Historias de Pi: calculando el área del círculo

En una entrada previa, reflexionamos sobre le relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, que, como aprendimos en la escuela, es  el número π . Una relación similar ocurre cuando queremos calcular el área de un círculo, que sabemos es el cuadrado del radio multiplicado por π. Pero esta relación de proporcionalidad , intuitiva sin duda, tampoco es tan evidente.

 

Estos teoremas de la geometría (pues eso son) que se enuncian tan fácilmente y que aprendemos de manera universal, tienen demostraciones muy sutiles. Ya vimos en la entrada aludida que la prueba del correspondiente a la longitud de una circunferencia descansa en una noción que los matemáticos tardaron siglos en formalizar adecuadamente, la de límite (o si se quiere, la de su prima hermana, la derivada).

 

Arquímedes según Domenico Fetti (1620)

Una primera prueba de que el área de un círculo de radio r es A = π  r2 se debe a Arquímedes. Si pensamos en una sucesión de polígonos regulares inscritos en el círculo, sabemos que el área de cada uno de ellos es la mitad del perímetro multiplicado por la distancia del centro a sus lados (la apotema). Si imaginamos ahora al límite (por ejemplo, cuando el número de lados tiende a infinito), entonces

A = ½ x 2 π r x r

Previo a Arquímedes, Hipócrates de Quíos (470 a.C.-410 a. C.) probó que el área de un círculo era proporcional al cuadrado del diámetro, cuando trataba de resolver el problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con el mismo área de un círculo dado solamente con regla y compás). Hipócrates lo quiso resolver con el llamado problema de la cuadratura de la lúnula (veáse la figura 1).

Figura 1

Arquímedes utilizó el llamado método exhaustivo, introducido por Eudoxo de Cnido (390 a. C.-37 a. C) introdujo el método exhaustivo, un antecedente del cálculo integral, para probar que el área de un círculo era proporcional al cuadrado del radio. En el razonamiento de Arquímedes, en el paso al límite, se usa de una manera no rigurosa pero acertada como las secantes (los lados de los polígonos) se aproximan a la longitudes de arco, y las apotemas al radio.

Es interesante recordar los argumentos de Arquímedes. Primero, compara el área del círculo con la de un triángulo rectángulo cuya base mida lo mismo que la longitud de la circunferencia y cuya altura sea el radio. Entonces razona: supongamos que no coincidan, o sea que será mayor o menor, y en cada caso, llega a una contradicción. ¿Qué tiene esto que ver con los polígonos inscritos? Sea A el área del círculo y a la del triángulo, y sea E el exceso en el caso de que A sea mayor que a = 1⁄2cr, donde c es la longitud de circunferencia y r el radio. Inscribimos un cuadrado en el círculo, y nos quedan cuatro segmentos iguales. Sea S4 el área de esos cuatro segmentos y supongamos que S4  es mayor que E. Si ese es el caso, divido cada segmento en dos y obtenemos un octógono. Hacemos lo mismo, contamos el área de esos ocho segementso, que será S8 . De nuevo, vemos si es mayor que E, y así hasta que lleguemos a un polígono de n lados tal que el correspondiente área Sn sea menor que E. Entonces el área del polígono será Pn = A – Gn, mayor que la del triángulo.

Y ahora llega la contradicción. Trazamos una apotema de longitud h. Si cada lado del polígono mide s, entonces el perímetro, ns, es menor que c. El área del polígono es ½ nsh. Como h es menor que r y ns menor que c, el área del polígono debe ser menor que la del triángulo, lo que es una contradicción.

El argumento en el otro caso funciona de manera parecida, y en consecuencia, debe darse la igualdad.

Hoy en día tenemos instrumentos mucho más precisos. La integración nos permite calcular el área de un círculo de varias formas, muy elegantes y sencillas.

Me gustaría terminar con una reflexión sobre el ingenio de los matemáticos de otras épocas, que sin contar con las técnicas del cálculo diferencial e integral fueron capaces de obtener logros que ahora nos parecen evidentes.

