Triángulos de Heron


Estos últimos meses me he dedicado a leer muchos artículos sobre unos falsamente modestos objetos geométricos, los triángulos. Fruto de esa curiosidad, traemos a Matemáticas y sus fronteras un tipo de triángulos con propiedades muy interesantes, los llamados triángulos de Heron.

Herón de Alejandría

Un triángulo de Heron es áquel cuyos lados y áreas son números enteros. Fácilmente vemos que cualquier triángulo rectángulo con lados enteros es de Heron, porque el área es la mitad del producto de los dos catetos, ya que uno actúa como base y el otro como altura:

Un ejemplo de un triángulo heroniano que no es rectángulo es uno isósceles que se puede obtener pegando dos triángulos rectángulos de lados 3, 4, y 5 por el cateto de longitud 4; así obtenemos un triángulo isósceles con lasdos de longitudes 5, 5 y 6, y área 12 unidades cuadradas.

Esta técnica vale en general, porque si tomamos un triple pitagórico (que es equivalente a dar un triángulo rectángulo) (a, b, c), con c mayor que a y b, y tra (a, d, e), con e mayor que a y d, entonces podemos construir un nuevo triángulo pegando los lados de longitud a (veáse la figura anterior).

Las longitudes de sus lados serán c, e, y b + d, y el área es A = 1/2 (b+d) a

En consecuencia, si a es un entero par o b+d lo son, entonces el área A es entera.

Pero no todos los triángulos heronianos son así, y se llaman indescomponibles. Podemos permitir una generalización del concepto de triángulo heroniano permitiendo que los lados y el área sean números racionales. En este caso, siempre se puede hacer esa descomposición.

Heron encontró una fórmula maravillosa que relacionaba el área con el perímetro de un triángulo

dónde a, b, y c son las longitudes de los lados y s es el semiperímetro. Por lo tanto, tenemos una ecuación diofántica

El conjunto completo de soluciones para triángulos heronianos fue encontrada (¡cómo no!)  por Leonhard Euler, y las versiones paramétricas son debidas a Brahmagupta y Carmichael (1952), y son de este tipo

para los valores de a, b, c, s y Δ, respectivamente. Aquí, los enteros m,n y k verifican

Así se pueden producir infinidad de triángulos de Heron de una manera sencilla.

La curiosidad sobre los problemas matemáticos es inagotables, y así nos encontramos con tetaedros heronianos y pirámides perfectas.

¡Un mundo apasionante el de los triángulos!

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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Epiciencias: ¿el futuro de las revistas científicas?


Damos noticia en Matemáticas y sus fronteras de una nueva iniciativa en las publicaciones científicas, surgida del bando de los matemáticos, y que intenta aportar soluciones para la crisis que sufren las revistas científicas, motivadas por los monopolios editoriales, la confusión con el tema del libre acceso, las críticas a los factores de impacto, los precios crecientes, …

Así, el proyecto Episciences.org se define a sí mismo en el contexto del libre acceso y del acceso sin restricciones a la producción científica. El proyecto lo ha puesto en marcha el Centre pour la Communication Scientifique Directe (CCSD), de la Universidad de Lyon, en colaboración con el INRIA y el Instituto Fourier de la Universidad de Grenoble.

El objetivo es construir una plataforma libre y de open access que facilite, de una manera sencilla, hospedar, manejar o crear revistas basadas en arXiv o en HAL. arXiv es un muy conocido servidor de preprints, y HAL es un servicio digital del CCSD, interconectado con arXiv.

Las revistas que están alojadas en Episciences se denominan epijournals, y pueden ser revistas que ya existían y se acogen ahora a esta posibilidad, o revistas de nueva creación. La lista de revistas es esta (hay que tener en cuenta que Episciences comenzó su andadura a mediados de 2015 y por lo tanto el número es todavía reducido):

Informática y Matemática Aplicada:

Revue de l’ARIMA

DMTCS Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science

JDMDH Journal of Data Mining and Digital Humanities

JIPS Journal d’Interaction Homme Machine

LMCS Logical Methods in Computer Science

Matématicas:

Epiga : Epijournal de Géométrie Algébrique

Hardy-Ramanujan Journal

Mathematica Universalis

Humanidades y Ciencias Sociales:

