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Alicia, inventora de politopos

Alicia Boole Stott nació el 8 de junio de 1860, en Cork, Irlanda, y se la considera la creadora del término “politopo”, que bautiza a los sólidos convexos en cualquier dimensión. Nunca tuvo una posición académica pero sus logros matemáticos fueron de tal calibre que recibió un doctorado honorario de la Universivad de Groningen.

 

Alicia Boole Stott

Alicia nació en una familia muy especial. Su padre era el matemático George Boole, uno de los fundadores de la lógica matemática moderna y creador de la llamada álgebra de Boole, y su madre, Mary Everest, era también matemática, aunque autodidacta (todavía las mujeres no frecuentaban las aulas universitarias, reservadas para los hombres). Mary Everest era además sobrina de otro ilustre británico, George Everest, topógrafo cuyos trabajos en la India merecieron que la Royal Geographical Society diera su nombre al monte Everest.

Cuando murió el padre de Mary Everest, George Boole fue nombrado su tutor y, posteriormente contrajeron matrimonio. De esa unión nacieron cinco hijas, de las cuáles Mary fue la tercera; todas ellas fueron mujeres muy notables en distintos ámbitos científicos y literarios. George Boole falleció cunado Mary contaba 4 años, así que no contribuyó a su formación matemática. La pequeña Mary permaneció hasta los once años en Cork con su abuela materna mientras su madre trabajaba como bibliotecaria en el Queen’s College, siendo la primear mujere en ocupar una plaza similar en un college. La madre y sus cinco hijas se pudieron reunir finalmente en Londres, aunque viviendo en una situación económica muy precaria.

Aunque Mary no recibió una educación matemática formal, se benefició de las enseñanzas de su madre, una educadora excepcional con ideas muy novedosa, y autora de varios libros sobre el tema. Frases como estas:

La educación geométrica puede comenzar tan pronto como las manos del niño pueden agarrar objetos. Que tenga, entre sus juguetes, los cinco sólidos regulares y un cono cortado.

Todo lo que el maestro intenta probar nunca debe ser establecido a priori; los niños deben ser conducidos hasta averiguarlo por sí mismos por preguntas sucesivas.

eran una auténtica revolución en la enseñanza victoriana.

 

La familia Boole

Alicia (su nombre era Alice, pero ella se renombró a si misma como Alicia) comenzó a interesarse a los dieciocho años por la cuarta dimensión por la influencia de su cuñado, el matemático Charles Howard Hinton. Así, inventó la noción de politopo, en principio en dimensión cuatro. Probó que había seis politopos regulares en esta dimensión, que estaban formados por 5, 16 o 600 tetraedros, 8 cubos, 24 octaedros o 120 dodecaedros. Es de recibo decir que los politopos en dimensión cuatro habían sido ya estudiados por el matemático suizo Ludwig Schläfli (1814–1895), pero su manuscrito no fue publicado hasta 1901, seis años tras su muerte, y los resultados eran por tanto desconocidos por Alicia Boole.

 

Politopos en cuatro dimensiones

Por sus trabajos de investigación, la Universidad holandesa de Groningen la invintó a participar en su tricentenrario y recibir un doctorado honorario el 1 de julio de 1914. El artífice de este logro fue su colaborador de esa universidad, el matemático Pieter Hendrik Schoute que había fallecido el año anterior.

Alicia Boole con Pieter Hendrik Schoute

Desde esa fecha hasta 1930, cesó su actividad, pero en 1930 conoció a Harold Scott MacDonald Coxeter, el famoso geómetra, con el que comenzó una fructífera colaboración.

Alicia falleció en Middlesex en 1940, pero su nombre ha quedado ligado por siempre al concepto de politopo.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias)

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José Barinaga Mata

Hoy recordaremos a uno de los pioneros de las matemáticas españolas, José Barinaga Mata, quién fue Presidente de la Sociedad Matemática Española, sin lo de Real por entonces, y del Laboratorio de Matemáticas de la Junta de Ampliación de Estudios (JAE), antecesor del actual Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).

José Barinaga

José Barinaga nació en Valladolid el 2 de mayo de 1890, aunque sus estudios de Primaria y Secundaria los realizó en Salamanca, donde su padre era fiscal en la Audiencia Provincial. Cursó el Bachillerato en el Instituto Fray Luis de León, estudios que terminó en 1906. También consta que realizó estudios de música, en concreto de violín, en la Escuela de Nobles y Bellas Artes de San Eloy.

Parece que en 1906 su padre se traslada a la capital y Barinaga comienza sus estudios de Matemáticas en la entonces llamada Universidad Central de Madrid, pero no obtiene el título de licenciatura hasta el año 1926, apremiado según se dice por Octavio de Toledo, conocedor de su gran capacidad. La causa pudo ser su dedicación a la enseñanza privada, a la que debió entregarse con auténtico fervor.

Una vez licenciado, Barinaga centra su actividad docente e investigadora en la universidad, defendiendo su tesis doctoral en 1929, con el título de “Sobre algunas clases especiales de ecuaciones lineales en derivadas parciales de segundo orden con dos variables independientes”, tesis que logró el Premio Extraordinario.

Mientras realiza su tesis lo encontramos dando clase como profesor auxiliar de Análisis Matemático en la Universidad Central, a la vez que participa en el Laboratorio Matemático. En admirable y rápida progresión, gana la Cátedra de la Universidad de Barcelona en 1930, para a continuación regresar a Madrid, como Catedrático de Análisis Matemático en 1931.

