Historias de Pi: calculando el área del círculo

En una entrada previa, reflexionamos sobre le relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, que, como aprendimos en la escuela, es  el número π . Una relación similar ocurre cuando queremos calcular el área de un círculo, que sabemos es el cuadrado del radio multiplicado por π. Pero esta relación de proporcionalidad , intuitiva sin duda, tampoco es tan evidente.

 

Estos teoremas de la geometría (pues eso son) que se enuncian tan fácilmente y que aprendemos de manera universal, tienen demostraciones muy sutiles. Ya vimos en la entrada aludida que la prueba del correspondiente a la longitud de una circunferencia descansa en una noción que los matemáticos tardaron siglos en formalizar adecuadamente, la de límite (o si se quiere, la de su prima hermana, la derivada).

 

Arquímedes según Domenico Fetti (1620)

Una primera prueba de que el área de un círculo de radio r es A = π  r2 se debe a Arquímedes. Si pensamos en una sucesión de polígonos regulares inscritos en el círculo, sabemos que el área de cada uno de ellos es la mitad del perímetro multiplicado por la distancia del centro a sus lados (la apotema). Si imaginamos ahora al límite (por ejemplo, cuando el número de lados tiende a infinito), entonces

A = ½ x 2 π r x r

Previo a Arquímedes, Hipócrates de Quíos (470 a.C.-410 a. C.) probó que el área de un círculo era proporcional al cuadrado del diámetro, cuando trataba de resolver el problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con el mismo área de un círculo dado solamente con regla y compás). Hipócrates lo quiso resolver con el llamado problema de la cuadratura de la lúnula (veáse la figura 1).

Figura 1

Arquímedes utilizó el llamado método exhaustivo, introducido por Eudoxo de Cnido (390 a. C.-37 a. C) introdujo el método exhaustivo, un antecedente del cálculo integral, para probar que el área de un círculo era proporcional al cuadrado del radio. En el razonamiento de Arquímedes, en el paso al límite, se usa de una manera no rigurosa pero acertada como las secantes (los lados de los polígonos) se aproximan a la longitudes de arco, y las apotemas al radio.

Es interesante recordar los argumentos de Arquímedes. Primero, compara el área del círculo con la de un triángulo rectángulo cuya base mida lo mismo que la longitud de la circunferencia y cuya altura sea el radio. Entonces razona: supongamos que no coincidan, o sea que será mayor o menor, y en cada caso, llega a una contradicción. ¿Qué tiene esto que ver con los polígonos inscritos? Sea A el área del círculo y a la del triángulo, y sea E el exceso en el caso de que A sea mayor que a = 1⁄2cr, donde c es la longitud de circunferencia y r el radio. Inscribimos un cuadrado en el círculo, y nos quedan cuatro segmentos iguales. Sea S4 el área de esos cuatro segmentos y supongamos que S4  es mayor que E. Si ese es el caso, divido cada segmento en dos y obtenemos un octógono. Hacemos lo mismo, contamos el área de esos ocho segementso, que será S8 . De nuevo, vemos si es mayor que E, y así hasta que lleguemos a un polígono de n lados tal que el correspondiente área Sn sea menor que E. Entonces el área del polígono será Pn = A – Gn, mayor que la del triángulo.

Y ahora llega la contradicción. Trazamos una apotema de longitud h. Si cada lado del polígono mide s, entonces el perímetro, ns, es menor que c. El área del polígono es ½ nsh. Como h es menor que r y ns menor que c, el área del polígono debe ser menor que la del triángulo, lo que es una contradicción.

El argumento en el otro caso funciona de manera parecida, y en consecuencia, debe darse la igualdad.

Hoy en día tenemos instrumentos mucho más precisos. La integración nos permite calcular el área de un círculo de varias formas, muy elegantes y sencillas.

Me gustaría terminar con una reflexión sobre el ingenio de los matemáticos de otras épocas, que sin contar con las técnicas del cálculo diferencial e integral fueron capaces de obtener logros que ahora nos parecen evidentes.

___________

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Compartir:

Entradas relacionadas

492 comentarios

  1. Здорова, народ Отец не выходит из штопора Соседи стучат в стену Таблетки не помогают Короче, единственное что вытащило из запоя — нарколог вывод из запоя в СПб Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, вся инфа по ссылке — вывод из запоя в стационаре санкт петербург https://narkolog.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  3. https://www.kalkulator-opon.pl
    To narzędzie pomaga użytkownikom obliczać i porównywać parametry opon w prosty sposób. Strona jest przydatna dla kierowców, warsztatów oraz osób zajmujących się motoryzacją. Dzięki łatwej obsłudze może wspierać szybkie decyzje zakupowe i techniczne.

