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Premio Fronteras del Conocimiento Fundación BBVA a los descubridores de los aislantes topológicos


De nuevo la topología, esa rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar aquellas propiedades que no cambian cuando un espacio se deforma sin romperse, está detrás de un apasionante descubrimiento en la ciencia de materiales.

Si en 2016 los británicos David J. Thouless (Profesor Emérito en la University of Washington, Seattle, WA, USA), F. Duncan M. Haldane (Eugene Higgins Professor of Physics en la Princeton University, NJ, USA) y J. Michael Kosterlitz (Harrison E. Farnsworth Professor of Physics en Brown University, Providence, RI, USA), recibieron el Premio Nobel por el uso de conceptos topológicos para explicar la superconductividad (veáse El desayuno del topólogo), ahora la Fundación BBVA premia a los norteamericanos Charles Kane (Urbana, Illinois, EEUU, 1963) y Eugene Mele (Filadelfia, Pensilvania, EEUU, 1950), por su descubrimiento de los aislantes topológicos, una nueva clase de materiales que se comportan como conductores en su superficie, pero como aislantes en su interior.

Como se informa en la nota de prensa de la Fundación BBVA, la inspiración para su descubrimiento vino del estudio de un material que ha surgido como un nuevo paradigma, el grafeno. Ambos investigadores descubrieron que el grafeno (que se presenta en láminas tan finas que su espesor es de un átomo)  poseían propiedades que estaban entre un estado intermedio entre el de conductor y el de aislante. La clasificación entre materiales conductores y aislantes quedab rota, podría haber materiales que se comportaran como aislantes en su interior pero que fueran conductores en su superficie.

Kane y Mele no solo hicieron el estudio teórico sino que también diseñaron el método para construirlos en el laboratorio. En principio eran materiales “bidimensionales” como el grafeno, pero más tarde se encontraron materiales tridimensionales e incluso en la Naturaleza. Habían nacido los llamados “aislantes topológicos”.

Estos materiales admiten un flujo de electrones en su superficie (por lo tanto, pueden darse corrientes eléctricas), debido a ciertas propiedades de simetría temporal. Debe pensarse que estos materiales no son amorfos, sino lo que se llaman cristales, es decir, poseen una estructura reticular perfectamente ordenada. En el siguiente video se puede encontrar una rápida y sencilla explicación de lo que es un aislante topológico:

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Recordemos que los electrones tienen una naturaleza ondulatoria caracterizada por una función de onda que al moverse dentro de un cristal obliga a una coordinación de manera que la función de onda, salvo una fase, debe coincidir en cada nodo del retículo cristalino. Existe así una banda de energías permitidas (la banda de Brilluin) que por periodicidad podemos unir los extremos y obtener un toro topológico. A los rangos de energía en que no pueden estar los electrones se les llama bandas prohibidas. Y ahora interviene el efecto Hall cuántico. Pensemos en un material bidimensional sujeto a un campo magnético fuerte: la superficie no será conductora pero sí su borde: Ese es el efecto Hall. Y esto es una protección que llamamos topológica de la misma manera que el agujero del donut se mantiene, porque es una propiedad global, topológica. En los aislantes topológicos, el papel del campo magnético lo desempeña el espín (la “rotación” del electrón).

La importancia de estos materiales es que son robustos frente a deformaciones, a causa de esa “protección topológica”, y se espera de ellos una gran cantidad de aplicaciones en la llamada espintrónica así como en la construcción de ordenadores cuánticos.

 

Biografías de los premiados (proporcionada por la Fundación BBVA)

Charles Kane

Charles kane (cortesía de la FBBVA)

Charles Kane (Urbana, Illinois, 1963) se licenció en Física en la Universidad de Chicago en 1985 y se doctoró en el Instituto Tecnológico de Massachusetts en 1989. Durante tres años llevó a cabo investigación posdoctoral en el Centro de Investigación T. J. Watson de IBM, en Nueva York. En 1991 se incorporó a la Universidad de Pensilvania como profesor adjunto en el Departamento de Física y Astronomía. Desde entonces ha desarrollado su carrera académica e investigadora en esa universidad hasta alcanzar, en 2016, el puesto que hoy ocupa en la Facultad de Artes y Ciencias: Christopher H. Browne Distinguished Professor en Física. Kane es autor de casi un centenar de papers -veintiocho de ellos en colaboración con Eugene Mele- y ponente habitual en conferencias y congresos internacionales.

Eugene Mele

Eugene Mele (Filadelfia, Pensilvania, EEUU, 1950) se licenció en Física por la Universidad de St. Joseph (Filadelfia) en 1972 y en esa misma disciplina obtuvo su doctorado en 1978 en el Instituto Tecnológico de Massachusetts. En los inicios de su carrera profesional trabajó como científico asociado en el Centro de Investigación que la empresa Xerox tiene en Webster (Nueva York). Desde 1981 y hasta la actualidad ha desempeñado diversos cargos en el Departamento de Física y Astronomía de la Universidad de Pensilvania: profesor adjunto desde 1981 hasta 1985; profesor titular entre 1985 y 1989; y catedrático entre 1989 y 2017. Desde 2017 y hasta la fecha, ocupa el cargo de Christopher H. Browne Distinguished Professor en el mismo departamento de dicha universidad. A lo largo de su trayectoria ha publicado 180 artículos de investigación en revistas de prestigio y además es revisor de publicaciones como Science, Nature, American Journal of Physics o Physical Review Letters, entre otras. Ha sido también organizador de numerosos simposios, conferencias y congresos sobre Física desde 1998. En 2001 fue elegido miembro de la Sociedad Americana de Física.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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80 años del CSIC y del CNRS: las matemáticas


Dos instituciones europeas dedicadas a la investigación cumplen 80 años, lo que es realmente mucho tiempo y desde luego, anima a las correspondientes conmemoraciones. Una es el Centre national de la recherche scientifique (CNRS) y la otra es nuestro Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC). Es por tanto un buen momento para que en Matemáticas y sus fronteras hagamos un balance del recorrido de las matemáticas en cada una de estas instituciones, nunca con el ánimo de enfrentar visiones pero siempre con la intención de aprender unos de otros en lo que es el buen hacer en la política científica.

