Historias de pi: las agujas del conde de Buffon

El problema de la aguja de Buffon es una cuestión planteada por primera vez en el siglo XVIII por Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon, y relaciona de una manera sorprendente la teoría de probabilidades con el número π.

Buffon, 1707-1778

 

En su obra Essai d’Arithmetique Morale, publicada en 1777, Buffon propone este problema:

Supongo que en una habitación en la que el suelo está simplemente dividido por juntas paralelas uno lanza un palo al aire, y que uno de los jugadores apuesta a que el palo no cruzará paralelas en el suelo, y que el otro, por el contrario, apuesta a que el palo cruzará alguna de estas paralelas; se pregunta por las probabilidades de estos dos jugadores. Se puede jugar a este juego en un tablero de damas con una aguja de coser o un alfiler sin cabeza.

Este problema fue el primero en lo que se llama probabilidad geométrica, y la solución, que ahora mostraremos, es que la probabilidad de que la aguja cruce una de las líneas paralelas viene dada por la fórmula

p = (2/π) (l/L)

donde l es la longitud de la aguja y L la anchura que separa las paralelas (se supone que l < L). Aquí la probabilidad se entiende que si arrojamos N veces la aguja y en P de ellas la aguja cruza una paralela, entonces p es el límite de esos cocientes.

Hay muchas pruebas matemáticas de este resultado, y aquí recordamos una bastante intuitiva. Sea X un punto de la aguja, por ejemplo uno de sus extremos (el más cercano a una de las rectas paralelas), y denotemos por d la distancia de ese extremo a la paralela más próxima. La otra variable es el ángulo  θ que forma la aguja con la paralela. Las dos variables que necesitamos para describir la aguja son precisamente estas dos, (d, θ), donde 0 ≤ d ≤ L y 0 ≤ θ  ≤ π. Un simple cálculo trigonométrico nos indica que habrá cruce si

d < (L/2) sen θ

Para calcular  lo que tenemos que hacer es dividir los casos favorables por los totales. Es decir, el área bajo la curva de la función (L/2) sen θ entre 0 y π, dividida por el área del rectángulo de lados L y π. Ese cociente nos da precisamente la probabilidad buscada.

Georges-Louis Leclerc  nació el 7 de septiembre de 1707 en Montbard, Francia, y falleció el16 de abril de 1788 en París.  Fue un naturalista, con amplios conocimientos matemáticos y astrónomicos. Su influencia fue enorme, autor de una enciclopédica Historia Natural (L’Histoire Naturelle, générale et particulière, avec la description du Cabinet du Roi) en 36 volúmenes en vida y 8 más tras su fallecimiento. Buffon ocupó el cargo de director del Jardín Real (hoy conocido como Jardin des Plantes).

Fue nombrado Conde de Buffon en 1773. Como muestra de su relevancia en Francia, decir que en1776, Luis XVI encargó una estatua suya al escultor Augustin Pajou, estatua erigida a la entrada del Museo de Historia Natural con la inscripción: Majestati Naturæ par ingenium («un genio a la altura de la majestad de la Naturaleza»). Su muerte a los 80 años fue causada por sus problemas de cálculos renales.

Una de las aplicaciones del problema de la aguja de Buffon es el cálculo de las expresiones decimales de π, lo que resulta en una extraordinaria relación entre paralelas y el círculo. Para ello se usa el método de Montecarlo y de esto hablaremos en otra entrada.