Journal of Interdisciplinary Methodologies and Issues in Science

Slovo

Sociétés plurielles

Esquema de funcionamiento de Epiciencias

Uno de los aspectos interesantes de Episciences es la variedad de estilos y de estructuras internas que ofrecen, y los instrumentos para el trabajo editorial habitual. Los procedimientos para enviar un manuscrito son los tradicionales. arXiv o a HAL, y después a la revista elegida. Entonces, como es habitual, el Comité Editorial de esa revista decide aceptar la publicación o no, con los evaluadores correspondientes. Una vez aceptado, e incorporadas las revisioens a que hubiera lugar, se envía de nuevo a arXiv o HAL.

Otro aspecto muy interesante es que existe un “Epicommittee” en cada disciplina, para atender a aspectos éticos y de calidad científica. Este es el comité de matemáticas:

Les membres de l’épicomité (15 juillet 2013) sont :

Sun-Yung Alice Chang, Department of Mathematics, Princeton University, USA

Ingrid Daubechies, Department of Mathematics, Duke University, member of CEIC, USA

James Davenport, Department of Computer Science and Mathematical Sciences, University of Bath, Chair of the CEIC, UK

Jean-Pierre Demailly, UFR de Mathématiques, Institut Fourier, Université de Grenoble I, France

Timothy Gowers, Department of Pure Mathematics and Mathematical Statistics, University of Cambridge, UK

Greg Kuperberg, Mathematics Department, University of California, Davis Campus, USA, head of Davis’s front to arXiv

Gadadhar Misra, Department of Mathematics, Indian Institute of Science, India

Junjiro Noguchi, Graduate School of Mathematical Sciences, the University of Tokyo, Japan

Peter Olver, School of Mathematics, University of Minnesota at Minneapolis, USA,

Thomas Peternell, Mathematisches Institut, Universität Bayreuth, Germany

Terence Tao, Department of Mathematics, UCLA, USA

Wendelin Werner, Department of Mathematics, ETH Zürich, Switzerland

Shing-Tung Yau, Department of Mathematics, Harvard University, Cambridge, USA and The Institute of Mathematical Sciences, The Chinese University of Hong Kong

Xiangyu Zhou, Department of Mathematics, The Chinese Academy of Sciences, Beijing, P.R. of China

Para finalizar, digamos que este proyecto es una alternativa a los modelos económicos existentes, abaratar costes, conseguir in auténtico libre acceso, y que los autores no ceden su propiedad, ésta es solamente suya.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

 

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¿A dónde van los matemáticos cuando mueren?


Los cementerios no son tan populares en España como hace unas décadas, vivimos tiempos en los que solo cuenta el presente y disfrutar de la vida. Pero siguen siendo sitios interesantes, en los que reposan unos cuantos de nuestros seres queridos, pero en donde se pueden encontrar tumbas ilustres. Nos hemos preguntado hoy por el destino final de los matemáticos, y hemos encontrado algunas respuestas.

Tumba de los Bolyai

Una de las tumbas que más llaman la atención es la de los Bolyai, padre e hijo. János, quién desobedeció el consejo de su padre Farkas de no dedicarse a estudiar el quinto postulado de Euclides, descubrió la geometría hiperbólica. Ambos yacen ahora juntos en la ciudad de Marosvásárhely, antes en Hungría, ahora es Târgu-Mureş y pertenece a Rumanía.

Pero hay muchos más matemáticos ilustres que han encontardo su descanso final en algún lugar de nuestro planeta, donde puedan ser visitados y honrados por sus logros. Y algunos de sus epitafios son tan originales como lo fueron sus vidas.

Es difícil seguir la pista a los más antiguos, como es el caso de Arquímedes, que vivió hace unos 2300 años. Su tumba ilustra su demostración matemática favorita: una esfera inscrita en un cilindro de la misma altura y diámetro. Arquímedes probó que el volumen y superficie de una esfera son dos tercios de las del cilindro incluyendo sus bases. Cicerón, que estaba como cuestor en Sicilia, decidió buscar la tumba, y la encontró cerca de la puerta de Agrigento en Siracusa, en una condición descuidada y poblada de arbustos. Posteriormente, se perdió la referencia al lugar. En 1960 se anunció que se había descubierto la tumba de Arquímedes, pero no está probada la autenticidad.