 

Las matemáticas en el CSIC ofrecen una larga y tortuosa historia en la que me ha tocado ser protagonista desde mi llegada a esta casa en 1986. Digamos que tras muchos sufrimientos, conseguimos crear el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) en 2007, proceso que me tocó liderar culminando así 21 años de lucha por la reinstauración de las matemáticas en el CSIC. Voy a olvidar los últimos cuatro años por motivos que muchos conocen, y quedarme con el hecho de conseguir poner en marcha un instituto que a los cuatro años de existencia conseguía su primer galardón Severo Ochoa.

 

Edificio del ICMAT

Por su parte, el CNRS recoge la gran tradición científica francesa, y no hay que olvidar que las matemáticas son, en relación a su tamaño, la primera disciplina científica en Francia. Las matemáticas se estructuran en el llamado Institut national des sciences mathématiques et de leurs interactions. Este instituto vertebra la investigación matemática francesa, y con mucha envidia, estas son sus cifras:

Recursos humanos:

400 investigadores;

200 ingenieros y técnicos.

 

y estas son sus infraestructuras (entre otras):

42 Unidades Mixtas de Investigación

13 Federaciones de Investigación;

25 Agrupaciones de Investigación;

6 Unidades Mixtas de Servicios;

3 Agrupamientos de Servicio;

9 Unidades Mixtas Internacionales;

9 Laboratorios Internacionales Asociados;

4 Agrupaciones Internacionales de Investigación

Todo esto da una scifras de 3600 investigadores contando también los de las universidades.

En el CSIC tenemos el ICMAT y una Unidad Asociada en la Universidad de La Laguna.

 

El Instituto Henri Poincaré en París

En 2018 se publicó en Francia un informe muy importante, el llamado Informe Torossian-Villani proponiendo “21 medidas para la enseñanza de las matemáticas”, que “tratan de mejorar la imagen de las matemáticas en la sociedad, de bajar la dimensión del miedo a las mismas, en definitiva, reconciliar a los franceses con las matemáticas”.

 

El Centro de Encuentros Matemáticos en Luminy, Marsella

Pues que mejor que el ochenta aniversario del CNRS para declarar el año 2019-2020 como “Año de las Matemáticas”. El ministro galo ha aceptado el envite y así se inaugurará este año el próximo 2 de octubre en el Gran Anfiteatro de la Sorbona.

El CNRS va a animar a todos sus laboratorios de matemáticas para que organicen actividades en sus locales dirigidas a profesorado y alumnado. Todavía más, el ministerio ha anunciado que se crearán en 2019 1000 referentes matemáticos, es decir, profesores formados especialmente para acompañar en cada circunscripción a los profesores de las escuelas que tuvieran esos problemas de miedo o sufrimiento en la enseñanza de las matemáticas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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BYMAT ataca de nuevo: matemáticos jóvenes y preparados


Hace unos 10 meses los jóvenes matemáticos del Instituto de Ciencias Matemáticas tomaron una iniciativa, organizar un congreso para reunir a todos los estudiantes predoctorales de España en Madrid. La iniciativa (BYMAT – Bringing Young Mathematicians Together) trascendió los objetivos iniciales, fue un éxito arrollador, y el congreso contó con la participación de casi 200 asistentes de 19 países diferentes y más de 75 instituciones.

No fue un éxito inesperado, nunca lo es cuando se tienen las ideas tan claras y se trabaja con entusiasmo y con convencimiento de que el proyecto va a suponer una mejora del colectivo. David Alfaya, Patricia Contreras Tejada, Ángela Capel, Roi Naveiro y Jesús Ocáriz, investigadores predoctorales del ICMAT solo tenían un problema, la financiación. Fue la inestimable ayuda del la Fundación BBVA la que permitió la organización del congreso en 2018, y también la de este año.

Esta segunda edición de BYMAT se celebrará desde el 20 al 24 de mayo, y reunirá a estudiantes de doctorado, máster y últimos años de grado en matemáticas y campos afines. La inscripción estará abierta hasta el próximo 30 de abril. Todos los detalles sobre el congreso están es su página web: https://www.icmat.es/congresos/2019/BYMAT/

Recordamos los objetivos principales de BYMAT:

  • Fortalecer las conexiones entre estudiantes de doctorado nacionales e internacionales en todas las disciplinas en las que las matemáticas juegan un papel relevante.
  • Estimular a investigadores jóvenes a comenzar a construir una red de contacto cuanto antes en sus carreras profesionales.
  • Proporcionar un espacio abierto y cómodo para que los jóvenes investigadores puedan presentar sus trabajos ante sus iguales.
  • Promover la interdisciplinariedad en la formación de investigadores en su etapa de doctorado, entre las diferentes áreas pero también en cuanto a la transferencia de tecnología y la comunicación a la sociedad.

El congreso de este año contará con siete conferencias plenarias impartidas por los siguientes investigadores:

Jan Maas (Institute of Science and Technology, Austria)

Marina Logares (University of Plymouth, Reino Unido)

Tong Tang (Hohai University, China)

Rafael Ramírez Uclés (Universidad de Granada, España)

Javier López Peña (University College London, Reino Unido)

Anabel Forte (Universitat de València, España)

Isabel Fernández (Universidad de Sevilla, España)

También se organizarán distintos talleres para atender a otros temas relacionados con los objetivos del congreso.

Decía Napoleón que “las derrotas son huérfanas, pero las victorias tienen muchos padres”. BYMAT es una victoria, pero solo tiene cinco padres (y madres): David Alfaya, Patricia Contreras Tejada, Ángela Capel, Roi Naveiro y Jesús Ocáriz. Mi agradecimiento a estos chicos, porque verlos en acción da sentido y esperanza a una continuidad del buen hacer en ciencia.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Los crímenes de Alicia


Uno de los libros que más apreciamos los matemáticos de todo el mundoes Alicia en el País de las Maravillas, de Lewis Carroll, seudónimo de Charles Lutwidge Dodgson. De manera que si se nos pone delante una novela como la que vamos a reseñar hoy basada en las andanzas de Dogson, teniendo como escenario el Oxford de nuestros días y además, aderezada con algunos crímenes, los matemáticos nos lancemos sobre el libro a devorarlo.

