Historias de Pi: calculando el área del círculo

En una entrada previa, reflexionamos sobre le relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, que, como aprendimos en la escuela, es  el número π . Una relación similar ocurre cuando queremos calcular el área de un círculo, que sabemos es el cuadrado del radio multiplicado por π. Pero esta relación de proporcionalidad , intuitiva sin duda, tampoco es tan evidente.

 

Estos teoremas de la geometría (pues eso son) que se enuncian tan fácilmente y que aprendemos de manera universal, tienen demostraciones muy sutiles. Ya vimos en la entrada aludida que la prueba del correspondiente a la longitud de una circunferencia descansa en una noción que los matemáticos tardaron siglos en formalizar adecuadamente, la de límite (o si se quiere, la de su prima hermana, la derivada).

 

Arquímedes según Domenico Fetti (1620)

Una primera prueba de que el área de un círculo de radio r es A = π  r2 se debe a Arquímedes. Si pensamos en una sucesión de polígonos regulares inscritos en el círculo, sabemos que el área de cada uno de ellos es la mitad del perímetro multiplicado por la distancia del centro a sus lados (la apotema). Si imaginamos ahora al límite (por ejemplo, cuando el número de lados tiende a infinito), entonces

A = ½ x 2 π r x r

Previo a Arquímedes, Hipócrates de Quíos (470 a.C.-410 a. C.) probó que el área de un círculo era proporcional al cuadrado del diámetro, cuando trataba de resolver el problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con el mismo área de un círculo dado solamente con regla y compás). Hipócrates lo quiso resolver con el llamado problema de la cuadratura de la lúnula (veáse la figura 1).

Figura 1

Arquímedes utilizó el llamado método exhaustivo, introducido por Eudoxo de Cnido (390 a. C.-37 a. C) introdujo el método exhaustivo, un antecedente del cálculo integral, para probar que el área de un círculo era proporcional al cuadrado del radio. En el razonamiento de Arquímedes, en el paso al límite, se usa de una manera no rigurosa pero acertada como las secantes (los lados de los polígonos) se aproximan a la longitudes de arco, y las apotemas al radio.

Es interesante recordar los argumentos de Arquímedes. Primero, compara el área del círculo con la de un triángulo rectángulo cuya base mida lo mismo que la longitud de la circunferencia y cuya altura sea el radio. Entonces razona: supongamos que no coincidan, o sea que será mayor o menor, y en cada caso, llega a una contradicción. ¿Qué tiene esto que ver con los polígonos inscritos? Sea A el área del círculo y a la del triángulo, y sea E el exceso en el caso de que A sea mayor que a = 1⁄2cr, donde c es la longitud de circunferencia y r el radio. Inscribimos un cuadrado en el círculo, y nos quedan cuatro segmentos iguales. Sea S4 el área de esos cuatro segmentos y supongamos que S4  es mayor que E. Si ese es el caso, divido cada segmento en dos y obtenemos un octógono. Hacemos lo mismo, contamos el área de esos ocho segementso, que será S8 . De nuevo, vemos si es mayor que E, y así hasta que lleguemos a un polígono de n lados tal que el correspondiente área Sn sea menor que E. Entonces el área del polígono será Pn = A – Gn, mayor que la del triángulo.

Y ahora llega la contradicción. Trazamos una apotema de longitud h. Si cada lado del polígono mide s, entonces el perímetro, ns, es menor que c. El área del polígono es ½ nsh. Como h es menor que r y ns menor que c, el área del polígono debe ser menor que la del triángulo, lo que es una contradicción.

El argumento en el otro caso funciona de manera parecida, y en consecuencia, debe darse la igualdad.

Hoy en día tenemos instrumentos mucho más precisos. La integración nos permite calcular el área de un círculo de varias formas, muy elegantes y sencillas.

Me gustaría terminar con una reflexión sobre el ingenio de los matemáticos de otras épocas, que sin contar con las técnicas del cálculo diferencial e integral fueron capaces de obtener logros que ahora nos parecen evidentes.

