Historias de pi: las agujas del conde de Buffon
El problema de la aguja de Buffon es una cuestión planteada por primera vez en el siglo XVIII por Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon, y relaciona de una manera sorprendente la teoría de probabilidades con el número π.
En su obra Essai d’Arithmetique Morale, publicada en 1777, Buffon propone este problema:
Supongo que en una habitación en la que el suelo está simplemente dividido por juntas paralelas uno lanza un palo al aire, y que uno de los jugadores apuesta a que el palo no cruzará paralelas en el suelo, y que el otro, por el contrario, apuesta a que el palo cruzará alguna de estas paralelas; se pregunta por las probabilidades de estos dos jugadores. Se puede jugar a este juego en un tablero de damas con una aguja de coser o un alfiler sin cabeza.
Este problema fue el primero en lo que se llama probabilidad geométrica, y la solución, que ahora mostraremos, es que la probabilidad de que la aguja cruce una de las líneas paralelas viene dada por la fórmula
p = (2/π) (l/L)
donde l es la longitud de la aguja y L la anchura que separa las paralelas (se supone que l < L). Aquí la probabilidad se entiende que si arrojamos N veces la aguja y en P de ellas la aguja cruza una paralela, entonces p es el límite de esos cocientes.
Hay muchas pruebas matemáticas de este resultado, y aquí recordamos una bastante intuitiva. Sea X un punto de la aguja, por ejemplo uno de sus extremos (el más cercano a una de las rectas paralelas), y denotemos por d la distancia de ese extremo a la paralela más próxima. La otra variable es el ángulo θ que forma la aguja con la paralela. Las dos variables que necesitamos para describir la aguja son precisamente estas dos, (d, θ), donde 0 ≤ d ≤ L y 0 ≤ θ ≤ π. Un simple cálculo trigonométrico nos indica que habrá cruce si
d < (L/2) sen θ
Para calcular lo que tenemos que hacer es dividir los casos favorables por los totales. Es decir, el área bajo la curva de la función (L/2) sen θ entre 0 y π, dividida por el área del rectángulo de lados L y π. Ese cociente nos da precisamente la probabilidad buscada.
Georges-Louis Leclerc nació el 7 de septiembre de 1707 en Montbard, Francia, y falleció el16 de abril de 1788 en París. Fue un naturalista, con amplios conocimientos matemáticos y astrónomicos. Su influencia fue enorme, autor de una enciclopédica Historia Natural (L’Histoire Naturelle, générale et particulière, avec la description du Cabinet du Roi) en 36 volúmenes en vida y 8 más tras su fallecimiento. Buffon ocupó el cargo de director del Jardín Real (hoy conocido como Jardin des Plantes).
Fue nombrado Conde de Buffon en 1773. Como muestra de su relevancia en Francia, decir que en1776, Luis XVI encargó una estatua suya al escultor Augustin Pajou, estatua erigida a la entrada del Museo de Historia Natural con la inscripción: Majestati Naturæ par ingenium («un genio a la altura de la majestad de la Naturaleza»). Su muerte a los 80 años fue causada por sus problemas de cálculos renales.
Una de las aplicaciones del problema de la aguja de Buffon es el cálculo de las expresiones decimales de π, lo que resulta en una extraordinaria relación entre paralelas y el círculo. Para ello se usa el método de Montecarlo y de esto hablaremos en otra entrada.
___________
Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).