  6. Слушайте кто сталкивался Отец не встаёт с кровати Соседи уже вызвали участкового Платная клиника просит бешеные деньги Короче, единственные кто взялся за безнадёжный случай — вывод из запоя в стационаре с интенсивной терапией Провели полную детоксикацию В общем, телефон и цены тут — наркологический вывод из запоя https://lechenie.vyvod-iz-zapoya-v-stacionare-samara.ru Стационар — это единственный выход Перешлите тем кто в беде

  7. Слушайте кто сталкивался Муж просто потерял себя Родственники не знают что делать В больницу тащить страшно Короче, врачи приехали и поставили систему — капельница на дому цена Екатеринбург ниже рынка Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, вся инфа по ссылке — капельница при алкогольной интоксикации цена https://pomosch-alkogolizm.kapelnicza-ot-zapoya-ekaterinburg-nmx.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  8. Этот текст представляет собой обзор свежих данных и исследований в области медицины. Он призван помочь читателям понять, как научные достижения влияют на лечение, диагностику и общее состояние системы здравоохранения.
    Это ещё не всё… – реабилитационный центр наркомания алкоголизм

  9. Нарколог на дом приезжает в экстренных и неотложных ситуациях и быстро оценивает состояние и сразу начинает необходимые процедуры. Врач может провести вывод из запоя, снятие абстинентного синдрома, медикаментозное вытрезвление, стабилизацию давления, инфузионную терапию, подбор лекарств, мотивационную беседу и первичный план восстановления. Помощь оказывается анонимно, без постановки на учет, без лишних опознавательных знаков и без передачи персональных данных третьим лицам.
    Выяснить больше – http://narkolog-na-dom-v-novorossijske3.ru/

  10. Здорова, народ! Ситуация реально критическая, Дети сильно напуганы происходящим, Нужна только срочная специализированная помощь на дому квалифицированного врача до тех пор, не протестировали дежурную бригаду, которая реально спасает в таких ситуациях и обеспечивает быстрый выезд специалистов со всем необходимым оборудованием. Полностью сняли мучительную ломку и стабилизировали общее состояние.

    Кому тоже экстренно необходим проверенный круглосуточный телефон наркологии, вся полезная инфа выложена вот здесь поставить капельницу от запоя на дому цена поставить капельницу от запоя на дому цена Не ждите, пока состояние станет еще хуже, обязательно перешлите этот пост тем, кто тоже сейчас находится в такой же критической ситуации!

  11. Алкоголь является сильным наркотиком, зависимость формируется и на физиологическом, и на психологическом уровне, поэтому такое состояние требует комплексной работы сразу нескольких специалистов. Нарколог, врач общей практики, психолог, психотерапевт, психиатр и реабилитационный персонал помогают разобраться, почему человек начал пить, почему не может выйти из запоя самостоятельно, какие проблемы семьи усиливают употребление спиртного и нужна ли госпитализация. Главный вопрос при обращении — не только как быстро прокапаться, а как провести полный путь от детоксикации до устойчивой трезвости.
    Получить больше информации – вывод из запоя капельница на дому

  12. Откладывать обращение за наркологической поддержкой нельзя – абстинентный синдром может прогрессировать непредсказуемо. Критическое состояние иногда развивается в течение нескольких часов, особенно если речь идёт о серьёзном отравлении этанолом или суррогатами. В таких случаях требуется не просто психологическая беседа, а интенсивное медикаментозное вмешательство с применением современных лекарств. Чем дольше токсины находятся в крови, тем выше нагрузка на сердце, печень и головной мозг. Чтобы исключить риск опасных осложнений, важно действовать без промедления и вызывать врача при первых же тревожных сигналах. Среди основных показаний к срочному вызову нарколога на дом можно выделить следующие ситуации.
    Изучить вопрос глубже – вызов нарколога на дом запой

  13. В Новороссийске наркологическая служба работает круглосуточно: вы можете вызвать специалиста на дом в любое время суток, ночью, в праздники и без выходных. Наркологическая служба работает по принципу круглосуточного дежурства, что позволяет оказать быструю помощь в экстренных случаях. При обращении по телефону оператор уточняет адрес, состояние больного, длительность приема алкоголя или наркотиков, наличие хронических заболеваний, противопоказания, жалобы, симптомы и необходимость срочного выезда.
    Узнать больше – вызов нарколога на дом

