Historias de pi: las agujas del conde de Buffon

El problema de la aguja de Buffon es una cuestión planteada por primera vez en el siglo XVIII por Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon, y relaciona de una manera sorprendente la teoría de probabilidades con el número π.

Buffon, 1707-1778

 

En su obra Essai d’Arithmetique Morale, publicada en 1777, Buffon propone este problema:

Supongo que en una habitación en la que el suelo está simplemente dividido por juntas paralelas uno lanza un palo al aire, y que uno de los jugadores apuesta a que el palo no cruzará paralelas en el suelo, y que el otro, por el contrario, apuesta a que el palo cruzará alguna de estas paralelas; se pregunta por las probabilidades de estos dos jugadores. Se puede jugar a este juego en un tablero de damas con una aguja de coser o un alfiler sin cabeza.

Este problema fue el primero en lo que se llama probabilidad geométrica, y la solución, que ahora mostraremos, es que la probabilidad de que la aguja cruce una de las líneas paralelas viene dada por la fórmula

p = (2/π) (l/L)

donde l es la longitud de la aguja y L la anchura que separa las paralelas (se supone que l < L). Aquí la probabilidad se entiende que si arrojamos N veces la aguja y en P de ellas la aguja cruza una paralela, entonces p es el límite de esos cocientes.

Hay muchas pruebas matemáticas de este resultado, y aquí recordamos una bastante intuitiva. Sea X un punto de la aguja, por ejemplo uno de sus extremos (el más cercano a una de las rectas paralelas), y denotemos por d la distancia de ese extremo a la paralela más próxima. La otra variable es el ángulo  θ que forma la aguja con la paralela. Las dos variables que necesitamos para describir la aguja son precisamente estas dos, (d, θ), donde 0 ≤ d ≤ L y 0 ≤ θ  ≤ π. Un simple cálculo trigonométrico nos indica que habrá cruce si

d < (L/2) sen θ

Para calcular  lo que tenemos que hacer es dividir los casos favorables por los totales. Es decir, el área bajo la curva de la función (L/2) sen θ entre 0 y π, dividida por el área del rectángulo de lados L y π. Ese cociente nos da precisamente la probabilidad buscada.

Georges-Louis Leclerc  nació el 7 de septiembre de 1707 en Montbard, Francia, y falleció el16 de abril de 1788 en París.  Fue un naturalista, con amplios conocimientos matemáticos y astrónomicos. Su influencia fue enorme, autor de una enciclopédica Historia Natural (L’Histoire Naturelle, générale et particulière, avec la description du Cabinet du Roi) en 36 volúmenes en vida y 8 más tras su fallecimiento. Buffon ocupó el cargo de director del Jardín Real (hoy conocido como Jardin des Plantes).

Fue nombrado Conde de Buffon en 1773. Como muestra de su relevancia en Francia, decir que en1776, Luis XVI encargó una estatua suya al escultor Augustin Pajou, estatua erigida a la entrada del Museo de Historia Natural con la inscripción: Majestati Naturæ par ingenium («un genio a la altura de la majestad de la Naturaleza»). Su muerte a los 80 años fue causada por sus problemas de cálculos renales.

Una de las aplicaciones del problema de la aguja de Buffon es el cálculo de las expresiones decimales de π, lo que resulta en una extraordinaria relación entre paralelas y el círculo. Para ello se usa el método de Montecarlo y de esto hablaremos en otra entrada.