En el siglo XVI, Ludolph Van Ceulen pasó toda su vida calculando los treinta y cinco primeros dígitos de pi. Para ello utilizó las técnicas de Arquímedes y polígonos con una gran número de lados. En su tumba se leen la cota inferior y superior de pi. La tumba original desapareció, pero se conserva una réplica.

Réplica de la tumba de Ludolph Van Ceulen

Jacob Bernoulli, en el siglo XVII, fue un matemático influyente en el campo de las ecuaciones diferenciales, especialmente en ecuaciones separables y cálculo infinitesimal, lo que aprendió de Leibniz. Bernoulli estaba enamorado de la espiral logarítima y quería que fuera esculpida en su epitafio. Sin embargo, accidentalmente, le inscribieron la espiral de Arquímedes.

Tumba de Jakob Bernouilli

Isaac Newton también encontró un lugar memorable en que yacer, en la Abadía de Westminster, donde su epitafio dice: “ Aquí se encuentra Sir Isaac Newton, caballero quien con un rigor mental casi super natural, demostró por primera vez los movimientos y figuras que realizan los planetas, los caminos de los cometas y las mareas oceánicas. Dejemos que los mortales se regocijen de que exisió tal ornamento de la naturaleza”

Bernhard Riemann también es recordado como uno de los grandes matemáticos de la historia por sus contribuciones, que van desde el álgebra al análisis, de la geometría no euclideana a la topología.  La hipótesis  de Riemann sobre la distribución de los números primos es uno de los grandes problemas abiertos en la historia de las matemáticas desde el siglo XIX.  Riemann falleció en Selasca (Italia) , y reposa  en  el  cementerio  de  Biganzolo.  Su tumba tiene la inscripción:

Aquí reposa en Dios

GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN,

Prof. en Göttingen,

nacido el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz,

muerto el 20 de junio de 1866 en Selasca.

A los que aman a Dios todas las cosas le sirven para lo mejor.

Tumba de David Hilbert

David Hilbert, otro de los grandes del siglo XIX, fue reconocido por sus aportaciones a la axiomatización de la geometría y los espacios de Hilbert, que suponen las bases del análisis funcional (y de la mecánica cuántica). Su epitafio en Göttingen son sus palabras pronunciadas en la Sociedad Alemana de Científicos y Médicos el 8 de septiembre de 1930: “ Wir müssen wissen, wir werder wissen”, traducido: “Debemos saber, sabremos”. Justamente el día antes de que Hilbert pronunciara estas palabras Kurt Gödel anunció su teorema de incompletitud.

Ludwig Boltzmann, físico y matemático que revolucionó la física estadística, también dejó un epitafio matemático en el que grabó la fórmula de crecimiento de la entropía de un sistema. En el siglo XIX también Lindemann quiso dejar uno de sus resultados inscritos en su tumba. Probó que p es un número transcendente, relacionado con la cuadratura del círculo. De ahí que en su tumba aparezca un círculo inmerso en un cuadrado alrededor del símbolo de p. Sumándose a la moda del siglo XIX, William Clifford, también dejó un epitafio, aunque algo más metafísico. Así dijo: “Yo no era, pero fui concebido. Amé y trabajé un poco. Ahora no estoy,  pero no sufráis”.

La estrategia del recordatorio matemático en tumbas siguió hasta el siglo XX, Paul Dirac, inventor de la ecuación que lleva su nombre, encontró un lugar donde descansar también cerca de la Abadía de Westminster y quedó allí grabada la ley relativista de los electrones.

Para finalizar, Paul Erdos, quien dedicó su vida a trabajar en las matemáticas, murió poco depués de dar su última charla en Varsovia hace un par de décadas, dejando un legado en teoría de grafos, combinatoria, teoría de conjuntos, aproximación y probabilidad. Después de tanto trabajo y para su muerte, quería que en su epitafio figurara esta frase: “Por fin he dejado de hacerme más y más tonto”. Tan excéntrica la frase como lo fue su vida.

Tumba de Paul Erdös

Y ahora, os preguntamos, vosotros, ¿qué descubrimiento habéis hecho digno de un epitafio?