  15. Екатеринбург, всем привет Ситуация знакомая Поилки и таблетки не помогают Короче, единственное что реально спасает — капельница от алкоголя быстрый результат Поставили капельницу с солевым раствором В общем, телефон и цены тут — капельница от запоя в стационаре https://alkogolizm.kapelnicza-ot-pokhmelya-ekaterinburg.ru Не мучайтесь рассолами Перешлите тем кто в такой же ситуации

  16. Нарколог на дом — это профессиональная медицинская помощь в ситуации, когда человек не может самостоятельно приехать в клинику, находится в состоянии запоя, алкогольной интоксикации, наркотической ломки, сильного похмелья, тревоги, бессонницы или резкого ухудшения самочувствия. Выездной врач проводит осмотр пациента, оценивает состояние организма, подбирает препараты, ставит капельницу, выполняет необходимые процедуры и дает рекомендации по дальнейшему лечению. Такая наркологическая помощь помогает быстро стабилизировать больного, снизить риск осложнений и начать восстановление без лишней задержки.
    Получить больше информации – врач нарколог на дом новороссийск

  17. Специалисты регулярно помогают при интоксикации, запоях, абстиненции и сложных состояниях зависимости.
    Исследовать вопрос подробнее – vyvod-iz-zapoya-v-lyubercah14-1.ru/

  18. Питер, всем привет Ситуация критическая Дети напуганы Таблетки не помогают Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя на дому срочно Через пару часов человек пришёл в себя В общем, не потеряйте контакты — вывод из запоя срочно спб https://kodirovanie.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  19. Вывод из запоя в стационаре нужен тогда, когда человек уже не может самостоятельно остановиться, плохо переносит отмену спиртных напитков, не спит несколько суток, испытывает тремор, тревожность, скачки давления, боли в области сердца, нарушения со стороны ЖКТ и нервной системы. В таких случаях домашние меры часто оказываются неэффективной попыткой «перетерпеть», а резкий отказ от алкоголя без медицинского наблюдения может привести к осложнениям, белой горячке, психозам, судорогам, аритмии, инфаркту или инсульту.
    Получить дополнительную информацию – стационар вывод из запоя

  20. Нарколог на дом приезжает в экстренных и неотложных ситуациях и быстро оценивает состояние и сразу начинает необходимые процедуры. Врач может провести вывод из запоя, снятие абстинентного синдрома, медикаментозное вытрезвление, стабилизацию давления, инфузионную терапию, подбор лекарств, мотивационную беседу и первичный план восстановления. Помощь оказывается анонимно, без постановки на учет, без лишних опознавательных знаков и без передачи персональных данных третьим лицам.
    Детальнее – https://narkolog-na-dom-v-novorossijske2.ru/

  21. Публикация посвящена жизненным историям людей, успешно справившихся с зависимостью. Мы покажем, что выход есть, и он начинается с первого шага — принятия проблемы и желания измениться.
    Лови подробности – https://lux-clinic.ru/kodirovanie-esperal

  22. Люди подскажите Близкий человек уже две недели в запое Жена рыдает Скорая не приедет на такой вызов Короче, единственные кто взялся за безнадёжный случай — цена вывода из запоя в стационаре доступная Капельницы и уколы по схеме В общем, не потеряйте контакты — вывод из запоя клиника https://narkolog.vyvod-iz-zapoya-v-staczionare-nizhnij-novgorod-vby.ru Стационар — это единственный выход Перешлите тем кто в беде

  23. Вывод из запоя является медицинской процедурой, направленной на безопасное прерывание запойного состояния, снятие абстинентного синдрома, снижение интоксикации и восстановление работы внутренних органов. Первый этап всегда связан с оценкой состояния человека: врач учитывает длительность употребления алкоголя, количество спиртного, возраст, стаж алкогольной зависимости, наличие хронических заболеваний, жалобы, признаки похмелья, нарушения сна, тремор, тревогу, тошноту, рвоту, тахикардию, повышенное артериального давления и риски развития алкогольной горячки.
    Получить больше информации – вывод из запоя недорого геленджик

  25. Слушайте кто сталкивался Отец не выходит из штопора Жена в истерике Нужна срочная помощь на дому Короче, только это реально спасло — вывод из запоя на дому срочно Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, жмите чтобы сохранить — выведение из запоя на дому спб выведение из запоя на дому спб Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  26. Нарколог на дом — это удобный и безопасный способ получить профессиональную медицинскую помощь без поездки в клинику, если человек находится в состоянии запоя, алкогольной интоксикации, наркотической ломки, сильного похмелья, тревоги, бессонницы или резкого ухудшения самочувствия. Выездной врач проводит осмотр пациента, оценивает состояние организма, подбирает препараты, ставит капельницу, выполняет необходимые лечебные действия и дает рекомендации по дальнейшему лечению. Такая наркологическая помощь особенно важна, когда ситуация требует быстрого реагирования, а ехать самостоятельно в центр, диспансер или стационар невозможно.
    Исследовать вопрос подробнее – вызов нарколога на дом в новороссийске