Como se trata de una intriga, no procede destriparla. Pero sí comentar algunas cosas interesantes de la trama, que, por cierto, se basa bastante en la realidad (quitando los crímenes, claro). Digamos que la Hermandad Lewis Carroll decide publicar los diarios privados del matemático británico. La joven becaria Kristen Hill viaja a Guildford para reunir los cuadernos originales y se encuentra con un hallazgo inesperado, la página que fue arrancada de uno de ellos. Esta página contiene supuestamente unas frases de Dodgson que podrían trastocar todo lo que se sabía sobre él.

Y así comienza la intriga, con algunos asesinatos y fotos misteriosas de las niñas que fotografiaba Dodgson y que hoy podrían ser tachadas de inmorales (la supuesta pedofilia del autor de Alicia es un tema recurrente). Y los protagonistas son los mismos de Crímenes imperceptibles, el matemático Arthur Seldom, y el alter ego de Guillermo Martínez (que por cierto fue investigador posdoctoral en Oxford).

Fotografía de Alice Liddell tomada por Dodgson

 

¿Y qué hay de verdad en toda la novela? No existe una tal hermandad, pero sí una Sociedad Lewis Carrolll, que ha publicado los diarios de Dodgson. Y sí, la escritora británica Karoline Leach encontró en Guilford las página arrancadas a los diarios. De pasada decir que en Guilford vivían las (seis) hermanas de Dodgson (en la casa llamada The Chestnuts), con las que pasaba mucho tiempo, y donde se ha construido un museo en memoria de Carroll. Dodgson vivió con sus hermanas en Guilford el último año de su vida, allí murió el 14 de enero de 1898, a punto de cumplir 66 años. Y allí está enterrado.

Lewis Carroll

Leach publicó un libro sobre Carroll, In the Shadow of the Dreamchild, muy polémico, en el que trata de desmontar el mito “Carroll”, argumentando que su naturaleza era mucho más compleja que lo que ha pasado a la historia. El debate sigue, y no olviden los lectores que ha habido gente que afirmaba sobre Carroll que fue en realidad Jack el Destripador. Así que lean la novela de Guillermo Martínez, porque hay sobrado material intrigante.

 

Nota bibiográfica sobre el autor en Planeta de Libros

Guillermo Martínez (Bahía Blanca, Argentina, 1962) reside desde 1985 en Buenos Aires, donde se doctoró en Ciencias Matemáticas. Posteriormente residió dos años en Oxford. En 1982 obtuvo el Premio del Fondo Nacional de las Artes con el libro de cuentos Infierno grande. A su primera novela, Acerca de Roderer, traducida a varios idiomas, la siguieron La mujer del maestro y el ensayo Borges y la matemática. En 2003 publicó Crímenes imperceptibles, novela traducida a 40 idiomas y llevada al cine por Álex de la Iglesia, con el título Los crímenes de Oxford, el mismo con el que fue publicada en España en 2004 por Destino. En 2007 publicó La muerte lenta de Luciana B, elegida por El Cultural entre los diez libros de ese año. En 2011 publicó su última novela, Yo también tuve una novia bisexual. En 2015 ganó el I Premio Hispanoamericano de Cuento Gabriel García Márquez con Una felicidad repulsiva. Publicó también los libros de ensayo La fórmula de la inmortalidad, Gödel para todos (en colaboración con Gustavo Piñeiro) y La razón literaria.

Guillermo Martínez

 

Un apunte personal

Guillermo Martínez nació y estudió en Bahía Blanca, uan universidad que he visitado y con la que tengo vínculos entrañables. Hernán Cendra, un matemático excelente, que fue profesor de Guillermo, es uno de mis colaboradores y en Bahía Blanca (en “las casitas” de la Universidad) tuve ocasión de pasar unos días entrañables. Soy lector asiduo de Guillermo, prácticamente he ido leyendo casi todo lo que ha publicado, es un escritor muy fino, con una influencia notable de Borges y su amor por las matemáticas. Estoy seguro que esta última novela, apoyada en el prestigioso Premio Nadal, será otro gran éxito en su carrera literaria.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Henri Poincaré y el “affaire” Dreyfus


Uno de los mayores escándalos de la política francesa fue el caso Dreyfus. Durante la Tercera República, a finales del siglo XIX, se acusó al capitán Alfred Dreyfus, alsaciano y judío, de alta traición. Dreyfus fue víctima del antisemistismo y la germanofobia, las pruebas fueron deliberadamente manipuladas y finalmente la justicia se impuso tras años de sufrimiento para el falso acusado.

Alfred Dreyfus (1859-1935)

Aunque el “affaire Dreyfus” es ampliamente conocido, no lo es tanto el papel que los matemáticos franceses jugaron en el mismo, para poner en evidencia la falsedad de las pruebas, basadas en un mal uso de la teoría de probabilidades. El informe de tres matemáticos de la talla de Henri Poincaré, Gaston Darboux y Paul Appell en 1904 fue determinante. En este enlace se puede leer el informe original.

Vayamos al comienzo del caso Dreyfus. En septiembre de 1894, una mujer de la limpieza de la Embajada de Alemania en París encuentra una carta rota en seis pedazos sin fecha ni firma. La carta está dirigida al coronel alemán Maximilien von Schwarzkoppen, y anuncia el envío de notas confidenciales sobre el armamento y la organización del ejército francés.

 

El “bordereau”

La letra del capitán Dreyfus tenía unas aparentes semejanzas con las de la carta hallada, así que este fue juzgado en un proceso militar en el que el acusado no tuvo acceso a las pruebas, y condenado a prisión perpetua y desterrado en la colonia penal de la Isla del Diablo, situada a 11 km de la costa de la Guayana francesa. Las condiciones de la prisión fueron durísimas, agravadas por las falsas noticias de la intención de fugarse por parte de Dreyfus.

La familia no cesó en su lucha para demostrar la inocencia del capitán, pero uno de los acontecimientos más importantes fue la acción del novelista francés Émile Zola. Tras la condena, había surgido la figura del comandante Ferdinand Walsin Esterhazy, que parecía el verdadero culpable, aunque fue absuelto. Zola piublica entonces en la primera página de L’Aurore, un artículo en forma de carta abierta al Presidente Félix Faure: «J’Accuse». El periódico editó ese día 300.000 ejemplares, diez veces su tirada habitual. Fue una bomba, acusando a todos los conspiradores. Pero Zola fue también acusado por ele ejército y condenado a pagar una fuerte multa.