___________

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Compartir:

Entradas relacionadas

492 comentarios

  1. При внутривенном введении растворов компоненты, минуя желудочно-кишечный тракт, сразу попадают в сосудистое русло. Это принципиально, если у пациента наблюдается сильная рвота, из-за которой прием таблеток теряет смысл. Физраствор и глюкоза снижают концентрацию этанола в крови, разжижают кровь, используются для восполнения дефицита жидкости и электролитов. Кроме того, растворы разжижают кровь, ускоряют выведение продуктов распада алкоголя через почки и снижают нагрузку на печень. В состав обязательно включают витаминные комплексы (особенно B1, B6), антиоксиданты и ноотропы, которые улучшают мозговой кровоток и обменные процессы. Седативные и снотворные компоненты мягко устраняют тревогу, раздражительность и агрессию, позволяя больному заснуть естественным сном уже в течение первого часа после начала вливания. Облегчение симптомов похмелья и алкогольной интоксикации обычно наступает уже в течение первого часа после начала внутривенного введения растворов. Благодаря такому подходу пациент быстро почувствовал себя лучше.
    Ознакомиться с деталями – капельница от запоя нарколог

  2. Вызвать врача-нарколога нужно при первых признаках тяжелой абстиненции, когда самостоятельно справиться уже невозможно. Если зависимый страдает от сильной тошноты, многократной рвоты, дрожи в конечностях, мучительной головной боли, резких скачков давления, одышки, боли в области сердца, панических атак или слуховых галлюцинаций, медлить нельзя. В таких случаях капельница становится не просто способом облегчить состояние, а жизненно необходимой мерой. Нарушение водно-электролитного баланса, общее обезвоживание и интоксикация внутренних органов могут привести к инсульту, инфаркту, острой печеночной или почечной недостаточности. Именно поэтому важно не ждать утра, а звонить сразу — помощь доступна круглосуточно, и бригада выезжает в любое время дня и ночи. Характер болей и расстройство самочувствия при запоях часто носят выраженный характер, поэтому поставить капельницу необходимо как можно быстрее.
    Выяснить больше – kapelnica-ot-zapoya-v-moskve14-2.ru/

  3. Наркологическая помощь в стационаре — это шанс прервать замкнутый круг и сделать первый шаг к восстановлению. В стационаре рядом находится врач, средний медицинский персонал, медсестры и специалисты наркологии, которые контролируют пульс, давление, сон, реакции на препараты и динамику улучшения. Такой подход особенно важен при длительных запоях, когда организм человека уже истощен, а самостоятельный выход из запоя становится опасен для жизни.
    Получить дополнительную информацию – наркология вывод из запоя в стационаре

  4. Длительное употребление спиртного неизбежно приводит к общей интоксикации, нарушению работы внутренних органов и развитию абстинентного синдрома. В такой ситуации главная задача близких — оперативно помочь зависимому человеку справиться с отравлением и избежать серьезных проблем. Профессиональная капельница от запоя в Москве — это оптимальный способ быстро очистить кровь от токсинов, восстановить водно-электролитный баланс и стабилизировать состояние больного. В отличие от таблетированной терапии, инфузионная капельница оказывает действие значительно быстрее, запуская усиленное выведение продуктов распада этанола. Обращение к опытным специалистам нашей клиники гарантирует не только экстренное снятие острых симптомов, но и всестороннее медицинское лечение с учетом анамнеза, стажа зависимости и наличия хронических заболеваний печени, почек и сердечно-сосудистой системы. Мы используем только сертифицированные препараты, а положительные отзывы клиентов показывают, что такая капельница действительно помогает вернуть человека к трезвой жизни. Наш администратор Юлия готова принять вашу заявку и ответить на любые вопросы о лечении алкоголизма.
    Изучить вопрос глубже – https://kapelnica-ot-zapoya-v-moskve14-3.ru/