___________

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Compartir:

Entradas relacionadas

492 comentarios

  1. Слушайте кто хочет удивить Задолбался я уже искать нормальные подарки Везде одно и то же Короче, большой выбор и низкие цены — премиальные магазины спб с доставкой Цены ниже рынка В общем, там каталог и цены — самые дорогие подарки самые дорогие подарки Покупайте премиальные товары напрямую Перешлите тому кто ищет подарки

  3. Помощь оказывают врачи с практикой в наркологии, психиатрии и восстановительной терапии.
    Подробнее можно узнать тут – klinika-vyvod-iz-zapoya-moskva

  5. Вывод из запоя — это медицинская процедура, направленная на снятие алкогольной интоксикации, очищение организма от продуктов распада этанола, стабилизацию физического и психического состояния пациента. Когда употребление алкоголя длится несколько дней, недель или месяцев, организм испытывает серьезные нагрузки: страдают печень, почки, сердце, сосудистая и нервная системы, ухудшается сон, появляется тревожность, агрессия, рвота, головные боли, потеря сил, дезориентация и риск белой горячки. В таком случае нужна не просто домашняя помощь, а профессиональная наркологическая помощь под контролем врача.
    Подробнее можно узнать тут – наркология вывод из запоя

  7. Снятие запоя – это не только прекращение приема спиртных напитков, но и целый комплекс мероприятий, включающий очищение и восстановление организма, а также нормализацию общего состояния больного. В современных условиях наркологическая клиника может предложить вывод из запоя на дому, лечение запоя в стационаре, капельницу, детоксикацию, медикаментозный курс, психологическую поддержку, кодирование, реабилитацию и дальнейшее сопровождение семьи. Такой подход позволяет не просто вывести человека из тяжелого состояния, а определить причины зависимости, подобрать индивидуально эффективное лечение алкоголизма и снизить вероятность повторного срыва.
    Получить больше информации – нарколог вывод из запоя в анапе

  8. Этот текст представляет собой обзор свежих данных и исследований в области медицины. Он призван помочь читателям понять, как научные достижения влияют на лечение, диагностику и общее состояние системы здравоохранения.
    Интересует подробная информация – как часто кодироваться от

  9. Наркологическая помощь в Люберцах может проводиться на дому, амбулаторно или в стационаре клиники. Формат подбирает врач после осмотра пациента, оценки длительности запоя, количества алкоголя, возраста, наличия хронических заболеваний, психического состояния и возможных осложнений. Главный принцип медицинской работы — не просто вывести человека из состояния опьянения или похмельного синдрома, а стабилизировать организм, снизить риск срыва и начать лечение алкогольной зависимости.
    Углубиться в тему – vyvod iz zapoya kapelnica

  10. Вывод из запоя в стационаре в Москве требуется в случаях, когда человек пьет несколько дней, не может самостоятельно остановиться, плохо спит, отказывается от еды, испытывает тремор, тревогу, боли, скачки давления или признаки острой интоксикации. В такой ситуации домашнего ухода часто недостаточно: нужна медицинская помощь, контроль состояния, грамотная детоксикация организма и возможность быстро получить обследование. Стационарное лечение помогает безопасно выйти из запойного состояния, снизить нагрузку на сердце, печень, нервную и сосудистую системы, а также начать полноценное восстановление.
    Исследовать вопрос подробнее – https://vyvod-iz-zapoya-v-stacionare-v-moskve14-2.ru/

  13. Многие люди, столкнувшись с проблемой алкогольной зависимости у родственника, пытаются справиться с похмельным синдромом при помощи аптечных сорбентов или народных методов. Однако при выраженной абстиненции такой подход неэффективен и опасен. Обезвоживание, нарушение электролитного баланса, сильные головные боли, головокружение и критическая нехватка витамина B1 требуют немедленного парентерального вмешательства. Только капельница от запоя способна за короткий срок восполнить дефицит жидкости, нормализовать сердечную деятельность и снять психоэмоциональное возбуждение, успокаивая нервную систему. Врачи центра работают круглосуточно, чтобы начать лечение максимально быстро. Оптимальный вариант купирования запоя — инфузионное вливание, которое проведет опытный нарколог, учитывая все особенности организма пациента.
    Подробнее тут – kapelnica-ot-zapoya-narkolog