___________

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Compartir:

Entradas relacionadas

382 comentarios

  1. Воронеж, всем привет Ситуация критическая Дети напуганы В больницу тащить страшно Короче, только это реально спасло — вызов нарколога на дом качественно Приехал через 40 минут В общем, телефон и цены тут — нарколога на дом https://alkogolizm.narkolog-na-dom-voronezh16.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  2. Питер, всем привет Ситуация критическая Соседи стучат в стену В больницу тащить страшно Короче, только это реально спасло — запой спб лечение на дому Через пару часов человек пришёл в себя В общем, не потеряйте контакты — капельница от запоя на дому цена https://anonimnyj.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  3. Строители отзовитесь Сроки доставки срывают постоянно То водой разбавляют Короче, мужики которые реально делают качественно — м 250 для фундамента Гарантия на всю продукцию В общем, смотрите сами по ссылке — куб бетона куб бетона Не ведитесь на дешевые предложения Перешлите тому кто строит

  4. Слушайте кто забор ставил Объездил кучу контор — везде одно и то же То материал фуфло Короче, нашел нормальных ребят — монтаж заборов под ключ с материалами Цены ниже чем у других на 30% В общем, жмите чтобы не потерять — производство и монтаж заборов производство и монтаж заборов Проверяйте производителя по этому списку Перешлите тому у кого участок

  5. Слушайте кто хочет удивить Задолбался я уже искать нормальные подарки Объездил кучу магазинов в Москве и Питере Короче, большой выбор и низкие цены — премиум подарки с упаковкой Цены ниже рынка В общем, смотрите сами по ссылке — очень дорогой подарок очень дорогой подарок Покупайте премиальные товары напрямую Перешлите тому кто ищет подарки

  6. Предприниматели отзовитесь Обещают сертификаты а по факту Китай То тельферы клинят Короче, мужики которые реально делают качественно — подъемное оборудование для производства любой сложности Цены ниже чем у перекупов на 20% В общем, там каталог и цены — оборудование для подъема грузов оборудование для подъема грузов Не ведитесь на дешевые предложения Перешлите тому кто ищет оборудование

  7. Воронеж, всем привет Отец не выходит из штопора Соседи стучат в стену Таблетки не помогают Короче, врач приехал и поставил систему — нарколог на дом в воронеже недорого Осмотрел и поставил капельницу В общем, телефон и цены тут — наркологическая помощь на дому круглосуточно наркологическая помощь на дому круглосуточно Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  9. Здорова, народ Отец не выходит из штопора Соседи стучат в стену Нужна срочная помощь на дому Короче, только это реально спасло — вывод из запоя с выездом врача Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, вся инфа по ссылке — вывод из запоя на дому круглосуточно https://anonimnyj.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  10. Здорова, народ Муж просто потерял себя Жена в истерике Нужен врач прямо сейчас Короче, только это реально спасло — нарколог на дом срочно Дал рекомендации и успокоил семью В общем, не потеряйте контакты — нарколог https://zapoj.narkolog-na-dom-voronezh17.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  11. Ребята у кого дача Сроки срывают постоянно То материал фуфло Короче, реальное производство в Москве — производство и монтаж заборов любой сложности Замер на следующий день В общем, жмите чтобы не потерять — производство и монтаж заборов производство и монтаж заборов Проверяйте производителя по этому списку Перешлите тому у кого участок

  12. Предприниматели отзовитесь Задолбался я уже оборудование подбирать То вообще отгружают б/у под видом нового Короче, мужики которые реально делают качественно — грузоподъемное оборудование от производителя Цены ниже чем у перекупов на 20% В общем, вся инфа вот здесь — монтажная лебедка монтажная лебедка Проверяйте производителя по документам Перешлите тому кто ищет оборудование

  13. Здорова, народ Муж просто потерял себя Дети напуганы Нужен врач прямо сейчас Короче, врач приехал и поставил систему — врач нарколог на дом с препаратами Приехал через 40 минут В общем, вся инфа по ссылке — выезд нарколога на дом воронеж https://alkogolizm.narkolog-na-dom-voronezh16.ru Нарколог на дом — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  14. Слушайте кто хочет удивить То качество ужасное Объездил кучу магазинов в Москве и Питере Короче, нашел отличный магазин — магазин премиальных брендов с лучшими ценами Выбор огромный В общем, вся инфа вот здесь — куплю дорогой подарок куплю дорогой подарок Не переплачивайте в обычных магазинах Перешлите тому кто ищет подарки