  5. Клиника «Метод Довженко» принимает пациентов в Москве по адресу: Столярный переулок, 3к18. Узнать цены, заказать консультацию, оставить заявку, уточнить порядок поступления в стационар или задать вопросы дежурным консультантам можно по номерам 8 (800) 301-53-09 и +7 (499) 403-16-12. Звонок не обязывает сразу ехать в центр: специалист спокойно объяснит, что делать в конкретном случае, какие данные подготовить, нужен ли выезд нарколога к дому или лучше сразу выбрать стационарное лечение.
    Исследовать вопрос подробнее – vyvod-iz-zapoya-v-stacionare-anonimno

  10. Привет, мастера! То ассортимент расцветок и фактур совсем скудный, Везде натыкался на одно и то же до тех пор, не протестировал единственное место, где всё продают напрямую без наценок начиная от классических вариантов и заканчивая антивандальными материалами. Без проблем отрезают именно столько метров, сколько нужно для заказа,

    Кому тоже актуально найти проверенного поставщика текстиля для мастерской, вся полезная инфа выложена вот здесь ткани для обивки мебели купить ткани для обивки мебели купить Не переплачивайте лишние деньги в розничных салонах, обязательно перешлите этот пост тому, кто тоже профессионально занимается перетяжкой мебели!

  13. Лечение в стационаре позволяет провести детоксикацию, снять абстинентный синдром, уменьшить тревожность, восстановить сон и подготовить человека к дальнейшей терапии алкогольной зависимости. В нашей клинике помощь организована круглосуточно: можно оставить заявку через форму сайта, получить онлайн-консультацию, вызвать специалиста, заказать транспортировку или уточнить цены по телефону. Поэтому в нашей частной клинике в Краснодаре лечение проходит строго анонимно.
    Разобраться лучше – наркология вывод из запоя в стационаре в геленджике

  14. Слушайте, кто сталкивался с такой бедой? Ситуация реально критическая, Вся семья в дикой истерике, Никакие народные методы и таблетки из аптеки вообще не помогают пока чисто случайно не нашли проверенную медицинскую службу, начиная от качественной диагностики на месте и заканчивая подбором медикаментов. Полностью сняли мучительную ломку и стабилизировали общее состояние.

    В общем, если не хотите рисковать жизнью близкого человека, вся полезная инфа выложена вот здесь нарколог на дом вывод из запоя https://lechenie.vyvod-iz-zapoya-na-domu-voronezh-kmp.ru Не ждите, пока состояние станет еще хуже, обязательно перешлите этот пост тем, кто тоже сейчас находится в такой же критической ситуации!

  15. Люди подскажите Ситуация аховая Родственники не знают что делать Таблетки не помогают Короче, только это реально спасло — вывод из запоя на дому с капельницей Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, вся инфа по ссылке — вывод из запоя на дому круглосуточно https://lechenie.vyvod-iz-zapoya-na-domu-voronezh-xrt.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  16. Вывод из запоя в стационаре в Балашихе с круглосуточным наблюдением, контролем состояния и поэтапной терапией в наркологической клинике «Похмельная служба».
    Подробнее можно узнать тут – kruglosutochnyj-vyvod-iz-zapoya-balashiha

  18. В клинике лечение запоя рассматривается как первый этап, а не как единственная мера. Вывод из запоя снижает выраженность алкогольной интоксикации, но лечение алкоголизма продолжается после стабилизации. Нарколог объясняет, какие методы подходят пациенту, как быстро можно начать лечение, когда допустимо кодирование и почему реабилитация в стационаре иногда безопаснее, чем помощь на дому.
    Изучить вопрос глубже – вывод из запоя в стационаре

  19. Народ кто ставит То вообще доступ закрывают Искал долго, перепробовал кучу вариантов Короче, единственная где не кидают — ставки на спорт бишкек онлайн лучший выбор Всё летает как часы В общем, сохраняйте себе — мостбе мостбе Не ведитесь на лохотроны Перешлите тому кто тоже ищет нормальную контору

