La magia de los cuadrados

Sabemos que los cuadrados son los polígonos de cuatro lados, pero con cuadrados los matemáticos han hecho construcciones curiosas que nos hacen pensar más allá de la pura geometría. Vamos a hablar de dos tipos de cuadrados: en esta entrada de los mágicos, y en una próxima, de los latinos.

Un cuadrado mágico es una tabla en cuyas entradas se incluyen números enteros de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma. Esa suma se denomina la constante mágica.

En este cuadrado mágico

la constante mágica es 15. En general, si nuestro cuadrado mágico tuviera n filas y n columnas, esa constante es n(n²+1)/2.

Existen algoritmos para construir cuadrados mágicos, y no se nos ocurre mejor referencia que esta de El Aleph, el blog de Miguel Ángel Morales en El País.

Las aplicaciones de los cuadrados mágicos no van más allá del divertimento matemático, pero sí han venido asociados históricamente a la magia y el esoterismo.

Los cuadrados mágicos eran ya conocidos por los matemáticos chinos en el año 650 aC, y también por los matemáticos árabes en el siglo VII. Se encontraron cuadrados mágicos de órdenes 5 y 6 en Bagdad en el año 983 (el Rasa’il Ihkwan al-Safa).

De acuerdo con la leyenda, hubo una vez en China una enorme inundación. Cuando el rey Yu intentaba canalizar el agua hacia el mar, surgió una tortuga con un cuadrado de números en su caparazón, un cuadrado mágico precisamente como el que hemos dibujado arriba. Esto se tomó como una manera de controlar el río y protegerse de las inundaciones.

La introducción de los cuadrados mágicos en Occidente se produjo con Emanuel Moschopoulos en el siglo XIV,  quien dio algunos métodos para su construcción. A partir de entonces, estas construcciones atrajeron la atención de grandes matemáticos como Fermat, Pascal, Leibniz, o el mismísimo Euler.

Vamos a comentar uno de los cuadrados mágicos más famosos, el que aparece en el cuadro de Alberto Durero, Melancolia.

Este es uno de los tres grabados de Durero, que con El caballero, la Muerte y el Diablo, y San Jerónimo en su gabinete, constituyen las Estampas Maestras. Observemos  el cuadro de Durero de manera más meticulosa y el cuadrado mágico en la parte superior derecha. La magia del cuadro reside en el número 34

La suma de todas las columnas del cuadrado es 34

La suma de todas las columnas del cuadrado es 34

La suma de las cuatro esquinas es 34

Desplazamos los campos en sentido de las agujas del reloj y la suma sigue siendo 34

Si los desplazamos de nuevo, la suma también es 34

La suma de las casillas centrales también es 34

La suma de los extremos medios también es 34

La suma de las diagonales principales también da 34

Estos, también dan 34

Y para finalizar, las dos cifras centrales de la última fila, dan el año en que se realizó el cuadro (¿mera coincidencia?)

______

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).