  15. Здорова, народ Муж просто потерял себя Дети напуганы В больницу тащить страшно Короче, врач приехал и поставил систему — вызов нарколога на дом воронеж быстро Дал рекомендации и успокоил семью В общем, вся инфа по ссылке — нарколога на дом нарколога на дом Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  16. Питер, всем привет Брат снова сорвался Жена в истерике В больницу тащить страшно Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя недорого и эффективно Через пару часов человек пришёл в себя В общем, не потеряйте контакты — вывод из запоя санкт петербург вывод из запоя санкт петербург Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  17. Строители отзовитесь Цены космос а качество мыло То водой разбавляют Короче, реальное производство в Москве — плиты бетонные с доставкой Миксеры новые В общем, сохраняйте себе — куб бетона куб бетона Проверяйте производителя по документам Перешлите тому кто строит

  18. Предприниматели отзовитесь Обещают сертификаты а по факту Китай То кран-балки с зазорами Короче, реальный завод в Москве — оборудование для подъема грузов до 50 тонн Доставили за неделю В общем, вся инфа вот здесь — электрические тали электрические тали Не ведитесь на дешевые предложения Перешлите тому кто ищет оборудование

  19. Ребята у кого дача Задолбался я уже забор искать То профлист тонкий как бумага Короче, нашел нормальных ребят — заборы под ключ в Москве с гарантией И установили всё чисто В общем, сохраняйте себе — забор ранчо под ключ забор ранчо под ключ Не ведитесь на дешёвые предложения Перешлите тому у кого участок

  20. Люди подскажите Близкий человек уже несколько дней в запое Дети напуганы Нужен врач прямо сейчас Короче, врач приехал и поставил систему — нарколог на дом круглосуточно без выходных Приехал через 40 минут В общем, не потеряйте контакты — врач нарколог выезд https://alkogolizm.narkolog-na-dom-voronezh16.ru Нарколог на дом — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  21. Питер, всем привет Близкий человек уже несколько дней в запое Соседи стучат в стену Нужна срочная помощь на дому Короче, врачи приехали и поставили систему — вывод из запоя на дому срочно Приехали через 40 минут В общем, вся инфа по ссылке — вывод из запоя клиника санкт-петербург https://anonimnyj.vyvod-iz-zapoya-na-domu-sankt-peterburg.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  22. Слушайте кто хочет удивить То цены задрали как на золото Перерыл весь интернет Короче, единственное место где всё честно — премиальные магазины спб с доставкой Бренды лучшие В общем, жмите чтобы не потерять — премиум подарки премиум подарки Не переплачивайте в обычных магазинах Перешлите тому кто ищет подарки

  23. Народ всем привет Объездил кучу заводов — везде перекупы То вообще машина не приезжает Короче, мужики которые реально делают качественно — бетонные кольца для колодцев Цены ниже чем у перекупов на 20% В общем, смотрите сами по ссылке — мешки цемента мешки цемента Проверяйте производителя по документам Перешлите тому кто строит

  24. Ребята у кого дача Обещают одно а по факту другое То профлист тонкий как бумага Короче, нашел нормальных ребят — заказать забор под ключ из профнастила Сделали за две недели В общем, сохраняйте себе — установка забора из евроштакетника установка забора из евроштакетника Не ведитесь на дешёвые предложения Перешлите тому у кого участок

  25. Воронеж, всем привет Отец не выходит из штопора Дети напуганы В больницу тащить страшно Короче, единственный кто реально помог — нарколог на дом воронеж круглосуточно Приехал через 40 минут В общем, вся инфа по ссылке — нарколог на дом круглосуточно цены нарколог на дом круглосуточно цены Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  26. Ребята кто строит Объездил кучу заводов — везде перекупы То водой разбавляют Короче, реальное производство в Москве — дорожная плита с завода Сертификаты все в наличии В общем, жмите чтобы не потерять — м 250 м 250 Не ведитесь на дешевые предложения Перешлите тому кто строит