Самара, всем привет Муж просто умирает на глазах Жена рыдает В диспансер тащить — последнее дело Короче, спасла только госпитализация — вывод из запоя стационарно с психологом Врачи и медсёстры 24/7 В общем, жмите чтобы сохранить — вывести из запоя в стационаре https://lechenie.vyvod-iz-zapoya-v-stacionare-samara.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в беде
Здорова, народ Ситуация критическая Дети боятся заходить в комнату В диспансер тащить — последнее дело Короче, единственные кто взялся за безнадёжный случай — вывод из запоя в стационаре с интенсивной терапией Провели полную детоксикацию В общем, жмите чтобы сохранить — цена вывода из запоя в стационаре цена вывода из запоя в стационаре Не ждите пока станет хуже Это может спасти жизнь
Люди помогите советом Отец не выходит из штопора Соседи стучат в стену Нужна срочная помощь на дому Короче, только капельница реально спасла — капельницы от похмелья с препаратами Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, жмите чтобы сохранить — сделать капельницу от похмелья сделать капельницу от похмелья Капельница от запоя — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Нижний Новгород, всем привет Брат потерял человеческий облик Дети боятся заходить в комнату Платная клиника просит бешеные деньги Короче, врачи стационара реально вытащили — вывод из запоя в наркологическом стационаре с палатой Выписали через неделю здоровым В общем, телефон и цены тут — вывод запоя телефон вывод запоя телефон Стационар — это единственный выход Это может спасти жизнь
Люди подскажите Ситуация критическая Жена рыдает Скорая не приедет на такой вызов Короче, врачи стационара реально вытащили — наркология вывод из запоя в стационаре с психологом Провели полную детоксикацию В общем, вся инфа по ссылке — вывод из запоя клиника https://narkolog.vyvod-iz-zapoya-v-staczionare-nizhnij-novgorod-vby.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в беде
Здорова, народ Кошмар в семье Дети боятся заходить в комнату В диспансер тащить — последнее дело Короче, единственные кто взялся за безнадёжный случай — вывод из запоя стационар с круглосуточным наблюдением Положили в палату В общем, не потеряйте контакты — вывод из запоя стационар вывод из запоя стационар Звоните прямо сейчас Это может спасти жизнь
Екатеринбург, всем привет После вчерашнего вообще никак Организм просто отказывается работать Короче, врачи приехали и поставили систему — капельница от алкоголя быстрый результат Вернулся к жизни В общем, не потеряйте контакты — капельница от похмелья капельница от похмелья Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди, помогите дельным советом. Отец никак не может самостоятельно выйти из штопора, Родственники в панике и вообще не знают, что делать. Никакие народные методы и таблетки из аптеки вообще не помогают до тех пор, не нашли проверенную медицинскую службу, и обеспечивает быстрый выезд специалистов со всем необходимым оборудованием. Сразу профессионально поставили капельницу с детоксикационным раствором,
Кому тоже экстренно необходим проверенный круглосуточный телефон наркологии, жмите на источник, чтобы случайно не потерять контакты вывод из запоя капельница https://nedorogoy.kapelnicza-ot-zapoya-ekaterinburg-nmx.ru Не ждите, пока состояние станет еще хуже, обязательно перешлите этот пост тем, кто тоже сейчас находится в такой же критической ситуации!
Люди подскажите Муж просто умирает на глазах Дети боятся заходить в комнату Платная клиника просит бешеные деньги Короче, врачи стационара реально вытащили — капельница от запоя в стационаре круглосуточно Положили в палату В общем, телефон и цены тут — вывод запоя телефон https://alkogolizm.vyvod-iz-zapoya-v-staczionare-nizhnij-novgorod-knd.ru Стационар — это единственный выход Перешлите тем кто в беде
Люди помогите советом Кошмар в семье Соседи уже вызвали участкового Платная клиника просит бешеные деньги Короче, спасла только госпитализация — выведение из запоя в стационаре под контролем врачей Капельницы и уколы по схеме В общем, не потеряйте контакты — вывод из запоя в стационаре в нижнем новгороде вывод из запоя в стационаре в нижнем новгороде Звоните прямо сейчас Это может спасти жизнь
Нижний Новгород, всем привет Брат потерял человеческий облик Жена рыдает Платная клиника просит бешеные деньги Короче, врачи стационара реально вытащили — капельница от запоя в стационаре круглосуточно Провели полную детоксикацию В общем, телефон и цены тут — запой вывод клиника https://narkolog.vyvod-iz-zapoya-v-staczionare-nizhnij-novgorod-vby.ru Стационар — это единственный выход Перешлите тем кто в беде
Люди помогите советом Отец не встаёт с кровати Дети боятся заходить в комнату Платная клиника просит бешеные деньги Короче, единственные кто взялся за безнадёжный случай — быстрый вывод из запоя в стационаре за 3 дня Положили в палату В общем, телефон и цены тут — вывод из запоя стационар вывод из запоя стационар Не ждите пока станет хуже Это может спасти жизнь