  20. Народ кто мебель обшивает Вечно то выбор маленький Перерыл весь интернет Короче, единственное место где всё честно — ткань для мебели с доставкой Флок, велюр, шенилл, рогожка В общем, сохраняйте себе — обивочный материал для мягкой мебели купить обивочный материал для мягкой мебели купить Покупайте ткань напрямую Перешлите тому кто мебель перетягивает

  22. Наркологическая помощь в стационаре — это шанс прервать замкнутый круг и сделать первый шаг к восстановлению. В стационаре рядом находится врач, средний медицинский персонал, медсестры и специалисты наркологии, которые контролируют пульс, давление, сон, реакции на препараты и динамику улучшения. Такой подход особенно важен при длительных запоях, когда организм человека уже истощен, а самостоятельный выход из запоя становится опасен для жизни.
    Получить больше информации – вывод из запоя в стационаре анонимно геленджик

  23. Вывод из запоя в стационаре нужен тогда, когда человек уже не может самостоятельно остановиться, плохо переносит отмену спиртных напитков, не спит несколько суток, испытывает тремор, тревожность, скачки давления, боли в области сердца, нарушения со стороны ЖКТ и нервной системы. В таких случаях домашние меры часто оказываются неэффективной попыткой «перетерпеть», а резкий отказ от алкоголя без медицинского наблюдения может привести к осложнениям, белой горячке, психозам, судорогам, аритмии, инфаркту или инсульту.
    Получить больше информации – стационар вывод из запоя в геленджике

  24. Общаемся без осуждения и давления, сохраняя спокойную атмосферу для пациента и семьи.
    Детальнее – вывод из запоя

  26. Слушайте кто в теме То вообще доступ закрывают Искал долго, перепробовал кучу вариантов Короче, нашел наконец толковую контору — mostbet с быстрыми выплатами Всё летает как часы В общем, сохраняйте себе — билет на футбольный матч билет на футбольный матч Не ведитесь на лохотроны Перешлите тому кто тоже ищет нормальную контору

  27. Народ, кто реально думает о репатриации? То консульство возвращает обратно все анкеты на доработку, Кто-то больше года собирает справки о родственниках по всей стране до тех пор, не протестировал единственную команду, которая берется за сложные случаи с гарантией правильного заполнения всех консульских анкет КП. Все архивные документы нам собрали буквально за месяц,

    В общем, если не хотите тратить годы на самостоятельные тесты, там расписаны все технические подробности шалом центр репатриации https://grazhdanstvo-izrailya-lvy.ru Не мучайтесь со сложной бюрократией сами, обязательно перешлите этот пост тому, кто тоже сейчас серьезно думает о репатриации!

  30. Этот текст призван помочь читателю расширить кругозор и получить практические знания. Мы используем простой язык, наглядные примеры и структурированное изложение, чтобы сделать обучение максимально эффективным и увлекательным.
    Изучить аспект более тщательно – анонимное лечение наркомании цены

  31. Этот текст призван помочь читателю расширить кругозор и получить практические знания. Мы используем простой язык, наглядные примеры и структурированное изложение, чтобы сделать обучение максимально эффективным и увлекательным.
    Раскрыть тему полностью – после запоя болит печень

  32. Мы работаем круглосуточно, анонимно и ежедневно, включая выходных и праздничные дни. В любое время врач-нарколог приедет на дом для постановки капельниц, с помощью которых проводится очищение организма и снятие алкогольной интоксикации. Выездная бригада приезжает оперативно, а при серьезным состоянии может быть организована транспортировка в стационар, где есть постоянный контроль, лечебной режим, необходимые протоколы и условия для полноценной стабилизации.
    Разобраться лучше – вывод из запоя круглосуточно