 

Emile Zola

La historia de este proceso termina cuando en 1899 se decide la revisión del juicio. Dreyfus es llevado a Francia, como prisionero, y el 7 de agosto de 1899 se presenta al nuevo consejo de guerra. A pesar de las pruebas contundentes de su inocencia, es condenado otra vez, el 9 de septiembre de 1899, a diez años de reclusión y a una nueva degradación de su condición militar. Para no prolongar el suplicio, Dreyfus acepta los cargos y llega a un acuerdo con los tribunales. Durante todo este tiempo, el escándalo en Francia y en el mundo es de una dimensión espectacular, con la sociedad francesa completamente dividida.

 

Dreyfus en la prisión

En 1906 Dreyfus es finalmente rehabilitado. Un episodio reseñable acontece en 1902, cuando Zola muere. Otro gran novelista, Anatole France, que lee el discurso fúnebre de Zola, exige que en el entierro esté Dreyfus, lo que impide el alcalde de París. Anatole France ataca el comportamiento que se tuvo con Dreyfus y Zola: “Envidiémosle: honró a su patria y al mundo por una obra inmensa y un gran acto. Envidiémosle, su destino y su corazón le hicieron la suerte más grande. Él fue un momento de la conciencia humana.»

 

Los matemáticos franceses

La división social también afecta a los matemáticos franceses. Figuras como Camille Jordan, Georges Humbert, Pierre Duhem y Charles Hermite están convencidos de la culpabilidad de Dreyfus y lo manifiestan públicamente. Pero otros grandes matemáticos ya consagrados como Paul Appel o las estrellas emergentes como Paul Painlevé y Jacques Hadamard no están de acuerdo. En el artículo Des mathématiciens dans l’affaire Dreyfus?  el autor Laurent Rollet hace un análisis muy completo de las distintas posiciones y sus causas.

 

Alphonse Bertillon

Pero lo más desconocido es el trasfondo matemático de la acusación. Se basó desde un principio en la similitud de la escritura de la carta (el llamado bordereau o comprobante) con la de Dreyfus. El autor intelectual del tema es Alphonse Bertillon y su uso del cálculo de probabilidades. La carta estaba escrita en papel cebolla, que es casi transparente y podía servir de papel de calco. Ciertas sílabas y palabras eran idénticas entre ellas, podrían superponerse. Bertillon aseguraba que había similitudes con las cartas encontradas en el registro de la casa de Dreyfus, y que este incluso habia tratado de escribir el texto en cuestión haciendo una autfalsificación para despistar más (Dreyfus, aseguraba, había maquillado su carta usando desplazamientos geométricos). Sostenía incluso que había un cifrado oculto en el texto.

Es cuando Paul Painlevé, Paul Appell, Gaston Darboux y Henri Poincaré entran en juego. Reproducimos la carta que Poincaré envía a Painlevé sobre el tema y que es contundente:

« Vous me demandez mon opinion sur le système Bertillon. Sur le fond de l’affaire, bien entendu je me récuse. Je n’ai pas de lumières et je ne peux que m’en rapporter qu’à ceux qui en ont plus que moi. Je ne suis pas non plus graphologue, et je n’ai pas le temps de vérifier les mesures. Maintenant, si vous voulez seulement savoir si, dans les raisonnements où M. Bertillon applique le calcul des probabilités, cette application est correcte, je puis vous donner mon avis. Prenons le premier de ces raisonnements, le plus compréhensible de tous. (Figaro du 25 août, page 5, colonne 1, lignes 57 à 112.) Sur 13 mots redoublés correspondant à 26 coïncidences possibles, l’auteur constate 4 coïncidences réalisées. Évaluant à 0,2 la probabilité d’une coïncidence isolée, il conclut que celle de la réunion de 4 coïncidences est de 0,0016. C’est faux. 0,0016, c’est la probabilité pour qu’il y ait 4 coïncidences sur 4. Celle pour qu’il y en ait 4 sur 26 est 400 fois plus grande, soit 0,7. Cette erreur colossale rend suspect tout ce qui suit. Ne pouvant d’ailleurs examiner tous les détails, je me bornerai à envisager l’ensemble du système. Outre les quatre coïncidences précitées, on en signale un grand nombre de nature différente, mettons dix mille ; mais il faudrait comparer ce nombre à celui des coïncidences possibles, c’est-à-dire de celles que l’auteur aurait compté à son actif s’il les avait constatées. S’il y a 1000 lettres dans le bordereau, cela fait 999000 nombres, en comptant les différences des abscisses et celles des ordonnées. La probabilité pour que sur 999000 nombres il y en ait 10000 qui aient pu paraître “remarquables” à un chercheur aussi attentif que M. Bertillon, c’est presque la certitude. »

 

Henri Poincaré

Algo más tarde, se les encarga a Paul Appell, Gaston Darboux y Henri Poincaré un informe pericial. En la introducción del informe, Poincaré es demoledor, los argumentos de Bertillon no se sostienen:

« S’il s’agissait d’un travail scientifique, nous nous arrêterions là; nous jugerions inutile d’examiner les détails d’un système dont le principe même ne peut soutenir l’examen; mais la Cour nous a confié une mission que nous devons accomplir jusqu’au bout ».

Este caso es una prueba de cómo la ciencia, y muy particularmente las matemáticas, pueden contribuir a la verdad más allá de juicios basados en los sentimientos o en los intereses particulares. Cuando se interroga a los científicos y a la ciencia, “Qui donc osera encore élever le moindre doute?»

Fotografía de Alfred Dreyfus, rehabilitado

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Trece mujeres, trece espejos


He tenido la oportunidad de participar recientemente en un libro excepcional, un libro único: “Mujeres matemáticas. Trece matemáticas, trece espejos”, que son trece visiones a la vida y la obra de trece mujeres que dedicaron sus esfuerzos a las matemáticas.

El objetivo del libro era ofrecer trece estampas en las que todos, y muy especialmente las niñas, pudieran mirarse y les hicieran pensar: ¿por qué no puedo ser como ellas? Porque a lo largo de la historia ha habido y hay cada vez más matemáticas brillantes, que han hecho aportaciones esenciales.

El libro narra estas trece biografías, con quince autores diferentes. La coordinación ha estado a cargo de Marta Macho Stadler, profesora de la Universidad del País Vasco (UPV/EHU), editora del espacio digital “Mujeres con ciencia” de la Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU, y un referente imprescindible en la divulgación científica y en la lucha por la presencia de la mujer en la ciencia.