Nos detenemos brevemente a narrar un episodio que marcó la vida académica matemática de la época, y de forma especial la de Barinaga, el controvertido tema de la oposición a cátedra a la que se vió forzado a presentarse Esteban Terradas en la Universidad Central, y que en último término acabaría perdiendo. Terradas, dejando vacante su cátedra en Barcelona, ocupaba la de Madrid desde 1928 mediante un sistema de provisión por “agregación”, vigente en aquellos años, tras los informes favorables de la Facultad y de la Academia de Ciencias. A partir de la proclamación la Segunda República, la legislación de provisión de puestos que amparaba este tipo de nombramientos sería revisada en profundidad, para hacerla desaparecer finalmente. Con las tensiones ideológicas del momento como telón de fondo, un sector minoritario del profesorado de la Facultad de Ciencias, junto con los representantes estudiantiles de la FUE (Federación Universitaria Escolar) en la Junta de Facultad, cuestionaría la validez de la cátedra ostentada por Terradas y solicitaría un dictamen al Consejo de Instrucción Pública. Finalmente el Consejo resuelve que la cátedra no pertenecía a Terradas y que era necesario convocar una oposición para cubrirla. Más allá de la cuestiones administrativas, era conocido que Terradas había recibido ciertas distinciones durante la época de la Dictadura de Primo de Rivera, amén de su carácter conservador teñido incluso de un cierto catalanismo, por lo que la cuestión de fondo parecía ser puramente política.

Esteban Terradas

Es entonces cuando Terradas se presenta en solitario para recuperarla. Se habla de la extrema dureza a la que el tribunal, del que Barinaga forma parte, sometió al aspirante en los ejercicios, y de la extraña ausencia en el mismo del matemático con mayor influencia de entonces en España, Julio Rey Pastor, buen amigo del aspirante.

Además de la cátedra, Terradas pierde también la dirección del Laboratorio de Matemáticas, volviéndose provisionalmente a Barcelona.  Estos hechos y la prolongada ausencia de Julio Rey Pastor, muy afincado en Argentina, propician que Barinaga acceda a la dirección del Laboratorio Matemático en 1934. Continuará con esta dirección en circunstancias muy complicadas, intentando mantener las actividades del Laboratorio hasta el final de la Guerra Civil.  Posteriormente asumirá la presidencia de la Sociedad Matemática Española muy vinculada entonces al Laboratorio Matemático. Su infatigable dedicación a ambas instituciones está bien documentada.

Al final de la contienda, Barinaga se mantiene todavía en Madrid, nunca deseó marcharse de la capital, integrado además en el profesorado del Instituto Obrero. Lo sucedido en relación con la cátedra de Terradas y su fidelidad a la República le traerá consecuencias con el régimen de Franco. Es separado de la universidad con el pertinente expediente de depuración, y debe volver a sus clases en academias privadas para poder ganarse la vida. En 1946, siete años más tarde, es finalmente rehabilitado y recupera la cátedra iniciando una segunda etapa universitaria, con un perfil menor, hasta su jubilación en 1960. Fallece el 14 de junio de 1965.

Su trabajo científico no es muy relevante en lo que se refiere al nivel internacional, lo que por otra parte era la tónica general de la época, salvo las excepciones conocidas, pero tuvo el valor de acercar temas de investigación de primera línea a la comunidad matemática española. Publicó sus artículos en la Revista Matemática Hispanoamericana, la Revista Academia de Ciencias y en la revista educativa Matemática Elemental entre otras, muchas veces bajo el seudónimo Nowetcheski. Parte de los borradores de su puño y letra de la sección de Notas breves y comentarios de ésta última revista se conserva en el Archivo Julio Rey Pastor del Consejo Superior de Investigaciones Científicas.

En este video se puede encontrar una reciente semblanza sobre Barinaga

Imagen de previsualización de YouTube

Barinaga trabajó en temas relativos a las ecuaciones diferenciales pero también en problemas de teoría de funciones y álgebra, además de una gran cantidad de temas históricos. La verdad es que, vistas sus circunstancias vitales, no gozó de la estabilidad necesaria para poder realizar un trabajo de investigación de mayor profundidad, pero su amor por la docencia, su tenacidad para mantener la actividad en la Universidad, el Laboratorio y la Sociedad Matemática Española, en unas circunstancias realmente complicadas, le hacen acreedor de un gran mérito. Justo nos parece que desde estas líneas se le pueda ofrecer un modesto homenaje.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias) y Ricardo Martínez de Madariaga (Director de la Biblioteca Jorge Juan).

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Ernesto Sabato y el conocimiento luminoso

Ernesto Sabato es uno de los grandes escritores que dio Argentina al mundo en el siglo XX, con una carrera vital con dos etapas muy diferenciadas, la científica como un brillante físico matemático, y la literaria, abandonando de un modo que se podría calificar de temerario, estas disciplinas por la literatura. Pero si uno analiza sus escritos, vemos que esa formación científica permea su obra.