  33. Слушайте кто сталкивался Близкий человек уже несколько дней в запое Жена в истерике Таблетки не помогают Короче, единственное что вытащило из запоя — вывод из запоя недорого и эффективно Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, телефон и цены тут — вывод из запоя стоимость https://lechenie-1mo.vyvod-iz-zapoya-na-domu-voronezh-jhg.ru Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  34. Народ кто ставит То выплаты задерживают Нервов потратил — мама не горюй Короче, нашел наконец толковую контору — букмекерская контора с высокими коэффициентами Вывод денег за 5 минут В общем, жмите чтобы не потерять — мостбет кыргызстан скачать мостбет кыргызстан скачать Только mostbet реально рулит Перешлите тому кто тоже ищет нормальную контору

  35. Самара, всем привет Муж просто умирает на глазах Дети боятся заходить в комнату В диспансер тащить — последнее дело Короче, единственные кто взялся за безнадёжный случай — вывод из запоя самара стационар с палатой Врачи и медсёстры 24/7 В общем, жмите чтобы сохранить — вывод из запоя в стационаре клиника https://narkolog.vyvod-iz-zapoya-v-stacionare-samara11.ru Стационар — это единственный выход Это может спасти жизнь

  36. Баары?арга салам! То выплаты выигрышей задерживают по двое суток, Искал реально долго, перепробовал кучу сомнительных вариантов до тех пор, не протестировал единственное место, где реально не кидают и предлагает топовые условия как для ординаров, так и для экспрессов. Техподдержка в лайв-чате отвечает сразу по делу,

    В общем, если не хотите тратить время на самостоятельные тесты, обязательно сохраняйте себе этот официальный ресурс мосбет кг мосбет кг Лучше обходить стороной забаненные платформы и выбирать надежные зоны. обязательно перешлите этот пост тому, кто тоже сейчас ищет нормальную контору!

  37. Помогаем быстро перейти от консультации к конкретному плану: выезд, стационар или наблюдение.
    Разобраться лучше – vyvod iz zapoya kapelnica

  38. Вывод из запоя в Люберцах требуется, когда зависимый употребляет алкоголь несколько дней, не может остановиться, плохо спит, чувствует тремор, слабость, тревогу, тошноту, скачки давления, потерю аппетита и признаки отравления продуктами распада этанола. В такой момент семье стоит не откладывать обращение, а заказать консультацию и вызвать врача. Наркологическая клиника подбирает лечение с учетом возраста, пола, анамнеза, длительности запойного эпизода, самочувствия пациента, сопутствующих заболеваний, стадии алкогольной зависимости и желания самого больного принять помощь.
    Исследовать вопрос подробнее – https://vyvod-iz-zapoya-v-lyubercah14-3.ru/

  40. Мы работаем круглосуточно, принимаем срочный вызов, консультируем анонимно и индивидуально подбираем необходимые процедуры. В течение нескольких минут после обращения можно получить консультацию, узнать цены, уточнить контакты, оформить заявку и вызвать нарколога. Врач проведет осмотр, подберет препараты, поставит капельницу, даст рекомендации родственникам и при необходимости направит больного в стационарное отделение.
    Подробнее тут – vyvod iz zapoya klinika

  41. Народ, кто задумывается о переезде? Замучился я уже самостоятельно собирать архивные бумаги, А кто-то вообще без понятия, с чего правильно начать процесс пока чисто случайно не нашел нормальных сертифицированных специалистов, включая детальную подготовку к прохождению собеседования с нативом. Все архивные документы нам собрали буквально за месяц,

    Кому тоже актуально оформить все документы быстро и легально, жмите на источник, чтобы случайно не потерять контакты израильское гражданство москва израильское гражданство москва Не мучайтесь со сложной бюрократией сами, обязательно перешлите этот пост тому, кто тоже сейчас серьезно думает о репатриации!

  42. Ребята, кто мебель перетягивает? Вечно то цены задрали до небес на ровном месте, Перерыл весь интернет в поисках оптовых складов до тех пор, не протестировал единственное место, где всё продают напрямую без наценок с огромным ассортиментом современных износостойких полотен. Оптовые цены получаются значительно ниже среднерыночных,

    Кому тоже актуально найти проверенного поставщика текстиля для мастерской, там расписаны все технические подробности и свойства материалов ткань для обивки мебели цены https://obivka.tkan-dlya-mebeli.ru Не переплачивайте лишние деньги в розничных салонах, обязательно перешлите этот пост тому, кто тоже профессионально занимается перетяжкой мебели!