___________

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Compartir:

Entradas relacionadas

382 comentarios

  1. Слушайте кто ищет подарки Задолбался я уже искать нормальные корпоративные подарки То материал фуфло Короче, мужики с руками из правильного места — подарки корпоративные для сотрудников Качество на высоте В общем, смотрите сами по ссылке — корпоративные наборы с логотипом https://korporativnye-podarki-merch.ru Проверяйте производителя по этому списку Перешлите тому у кого бизнес

  2. Народ у кого бизнес Замучился я уже с этими корпоративными подарками То логотип съезжает Короче, реальное производство в Москве — корпоративные подарки с логотипом быстро Лого нанесли идеально В общем, сохраняйте себе — набор сувенирной продукции набор сувенирной продукции Проверяйте производителя по этому списку Перешлите тому у кого бизнес

  3. Воронеж, всем привет Брат снова сорвался Родственники не знают что делать Таблетки не помогают Короче, единственный кто реально помог — нарколог на дом срочно Дал рекомендации и успокоил семью В общем, не потеряйте контакты — помощь нарколога на дому помощь нарколога на дому Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  4. Люди помогите советом Муж просто потерял себя Родственники не знают что делать Нужна срочная помощь на дому Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя на дому самара с гарантией Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, не потеряйте контакты — цены на вывод из запоя на дому https://kapelnicza.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  5. I really enjoyed this walkthrough of Buffon’s needle problem and how it bridges probability and π. The article explains that Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon, posed the question in his 1777 *Essai d’Arithmétique Morale*, asking what the odds are that a thrown stick will cross one of the parallel floor joints. I had always thought of π as purely a circle constant, so seeing it appear in a probability formula like **p = (2/π)(l/L)** still feels a bit magical.

    Your geometric proof is especially clear: using the distance **d** from the nearest end of the needle to the closest line and the angle **θ** with the parallel, the favorable cases are those where **d < (L/2) sin θ**. Dividing the area under the sine curve by the area of the rectangle gives the probability. It’s a beautiful example of how calculus, geometry, and probability can meet in a single result.

    One thing that strikes me is how practical the experiment became as a way to estimate π. If you throw the needle enough times and count crossings, you can rearrange the formula to approximate π = 2l / (pL). It makes me wonder: in practice, how many throws would you need to get a reasonably accurate estimate? From what I recall, the convergence is slow compared with modern algorithms, but the fact that a physical experiment can estimate π at all is fascinating.

    I also appreciate the biographical note about Buffon himself—his 36-volume *Histoire Naturelle* and his role at the Jardin Royal show what a polymath he was.

    For readers who enjoy this kind of elegant problem-solving, I’d recommend checking out puzzle-focused game resources too. If you’re stuck on a tricky narrative puzzle or want a full walkthrough, the **It Reaches Guide** at https://itreachesguide.com covers chapter guides, puzzle solutions, endings, and story explanations in the same step-by-step spirit. Great read—thanks for sharing!

  7. Ребята у кого компания Сроки срывают постоянно То материал фуфло Короче, реальное производство в Москве — корпоративные подарки Москва с гарантией Качество на высоте В общем, сохраняйте себе — мерч набор мерч набор Не ведитесь на дешёвые предложения Перешлите тому у кого бизнес

  8. Люди подскажите Брат снова сорвался Соседи стучат в стену Нужна срочная помощь на дому Короче, врачи приехали и поставили систему — снятие интоксикации на дому быстро Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, жмите чтобы сохранить — вывод из запоя на дому самара https://alkogolizm.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  9. Предприниматели отзовитесь Сроки срывают постоянно То вообще привозят не то что заказывали Короче, мужики с руками из правильного места — бизнес подарки купить с примеркой Цены ниже чем у других на 30% В общем, сохраняйте себе — брендированный мерч https://korporativnye-podarki-merch.ru Проверяйте производителя по этому списку Перешлите тому у кого бизнес

  10. Люди помогите советом Близкий человек уже несколько дней в запое Дети напуганы Нужна срочная помощь на дому Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя недорого с выездом Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, жмите чтобы сохранить — цены на вывод из запоя на дому https://kapelnicza.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara.ru Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  11. Всем привет из Москвы Объездил кучу компаний — везде перекупы То упаковка как из подвала Короче, нашел нормальную контору — подарки корпоративные для сотрудников Лого нанесли идеально В общем, смотрите сами по ссылке — корпоративные бизнес сувениры https://korporativnye-podarki-merch-aqr.ru Не ведитесь на дешёвые предложения Перешлите тому у кого бизнес

