.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Слушайте кто сталкивался Муж просто потерял себя Дети напуганы В больницу тащить страшно Короче, только это реально спасло — вывод из запоя на дому самара круглосуточно Приехали через 40 минут В общем, не потеряйте контакты — вывод из запоя на дому центр вывод из запоя на дому центр Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Питер, всем привет Близкий человек уже несколько дней в запое Соседи стучат в стену Нужна срочная помощь на дому Короче, врачи приехали и поставили систему — вывод из запоя в спб с капельницей Приехали через 40 минут В общем, не потеряйте контакты — вывод из запоя на дому петербург https://kodirovanie.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg-rpl.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Питер, всем привет Брат снова сорвался Жена в истерике В больницу тащить страшно Короче, врачи приехали и поставили систему — вывод из запоя спб анонимно Через пару часов человек пришёл в себя В общем, жмите чтобы сохранить — выведение из запоя санкт-петербург https://czena.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg-zqe.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Самара, всем привет Муж просто потерял себя Родственники не знают что делать Нужна срочная помощь на дому Короче, единственное что вытащило из запоя — выведение из запоя на дому эффективно Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, вся инфа по ссылке — вывод из запоя в стационаре анонимно https://alkogolizm.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara-abc.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди помогите советом Брат снова сорвался Соседи стучат в стену В больницу тащить страшно Короче, единственное что вытащило из запоя — выведение из запоя на дому эффективно Приехали через 40 минут В общем, не потеряйте контакты — нарколог вывод из запоя нарколог вывод из запоя Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Самара, всем привет Брат снова сорвался Жена в истерике Нужна срочная помощь на дому Короче, только это реально спасло — вывод из запоя на дому самара круглосуточно без выходных Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, не потеряйте контакты — круглосуточный вывод из запоя круглосуточный вывод из запоя Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации