Historias de pi: las agujas del conde de Buffon

El problema de la aguja de Buffon es una cuestión planteada por primera vez en el siglo XVIII por Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon, y relaciona de una manera sorprendente la teoría de probabilidades con el número π.

Buffon, 1707-1778

 

En su obra Essai d’Arithmetique Morale, publicada en 1777, Buffon propone este problema:

Supongo que en una habitación en la que el suelo está simplemente dividido por juntas paralelas uno lanza un palo al aire, y que uno de los jugadores apuesta a que el palo no cruzará paralelas en el suelo, y que el otro, por el contrario, apuesta a que el palo cruzará alguna de estas paralelas; se pregunta por las probabilidades de estos dos jugadores. Se puede jugar a este juego en un tablero de damas con una aguja de coser o un alfiler sin cabeza.

Este problema fue el primero en lo que se llama probabilidad geométrica, y la solución, que ahora mostraremos, es que la probabilidad de que la aguja cruce una de las líneas paralelas viene dada por la fórmula

p = (2/π) (l/L)

donde l es la longitud de la aguja y L la anchura que separa las paralelas (se supone que l < L). Aquí la probabilidad se entiende que si arrojamos N veces la aguja y en P de ellas la aguja cruza una paralela, entonces p es el límite de esos cocientes.

Hay muchas pruebas matemáticas de este resultado, y aquí recordamos una bastante intuitiva. Sea X un punto de la aguja, por ejemplo uno de sus extremos (el más cercano a una de las rectas paralelas), y denotemos por d la distancia de ese extremo a la paralela más próxima. La otra variable es el ángulo  θ que forma la aguja con la paralela. Las dos variables que necesitamos para describir la aguja son precisamente estas dos, (d, θ), donde 0 ≤ d ≤ L y 0 ≤ θ  ≤ π. Un simple cálculo trigonométrico nos indica que habrá cruce si

d < (L/2) sen θ

Para calcular  lo que tenemos que hacer es dividir los casos favorables por los totales. Es decir, el área bajo la curva de la función (L/2) sen θ entre 0 y π, dividida por el área del rectángulo de lados L y π. Ese cociente nos da precisamente la probabilidad buscada.

Georges-Louis Leclerc  nació el 7 de septiembre de 1707 en Montbard, Francia, y falleció el16 de abril de 1788 en París.  Fue un naturalista, con amplios conocimientos matemáticos y astrónomicos. Su influencia fue enorme, autor de una enciclopédica Historia Natural (L’Histoire Naturelle, générale et particulière, avec la description du Cabinet du Roi) en 36 volúmenes en vida y 8 más tras su fallecimiento. Buffon ocupó el cargo de director del Jardín Real (hoy conocido como Jardin des Plantes).

Fue nombrado Conde de Buffon en 1773. Como muestra de su relevancia en Francia, decir que en1776, Luis XVI encargó una estatua suya al escultor Augustin Pajou, estatua erigida a la entrada del Museo de Historia Natural con la inscripción: Majestati Naturæ par ingenium («un genio a la altura de la majestad de la Naturaleza»). Su muerte a los 80 años fue causada por sus problemas de cálculos renales.

Una de las aplicaciones del problema de la aguja de Buffon es el cálculo de las expresiones decimales de π, lo que resulta en una extraordinaria relación entre paralelas y el círculo. Para ello se usa el método de Montecarlo y de esto hablaremos en otra entrada.

___________

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Compartir:

Entradas relacionadas

264 comentarios

  1. Слушайте кто ищет подарки Задолбался я уже искать нормальные корпоративные подарки То материал фуфло Короче, мужики с руками из правильного места — подарки корпоративные для сотрудников Качество на высоте В общем, смотрите сами по ссылке — корпоративные наборы с логотипом https://korporativnye-podarki-merch.ru Проверяйте производителя по этому списку Перешлите тому у кого бизнес

  2. Народ у кого бизнес Замучился я уже с этими корпоративными подарками То логотип съезжает Короче, реальное производство в Москве — корпоративные подарки с логотипом быстро Лого нанесли идеально В общем, сохраняйте себе — набор сувенирной продукции набор сувенирной продукции Проверяйте производителя по этому списку Перешлите тому у кого бизнес