Самара, всем привет Брат потерял человеческий облик Дети боятся заходить в комнату Скорая не приедет на такой вызов Короче, спасла только госпитализация — вывод из запоя самара стационар с палатой Провели полную детоксикацию В общем, жмите чтобы сохранить — лечение запоя в стационаре лечение запоя в стационаре Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в беде
Здорова, народ Ситуация критическая Дети боятся заходить в комнату В диспансер тащить — последнее дело Короче, врачи стационара реально вытащили — наркология вывод из запоя в стационаре с психологом Врачи и медсёстры 24/7 В общем, жмите чтобы сохранить — наркология вывод из запоя в стационаре наркология вывод из запоя в стационаре Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в беде
Здорова, народ Муж просто умирает на глазах Родственники в полном отчаянии В диспансер тащить — последнее дело Короче, врачи стационара реально вытащили — вывод из запоя стационар с круглосуточным наблюдением Провели полную детоксикацию В общем, жмите чтобы сохранить — запой стационар анонимно https://lechenie.vyvod-iz-zapoya-v-staczionare-nizhnij-novgorod-elm.ru Не ждите пока станет хуже Это может спасти жизнь
Здорова, народ Ситуация знакомая Организм просто отказывается работать Короче, врачи приехали и поставили систему — капельница на дому цена Екатеринбург ниже рынка Приехали через 30 минут В общем, жмите чтобы сохранить — прокапаться от запоя цена https://alkogolizm.kapelnicza-ot-pokhmelya-ekaterinburg.ru Не мучайтесь рассолами Перешлите тем кто в такой же ситуации
Здорова, народ Отец не встаёт с кровати Дети боятся заходить в комнату В диспансер тащить — последнее дело Короче, спасла только госпитализация — вывод из запоя в стационаре с интенсивной терапией Провели полную детоксикацию В общем, телефон и цены тут — капельница от запоя в стационаре капельница от запоя в стационаре Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в беде
Слушайте кто сталкивался Близкий человек уже 10 дней в запое Дети боятся заходить в комнату В диспансер тащить — последнее дело Короче, единственные кто взялся за безнадёжный случай — быстрый вывод из запоя в стационаре за 3 дня Капельницы и уколы по схеме В общем, телефон и цены тут — запой стационар анонимно https://kapelnicza.vyvod-iz-zapoya-v-staczionare-nizhnij-novgorod-jkp.ru Не ждите пока станет хуже Это может спасти жизнь
Люди подскажите Муж просто умирает на глазах Дети боятся заходить в комнату Скорая не приедет на такой вызов Короче, врачи стационара реально вытащили — вывод из запоя в наркологическом стационаре с палатой Положили в палату В общем, не потеряйте контакты — вывод из запоя в стационаре вывод из запоя в стационаре Звоните прямо сейчас Это может спасти жизнь
Люди помогите советом Кошмар в семье Родственники в полном отчаянии Платная клиника просит бешеные деньги Короче, единственные кто взялся за безнадёжный случай — цена вывода из запоя в стационаре доступная Провели полную детоксикацию В общем, телефон и цены тут — вывод из запоя в стационаре вывод из запоя в стационаре Стационар — это единственный выход Это может спасти жизнь
Нижний Новгород, всем привет Брат потерял человеческий облик Соседи уже вызвали участкового Скорая не приедет на такой вызов Короче, спасла только госпитализация — выведение из запоя в стационаре под контролем врачей Провели полную детоксикацию В общем, не потеряйте контакты — цена на вывод из запоя в стационаре https://klinika.vyvod-iz-zapoya-v-staczionare-nizhnij-novgorod-srv.ru Стационар — это единственный выход Перешлите тем кто в беде
Нижний Новгород, всем привет Отец не встаёт с кровати Дети боятся заходить в комнату Скорая не приедет на такой вызов Короче, единственные кто взялся за безнадёжный случай — капельница от запоя в стационаре круглосуточно Выписали через неделю здоровым В общем, вся инфа по ссылке — выведение из запоя в стационаре выведение из запоя в стационаре Звоните прямо сейчас Это может спасти жизнь
Нижний Новгород, всем привет Брат потерял человеческий облик Родственники в полном отчаянии Платная клиника просит бешеные деньги Короче, спасла только госпитализация — выведение из запоя в стационаре под контролем врачей Капельницы и уколы по схеме В общем, жмите чтобы сохранить — быстрый вывод из запоя в стационаре быстрый вывод из запоя в стационаре Не ждите пока станет хуже Это может спасти жизнь
Здорова, народ Кошмар в семье Жена рыдает Скорая не приедет на такой вызов Короче, спасла только госпитализация — быстрый вывод из запоя в стационаре за 3 дня Выписали через неделю здоровым В общем, вся инфа по ссылке — вывести из запоя в стационаре анонимно https://kapelnicza.vyvod-iz-zapoya-v-staczionare-nizhnij-novgorod-jkp.ru Звоните прямо сейчас Это может спасти жизнь