  28. Нарколог на дом приезжает в экстренных и неотложных ситуациях и быстро оценивает состояние и сразу начинает необходимые процедуры. Врач может провести вывод из запоя, снятие абстинентного синдрома, медикаментозное вытрезвление, стабилизацию давления, инфузионную терапию, подбор лекарств, мотивационную беседу и первичный план восстановления. Помощь оказывается анонимно, без постановки на учет, без лишних опознавательных знаков и без передачи персональных данных третьим лицам.
    Узнать больше – запой нарколог на дом в новороссийске

  29. Эта медицинская заметка содержит сжатую информацию о новых находках и методах в области здравоохранения. Мы предлагаем читателям свежие данные о заболеваниях, профилактике и лечении. Наша цель — быстро и доступно донести важную информацию, которая поможет в повседневной жизни и понимании здоровья.
    Лови подробности – кодирование от алкоголя эспераль гель

  30. В Новороссийске вывод из запоя – это курс лечения, помогающий полностью снять симптомы похмелья и алкогольной ломки. Пациенту просто необходимо выведение алкогольных токсинов из организма, потому что именно их присутствие способствует появлению стойкого желания выпить. Поэтому детоксикация является первым этапом помощи, а полноценное лечение алкоголизма включает медикаментозную терапию, кодирование, психологическую поддержку, реабилитацию, работу с мотивацией, профилактику срыва и восстановление нормального образа жизни.
    Детальнее – наркологический вывод из запоя в новороссийске

  33. Вывод из запоя — это медицинская процедура, направленная на снятие алкогольной интоксикации, очищение организма от продуктов распада этанола, стабилизацию физического и психического состояния пациента. Когда употребление алкоголя продолжается несколько дней, недели или месяцев, организм испытывает серьезные нагрузки: страдают печень, почки, сердце, сосудистая и нервная системы, ухудшается сон, появляется тревожность, агрессия, рвота, головные боли, потеря сил, дезориентация и риск белой горячки. В таком случае нужна не просто домашняя помощь, а профессиональная наркологическая помощь под контролем врача.
    Получить больше информации – вывод из запоя новороссийск

  34. С пациентом работают профильные специалисты, которые оценивают состояние и подбирают безопасный план помощи.
    Углубиться в тему – вывод из запоя на дому

  35. Лечение в стационаре позволяет провести детоксикацию, снять абстинентный синдром, уменьшить тревожность, восстановить сон и подготовить человека к дальнейшей терапии алкогольной зависимости. В нашей клинике помощь организована круглосуточно: можно оставить заявку через форму сайта, получить онлайн-консультацию, вызвать специалиста, заказать транспортировку или уточнить цены по телефону. Поэтому в нашей частной клинике в Краснодаре лечение проходит строго анонимно.
    Разобраться лучше – наркология вывод из запоя в стационаре в геленджике

  36. Лечение в стационаре позволяет провести детоксикацию, снять абстинентный синдром, уменьшить тревожность, восстановить сон и подготовить человека к дальнейшей терапии алкогольной зависимости. В нашей клинике помощь организована круглосуточно: можно оставить заявку через форму сайта, получить онлайн-консультацию, вызвать специалиста, заказать транспортировку или уточнить цены по телефону. Поэтому в нашей частной клинике в Краснодаре лечение проходит строго анонимно.
    Получить больше информации – vyvod-iz-zapoya-v-statsionare-v-gelendzhike3.ru/

  37. Люди подскажите Муж просто потерял себя Соседи стучат в стену Таблетки не помогают Короче, врач приехал и поставил систему — нарколог домой с выездом Через пару часов человек пришёл в себя В общем, не потеряйте контакты — нарколог на дом круглосуточно нарколог на дом круглосуточно Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  38. Люди помогите советом Близкий человек уже 10 дней в запое Жена рыдает В диспансер тащить — последнее дело Короче, спасла только госпитализация — вывод из запоя стационар с круглосуточным наблюдением Провели полную детоксикацию В общем, жмите чтобы сохранить — вывод из запоя в стационаре нижний новгород вывод из запоя в стационаре нижний новгород Стационар — это единственный выход Перешлите тем кто в беде