Ernesto Sabato

En su primer libro, el ensayo Uno y el universo, compara Sabato las matemáticas con el arte y la política:

“Existe una opinión muy generalizada según la cual la matemática es la ciencia más difícil cuando en realidad es la más simple de todas. La causa de esta paradoja reside en el hecho de que, precisamente por su simplicidad, los razonamientos matemáticos equivocados quedan a la vista. En una compleja cuestión de política o arte, hay tantos factores en juego y tantos desconocidos o inaparentes, que es muy difícil distinguir lo verdadero de lo falso. El resultado es que cualquier tonto se cree en condiciones de discutir sobre política y arte —y en verdad lo hace— mientras que mira la matemática desde una respetuosa distancia.”

Ernesto Sabato

 

Pero la gran obra de Sabato, con la que consigue un éxito internacional, es El Túnel, novela cuyo comienzo es ya mítico, y que tuvo enormes dificultades para ser publicada en Argentina, aunque tuvo un apoyo decidido en Francia por parte de Albert Camus (digno de mención es el intercambio de cartas y los juicios de los censores españoles hasta que finalmente fue aprobada su publicación).

En El túnel se nota la formación matemática de Sabato, en esas dudas de Juan Pablo Castel y en los interrogatorios a los que somete a María Iribarne; esa lógica enloquecida por los celos, pero analizando todas las posibilidades y todas las hipótesis.

Pero esta primera novela tiene una continuidad hasta completar una trilogía espectacular, compuesta con Sobre héroes y tumbas (que contiene ese tenebroso Informe sobre ciegos) y Abbadón el exterminador.

Jorge Luis Borges y Ernesto Sábato

Muchos son los pasajes de estas dos voluminosas novelas donde Sabato recurre a las matemáticas. Por ejemplo, en Abbadón el exterminador:

“Como acabo de decirle, no hay que buscar coherencia en el poder diabólico, pues la coherencia es propia del conocimiento luminoso, y en particular de su máximo exponente, las matemáticas”.

O esta comparación cuando debate sobre el espíritu y la materia:

“Explicar, querer explicar hechos del espíritu mediante geodésicas es como pretender extirpar una angustia con tenazas de dentista”.

Estas tres novelas (a veces es difícil calificarlas como tales) mezcla todo tipo de personajes, unos inventados, otros reales (hasta el maestro Jorge Luis Borges o el Che Guevara), y el propio Sabato. Y lo mismo ocurre con los hechos, la mezcla de realidad y ficción consiste en pasar de una a otra continuamente.

Escuela Normal Superior de París

Recordemos que en 1937, Sabato obtuvo el Doctorado en Ciencias Físicas y Matemáticas en la Universidad Nacional de La Plata. Tuvo el apoyo de un ilustre científico argentino, Bernardo Houssay, que le ayudó a conseguir una beca para estudiar en el Laboratorio Curie en París. Y sí, Irene Joliot-Curie también aparece en varios lugares. Respecto a esto, en una de las entrevistas periodísticas que incluye en Abbadón el exterminador (¿reales, ficticias?) ante la pegunta: “Muchos lectores se preguntan, señor Sabato, como es posible que usted se haya dedicado a las ciencias físicas-matemáticas”, Sabato responde:

“Pues nada más fácil de explicar. Creo haberle ya contado que huí del movimiento estalinista en 1935, en Bruselas, sin dinero, sin documentos. Guillermo Etchebehere me dio alguna ayuda, él era trotskista, y durante un tiempo pude dormir en un altillo de la École Nórmale Supérieure, rue d’ Ulm. … (describe luego sus penurias, hasta alimenticias) … así que no di más y con muchas precauciones me robé de Gilbert un tartado de análisis matemático de Borel y cuando en un café comencé a estudiarlo, mientras afuera hacía frío y yo tomaba un café caliente, comencé a pensar en aquellos que dicen

que este mercado en que vivimos

está formado por una única sustancia

que se transmuta en árboles, criminales y montañas,

intentando copiar un petrificado museo

de ideas. …”

Con sus luces y sombras, Ernesto Sabato pasa a la historia como uno de los más grandes. Solo me queda recomendarles la lectura de su obra, no saldrán nunca defraudados.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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2022: Año Internacional de las Ciencias Básicas para el Desarrollo

“Las ciencias básicas son la condición sine qua non para el desarrollo sostenible”

Michel Spiro, President of IUPAP and President of the steering committee

 

Asistimos al debate sobre la presencia de las matemáticas en la enseñanza secundaria pero en realidad estamos ante un debate mucho más amplio, y es la relevancia, no solo de las matemáticas, sino de todas las ciencias básicas. Es por ello que la ONU ha proclamado 2022 como Año Internacional de las Ciencias Básicas para el Desarrollo.

 

Recordemos que en 2015, la Asamblea General de la ONU aprobó la Agenda 2030, que persigue conseguir una visión integrada para el desarrollo sostenible del planeta. Esta Agenda 2030 se articuló en 17 objetivos (los Objetivos para el Desarrollo Sostenible, ODS). Todos ellos están relacionados de manera más o menos directa con los avances científicos.

De ahí que, en ese camino, el año 2022 hyaa sido proclamado por las ONU como Año Internacional de las Ciencias Básicas para el Desarrollo (International Year of Basic Sciences for Development). La propuesta fue presentada por la IUPAP  (International  Union  for  Pure  and  Applied Physics) en la reunión de enero de 2017 del Consejo Científico del International  Basic  Sciences  Programme (IBSP) de la UNESCO. La propuesta contó con el apoyo de otras uniones científicas como la IUPAC (International Union   for   Pure   and   Applied   Chemistry),  centros como el ICTP   (Abdus   Salam International   Center   for Theoretical  Physics), sociedades europeas como la EPS  (European  Physical  Society) y el CERN  (European  Organization  for Particle  Physics).  La elección del año 2022 está motivada por ser el centenario del Premio Nobel a Niels Bohr a la vez que el centenario de la propia IUPAP.