  43. Народ кто задумывается о переезде Вечно то справок не хватает Сроки горят, нервы на пределе Короче, нашел нормальных специалистов — помощь в оформлении гражданства израиля без ошибок Документы собрали за месяц В общем, там и цены и отзывы — центр репатриации https://grazhdanstvo-izrailya.ru Не мучайтесь с бюрократией сами Перешлите тому кто думает о репатриации

  44. Воронеж, всем привет Близкий человек уже несколько дней в запое Соседи стучат в стену Таблетки не помогают Короче, врачи приехали и поставили систему — вывод из запоя цены доступные Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, вся инфа по ссылке — выведение из запоя на дому выведение из запоя на дому Не ждите пока станет хуже Перешлите тем кто в такой же ситуации

  45. Воронеж, всем привет Брат снова сорвался Жена в истерике В больницу тащить страшно Короче, только это реально спасло — вывод из запоя цена адекватная Сняли ломку и стабилизировали состояние В общем, телефон и цены тут — вывод из запоя цена на дому вывод из запоя цена на дому Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  46. Народ всем привет Объездил кучу салонов — везде перекупы То фасады кривые Короче, реальные мужики с цехом — кухни на заказ спб каталог с вариантами Кромка немецкая В общем, смотрите сами по ссылке — где купить кухню в спб https://zakazat-kuhnyu-mrx.ru Не ведитесь на салоны-прокладки Перешлите тому кто ищет

  47. При внутривенном введении растворов компоненты, минуя желудочно-кишечный тракт, сразу попадают в сосудистое русло. Это принципиально, если у пациента наблюдается сильная рвота, из-за которой прием таблеток теряет смысл. Физраствор и глюкоза снижают концентрацию этанола в крови, разжижают кровь, используются для восполнения дефицита жидкости и электролитов. Кроме того, растворы разжижают кровь, ускоряют выведение продуктов распада алкоголя через почки и снижают нагрузку на печень. В состав обязательно включают витаминные комплексы (особенно B1, B6), антиоксиданты и ноотропы, которые улучшают мозговой кровоток и обменные процессы. Седативные и снотворные компоненты мягко устраняют тревогу, раздражительность и агрессию, позволяя больному заснуть естественным сном уже в течение первого часа после начала вливания. Облегчение симптомов похмелья и алкогольной интоксикации обычно наступает уже в течение первого часа после начала внутривенного введения растворов. Благодаря такому подходу пациент быстро почувствовал себя лучше.
    Подробнее – chto-vhodit-v-kapelnicu-ot-zapoya

  48. Люди подскажите Ситуация критическая Жена рыдает Платная клиника просит бешеные деньги Короче, спасла только госпитализация — запой стационар с комфортными условиями Врачи и медсёстры 24/7 В общем, телефон и цены тут — цена вывода из запоя в стационаре https://alkogolizm.vyvod-iz-zapoya-v-stacionare-samara.ru Стационар — это единственный выход Перешлите тем кто в беде

  49. Слушайте кто сталкивался Брат снова сорвался Жена в истерике В больницу тащить страшно Короче, единственное что вытащило из запоя — срочный вывод из запоя круглосуточно Поставили капельницу с детоксикационным раствором В общем, жмите чтобы сохранить — вывод из запоя на дому цена вывод из запоя на дому цена Звоните прямо сейчас Перешлите тем кто в такой же ситуации

  50. Люди подскажите Объездил кучу салонов — везде перекупы То сроки по полгода обещают Короче, реальные мужики с цехом — кухни каталог с ценами и фото Кромка немецкая В общем, жмите чтобы не потерять — кухни от производителя недорого каталог и цены https://zakazat-kuhnyu-ktv.ru Не ведитесь на салоны-прокладки Сам мучался теперь делюсь

Deja un comentario