Marta Macho, coordinadora del libro

 

En el prólogo, Marta Macho se pregunta: “¿Y por qué trece mujeres?”, y he aquí la respuesta: “Porque el número trece es un símbolo. Es un número maldito, temido, olvidado, ninguneado… como tantas y tantas mujeres a lo largo de la historia.  Sin  embargo,  el  trece  es  un  número  especial,  al  menos  “tan  especial”  como  cualquier otro número. Por ejemplo, 13 es un número primo, más aun, es la suma de dos números primos (13 = 2 + 11). También es la diferencia de dos cuadrados perfectos (13 = 72 – 62), es el octavo término de la sucesión de Fibonacci y un número pitagórico (13 = 22 + 32), entre otras cosas.”

El proceso para escribir este libro fue primero elegir las protagonistas, representando áreas diferentes de las matemáticas, y luego los autores. Este es el listado:

Caroline Herschel (1750-1848) que trabajó a la sombra de su hermano, William Herschel, ayudándole en la elaboración de sus telescopios y en sus observaciones astronómicas, escrito por Miguel Ángel Mirás Calvo y Carmen Quinteiro Sandomingo.

Sophie Germain (1776-1831) que estudió y aprendió matemáticas a pesar de la tenaz oposición de su familia. La autora es Vane Calero Blanco.

Ada  Lovelace  (1815-1852)  es  la  siguiente  protagonista, hija de Anna Isabella Milbanke y de Lord Byron, el poeta maldito, narrada por Aida  Inmaculada Conejo Pérez.

Florence Nightingale (1820-1910) enfermera y notable estadística, contada por María Teresa Valdecantos Dema.

Sofia Kovalévskaya (1850-1891), por Amelia Verdejo Rodríguez.

Emmy Noether (1882-1935), conocida por sus contribuciones fundamentales en los campos de la física teórica y el álgebra abstracta, y contada por Edith Padrón Fernández.

Gertrude Blanch (1897-1996), pionera en análisis numérico y computación, cuya historia marra Juan J. Moreno Balcázar.

Rózsa Péter (1905-1977), la principal contribuidora a lateoría de funciones especiales recursivas, viene de la mano de Irene Ferrando Palomares.

Emma  Castelnuovo (1913-2014),  la gran dama de la educación matemática, nos la introduce Ainhoa Berciano Alcaraz.

Katherine Johnson (1918), conocida después por su gran precisión en los cálculos necesarios para la navegación astronáutica, descubierta en la película “Figuras ocultas”, que escribe la mismísima Marta Macho.

María Josefa Wonenburger Planells (1927-2014), la gallega de la teoría de grupos, presentada por María José Souto Salorio y Ana Dorotea Tarrío Tobar.

Graciela Salicrup López (1935-1982) mexicana, topólga pionera, descrita por Natàlia  Castellana  Vila.

La última protagonista del libro es Maryam Mirzakhani (1977-2017), la primera mujer en conseguir la preciada medalla Fields y que yo mismo he tenido el privilegio de describir al lector.

Un libro único, publicado por SM y la Real Sociedad Matemática Española en la colección Estímulos Matemáticos, y que animanos a todos a leer. Seguro que no quedarán defraudados.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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OK Computer


Una de miss canciones preferidas de Radiohead es Karma Police. Los primeros versos de la canción dicen

Karma police

Arrest this man

He talks in maths

He buzzes like a fridge

He’s like a detuned radio

Los miembros de la banda se gastaban una broma entre ello: “Si te portas mal, vendrá la policía del karma a castigarte”. Según el hinduismo, el karma te persigue toda tu vida, y los seres humanos van reencarnándose en diferentes animales hasta que alcanzas el nirvana y te libera del tránsito por el mundo.

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Pero, ¿de dónde viene la alusión a las matemáticas? Karma Police es una canción del tercer albúm de la banda británica, OK Computer, lanzado en entre mayo y julio de 1997. OK Computer tiene mucho que ver con las matemáticas. Muchos consideran el albúm como un tributo a la electrónica y al mundo digital. Un aviso de un mundo que se avecinaba hiperconectado pero a la vez depresivo, en el que internet estaba en sus comienzos. Yorke estaba alertando sobre la ubicuidad de la tecnología, y de cómo las redes sociales, los celulares, aplicaciones, asistentes digitales, etc, nos iban a convertir en seres paranoicos y alienados.

Radiohead hace todo esto tres años antes del simbólico año 2000: «He talks in maths, he buzzes like a fridge»; la frontera entre la máquina y el ser humano se está difuminando. Radiohead no solo predice este hecho, sino también la coerción de los gobiernos en las elecciones (en “Karma Police” y “Electioneering”). Y esta tecnología será persuasiva y agradable, no olvidemos la voz robotizada de “Fitter, Happier”, lanzando mensajes publicitarios uno tras otro. Y el conformismo final de “No surprises”:

A heart that’s full up like a landfill

A job that slowly kills you

Bruises that won’t heal

You look so tired and unhappy

Bring down the government

They don’t, they don’t speak for us

I’ll take a quiet life

A handshake of carbon monoxide

 

Son muchos los pequeños guiños a las matemáticas y a la computación en esta obra. Por ejemplo, OK Computer es un comando de voz de los Mac. En la serie de radio de Douglas Adams, Hitchhiker’s Guide to the Galaxy , el personaje Zaphod Beeblebrox decía: “Okay, computer, I want full manual control now.” De ahí el título.

En varias de las caras B que lanzaron con el disco hay una titulada Palo Alto en la que adelanta el mundo actual

In a city of the future

It is difficult to find a space

I’m too busy to see you

you’re too busy to wait.

Un título alternativo que la banda consideró para el álbum fueron Ones and Zeroes, una referencia clara al sistema de numeración binario que subyace a la digitalización. También aparecía un número en el reverso de la carátula, al que si se llamaba te contestaba una grabación del mismísimo Tom Yorke.

Una leyenda urbana (la revista Addicted To Noise) dice que OK Computer está inspirada en la novela de Philip K. Dick, Valis (Sivainvi, en la traducción española, o sea “Sistema de Vasta Inteligencia Viva”) aunque Tom Yorke confesó que nunca la había leído. ¡Lástima!