Michel Spiro

El IYBSD 2022 se centrará en cinco grandes líneas de trabajo:

  • Ciencias Básicas para un Desarrollo Soostenible
  • Ciencias Básicas incluyendo Ciencias Sociales
  • Jóvenes y Ciencias Básicas
  • Mujeres y Ciencias Básicas
  • Ciencias Básicas en África

A día de hoy, la mayoría de uniones científicas (entre ellas, la Unión Matemática Internacional, IMU), academias de ciencias, y otras instituciones, se han añadido a la iniciativa, y comienzan a preparar los eventos que se producirán a lo largo de 2022.

“Ocurre con frecuencia que, después de una larga y profunda investigación sobre temas que pueden ser muy teóricos, y con muchos fracasos en el camino, nacen las revoluciones científicas que impulsan las transformaciones tecnológicas.”

Tran Thanh Van, Fundador del International Center of Interdisciplinary Science and Education (ICISE), Vietnam

Pero esta celebración no se restringirá a la investigación básica y sus aplicaciones, que son vitales para los avances en medicina, la industria, la agricultura, los recursos hídricos, la planificación de la energía, el medio ambiente, las comunicaciones y la cultura. También se aprovechará para incidir en la necesidad de mejorar tanto la enseñanza de las ciencias en la escuela como la educación científica de la sociedad en general.

Se abre por lo tanto una excelente oportunidad para todas las ciencias básicas, y especialmente para las matemáticas, de manera que se aproveche la celebración de este Año Internacional para mostrar su relevancia en todos los aspectos que nos atañen, y su concurso ineludible para alcanzar la sostenibilidad de nuestra civilización.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

 

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La vocación matemática de las cigarras

Tras pasar 17 años bajo tierra, millones de cigarras emergieron en muchos lugares de los Estados Unidos en este mes de mayo. ¿ Cuáles son las causas de este fenómeno, que lleva a que las ninfas de cigarra permanezcan años enterradas, hasta que misteriosamente deciden salir convertidas en cigarras adultas al aire libre?

 

Pehr Kalm

 

Las cigarras que ahora están eclosionando en Estados Unidos son las Magicicada septendecium. El ciclo vital de esta cigarra es de 17 años, lo que es un número que sorprende por grande y por ser primo. ¿Por qué este ciclo vital tan extraño que la ha llevado a ser conocida como la langosta de los diecisiete años?

Una primera observación es la del naturalista sueco-finlandés Pehr Kalm, cuando visitó Pennsylvania y New Jersey en 1749, al observar a finales de mayo de ese año la aparición de las cigarras (con toda su potencia sonora). Kahn escribió en su informe:

“La opinión general es que esos insectos aparecen en una gran cantidad cada diecisiete años. Mientras tanto, a excepción de una ocasional que puede aparecer en el verano, permanecen bajo tierra. Hay evidencia considerable de que estos insectos aparecen cada diecisiete años en Pensilvania”.

Y añade:

“Aquí hay una especie de langostas que cada diecisiete años aparecen en números increíbles …. En el intervalo entre los años cuando son tan numerosas, sólo se ven o se escuchan algunos individuos en el bosque.”

 

Magicicada septendecim

Kalm nació en Suecia en 1716, aunque creció en Finlandia, entonces parte de Suecia. Estudió en la Universidad de Upsala y siguió los cursos de Carlos Linneo, el gran naturalista. Consiguió una plaza de profesor de Historia Natural en Turku (la antigua Abo). La Real Academia de las Ciencias de Suecia le eligió para hacer un viaje a Norteamérica con el fin de recoger información y especímenes de todas las semillas y nuevas plantas que pudieran revelarse útiles para la agricultura y la industria. Llegó a Pensilvania en 1748, y permaneció tres años allí, durante los que desempeñó una intensa actividad investigadora. Se isntaló en la comunidad sueco-finlandesa de Raccoon, en el sur de Nueva Jersey.

Sirvió también como pastor luterano, y contrajo matrimonio con la viuda del pastor anterior. Antes de volver a Suecia, visitó Canadá, y alcanzó todavía más fama por haber sido el primer europeo en describir las cataratas del Niágara. Sus trabajo lo recogió en el libro En Resa til Norra America. A su vuelta, es nombrado profesor de la rael Academia de Turku, considerada la primera universidad de Finlandia.

Este periodo de 17 años observado por Kalm, fue lo que llevó a Carlos Linneo a denominarlas como Cicada septendecim. Se han descrito otras cigarras con ciclos más cortos, como la Magicicada tredecim, también un número primo, 13. En los intervalos, las ninfas se pueden encontrar hasta tres e incluso nueve metros bajo tierra.

 

Magicicada tredecim

Las razones son ahora conocidas, y es porque este ciclo le permite protegerse de depredadores, que coordinarían su llegada con la de las cigarras para darse el gran festín. Si el depredador y la cigarra compartieran divisores en sus ciclos, ambos animales coincidirían de manera regular.