Питер, всем привет Ситуация критическая Родственники не знают что делать В больницу тащить страшно Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя санкт Петербург недорого Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, телефон и цены тут — капельница от запоя цена https://alkogolizm.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди подскажите Муж просто умирает на глазах Соседи уже вызвали участкового В диспансер тащить — последнее дело Короче, врачи стационара реально вытащили — выведение из запоя в стационаре под контролем врачей Выписали через неделю здоровым В общем, вся инфа по ссылке — цена на вывод из запоя в стационаре https://klinika.vyvod-iz-zapoya-v-staczionare-nizhnij-novgorod-srv.ru Звоните прямо сейчас Это может спасти жизнь
Слушайте кто сталкивался Брат потерял человеческий облик Дети боятся заходить в комнату В диспансер тащить — последнее дело Короче, единственные кто взялся за безнадёжный случай — вывести из запоя в стационаре анонимно и безопасно Выписали через неделю здоровым В общем, жмите чтобы сохранить — запой вывод клиника https://kodirovanie.vyvod-iz-zapoya-v-staczionare-nizhnij-novgorod-xft.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в беде
Слушайте кто знает Отец не выходит из штопора Жена в истерике Таблетки не помогают Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя на дому срочно Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, телефон и цены тут — основа – вывод из запоя| нарколог на дом | кодирование санкт-петербург https://alkogolizm.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Здорова, народ Отец не выходит из штопора Жена в истерике Нужна срочная помощь на дому Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя на дому спб анонимно Приехали через 40 минут В общем, жмите чтобы сохранить — выведение из запоя на дому в спб https://kapelnicza.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Слушайте кто сталкивался Муж просто умирает на глазах Родственники в полном отчаянии В диспансер тащить — последнее дело Короче, спасла только госпитализация — вывод из запоя стационар с круглосуточным наблюдением Выписали через неделю здоровым В общем, жмите чтобы сохранить — вывод из запоя стационар вывод из запоя стационар Не ждите пока станет хуже Это может спасти жизнь
Нижний Новгород, всем привет Брат потерял человеческий облик Жена рыдает Платная клиника просит бешеные деньги Короче, единственные кто взялся за безнадёжный случай — капельница от запоя в стационаре круглосуточно Провели полную детоксикацию В общем, телефон и цены тут — вывод из запоя в наркологическом стационаре https://klinika.vyvod-iz-zapoya-v-staczionare-nizhnij-novgorod-srv.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в беде
Питер, всем привет Отец не выходит из штопора Родственники не знают что делать Таблетки не помогают Короче, врачи приехали и поставили систему — вывод из запоя на дому срочно Через пару часов человек пришёл в себя В общем, жмите чтобы сохранить — вывести из запоя на дому спб https://alkogolizm.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Слушайте кто сталкивался Близкий человек уже несколько дней в запое Родственники не знают что делать В больницу тащить страшно Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя спб цены доступные Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, жмите чтобы сохранить — вывод из запоя спб вывод из запоя спб Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди помогите советом Кошмар в семье Дети боятся заходить в комнату В диспансер тащить — последнее дело Короче, спасла только госпитализация — вывод из запоя в наркологическом стационаре с палатой Провели полную детоксикацию В общем, вся инфа по ссылке — вывод из запоя в стационаре нижний новгород вывод из запоя в стационаре нижний новгород Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в беде
Слушайте кто знает Брат потерял человеческий облик Родственники в полном отчаянии Скорая не приедет на такой вызов Короче, врачи стационара реально вытащили — вывод из запоя стационар с круглосуточным наблюдением Положили в палату В общем, вся инфа по ссылке — наркология вывод из запоя в стационаре наркология вывод из запоя в стационаре Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в беде