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

 

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Las matemáticas del I Ching y El hombre en el castillo


Hace unas semanas terminé la lectura de un libro muy singular, la biografía de Emmanuel Carriére sobre Philip K. Dick, reeditada por Anagrama y titulada Yo estoy vivo y vosotros estáis muertos. Carriére repasa la vida del famoso escritor de ciencia-ficción, sumida en la paranoia, que traslada a su obra una y otra vez. ¿Lo que vivimos en la realidad o es una realidad inventada para nosotros?

Dick descubrió el libro en 1960, y no lo soltó. Mezcla de enciclopedia de la sabiduría y técnica de la adivinación, es una presencia constante en el primer gran éxito del autor, “El hombre en el castillo”, una ucronía en la que Alemania y Japón ganan la Segunda Guerra Mundial y se dividen el mundo. ¿Pero de verdad ha ocurrido eso?

Vayamos al libro. El I Ching es “El libro de las mutaciones” o “El libro de los cambios”, un manual de consulta del futuro, que nos asesora (con todas las ambigüedades necesarias) sobre el futuro y nos dice cuál debería ser nuestra conducta para lograrlo. No es por tanto un simple sistema de adivinación sino que incluye los aspectos morales.

El libro es muy antiguo, con unos 3000 años de antigüedad, auqnue no se introdujo en Europa hasta el siglo XIX. Consta de 64 hexagramas, los que se muestran en la imagen.

Cada hexagrama consta de 6 líneas, que pueden ser de dos formas:

  • la línea rota, que representa el yin, el principio femenino, la oscuridad, la receptividad.
  • la línea continua, que representa el yang, el principio masculino, la creatividad.

¿Cómo se forma un hexagrama? El método tradicional es usando las llamadas monedas chinas. Son monedas de bronce con un agujero cuadrado en el centro y con una inscripción en una de las caras, tal y como las de la figura. El cudradado en el círculo indica el yin (la Tierra) en el yang (Cielo). Se asigna a cada cara un valor de 2 o 3 de manera que al echarlas a rodar se obtienen valores desde 6 a 9, y se toma una línea continuada si es impar y rota en caso contrario.

Otro método más sofisticado usa varillas de aquilea o milenrama, llegando sí a obtener uno de esos cuatro números.

El hexagrama consta de dos trigramas, cada uno de tres líneas. Un simple cálculo de probabilidades nos dice que con una línea pueden darse dos casos, yin o yang; con dos líneas, cuatro: yin-yin, yin-yang, yang-yin o yang-yang. Y con un trigrama son ocho. El orden es, obviamente, importante por las diferentes interpretaciones. Estamos obteniendo todas las variaciones posibles con dos elementos, por lo que la sucesión son potencias de dos. Con dos trigramas, que forman un hexagrama, habrá por tanto 26 = 64 posibilidades.

Cada hexagrama nos va a dar lugar a una posible interpretación, y en este diagrama se pueden ver los 64 posibles.

Aquí entra una nueva variable en el sistema, porque aparecen lo que se llaman líneas yin y yang mutables, que indican una transición. El resultado del hexagrama será el mismo que si la línea no fuera mutable, pero con añadidos de interpretación. De hecho, el que busca consejo debería tener en cuenta el hexagrama actual y áquel al que está mutando.

Si queremos poner en juego tanto las líneas estáticas como las mutables, las posibilidades serán 4 y con 6 líneas nos iríamos a 46 = 4096 posibilidades. Esto enriquece el análisis de manera notable.

El I Ching pretende encerrar todas las respuestas del universo en las combinaciones posibles de 64 hexagramas. Como suele ocurrir, la ambigüedad es grande y todo el mundo encontrará alivio para sus inquietudes.

Volvamos a El hombre en el castillo. La guerra ha terminado de manaera positiva para las potencias del Eje, y Alemania y Japón se han repartido los Estados Unidos. Esa es la realidad alternativa que nos describe Dick. Pero circula un libro titulado La langosta se ha posado, de Hawthorne Abdensen, que muestra un mundo alternativo en donde el Eje perdió la guerra. ¿Cuál es la realidad? El hombre en el castillo es un libro de la mayor actualidad, e este mundo de fake news. El señor Nobusuke Tagomi intenta resolver sus dudas de fe con repetidas consultas al I Ching. No sé si acabaremos volviendo a estos métodos en estos tiempos convulsos.

Digamos para terminar que el I Ching interesó mucho a Leibniz. El libro se conoció en Europa a través de los jesuitas afincados en la corte en Pequín, a finales del siglo XVII, y el matemático alemán quería estudiarlo en relación con el sistema binario de numeración. En esta imagen se puede encontrar el diagrama que Joachim Bouvet envió a Leinniz con los 64 hexagramas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

 

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Las matemáticas son un arma cargada de futuro


La matemática es una poesía de ideas.

ARMAND BOREL

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Por mi parte es un atrevimiento parafrasear al poeta Gabriel Celaya, pero intentaré mostrar a lo largo de este artículo cómo las matemáticas fluctúan entre la idea que refleja el título y la no menos evocadora cita de Armand Borel. Hace poco más de un siglo, en 1900, David Hilbert enunciaba en el Congreso Internacional de Matemáticos de París los 23 problemas que deberían ocupar a los matemáticos durante los próximos cien años. Entre ellos, pocas concesiones a la ciencia, excepto el deseo de dotar a las teorías físicas de un fundamento axiomático-matemático sólido. En 2000, en la conmemoración de tal evento, y con ocasión del Año Mundial de las Matemáticas, el Clay Mathematics Institute prometía un millón de dólares a los que fueran capaces de resolver los siete problemas del milenio; de ellos, uno aludía a la Física Teórica y otro a la ecuación de Navier-Stokes para los fluidos. Sin embargo, aún cuando se hiciera en ambos casos referencia a importantes problemas científicos, el contexto quedaba muy ceñido al ámbito de las matemáticas más académicas.

David Hilbert

Esta percepción es la que predomina también en la sociedad. La mayoría de las personas poseen una formación matemática que queda restringida a lo que estudiaron en la educación secundaria, como mucho, en el bachillerato. No son conscientes, por tanto, de las aplicaciones de las matemáticas en los ámbitos de la industria, la tecnología y las finanzas, aunque sí hay una conciencia colectiva de su uso en las Ciencias. Cambiar esa percepción es una tarea pendiente de los matemáticos españoles, aunque en los países mas avanzados tecnológicamente la componente matemática del desarrollo es ya una idea muy establecida.