Imaginemos por ejemplo que el depredador tuviera un ciclo de dos años; coincidirían cada 34 años, y el cálculo no es más que el del mínimo común múltiplo. Si los estudiantes se preguntan sobre la utilidad de estos cálculos, ya ven que para las cigarras es pura supervivencia, y no cabe duda de que esta es una buena razón para saber matemáticas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

 

 

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Estamos hechos de matemáticas

¿Qué es lo que nos define como especie en nuestro planeta? ¿El lenguaje? Es cierto, ha sido uno de los hitos en nuestra breve historia como humanos, pero quizás inevitable en el desarrollo evolutivo. Y como prueba, el Babel de lenguas que hemos sido capaces de desarrollar, y también que no somos la única especie que nos comunicamos con nuestros iguales, entendiendo el lenguaje en un sentido biológico y por tanto muy amplio.

 

Papiro Rhind

¿La escritura? Probablemente somos la única especie que hemos sido capaces de saltar de una tradición oral a una tradición escrita. La tradición oral, las experiencias que el grupo social transmite a los nuevos miembros, pudo ser sustituida por la escrita, de manera que el conocimiento colectivo  experimentó un salto extraordinario. Pero, ¿cómo nace la escritura?

Todo indica que la necesidad de anotar la cantidad de animales de un rebaño, marcar límites en agricultura, medir el paso de los días, llevó a crear símbolos y de paso contribuyó a la creación del lenguaje escrito. De manera que son las matemáticas el elemento unificador de las diferentes culturas.

Y las pruebas están en los testimonios que hemos conseguido conservar. Desde las muescas en un peroné de un babuino (el hueso de Ishango), hace 20.000 años, a las tablillas de arcilla de la antigua Babilonia, plagadas de matemáticas;  o los papiros hechos con los juncos del Nilo del Antiguo Egipto; o los pergaminos con las pieles de los animales. El magnífico ensayo de Irene Vallejo, “El infinito en un junco”, narra el nacimiento del libro, aunque no incluye la enorme cantidad de obras que estaban dedicadas a las matemáticas, y eran copiadas una y otra vez.

Tablilla babilónica

Esas matemáticas fueron llegando a Europa tras un largo camino de siglos y aún milenios: las matemáticas de Babilonia y Egipto nutrieron a los griegos, que crearon la geometría y la necesidad del rigor matemático de la demostración. Y de la India nos vinieron las cifras y el cero gracias a los árabes, excelentes cultivadores de las matemáticas. Y esa “demoníaca demoníaca invención del cero” y el sistema decimal venció al gremio de los abacistas, y en el crisol de Europa, las matemáticas se hicieron únicas y universales.

Códice Vigilano

Las matemáticas se convirtieron entonces en el único lenguaje auténticamente universal, y sus métodos en la manera correcta de afrontar la descripción del mundo (Galileo dixit). Somos seres matemáticos, es nuestra mayor y genuina seña de identidad. Tenemos que ser capaces de inculcar esta realidad en nuestros hijos, las matemáticas no solo son instrumentales e imprescindibles para crear los modelos de todo tipo con los que afrontamos los desafíos de nuestra especie en uno de los billones de planetas del universo; son nuestro gran logro, nuestra herencia para los que nos sigan. Tenemos que ser capaces de transmitir esta idea al conjunto de la sociedad.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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El paraíso de Cantor

Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.

Nadie será capaz de expulsarnos del paraíso que Cantor creó para nosotros.

David Hilbert, en una conferencia en Münster a la Sociedad Matemática Alemana el 4 de junio de 1925.

 

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor fue un matemático de ascendencia danesa-alemana, aunque nació en San Petersburgo, el 3 de marzo de 1845: Cantor fue uno de los matemáticos más geniales del siglo XIX y comienzos del XX, al que le debemos la creación de los fundamentos modernos de las matemáticas.  Cantor estudió matemáticas en Zürich, trasladándose después a la Universidad de Berlín, donde tuvo profesores de la talla de Ernst Kummer, Karl Weierstrass y Leopold Kronecker. Con 27 años se convirtió en catedrátrico de la Universidad de Halle (también llamada Martín Lutero).

 

Georg Cantor en 1970

Entre 1874 y 1884, Cantor trabajó sobre la teoría de conjuntos.  Hasta entonces, no había una teoría formal, y el concepto de infinito era una noción más filosófica que matemática. Cantor probó que había diferentes tipos de conjuntos infinitos: por ejemplo, el de los números naturales (el aleph 0) era diferente al de los números reales (el continuo). La manera de distinguirlos fue con el concepto de cardinal. Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos, y estos últimos numerables (su cardinal o número de elementos es el de los naturales) o no numerables (en caso contrario). Por ejemplo, el conjunto de los  números pares es numerable (se puede establecer una correspondencia uno a uno con los naturales, simplemente considerando el doble de cada número natural). Y lo mismo ocurre, aunque nos sorprenda, con los números racionales (las fracciones). Pero ya no pasa así con los irracionales (los no racionales) y con todos los números reales (racionales e irracionales).

Como recordatorio, digamos que un número racional es el que se puede escribir como una fracción de números enteros. Entre los irracionales, podemos distinguir entre los algebraicos (aquellos que se obtienen como una solución de una ecuación algebraica, como ocurre con el número aúreo), y trascendentes, cuando no, como el número π o el número e.