  27. Люди помогите советом А продавцы вообще ничего не понимают Либо дорого, либо не то Короче, большой выбор и низкие цены — магазин эксклюзивных товаров с индивидуальным подходом Бренды лучшие В общем, вся инфа вот здесь — очень дорогой подарок очень дорогой подарок Покупайте премиальные товары напрямую Перешлите тому кто ищет подарки

  28. Здорова, народ Муж просто потерял себя Соседи стучат в стену Нужен врач прямо сейчас Короче, единственный кто реально помог — врач нарколог на дом с препаратами Дал рекомендации и успокоил семью В общем, телефон и цены тут — нарколог на дом вывод в воронеже https://lechenie.narkolog-na-dom-voronezh19.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  29. Воронеж, всем привет Муж просто потерял себя Дети напуганы Нужен врач прямо сейчас Короче, единственный кто реально помог — нарколог на дом в воронеже недорого Через пару часов человек пришёл в себя В общем, вся инфа по ссылке — нарколог на дом стоимость нарколог на дом стоимость Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  30. Слушайте кто сталкивался Муж просто потерял себя Родственники не знают что делать В больницу тащить страшно Короче, единственный кто реально помог — нарколог домой с выездом Дал рекомендации и успокоил семью В общем, вся инфа по ссылке — наркологическая помощь на дому круглосуточно наркологическая помощь на дому круглосуточно Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  31. Слушайте кто знает Близкий человек уже несколько дней в запое Дети напуганы В больницу тащить страшно Короче, врач приехал и поставил систему — нарколог на дом круглосуточно без выходных Приехал через 40 минут В общем, вся инфа по ссылке — нарколог на дом в воронеже нарколог на дом в воронеже Нарколог на дом — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  32. Воронеж, всем привет Ситуация критическая Жена в истерике В больницу тащить страшно Короче, только это реально спасло — нарколог на дом срочно Дал рекомендации и успокоил семью В общем, телефон и цены тут — вызов нарколога на дом воронеж вызов нарколога на дом воронеж Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  33. Воронеж, всем привет Муж просто потерял себя Жена в истерике Таблетки не помогают Короче, единственный кто реально помог — нарколог на дом срочно Через пару часов человек пришёл в себя В общем, жмите чтобы сохранить — вызов нарколога на дом запой https://kapelnicza.narkolog-na-dom-voronezh18.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  34. Воронеж, всем привет Ситуация критическая Соседи стучат в стену В больницу тащить страшно Короче, единственный кто реально помог — нарколог на дом в воронеже недорого Приехал через 40 минут В общем, вся инфа по ссылке — вызвать врача нарколога на дом вызвать врача нарколога на дом Нарколог на дом — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  35. Здорова, народ Муж просто потерял себя Жена в истерике В больницу тащить страшно Короче, врач приехал и поставил систему — врач нарколог на дом с препаратами Осмотрел и поставил капельницу В общем, телефон и цены тут — наркологическая помощь на дому в воронеже наркологическая помощь на дому в воронеже Нарколог на дом — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  36. Люди помогите советом Близкий человек уже несколько дней в запое Жена в истерике Таблетки не помогают Короче, единственный кто реально помог — врач нарколог на дом с препаратами Приехал через 40 минут В общем, жмите чтобы сохранить — вызвать нарколога на дом анонимно https://kodirovanie.narkolog-na-dom-voronezh17.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  37. Воронеж, всем привет Отец не выходит из штопора Родственники не знают что делать Таблетки не помогают Короче, врач приехал и поставил систему — нарколог домой с препаратами Дал рекомендации и успокоил семью В общем, вся инфа по ссылке — нарколога домой https://alkogolizm.narkolog-na-dom-voronezh-10.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  38. Воронеж, всем привет Отец не выходит из штопора Дети напуганы Таблетки не помогают Короче, единственный кто реально помог — нарколог на дом воронеж цены доступные Через пару часов человек пришёл в себя В общем, телефон и цены тут — вызов нарколога недорого https://kodirovanie.narkolog-na-dom-voronezh17.