Здорова, народ Муж просто потерял себя Родственники не знают что делать В больницу тащить страшно Короче, только это реально спасло — вывод из запоя на дому спб анонимно Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, не потеряйте контакты — врач вывод из запоя спб https://alkogolizm.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Здорова, народ Отец не выходит из штопора Родственники не знают что делать Таблетки не помогают Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя на дому срочно Приехали через 40 минут В общем, телефон и цены тут — вывод из запоя срочно спб https://kapelnicza.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Слушайте кто сталкивался Брат снова сорвался Родственники не знают что делать Таблетки не помогают Короче, только это реально спасло — вывод из запоя в спб с капельницей Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, жмите чтобы сохранить — вывод из запоя спб цены вывод из запоя спб цены Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди подскажите Близкий человек уже несколько дней в запое Соседи стучат в стену Таблетки не помогают Короче, только это реально спасло — выведение из запоя на дому быстро Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, вся инфа по ссылке — капельница от алкоголя на дому спб капельница от алкоголя на дому спб Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Здорова, народ Брат снова сорвался Родственники не знают что делать Таблетки не помогают Короче, единственное что вытащило из запоя — запой спб лечение на дому Приехали через 40 минут В общем, не потеряйте контакты — врач вывод из запоя спб https://narkolog.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Питер, всем привет Брат снова сорвался Родственники не знают что делать В больницу тащить страшно Короче, только это реально спасло — вывод из запоя в спб с капельницей Приехали через 40 минут В общем, жмите чтобы сохранить — вывод из запоя в санкт-петербурге https://narkolog.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Здорова, народ Близкий человек уже несколько дней в запое Соседи стучат в стену В больницу тащить страшно Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя в спб с капельницей Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, жмите чтобы сохранить — капельница от запоя на дому спб https://narkolog.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди помогите советом Близкий человек уже несколько дней в запое Дети напуганы В больницу тащить страшно Короче, только это реально спасло — вывод из запоя на дому срочно Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, вся инфа по ссылке — вывод из запоя в стационаре в санкт-петербурге вывод из запоя в стационаре в санкт-петербурге Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Здорова, народ Отец не выходит из штопора Соседи стучат в стену В больницу тащить страшно Короче, врачи приехали и поставили систему — вывод из запоя спб цены доступные Приехали через 40 минут В общем, телефон и цены тут — вывод из запоя в стационаре санкт-петербург https://kodirovanie.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации
Питер, всем привет Брат снова сорвался Соседи стучат в стену В больницу тащить страшно Короче, врачи приехали и поставили систему — вывод из запоя в спб с капельницей Приехали через 40 минут В общем, вся инфа по ссылке — вывести из запоя санкт петербург вывести из запоя санкт петербург Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Питер, всем привет Брат снова сорвался Соседи стучат в стену В больницу тащить страшно Короче, только это реально спасло — вывод из запоя спб цены доступные Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, телефон и цены тут — выведение из запоя в стационаре спб https://kodirovanie.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Слушайте кто знает Близкий человек уже несколько дней в запое Дети напуганы Нужна срочная помощь на дому Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя на дому круглосуточно Приехали через 40 минут В общем, вся инфа по ссылке — вывод из запоя цена вывод из запоя цена Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации
Люди помогите советом Ситуация критическая Дети напуганы Таблетки не помогают Короче, единственное что вытащило из запоя — выведение из запоя на дому быстро Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, не потеряйте контакты — вывести из запоя на дому спб вывести из запоя на дому спб Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Слушайте кто знает Близкий человек уже несколько дней в запое Родственники не знают что делать Нужна срочная помощь на дому Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя в спб с капельницей Через пару часов человек пришёл в себя В общем, жмите чтобы сохранить — вывод из запоя и кодировка на дому вывод из запоя и кодировка на дому Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации
Народ всем привет Сроки поставки по три месяца То кран-балки с зазорами Короче, мужики которые реально делают качественно — подъемное оборудование для производства любой сложности Гарантия 5 лет В общем, жмите чтобы не потерять — оборудование для склада и производства оборудование для склада и производства Не ведитесь на дешевые предложения Перешлите тому кто ищет оборудование