Cantor fue mucho más allá. Construyó (o descubrió, a gusto del lector), toda una aritmética de números infinitos, que llamó transfinitos. Estos números seguían unas reglas similares a las de los números naturales. Uno de sus logros fue probar que había el mismo número de puntos en un segmento que en un cuadrado o en cubo construidos con ese segmento. Cantor le escribió a Dedekind: “Lo veo, pero no me lo creo”.

Otro de los logros de Cantor fue probar que el cardinal del conjunto de partes de un conjunto era estrictamente mayor que el del conjunto dado, algo evidente en conjuntos finitos, pero no tanto en los infinitos. Esto le llevó a formular lo que se llama la “hipótesis del continuo”: no hay ningún número entre aleph 0 (representado por el símbolo ℵ0) y el continuo (que es la cantidad de números reales), o dicho con más rigor, el aleph siguiente al aleph 0, el aleph 1 ( ℵ1 ) es igual al continuo. David Hilbert propuso esto como uno de los 23 problemas que expuso en su célebre conferencia en el Congreso Internacional de Matemáticos de París en 1900. La hipótesis del continuo llevó a Kurt Gödel en 1940 a probar que había proposiciones que no se podían probar o negar en términos de la aritmética (el famoso teorema de incompletitud). En 1963, Paul Cohen volvió sobre el tema y encontró que la aritmética era consistente tanto si admitimos la hipótesis del continuo como si no (y recibió una medalla Fields por ello).

Hasta entonces, predominaban todavía las nociones de infinito “en potencia” y “en acto” de Aristóteles, que llegaba a afirmar: “el número no puede ser infinito, ya que éste, así como todo lo que tiene número, puede contarse, y, si puede contarse, no es infinito”. Lo que Cantor proponía era una auténtica revolución del pensamiento.

Leopold Kronecker

Las reacciones  a los resultados de Cantor fueron violentas. El propio Leopold Kronecker (su director de tesis) llegó a decir de Cantor que era “un charlatán, un renegado y un corruptor de la juventud”, como si se se tratara de un nuevo Sócrates. El mismo Wittgenstein lamentó que las matemáticas se vieran dirigidas por “el pernicioso idioma de la teoría de conjuntos.” Pero a la vez, muchos de sus colegas le demostraron una admiración sin límites, especialmente tras su conferencia en el primer Congreso Internacional de Matemáticos, celebrado en Zürich en 1897.

Las ideas de Cantor fueron vistas por algunos intelectuales de la época como un desafío a la infinitud de Dios, y fue acusado de panteísmo, él, que era un devoto luterano. Su visión teológica se confundía con la matemática, y creía que esos resultados eran inspirados en su mente por el propio Dios.

No es de extrañar que Cantor sufriera depresiones muy fuertes a lo largo de su vida, con varios internamientos en hospitales psiquiátricos. Finalmente, falleció el 6 de enero de 1918, en el sanatorio donde había pasado el último año, de un ataque al corazón. Durante la Primera Gran Guerra sus condiciones de vida habían sido muy precarias.

Placa conmemorativa: “En este edificio nació y vivió desde 1845 a 1854 el gran matemático y creador de la teoría de conjuntos Georg Cantor”, San Petersburgo

Como decía Hilbert, nadie nos podrá quitar ese paraíso increíble que Cantor creó para la humanidad, y a pesar de todos sus críticos, su trabajo pervive, porque como él decía: “La esencia de las matemáticas reside en su libertad”.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Cinco puntos definen una cónica

Seguimos con nuestro repaso por el mundo de las cónicas y hoy hablaremos de otro de los hitos en su estudio, el Teorema de los cinco puntos, que afirma que cinco puntos de un plano son suficientes para construir una cónica. Afinando más, 3 de esos puntos no pueden ser colineales, porque entonces el resultado sería una cónica degenerada y podría no ser única.

La razón para este resultado es muy simple si consideramos la ecuación general de una cónica:

Ax2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0

entonces, las coordenadas (xi,yi) de los cinco puntos, i = 1, …, 5, deben cumplir la ecuación anterior. Por lo tanto, obtenemos un sistema de cinco ecuaciones con seis incógintas, pero como el sistema es homogéneo, podemos considerar F = 1, y el resultado saldrá de manera inmediata.

La demostración es todavía más evidente cuando se considera la geometría proyectiva, porque en el plano proyectivo RP2  (que se obtiene de R3 identificando todos los puntos de cada recta que pasa por el origen) cada cónica está definida por exactamente cinco números.

Otra cuestión interesante, y que pone de manifiesto esa dualidad entre puntos y rectas, es que se pueden considerar construcciones de cónicas partiendo de m puntos y n rectas, con m+n = 5, donde m y n varían de 0 a 5. En el caso de las rectas, la noción de ser un punto de la cónica se traduce en ser recta tangente a la cónica.

Una de las técnicas modernas más interesantes para estudiar las propiedades de las cónicas consiste en calcular lo que se llama su espacio de moduli. Ya que la ecuación de una cónica incluye 6 coeficientes, A, B, C, D, E, F, y poder eliminar uno, por ejemplo, F, y obtener coordenadas homogéneas (A/F, B/F, C/F, D/F, E/F) (supononiendo, claro está que F no es 0), vemos que existe una correspondencia biyectiva entre cónicas en un plano y puntos del espacio proyectivo RP5 (obtenido de R6 identificando los puntos de las rectas pasando por el origen). Así que RP5 es el espacio de moduli de las cónicas planas. Esto implica que cualquier problema de contar incidencias o tangencias para las cónicas se puede traducir en un problema de intersecciones en el espacio proyectivo RP5 . De hecho, este es el principio en la llamada geometría enumerativa, que tiene en cuenta problemas enumerativos a los que tan aficionados eran los griegos, y es hoy en día una rama muy activa de la geometría algebraica.