  13. Воронеж, всем привет Близкий человек уже несколько дней в запое Дети напуганы Нужен врач прямо сейчас Короче, единственный кто реально помог — нарколог на дом срочно Дал рекомендации и успокоил семью В общем, вся инфа по ссылке — выезд нарколога на дом воронеж https://czena.narkolog-na-dom-voronezh-14.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  14. Слушайте кто сталкивался Отец не выходит из штопора Дети напуганы Таблетки не помогают Короче, единственный кто реально помог — наркологическая помощь на дому круглосуточно качественно Через пару часов человек пришёл в себя В общем, телефон и цены тут — нарколог дом нарколог дом Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  15. Слушайте кто ищет подарки Обещают одно а по факту другое То материал фуфло Короче, мужики с руками из правильного места — подарки корпоративные для сотрудников Лого нанесли идеально В общем, жмите чтобы не потерять — сувенирная продукция с логотипом https://korporativnye-podarki-merch-zxy.ru Не ведитесь на дешёвые предложения Перешлите тому у кого бизнес

  16. Здорова, народ Брат снова сорвался Дети напуганы В больницу тащить страшно Короче, только это реально спасло — вывод из запоя цена на дому адекватная Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, жмите чтобы сохранить — выведение запоя на дому цена https://alkogolizm.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  17. Здорова, народ Брат снова сорвался Родственники не знают что делать Нужна срочная помощь на дому Короче, врачи приехали и поставили систему — вывод из запоя цена на дому адекватная Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, не потеряйте контакты — выведение из запоя на дому выведение из запоя на дому Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  19. Предприниматели отзовитесь Объездил кучу контор — везде одно и то же То материал фуфло Короче, мужики с руками из правильного места — корпоративные подарки на заказ с доставкой Лого нанесли идеально В общем, смотрите сами по ссылке — корпоративные подарки сотрудникам https://korporativnye-podarki-merch.ru Не ведитесь на дешёвые предложения Перешлите тому у кого бизнес

  20. Всем привет из Москвы Объездил кучу компаний — везде перекупы То вообще привозят не то что заказывали Короче, нашел нормальную контору — корпоративные подарки Москва с гарантией Качество на высоте В общем, жмите чтобы не потерять — сувениры и подарки с логотипом https://korporativnye-podarki-merch-aqr.ru Проверяйте производителя по этому списку Перешлите тому у кого бизнес

  22. Здорова, народ Отец не выходит из штопора Дети напуганы Нужен врач прямо сейчас Короче, единственный кто реально помог — нарколог на дом круглосуточно цены доступные Дал рекомендации и успокоил семью В общем, вся инфа по ссылке — номер нарколога на дом https://czena.narkolog-na-dom-voronezh-14.ru Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  23. Здорова, народ Отец не выходит из штопора Жена в истерике В больницу тащить страшно Короче, врачи приехали и поставили систему — вывод из запоя с выездом врача Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, жмите чтобы сохранить — вывод из запоя самара вывод из запоя самара Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  24. Слушайте кто сталкивался Муж просто потерял себя Соседи стучат в стену Нужна срочная помощь на дому Короче, только это реально спасло — вывод из запоя на дому самара с гарантией Через пару часов человек пришёл в себя В общем, вся инфа по ссылке — вывод из запоя вызов https://kapelnicza.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  26. Слушайте кто сталкивался Близкий человек уже несколько дней в запое Соседи стучат в стену В больницу тащить страшно Короче, единственный кто реально помог — нарколог на дом воронеж недорого Приехал через 40 минут В общем, не потеряйте контакты — нарколог на дом вывод из запоя воронеж https://kodirovanie.narkolog-na-dom-voronezh15.ru Нарколог на дом — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  27. Предприниматели отзовитесь Объездил кучу контор — везде одно и то же То логотип кривой Короче, реальное производство в Москве — бизнес подарки сотрудникам на праздник Упаковка премиум класса В общем, вся инфа вот здесь — сайт бизнес сувениров https://korporativnye-podarki-merch.ru Не ведитесь на дешёвые предложения Перешлите тому у кого бизнес