  15. Обращение в клинику необходимо, если самочувствие ухудшается, период запоя длится несколько дней, появляется слабость, тревога, бессонница, тошнота или признаки алкогольной абстиненции. Врач оценивает самочувствие, уточняет стаж употребления, возраст, хронические болезни и прошлый опыт лечения. Если человек пьет долго и самостоятельно выйти из запоя не может, вызов нарколога на дому помогает быстро начать лечение.
    Разобраться лучше – вывод из запоя на дому цена геленджик

  16. В этой статье мы обсудим процесс восстановления после зависимостей, акцентируя внимание на различных методах и подходах к реабилитации. Читатели узнают, как создать план выздоровления и использовать полезные ресурсы для достижения устойчивых изменений.
    Это ещё не всё… – дни после отказа от курения

  17. Многие люди, столкнувшись с проблемой алкогольной зависимости у родственника, пытаются справиться с похмельным синдромом при помощи аптечных сорбентов или народных методов. Однако при выраженной абстиненции такой подход неэффективен и опасен. Обезвоживание, нарушение электролитного баланса, сильные головные боли, головокружение и критическая нехватка витамина B1 требуют немедленного парентерального вмешательства. Только капельница от запоя способна за короткий срок восполнить дефицит жидкости, нормализовать сердечную деятельность и снять психоэмоциональное возбуждение, успокаивая нервную систему. Врачи центра работают круглосуточно, чтобы начать лечение максимально быстро. Оптимальный вариант купирования запоя — инфузионное вливание, которое проведет опытный нарколог, учитывая все особенности организма пациента.
    Детальнее – поставить капельницу от запоя на дому

  18. Вывод из запоя — это медицинская процедура, направленная на снятие алкогольной интоксикации, очищение организма от продуктов распада этанола, стабилизацию физического и психического состояния пациента. Когда употребление алкоголя продолжается несколько дней, недели или месяцев, организм испытывает серьезные нагрузки: страдают печень, почки, сердце, сосудистая и нервная системы, ухудшается сон, появляется тревожность, агрессия, рвота, головные боли, потеря сил, дезориентация и риск белой горячки. В таком случае нужна не просто домашняя помощь, а профессиональная наркологическая помощь под контролем врача.
    Исследовать вопрос подробнее – вывод из запоя капельница новороссийск

  19. Наркологическая помощь особенно важна, когда запой повторяется не первый раз, употребление спиртного носит систематический характер, а человек уже пытался бросить пить, но снова срывался. В таких случаях капельница и детоксикация облегчают ломку, но не вылечивают алкогольную зависимость полностью. Поэтому профессиональный центр предлагает не только срочный вывод из запоя, но и лечение алкоголизма, кодирование, психотерапию, реабилитационный курс, мотивационную беседу, поддержку родственников и восстановительную терапию после интоксикации.
    Ознакомиться с деталями – вывод из запоя вызов на дом

  20. Помогаем быстро перейти от консультации к конкретному плану: выезд, стационар или наблюдение.
    Подробнее – vyvod iz zapoya nedorogo

  21. Вывод из запоя в Люберцах требуется, когда зависимый употребляет алкоголь несколько дней, не может остановиться, плохо спит, чувствует тремор, слабость, тревогу, тошноту, скачки давления, потерю аппетита и признаки отравления продуктами распада этанола. В такой момент семье стоит не откладывать обращение, а заказать консультацию и вызвать врача. Наркологическая клиника подбирает лечение с учетом возраста, пола, анамнеза, длительности запойного эпизода, самочувствия пациента, сопутствующих заболеваний, стадии алкогольной зависимости и желания самого больного принять помощь.
    Подробнее – https://vyvod-iz-zapoya-v-lyubercah14-3.ru/

  22. Люди помогите советом Муж просто потерял себя Соседи стучат в стену Таблетки не помогают Короче, единственный кто реально помог — нарколог на дом воронеж цены доступные Приехал через 40 минут В общем, жмите чтобы сохранить — вызов нарколога вызов нарколога Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  23. Здорова, народ Отец не выходит из штопора Жена в истерике Таблетки не помогают Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя на дому цена доступная Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, не потеряйте контакты — вывод из запоя на дому вывод из запоя на дому Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  24. Лечение начинается с оценки клинической картины. Врач-нарколог проводит осмотр, при необходимости назначает обследование, ЭКГ, анализы, тест на употребление веществ, проверяет основные показатели, уточняет данные о принимаемых лекарствах, хронических диагнозах, аллергии, опыте кодирования и прошлых попытках остановиться. На этой основе назначается детоксикация: витаминно-минеральный раствор, средства для восстановления водно-солевого баланса, успокоительные препараты, нейропротекторы, кардиопротекторы, гепатопротекторы и другие медикаменты, которые улучшают самочувствие, поддерживают функции головного мозга, печени, сердца и нервной системы.
    Изучить вопрос глубже – vyvod iz zapoya na domu