Cónica tangente a cinco dadas

Así, podíamos pensar no solo en cuantas cónicas pasan por unos puntos y son tangentes a unas rectas dadas, sino también si son tangentes a unas cónicas prefijadas. Esto enlaza con el famoso problema planteado en 1848 por Jakob Steiner, de la Universidad de Berlín: Dadas cinco cónicas en el plano, ¿cuántas cónicas son tangentes a todas ellas? El propio Steiner dio una respuesta, 7776 = 65, pero estaba equivocado. La respuesta correcta es 3264, como probaron Ernest de Jonquières en 1859, y Chasles en 1864 (aunque el primero no publicó el resultado por respeto a la enorme reputación de Steiner). La geometría enumerativa y la teoría de intersección, dan la respuesta. En el artículo “Enumerative Algebraic Geometry of Conics”, de Andrew Bashelor, Amy Ksir y Will Traves en Amer. Math. Monthly, 115 (8): 701–728, ) se da la respuesta completa a este problema.

Jacob Steiner

Debemos recordar que el llamado Teorema de los cinco puntos tiene una historia antigua. El resultado parece haber sido conocido desde hace mucho, pero no hemos sido capaces de encontrar un autor primero tanto del enunciado como de la prueba. En el artículo “Conic  sections  through  five  points  classical,  projective,  conformal”, de Eckhard Matthias Sigurd Hitzer se comenta como en 1844,  200 años después del Teorema de Pascal, el matemático alemán Hermann    Grassmann inventósi “Teoría de la extensión”,  usó el teorema del francés para encontrar una fórmula explícita de la cónica pasando por cinco puntos.

Hermann Grassmann

A medida que se han ido desarrollando las matemáticas, la geometría analítica, la geometría proyectiva, o la moderna geometría algebraica, ha ido proporcionando no solo nuevas demostraciones, sino generalizaciones y nuevos desarrollos matemáticos. Debemos recordar que hay pocos matemáticos relevantes desde los antiguos griegos hasta el sigo XX cuyo nombre no esté asociado de una manera u otra a las cónicas.

Más recientemente, el uso de programas como Geogebra, ha permitido que este y muchos otros resultados puedan ser abordados en el aula de una manera visual, sin que esto suponga ninguna pérdida de rigor matemático. Esto nos lleva a reivindicar la mayor inclusión de contenidos geométricos en los curricula académicos, acompañados de los programas tecnológicos que ayudan a explicarlos y trabajarlos conjuntamente con los alumnos.

Agustín Carrillo de Albornoz (Catedrático de Matemáticas y Secretario General de la FESPM y de la FISEM) y  Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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El Hexagrammum Mysticum

El estudio de las cónicas, que se extiende a más de dos milenios, ofrece episodios matemáticos de una gran belleza, que en algunos casos se acerca al misticismo. Uno de los teoremas más excitantes en ese sentido es el llamado Teorema de Pascal, denominado a veces el Teorema del Hexagrama Místico.

Blaise Pascal

 

El Teorema de Pascal dice lo siguiente:

Si un hexágono arbitrario ABCDEF se encuentra inscrito en una cónica, y se prolongan los pares de lados opuestos hasta que se cruzan, los tres puntos en los que se intersecan se encontrarán ubicados sobre una línea recta, denominada la recta de Pascal de esta configuración (veáse Figura 1).

 

Figura 1

 

Esta figura ilustra el resultado en el caso de la elipse, pero el teorema vale para cualquier tipo de cónicas, incluyendo las degeneradas así como hexágonos que se puedan intersecar.

El teorema fue enunciado por Blaise Pascal cuanto contaba dieciséis años, un prodigio de precocidad, pero no se ha conservado ninguna prueba por su parte. Pascal trabajaba en un tratado sobre las cónicas, Conicorum Opus Completum que se perdió. Si se conserva lo que titula Essay pour les coniques, una especie de “poster” que envió en 1654 a la Academia de Ciencias de París.

El Teorema de Pascal es de clara naturaleza proyectiva, y de hecho, para entenderlo en toda su generalidad, debemos considerar el caso de las rectas paralelas que se juntan en el punto del infinito.

Este teorema es además una generalización del teorema de Pappus, de hecho, este último correspondería al caso de una cónica degenerada formada por dos rectas. El Teorema de Papus establece lo siguiente:

Si en un par de rectas se escogen tres puntos al azar en cada una y se unen dos a dos, las intersecciones de las rectas que los unen estarán en una línea recta.

El siguiente gráfico ilustra este resultado:

 

Una de las curiosidades del Teorema de Pascal es que dados 6 puntos, existen 60 maneras diferentes de construir exágono, de donde deducimos que dada una cónica existirán 60 rectas diferentes de Pascal. La cuenta de 60 se obtiene con un sencillo cálculo sobre el número de ciclos de Hamilton de un grafo completo de 6 vértices.