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  39. Воронеж, всем привет Ситуация критическая Родственники не знают что делать Таблетки не помогают Короче, единственный кто реально помог — вызов нарколога на дом анонимно Приехал через 40 минут В общем, телефон и цены тут — номер нарколога на дом номер нарколога на дом Нарколог на дом — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  40. Воронеж, всем привет Отец не выходит из штопора Родственники не знают что делать Нужен врач прямо сейчас Короче, врач приехал и поставил систему — нарколог на дом воронеж недорого Дал рекомендации и успокоил семью В общем, жмите чтобы сохранить — вызвать нарколога на дом анонимно https://alkogolizm.narkolog-na-dom-voronezh-10.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  41. Слушайте кто сталкивался Близкий человек уже несколько дней в запое Соседи стучат в стену Нужен врач прямо сейчас Короче, только это реально спасло — нарколог на дом воронеж круглосуточно Через пару часов человек пришёл в себя В общем, не потеряйте контакты — заказать нарколога https://kodirovanie.narkolog-na-dom-voronezh17.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  42. Воронеж, всем привет Отец не выходит из штопора Дети напуганы В больницу тащить страшно Короче, только это реально спасло — нарколог домой с препаратами Осмотрел и поставил капельницу В общем, телефон и цены тут — психиатр нарколог на дом психиатр нарколог на дом Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  43. Слушайте кто знает Муж просто потерял себя Родственники не знают что делать Нужен врач прямо сейчас Короче, единственный кто реально помог — наркологическая помощь на дому круглосуточно качественно Приехал через 40 минут В общем, жмите чтобы сохранить — нарколога домой https://alkogolizm.narkolog-na-dom-voronezh-10.ru Нарколог на дом — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  44. Воронеж, всем привет Брат снова сорвался Родственники не знают что делать Нужен врач прямо сейчас Короче, единственный кто реально помог — нарколог на дом срочно Осмотрел и поставил капельницу В общем, не потеряйте контакты — вывод из запоя на дому телефоны вывод из запоя на дому телефоны Нарколог на дом — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  45. Здорова, народ Муж просто потерял себя Родственники не знают что делать В больницу тащить страшно Короче, единственный кто реально помог — нарколог на дом круглосуточно цены доступные Дал рекомендации и успокоил семью В общем, вся инфа по ссылке — вызвать врача нарколога на дом вызвать врача нарколога на дом Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  46. Здорова, народ Близкий человек уже несколько дней в запое Соседи стучат в стену Нужен врач прямо сейчас Короче, единственный кто реально помог — вызвать нарколога на дом быстро Приехал через 40 минут В общем, вся инфа по ссылке — нарколог срочно вызвать https://kapelnicza.narkolog-na-dom-voronezh-12.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  47. Здорова, народ Брат снова сорвался Соседи стучат в стену В больницу тащить страшно Короче, только это реально спасло — наркологическая помощь на дому круглосуточно качественно Через пару часов человек пришёл в себя В общем, жмите чтобы сохранить — вызов нарколога на дом вызов нарколога на дом Нарколог на дом — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  48. Бизнесмены отзовитесь Сроки срывают постоянно То доставку месяц ждут Короче, мужики с руками из правильного места — корпоративные подарки с логотипом быстро Цены ниже чем у других на 30% В общем, смотрите сами по ссылке — корпоративные сувениры с логотипом корпоративные сувениры с логотипом Не ведитесь на дешёвые предложения Перешлите тому у кого бизнес

  49. Слушайте кто знает Муж просто потерял себя Родственники не знают что делать В больницу тащить страшно Короче, единственный кто реально помог — нарколог на дом срочно Осмотрел и поставил капельницу В общем, жмите чтобы сохранить — нарколога на дом нарколога на дом Нарколог на дом — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  50. Здорова, народ Брат снова сорвался Дети напуганы Нужна срочная помощь на дому Короче, только это реально спасло — вывести из запоя на дому анонимно Приехали через 40 минут В общем, жмите чтобы сохранить — вывод из запоя на дому круглосуточно вывод из запоя на дому круглосуточно Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

Deja un comentario