  25. Общаемся без осуждения и давления, сохраняя спокойную атмосферу для пациента и семьи.
    Получить дополнительные сведения – врач нарколог на дом

  26. Схема помощи зависит от состояния, стажа употребления, противопоказаний и дальнейших целей лечения.
    Получить дополнительную информацию – vyvod-iz-zapoya-v-stacionare

  30. Мы работаем круглосуточно, анонимно и ежедневно, включая выходных и праздничные дни. В любое время врач-нарколог приедет на дом для постановки капельниц, с помощью которых проводится очищение организма и снятие алкогольной интоксикации. Выездная бригада приезжает оперативно, а при серьезным состоянии может быть организована транспортировка в стационар, где есть постоянный контроль, лечебной режим, необходимые протоколы и условия для полноценной стабилизации.
    Углубиться в тему – вывод из запоя дзержинский

  31. Помощь можно получить анонимно, с аккуратным оформлением и внимательным отношением к личным данным.
    Узнать больше – vyvod-iz-zapoya-v-stacionare

  32. Помогаем быстро перейти от консультации к конкретному плану: выезд, стационар или наблюдение.
    Узнать больше – vyvod iz zapoya klinika

  33. Воронеж, всем привет Муж просто потерял себя Жена в истерике Нужен врач прямо сейчас Короче, только это реально спасло — вызов нарколога на дом анонимно Приехал через 40 минут В общем, телефон и цены тут — выезд нарколога на дом выезд нарколога на дом Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  34. Здорова, народ Брат снова сорвался Родственники не знают что делать В больницу тащить страшно Короче, единственное что вытащило из запоя — вывести из запоя на дому анонимно Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, телефон и цены тут — выведение запоя на дому цена https://kapelnicza.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  35. Алкогольная зависимость и ее острые последствия требуют немедленного врачебного вмешательства. Наша наркологическая служба в Люберцах предлагает оперативный вызов нарколога в любое время и день недели, врач выезжает по указанному адресу сразу после оформления заявки. Мы понимаем, что в критической ситуации счет идет на минуты, поэтому выезд специалиста организован так, чтобы вы или ваш близкий человек получили квалифицированную поддержку максимально быстро. Когда врач приезжает на вызов, то в первую очередь проводит обследование состояния пациента, чтобы понять, какая медицинская помощь нужна и требуется ли госпитализация в стационар. Такой подход позволяет избежать опасных осложнений хронического алкоголизма, включая нарушения работы сердца, печени и нервной системы, еще на догоспитальном этапе.
    Подробнее можно узнать тут – вызов нарколога на дом круглосуточно

  36. В любое время врач-нарколог приедет на дом для постановки капельниц, с помощью которых проводится очищение организма и снятие алкогольной интоксикации. Формат на дому удобен, если больному сложно ехать в центр, он ослаблен, страдает от бессонницы или хочет получить помощь в домашних условиях рядом с родственниками. При признаках инсульта, судорог, припадков, суицидальных высказываний, тяжелой рвоты, психоза или угрозы смерти требуется не домашний детокс, а стационар клиники с круглосуточным врачебным контролем.
    Получить больше информации – vyvod iz zapoya kapelnica

  37. Помогаем быстро перейти от консультации к конкретному плану: выезд, стационар или наблюдение.
    Получить дополнительные сведения – vyvod iz zapoya klinika

  38. Вывод из запоя требуется, когда человек долго употребляет алкоголь, не может остановиться самостоятельно, страдает от бессонницы, тревоги, тремора, тошноты, боли, скачков давления, похмельного синдрома и общего истощения организма. В такой ситуации важно не искать домашний способ по случайным статьям, а вызвать врача и начать лечение под наблюдением. Наркологическая помощь направлена на прерывание запойного состояния, очищение крови от токсинов, купирование абстиненции, восстановление водно-солевого баланса и защиту внутренних органов.
    Разобраться лучше – вывод из запоя на дому королев