Aunque no se cuenta con la prueba que Descartes pudo haber diseñado, hoy en día existen numerosas pruebas de su teorema, con muy diversas técnicas. Como decíamos antes, es un resultado que encaja perfectamente en la geometría proyectiva, y de hecho su dual proyectivo es el teorema de Brianchon, que afirma:

Sea ABCDEF un hexágono formado por seis rectas tangentes de una cónica. Entonces, los segmentos AD, BE, CF se intersecan en un solo punto P.

El teorema se ilustra con la siguiente figura:

Uno de los resultados más interesantes sobre las cónicas es que cualquiera de ellas está determinada conociendo cinco de sus puntos. Existe una relación entre este teorema y el de Pascal. En efecto, dados cinco puntos, el teorema de Pascal permite construir de manera efectiva la cónica correspondiente.

En este enlace el lector puede encontrar una construcción del Teorema de Pascal usando Geogebra.

Agustín Carrillo de Albornoz (Catedrático de Matemáticas y Secretario General de la FESPM y de la FISEM) y  Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Nicanor Parra, matemático, físico y antipoeta

Qué es el hombre

se pregunta Pascal:

Una potencia de exponente cero.

Nada

si se compara con el todo

Todo

si se compara con la nada:

Nacimiento más muerte:

Ruido multiplicado por silencio:

Medio aritmético entre el todo y la nada.

Nicanor Parra: “Pensamientos”

 

Leyendo el extraordinario libro de Leila Guerriero, “Plano americano”, un panorama de la vida cultural en Latinoamerica a través de 26 perfiles biográficos, me encuentro de nuevo con un poeta fuera de lo común, Nicanor Parra, el definido como antipoeta pero cuya profesión durante muchos años fue la de profesor de matemáticas y física.

Nicanor Segundo Parra Sandoval (ese era su nombre completo), nació en San Fabián de Alico, a 400 kilómetros al sur de Santiago de Chile, el 5 de septiembre de 1914, y falleció en La Reina, Santiago, el 23 de enero de 2018, a la edad de 103 años. Tras sus estudio en la escuela, en 1933 ingresó en el Instituto Pedagógico de la Universidad de Chile, para estudiar Matemáticas y Física, aunque siguió con sus aficiones literarias. En 1937 se graduó como profesor de matemáticas de la Universidad de Chile, y comenzó a ejercer como docente tanto en el campo de las matemáticas como en el de la física.

Pero no se limitó a la enseñanza. Consiguió una beca para cursar un postgrado en mecánica en la Universidad de Brown en Estados Unidos en 1943, y al regresar, se incorporó como profesor titular de Mecánica Racional en la Universidad de Chile. En 1948, fue nombrado director de la Escuela de Ingeniería, ocupando el cargo durante veinte años. Es notable que dedicara a la enseñanza unos 51 años de su vida, ya que se jubiló en 1996. En 1949 consiguió otra beca del British Council, para estudiar cosmología en Oxford con el físico Edward Arthur Milne. El propósito era realizar una tesis doctoral, pero nunca la terminó, la poesía se cruzó en su camino.

Nicanor Parra en 1935

Aunque Parra es universalmente conocido por su poesía (o antipoesía que diría el mismo), su formación matemática y física se trasluce en su obra, en ese afán de volver la poesía a la realidad de la vida y a la verdad, tal y como ocurre con las matemáticas. En esta entrevista dice al respecto de la paradoja de Aquiles y la tortuga:

“Estoy trabajando a fondo en esto, de nuevo, y debí haberlo hecho mucho antes, porque yo fui profesor de mecánica teórica, y la mecánica no es otra cosa que la teoría del movimiento. Yo partí siempre de la base de que el movimiento existe. Según Zenón, que es el autor de la paradoja, ésta nos lleva necesariamente a negar la existencia del movimiento. O sea, a aceptar que el mundo es ilusorio. Son muy graves las consecuencias.”

También es probable que la poesía influyese en su manera de dar sus clases de matemáticas y física. Leopoldo Soto, investigador en la Comisión Chilena de Energía Nuclear, y que fue presidente de la Sociedad Chilena de Física, asistió a una de ellas y comentó: “Usaba mucho el número Pi y escribía especies de ecuaciones que si uno las leía literalmente era un verso. La pizarra quedaba como un objeto extraordinario al final de la clase”.

Comienza su primera obra, “Cancionero sin nombre”, muy influenciado por Lorca, con estos versos: “Déjeme pasar, señora/que voy a comerme un ángel”. Sobre esos comienzos diría después Parra:

“Se debió esencialmente a una falta de conciencia del oficio. No tenía la menor idea de lo que se esperaba de una poesía. Creí que se aprendía como las matemáticas. Era, entonces, un poeta totalmente espontáneo. Además, la voz de García Lorca era hipnótica: una especie de encantador de serpientes, cuyo ritmo y cuya música me resultaban avasalladores y muy fáciles de imitar.”

Un artefacto de Nicanor Parra

Dejamos para el final sus artefactos, especie de postales conteniendo un dibujo y una frase, a veces lapidaria, nunca indiferentes. Esta es sobre el efecto mariposa:

Les dejamos con esta canción de Osvaldo Rodríguez, “Defensa de Violeta Parra”, que pone música al poema que Nicanos Parra le dedicó a su hermana, la gran cantora Violeta Parra.

Imagen de previsualización de YouTube

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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