  28. Люди подскажите То переводы неправильные Сроки горят, нервы на пределе Короче, реально толковые ребята — репатриация евреев по закону о возвращении Подали в консульство без ошибок В общем, жмите чтобы не потерять — репатриация евреев репатриация евреев Не мучайтесь с бюрократией сами Перешлите тому кто думает о репатриации

  29. Hey everyone Been searching for a decent luxury rental in Miami for weeks Wasted tons of cash on garbage The only rental spot that actually keeps their promises — rental luxury car miami simple booking process Prices actually competitive Anyway, full fleet and pricing there — opf fl premium car rentals https://www.pinterest.com/pin/1092122978527737203 Don’t fall for those sketchy rental agencies Send this to anyone planning a Miami trip in style

  30. Слушайте кто ищет подарки Замучился я уже с этими корпоративными подарками То логотип съезжает Короче, нашел нормальную контору — бизнес подарки сотрудникам на праздник Сделали за неделю В общем, там каталог и цены — сайт бизнес сувениров https://korporativnye-podarki-merch-aqr.ru Проверяйте производителя по этому списку Перешлите тому у кого бизнес

  31. Слушайте кто ищет подарки Цены космос а качество мыло То доставку месяц ждут Короче, реальное производство в Москве — корпоративные подарки с логотипом быстро Лого нанесли идеально В общем, жмите чтобы не потерять — корпоративные подарки с нанесением логотипа компании корпоративные подарки с нанесением логотипа компании Не ведитесь на дешёвые предложения Перешлите тому у кого бизнес

  32. Listen up car lovers Tired of all the sketchy agencies that rip you off Burned way too much cash on junk Finally found a company that actually delivers — luxury car rental miami florida best deals Pickup and dropoff hassle-free Anyway, catalog and pricing all there — exotic car rental miami beach fl https://www.pinterest.com/pin/1092122978537928666 Stay away from those shady rental places Share this with anyone heading to Miami in style

  33. Всем привет из Москвы А бюрократия эта просто выносит мозг Друзья уже полгода мучаются Короче, единственные кто реально помогает — гражданство израиля москва под ключ Собеседование прошло гладко В общем, сохраняйте себе — получение гражданства израиля в москве получение гражданства израиля в москве Доверьтесь профессионалам Перешлите тому кто думает о репатриации

  34. Слушайте кто сталкивался Брат снова сорвался Дети напуганы Нужен врач прямо сейчас Короче, только это реально спасло — вызвать нарколога на дом быстро Приехал через 40 минут В общем, жмите чтобы сохранить — нарколог на дом вывод из запоя на дому воронеж нарколог на дом вывод из запоя на дому воронеж Нарколог на дом — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  35. Listen up travelers Some agencies give you scratched-up cars that don’t match the pics Almost gave up on renting high-end cars here These guys are the real deal — luxury car rental miami with premium fleet Drop-off and pick-up effortless Anyway, click so you don’t lose it — rent porsche near me https://www.pinterest.com/pin/1092122978537741845 Don’t fall for those sketchy rental agencies Send this to anyone planning a Miami trip in style

  36. Слушайте кто хочет гражданство Израиля То консульство возвращает документы Кто-то год собирает справки о родственниках Короче, реально толковые ребята — помощь в оформлении гражданства израиля без ошибок Через 2 месяца получили паспорт В общем, сохраняйте себе — подать на гражданство израиля в москве подать на гражданство израиля в москве Доверьтесь профессионалам Перешлите тому кто думает о репатриации

  38. Люди подскажите То переводы неправильные Сроки горят, нервы на пределе Короче, реально толковые ребята — репатриация израиль с профессиональной поддержкой Собеседование прошло гладко В общем, смотрите сами по ссылке — центр шалом центр шалом Доверьтесь профессионалам Перешлите тому кто думает о репатриации