 

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Se cuenta de un joven chino que dedicó toda su vida a aprender el arte de cazar dragones, hasta que estuvo seguro que ya dominaba todas las técnicas de cómo cazar dragones. En ese momento se dio cuenta que no había en el mundo dragones que pudieran ser cazados y el joven se dedicó entonces a enseñar cómo cazar dragones.

LEYENDA CHINA

El genial René Thom decía que a los matemáticos nos ocurría lo mismo que al joven de la leyenda china y que nos habíamos convertido en maestros de cazadores de dragones. Sin embargo, sí hay dragones que cazar en el siglo XXI, y podemos enumerar unos cuantos: plegamiento de proteínas, genómica, reconstrucción de imágenes, computación cuántica, modelos cardiovasculares, funcionamiento del cerebro, desarrollo sostenible, medio ambiente, calentamiento global, tratamientos de residuos, y tantos otros. Las partidas de caza van a ser muy variadas, formadas por ingenieros, físicos, médicos, biólogos, químicos, pero los matemáticos debemos ser parte indispensable del equipo.

René Thom

Los dragones del nuevo siglo representan grandes oportunidades para la investigación matemática. Aparte de mirarse a sí mismas, las matemáticas siempre han ganado cuando han buscado su utilidad en otros campos. La Física Teórica ha sido un buen ejemplo: de unas matemáticas aplicadas a la física hemos pasado a una física que produce nuevas matemáticas de la mano de investigadores como Ed Witten. Y es que la relación siempre es de ida y vuelta: desde hace siglos, los grandes problemas científicos y tecnológicos han generado excitantes problemas matemáticos.

Ed Witten

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Estos dragones del siglo XXI van, en consecuencia, a exigir un cambio de paradigma en las licenciaturas de matemáticas. Estas no sólo deberán atender a sí mismas, sino que además deberán preparar a los futuros matemáticos para integrarse en un mundo nuevo.

Decía Peter Esterházy (aristócrata, novelista, matemático y futbolista):” Chacun devient idiot à sa façon”. Podemos extender la máxima a esta otra: Cada uno se hace matemático a su manera. En cierta forma, ese es el principio rector del Espacio Europeo para la Educación Superior que estamos a punto de poner en marcha.

Peter Esterházy

Esta reflexión ya ha comenzado, y es importante señalar que los matemáticos han tomado la delantera a otras disciplinas, espoleados quizás por el descenso de alumnos en nuestras facultades. Pero debemos desembarazarnos de una vez por todas de malos hábitos del pasado, olvidar parcelas obsoletas de poder y pensar en las matemáticas como una unidad. Si lo conseguimos, estaremos en posición de afrontar los nuevos problemas con garantías de éxito. En caso contrario, otros desarrollarán las matemáticas necesarias, pero no será lo mismo.

 

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La filosofía está escrita en este vasto libro que continuamente se ofrece a nuestros ojos (me refiero al universo), el cual, sin embargo, no se puede entender si no se ha aprendido a comprender su lengua y a conocer el alfabeto en que está escrito. Y está escrito en el lenguaje de las matemáticas, siendo sus caracteres triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender una sola palabra; sin ellos sólo se conseguiría vagar por oscuros laberintos.

GALILEO GALILEI

La cita de Galileo confronta un tipo de matemáticas centradas en las aplicaciones con unas matemáticas platónicas centradas en sí mismas. De otra manera, estamos frente al falso debate entre la Matemática Pura y la Matemática Aplicada, debate que en nuestro país ha servido en muchas ocasiones a intereses espúreos. En otro sentido, es una confrontación entre las matemáticas como útiles de formación para los jóvenes (Platón pensaba que los futuros hombres de estado debían poseer una buena formación matemática que hiciera más ágiles sus mentes), ante unas matemáticas como útiles en la comprensión del universo, y, como tales, generadoras de conocimiento (que en definitiva es el significado primigenio de la palabra matemáticas), encarnadas por Galileo.

Este conocimiento matemático, tal y como ocurre con todo conocimiento, es susceptible de ser utilizado (transferido, diríamos ahora). Este es el esquema: primero conocemos cómo se producen los fenómenos, y después utilizamos ese conocimiento para simularlos y controlarlos; así se genera una tecnología.

Una carencia de nuestro país son los instrumentos necesarios para propiciar esas transferencias. Las matemáticas son en España una ciencia joven, con escasa tradición. No supimos aprovechar ocasiones históricas que hubieran conducido a otros derroteros. Ni la España de las tres culturas, ni la Academia de Matemáticas de Madrid fundada por Felipe II, ni la primavera efímera vivida en el primer tercio del siglo XX, truncada por la guerra civil del 36, se consolidaron.

Esa ciencia joven que ahora vemos, como ocurre con todas las juventudes, es arrolladora, impulsiva, crece sin orden, dando lo mejor y lo peor. El peligro es que se solidifique en este estado, y no sea capaz de alcanzar una madurez que la haga pasar de larva a mariposa; necesita un tiempo de crisálida de vertebración interna  para que se produzca la necesaria metamorfosis. Es, por tanto, hora de hacer Política Científica con mayúsculas.

 

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Necesitamos, pues, nuevos instrumentos, y no pueden ser un mero mimetismo de los existentes en otros países, porque hemos crecido sin pasar por la adolescencia que en otros lugares han tenido oportunidad de vivir; las matemáticas españolas han ido saltando etapas. Hace falta mucha imaginación.

Hasta ahora, la investigación ha sido académica, vinculada a la docencia universitaria. Pero el crecimiento continuo que las plantillas universitarias experimentaron desde la década de los 60 se ha detenido ante la bajada demográfica, agravada en el caso de las matemáticas por su especial dificultad y falta de atractivo. El sistema español de I+D+i ha sido incapaz en estos años de cambiar el modelo, y ahora comenzamos a sufrir las consecuencias. Nuestros jóvenes matemáticos no ven un futuro en su carrera investigadora, y muchos comienzan a buscar puestos estables fuera de nuestras fronteras. Ahora sí podemos hablar de una auténtica fuga de cerebros, porque estos jóvenes han sido formados en nuestro país, no en el extranjero como ocurría hasta hace unos pocos años. Más grave todavía, estamos formando expertos en problemas muy concretos, sin poner a su alcance el panorama completo de las matemáticas, creando petis idiots savants susceptibles al abandono de una investigación limitada que oculta la grandeza y unidad de la disciplina.