  39. Снятие запоя – это не только прекращение приема спиртных напитков, но и целый комплекс мероприятий, включающий очищение и восстановление организма, а также нормализацию общего состояния больного. В современных условиях наркологическая клиника может предложить вывод из запоя на дому, лечение запоя в стационаре, капельницу, детоксикацию, медикаментозный курс, психологическую поддержку, кодирование, реабилитацию и дальнейшее сопровождение семьи. Такой подход позволяет не просто вывести человека из тяжелого состояния, а определить причины зависимости, подобрать индивидуально эффективное лечение алкоголизма и снизить вероятность повторного срыва.
    Получить дополнительную информацию – врач вывод из запоя

  41. Этанол и продукты его распада запускают целый каскад разрушительных реакций. В первую очередь страдают головной мозг, печень, сердце и почки. Из-за обезвоживания нарушается баланс солей, сгущается кровь, что создаёт риск тромбоза и инсульта. Развивается токсическое поражение печеночной ткани, а при отсутствии лечения может потребоваться экстренная госпитализация. Сильная головная боль, спутанность сознания и психоэмоциональное возбуждение — прямое следствие отека мозговых оболочек. Проведение анализа крови и мочи помогает оценить степень поражения и подобрать правильную схему лечения. В таких случаях только инфузионная капельница способна быстро восстановить обменные процессы в тканях, укрепить сосуды и стабилизировать общее состояние. Многие пациенты отмечают, что уже во время капельницы уходит чувство усталости и дрожи в конечностях.
    Выяснить больше – капельница от запоя на дому цена москва

  42. Запойное состояние характеризуется не только физической, но и тяжелой психической зависимостью, когда человек уже не способен самостоятельно отказаться от алкоголя. Регулярное поступление этанола провоцирует глубокое нарушение обменных процессов и критическое обезвоживание. В подобной ситуации срочный вызов нарколога становится единственно верным решением, позволяющим предотвратить развитие необратимых последствий. Инфузионное введение лекарственных растворов восстанавливает объем циркулирующей крови и нормализует деятельность мозга, сердца и выделительных органов. Если ваш близкий говорит, что ему плохо и он чувствует общую слабость, не ждите ухудшения — заказать обратный звонок и вызвать врача можно прямо сейчас, даже в период праздников. В нашей клинике также можно получить консультацию нарколога и записаться на кодирование от алкоголизма.
    Получить дополнительные сведения – вызов врача на дом капельница от запоя

  43. Нижний Новгород, всем привет Брат потерял человеческий облик Дети боятся заходить в комнату В диспансер тащить — последнее дело Короче, единственные кто взялся за безнадёжный случай — выведение из запоя в стационаре под контролем врачей Выписали через неделю здоровым В общем, вся инфа по ссылке — вывод из запоя клиника https://kapelnicza.vyvod-iz-zapoya-v-staczionare-nizhnij-novgorod-jkp.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в беде

  44. Вызвать врача-нарколога нужно при первых признаках тяжелой абстиненции, когда самостоятельно справиться уже невозможно. Если зависимый страдает от сильной тошноты, многократной рвоты, дрожи в конечностях, мучительной головной боли, резких скачков давления, одышки, боли в области сердца, панических атак или слуховых галлюцинаций, медлить нельзя. В таких случаях капельница становится не просто способом облегчить состояние, а жизненно необходимой мерой. Нарушение водно-электролитного баланса, общее обезвоживание и интоксикация внутренних органов могут привести к инсульту, инфаркту, острой печеночной или почечной недостаточности. Именно поэтому важно не ждать утра, а звонить сразу — помощь доступна круглосуточно, и бригада выезжает в любое время дня и ночи. Характер болей и расстройство самочувствия при запоях часто носят выраженный характер, поэтому поставить капельницу необходимо как можно быстрее.
    Получить дополнительную информацию – narkolog-kapelnica-na-domu-ot-zapoya

  45. Нарколог на дом — это удобный и безопасный способ получить профессиональную медицинскую помощь без поездки в клинику, если человек находится в состоянии запоя, алкогольной интоксикации, наркотической ломки, сильного похмелья, тревоги, бессонницы или резкого ухудшения самочувствия. Выездной врач проводит осмотр пациента, оценивает состояние организма, подбирает препараты, ставит капельницу, выполняет необходимые лечебные действия и дает рекомендации по дальнейшему лечению. Такая наркологическая помощь особенно важна, когда ситуация требует быстрого реагирования, а ехать самостоятельно в центр, диспансер или стационар невозможно.
    Исследовать вопрос подробнее – нарколог на дом вывод

  47. С пациентом работают профильные специалисты, которые оценивают состояние и подбирают безопасный план помощи.
    Получить дополнительную информацию – https://narkolog-na-dom-v-novorossijske2.ru/

Deja un comentario