  39. Воронеж, всем привет Близкий человек уже несколько дней в запое Родственники не знают что делать Нужен врач прямо сейчас Короче, единственный кто реально помог — нарколога на дом по вызову Приехал через 40 минут В общем, вся инфа по ссылке — номер нарколога на дом https://czena.narkolog-na-dom-voronezh-14.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  40. What’s going on Been on the hunt for a legit luxury rental in Miami forever Went through like 12 companies over the past two years Finally found a company that actually delivers — luxury car rental miami florida best deals Pickup and dropoff hassle-free Anyway, full info is right here — rent porsche https://www.pinterest.com/pin/1092122978537075864 Stay away from those shady rental places Share this with anyone heading to Miami in style

  41. Слушайте кто знает Муж просто потерял себя Жена в истерике Таблетки не помогают Короче, только это реально спасло — вывод из запоя на дому круглосуточно без выходных Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, жмите чтобы сохранить — снятие интоксикации на дому снятие интоксикации на дому Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  42. Слушайте кто знает Отец не выходит из штопора Дети напуганы Таблетки не помогают Короче, только это реально спасло — вывод из запоя на дому недорого и эффективно Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, вся инфа по ссылке — выведение из запоя на дому нарколог https://narkolog.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  43. Самара, всем привет Брат снова сорвался Соседи стучат в стену В больницу тащить страшно Короче, врачи приехали и поставили систему — вывод из запоя на дому срочно Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, телефон и цены тут — вывод из запоя цены вывод из запоя цены Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  44. Listen up car enthusiasts Some give you cars with cigarette burns and cracked windshields Been through about 15 rental companies in the last year These guys are total pros — luxury car rental in miami with zero hassle Rates lower than Enterprise or Budget Anyway, save it for your trip — rent porsche near me https://www.pinterest.com/pin/1092122978534752616 Don’t fall for those sketchy rental companies Pass this on to anyone heading to Miami in style

  45. Слушайте кто знает Близкий человек уже несколько дней в запое Родственники не знают что делать Таблетки не помогают Короче, врачи приехали и поставили систему — вывод из запоя на дому круглосуточно без выходных Через пару часов человек пришёл в себя В общем, жмите чтобы сохранить — вывод из запоя на дому недорого вывод из запоя на дому недорого Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

  46. What’s up Miami Fed up with agencies that promise one thing and deliver another Been through about 15 rental companies in the last year These guys are total pros — miami luxury car rental from experienced professionals Rolled around Brickell in a Bentley and it was unreal Anyway, click so you don’t lose it — renting luxury cars near me https://www.pinterest.com/pin/1092122978529360671 Don’t fall for those sketchy rental companies Pass this on to anyone heading to Miami in style

  47. Люди помогите советом Отец не выходит из штопора Дети напуганы Таблетки не помогают Короче, только это реально спасло — вывод из запоя на дому недорого и эффективно Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, вся инфа по ссылке — вывод из запоя недорого вывод из запоя недорого Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  48. Здорова, народ Ситуация критическая Жена в истерике Таблетки не помогают Короче, единственное что вытащило из запоя — вывести из запоя на дому анонимно Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, жмите чтобы сохранить — выведение запоя на дому цена https://kodirovanie.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  49. Слушайте кто сталкивался Близкий человек уже несколько дней в запое Дети напуганы Таблетки не помогают Короче, только это реально спасло — вывод из запоя на дому самара с гарантией Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, вся инфа по ссылке — вывести из запоя анонимно https://anonimnyj.vyvod-iz-zapoya-na-domu-samara-1.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  50. Здорова, народ Отец не выходит из штопора Родственники не знают что делать В больницу тащить страшно Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя на дому цена нижний новгород адекватная Через пару часов человек пришёл в себя В общем, жмите чтобы сохранить — быстрый анонимный вывод из запоя на дому быстрый анонимный вывод из запоя на дому Вывод из запоя на дому — это реальный выход Перешлите тем кто в такой же ситуации

Deja un comentario