¿Cómo cambiar la tendencia? Creando primero una carrera investigadora que lleve a contratos indefinidos. En paralelo, potenciando la investigación multidisciplinar, tanto en ciencia básica como en las aplicaciones a la industria, las tecnologías y las finanzas. Esto exige medidas urgentes y extraordinarias, coordinadas entre los diferentes agentes: Ministerio de Educación y Ciencia, Ministerio de Industria, Comunidades Autónomas y Universidades. Y no nos queda mucho tiempo para evitar lo que sería el mayor fracaso de la investigación española.

 

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La formación con la que los estudiantes llegan a las facultades es deficiente. La enseñanza de las matemáticas en la secundaria precisa de grandes reformas. Los profesores necesitan afrontar nuevos retos: una cohorte universal en las aulas acompañada del fenómeno de la inmigración con su problemática especial. Nadie ha preparado a nuestros profesores para estas situaciones. Complementariamente, es preciso abordar una tarea que hasta el momento se nos antojaba imposible: la elaboración de unos estándares curriculares españoles al estilo de los elaborados por el National Council of Teachers of Mathematics. No cabe duda que si consiguiéramos este hito, dispondríamos de una gran herramienta para mejorar la enseñanza de las matemáticas.

Es necesario además hacer más atractivas las matemáticas para nuestros hijos, mediante campañas sistemáticas de divulgación y potenciando programas como las Olimpiadas Matemáticas y Ciencia en Acción. Y no solo divulgación para nuestros hijos, sino para la sociedad en general. Debemos aumentar la apreciación pública de las matemáticas y a ello tenemos todos que dedicar nuestros esfuerzos.

En estas tareas, la labor de las sociedades matemáticas será fundamental. La Real Sociedad Matemática Española ya la ha comenzado, mediante su portal DivulgaMAT. Tenemos que aprovechar las Semanas de la Ciencia, Ferias de la Ciencia y acontecimientos singulares como ocurrió en 2000 con el Año Mundial de las Matemáticas y ocurrirá en 2006 con el Congreso Internacional de Matemáticos para ir en esa dirección. Esta misma revista digital que hoy nace es un buen ejemplo de lo que tenemos que hacer.

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 Las dos caras del Jano bifronte que representa a las matemáticas deben ir unidas, no hay dos matemáticas. Platón y Galileo deben ir de la mano, reflejando la unidad interna de las mismas. Las matemáticas son un arma cargada de futuro, sí, y la munición está formada por una poesía de ideas. Si somos capaces de entenderlo así, estaremos contribuyendo a una edad de oro de las matemáticas españolas, y como corolario, al progreso y al bienestar de nuestra sociedad.

Platón

Galileo

NOTA: Este artículo se publicó originalmente en abril de 2005, en el primer número de la revista digital Matematicalia, hoy desaparecida. Se reproduce en Matemáticas y sus fronteras porque probablemente muchos de los temas siguen siendo asuntos pendientes.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Geometría y moda. Secretos matemáticos del vestir


Miradas Matemáticas ofrece su séptima entrega, Geometría y moda. Secretos matemáticos del vestir, escrito por el matemático Claudi Alsina.

Alsina indaga en este ameno libro sobre las relaciones que existen entre la geometría y el mundo de la moda. Como decía Coco Chanel, “La moda es arquitectura: es un tema de proporciones”, así que nuestro cuerpo (rostro, talla, tipología) debe estar en la mente del diseñador para que nuestra apariencia sea siempre la mejor posible. Y ahí aparecen las medidas, las proporciones, la geometría en suma.

El libro también analiza los recursos geométricos que a lo largo de la historia han utilizado los sastres para el diseño y la producción de la ropa con la que vestimos (y adornamos en ocasiones) nuestros cuerpos. Desde instrumentos físicos como las reglas hasta herramientas matemáticas como las simetrías, llegando hoy en día al uso de los ordenadores. Se cuenta también, por cierto, como los telares de Joseph Marie Jacquard inspiraron la máquina analógica de Charles Babbage, el primer prototipo de una computadora.

 

Claudi Alsina

Claudi Alsina no sólo trata las prendas de vestir, sino que se exteinde sobre los complementos de la moda, como sombreros, botones, corbatas (y los diferentes nudos que se han ido incorporando con el tiempo), bufandas, guantes, etc. Y, como no, las joyas, indispensables en muchos actos sociales.

Uno de los objetivos perseguidos por el autor a lo largo de su vida ha sido el de acercar las matemáticas a la vida cotidiana de las personas. Y vaya si lo ha conseguido. Claudi Alsina es un referente español en la divulgación matemática. Muchos hemos disfrutado de sus conferencias que consiguen llenar grandes auditorios, y de sus libros. Alsina tiene la facultad de conectar con el público, cada una de sus conferencias puede resultar en una auténtica puesta en escena. Siempre divertido y siempre ameno, pero también siempre riguroso.

Claudi Alsina en su época de estudiante

La biografía de Claudi Alsina es muy amplia. Es un matemático, licenciado en la Universidad de Barcelona, siguiendo después estudios de postgrado en Estados Unidos (Massachusetts).  Hasta su jubilación, ha sido Catedrático de Matemática Aplicada de la Universidad Politécnica de Cataluña (por 33 años), especialista en ecuaciones funcionales, desigualdades, lógica borrosa, espacios métricos probablilísticos, educación matemática. Ha publicado má sde 60 libros, 200 artículos de investigación y otros tantos de educación y divulgación, ha dirigido 16 tesis doctorales e impartido más de 1000 conferencias en muchas partes del mundo. No contento con esto, Alsina también ha ocupado puestos de responsabilidad política en temas educativos y de investigación en Cataluña.

Estamos convencidos de que este último libro de Miradas Matemáticas, Geometría y moda, no defraudará a los miles de seguidos del autor. Para conocer de primera mano al autor, os dejamos con esta entrevista en Televisión Española con ocasión de su libro Los asesinos matemáticos atacan de nuevo

http://www.rtve.es/alacarta/videos/para-todos-la-2/para-todos-2-entrevista-claudi-alsina/1555088/

Dónde adquirir el libro

https://www.catarata.org/libro/geometria-y-moda_89329/

 

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

 

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