  3. Воронеж, всем привет Брат снова сорвался Родственники не знают что делать Таблетки не помогают Короче, единственный кто реально помог — нарколог на дом срочно Дал рекомендации и успокоил семью В общем, не потеряйте контакты — помощь нарколога на дому помощь нарколога на дому Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  4. Люди помогите советом Муж просто потерял себя Родственники не знают что делать Нужна срочная помощь на дому Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя на дому самара с гарантией Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, не потеряйте контакты — цены на вывод из запоя на дому https://kapelnicza.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  5. I really enjoyed this walkthrough of Buffon’s needle problem and how it bridges probability and π. The article explains that Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon, posed the question in his 1777 *Essai d’Arithmétique Morale*, asking what the odds are that a thrown stick will cross one of the parallel floor joints. I had always thought of π as purely a circle constant, so seeing it appear in a probability formula like **p = (2/π)(l/L)** still feels a bit magical.

    Your geometric proof is especially clear: using the distance **d** from the nearest end of the needle to the closest line and the angle **θ** with the parallel, the favorable cases are those where **d < (L/2) sin θ**. Dividing the area under the sine curve by the area of the rectangle gives the probability. It’s a beautiful example of how calculus, geometry, and probability can meet in a single result.

    One thing that strikes me is how practical the experiment became as a way to estimate π. If you throw the needle enough times and count crossings, you can rearrange the formula to approximate π = 2l / (pL). It makes me wonder: in practice, how many throws would you need to get a reasonably accurate estimate? From what I recall, the convergence is slow compared with modern algorithms, but the fact that a physical experiment can estimate π at all is fascinating.

    I also appreciate the biographical note about Buffon himself—his 36-volume *Histoire Naturelle* and his role at the Jardin Royal show what a polymath he was.

    For readers who enjoy this kind of elegant problem-solving, I’d recommend checking out puzzle-focused game resources too. If you’re stuck on a tricky narrative puzzle or want a full walkthrough, the **It Reaches Guide** at https://itreachesguide.com covers chapter guides, puzzle solutions, endings, and story explanations in the same step-by-step spirit. Great read—thanks for sharing!

  7. Ребята у кого компания Сроки срывают постоянно То материал фуфло Короче, реальное производство в Москве — корпоративные подарки Москва с гарантией Качество на высоте В общем, сохраняйте себе — мерч набор мерч набор Не ведитесь на дешёвые предложения Перешлите тому у кого бизнес

  8. Люди подскажите Брат снова сорвался Соседи стучат в стену Нужна срочная помощь на дому Короче, врачи приехали и поставили систему — снятие интоксикации на дому быстро Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, жмите чтобы сохранить — вывод из запоя на дому самара https://alkogolizm.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  9. Предприниматели отзовитесь Сроки срывают постоянно То вообще привозят не то что заказывали Короче, мужики с руками из правильного места — бизнес подарки купить с примеркой Цены ниже чем у других на 30% В общем, сохраняйте себе — брендированный мерч https://korporativnye-podarki-merch.ru Проверяйте производителя по этому списку Перешлите тому у кого бизнес

  10. Люди помогите советом Близкий человек уже несколько дней в запое Дети напуганы Нужна срочная помощь на дому Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя недорого с выездом Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, жмите чтобы сохранить — цены на вывод из запоя на дому https://kapelnicza.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  11. Всем привет из Москвы Объездил кучу компаний — везде перекупы То упаковка как из подвала Короче, нашел нормальную контору — подарки корпоративные для сотрудников Лого нанесли идеально В общем, смотрите сами по ссылке — корпоративные бизнес сувениры https://korporativnye-podarki-merch-aqr.ru Не ведитесь на дешёвые предложения Перешлите тому у кого бизнес

  13. Воронеж, всем привет Близкий человек уже несколько дней в запое Дети напуганы Нужен врач прямо сейчас Короче, единственный кто реально помог — нарколог на дом срочно Дал рекомендации и успокоил семью В общем, вся инфа по ссылке — выезд нарколога на дом воронеж https://czena.narkolog-na-dom-voronezh-14.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  14. Слушайте кто сталкивался Отец не выходит из штопора Дети напуганы Таблетки не помогают Короче, единственный кто реально помог — наркологическая помощь на дому круглосуточно качественно Через пару часов человек пришёл в себя В общем, телефон и цены тут — нарколог дом нарколог дом Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

Deja un comentario