  39. Врач-нарколог проводит осмотр, собирает анамнез, оценивает клиническую картину, уточняет данные о лекарствах, прошлых кодированиях, хронических диагнозах, нарушениях сна и психики. При необходимости назначаются ЭКГ, анализы, тест на вещества, консультация психиатра или психотерапевта. В лечении используются солевой раствор, витамины, седативные препараты, гепатопротекторы, кардиопротекторы и средства, которые нормализуют обменные процессы, восстанавливают водно-солевой баланс и улучшают работу внутренних органов.
    Получить дополнительные сведения – vyvod-iz-zapoya-korolev

  40. Врач-нарколог проводит осмотр, собирает анамнез, оценивает клиническую картину, уточняет данные о лекарствах, прошлых кодированиях, хронических диагнозах, нарушениях сна и психики. При необходимости назначаются ЭКГ, анализы, тест на вещества, консультация психиатра или психотерапевта. В лечении используются солевой раствор, витамины, седативные препараты, гепатопротекторы, кардиопротекторы и средства, которые нормализуют обменные процессы, восстанавливают водно-солевой баланс и улучшают работу внутренних органов.
    Узнать больше – vyvod-iz-zapoya

  41. Предприниматели отзовитесь Сроки срывают постоянно То доставку месяц ждут Короче, нашел нормальных ребят — корпоративные подарки сувениры с гравировкой Упаковка премиум класса В общем, сохраняйте себе — деловые сувениры деловые сувениры Проверяйте производителя по этому списку Перешлите тому у кого бизнес

  42. Помощь оказывают врачи с практикой в наркологии, психиатрии и восстановительной терапии.
    Ознакомиться с деталями – vyzov-vracha-narkologa-na-dom

  43. Врач учитывает симптомы, риски, анамнез и семейную ситуацию, чтобы предложить подходящую программу.
    Детальнее – vyzov-narkologa-na-dom

  44. Слушайте кто знает Близкий человек уже несколько дней в запое Жена в истерике Нужен врач прямо сейчас Короче, врач приехал и поставил систему — наркологическая помощь на дому круглосуточно качественно Приехал через 40 минут В общем, телефон и цены тут — выезд нарколога на дом воронеж https://kapelnicza.narkolog-na-dom-voronezh-12.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  45. Слушайте кто хочет гражданство Израиля А бюрократия эта просто выносит мозг Сроки горят, нервы на пределе Короче, реально толковые ребята — бюро репатриации москва с гарантией Собеседование прошло гладко В общем, сохраняйте себе — помощь в получении гражданства израиля в москве помощь в получении гражданства израиля в москве Не мучайтесь с бюрократией сами Перешлите тому кто думает о репатриации

  46. Ребята у кого компания Обещают одно а по факту другое То доставку месяц ждут Короче, нашел нормальных ребят — корпоративные подарки с логотипом на заказ Цены ниже чем у других на 30% В общем, сохраняйте себе — корпоративный мерч сотрудники заказ https://korporativnye-podarki-merch-zxy.ru Проверяйте производителя по этому списку Перешлите тому у кого бизнес

  47. Предприниматели отзовитесь Качество пластилин То краска облезает Короче, реальное производство в Москве — корпоративные подарки и сувениры оптом Цены ниже чем у других на 30% В общем, сохраняйте себе — мерч с логотипом https://korporativnye-podarki-merch-aqr.ru Не ведитесь на дешёвые предложения Перешлите тому у кого бизнес

  48. Люди помогите советом Отец не выходит из штопора Жена в истерике Нужен врач прямо сейчас Короче, единственный кто реально помог — наркологическая помощь на дому круглосуточно качественно Дал рекомендации и успокоил семью В общем, жмите чтобы сохранить — наркологическая помощь на дому круглосуточно наркологическая помощь на дому круглосуточно Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  49. Заявку можно оставить в любое время, специалист быстро сориентирует по дальнейшим действиям.
    Изучить вопрос глубже – vyvod-iz-zapoya-kapelnica-na-domu

Deja un comentario