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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Las matemáticas de Karl Marx


“Ayer, por fin, encontré las fuerzas para estudiar sus manuscritos matemáticos y, aunque no utilicé libros de apoyo, me alegró ver que no los necesitaba. Le felicito por su trabajo. El asunto está tan claro como la luz del día, así que no deja de extrañarme la forma en que los matemáticos insisten en mitificarlo. Debe de ser por su manera tan partidista de pensar”.

Carta de Engels a Marx en agosto de 1881.

 

Karl Marx es probablemente una de las personas que más influencia ha tenido en la descripción de nuestra sociedad tal y como es ahora. En una encuesta de la BBC de 1999, fue elegido como el “mayor pensador del Milenio”.

Karl Marx

Las teorías de Marx sobre la sociedad, la economía y la política, el marxismo, proclaman que las sociedades avanzan a través de la dialéctica de la lucha de clases. Pero no es sobre marxismo sobre lo que vamos a hablar a continuación, sino sobre una faceta menos conocida de Marx: su interés por las matemáticas.

En una carta del 11 de enero de 1858, Marx le escribe a Engels:

“Trabajando en los Principios de la Economía,  me he sentido más entorpecido por los errores de cálculo que por la falta de esperanza. Nunca me he sentido a gusto con la aritmética. Pero haciendo un rodeo con el álgebra, encontraré rápidamente el camino”.

En esta aventura matemática le acompañó su colega, amigo y también benefactor, Friedrich Engels. Ambos dedicaron un gran esfuerzo para avanzar tanto en las matemáticas como en las ciencias en general. Las matemáticas sirven para construir modelos, y el objetivo de Marx era estudiar aquellos que servían para entender cómo funcionaba la economía.

Engels, en el prólogo de su importante obra “Anti Duhring”, dice:

“Marx y yo fuimos los únicos que salvamos la dialéctica consciente de la filosofía idealista alemana, para traerla a la concepción materialista de la naturaleza y de la Historia. Mas, para enfocar a la par dialéctica y materialmente la naturaleza, hay que conocer las matemáticas y las ciencias naturales. Marx era un concienzudo matemático”.

Karl Marx quiere entender los fundamentos del cálculo infinitesimal y, aparentemente, no estaba al tanto del desarrollo del análisis matemático de la época, así que, entre 1873 y 1883, comienza a escribir unas notas en las que plasma sus investigaciones. Estos escritos se recogen en un libro que se publica primero en ruso gracias al esfuerzo de la matemática rusa Sofya Aleksandrovna Yanovskaya; Yanovskaya comienza a estudiar estos textos en 1930 y la edición del libro es en 1968. Posteriormente, en 1983, se publica la traducción al inglés con el título “The Mathematical manuscripts of Karl Marx”. Existe una edición en español de 1987 por Ediciones Xerais.

Según los textos, parece ser que el interés de Marx iba sobre todo para entender las curvas que surgían de los gráficos realizados con los datos experimentales. En esta tarea, Marx no cuenta todavía con el edificio sólido que hoy ofrecen las matemáticas. En esa época, matemáticos de la talla de Weierstrass, Dedekind y Cantor, estaban detallandon conceptos como límite. Por otra parte, y fruto de la rivalidad de Newton y Leibniz, las relaciones entre las matemáticas del continente europeo y las de las islas británicas no eran todo lo fluidas que deberían ser.

Marx estudia la naturaleza y la historia del cálculo diferencial, pero también realiza su propia investigación, obteniendo de manera independiente resultados ya conocidos. Aunque los resultados no cambiaron el desarrollo de las matemáticas, sí es interesante señalar cómo Marx se adelanta a su tiempo conceptualmente: Él protestaba por una visión de la derivación y la integración como meros cálculos y prefería profundizar en su naturaleza.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y César de la Prida (Editor de Matemáticas en Santillana Educación).

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La muchacha que analizaba los datos


En 1965, una joven graduada en Física, Jocelyn Bell, comenzó en la Universidad de Cambridge su doctorado en astrofísica bajo la dirección de Anthony Hewish, quién quería poner en marcha un nuevo método observacional de los recientemente descubiertos quasars, con la ayuda de un nuevo radiostelescopio. Con sus colegas de doctorado, Jocelyn comenzó la ardua construcción del telescopio, que comenzó a funcionar en julio de 1967, todavía sin terminar. El trabajo de Jocelyn era usarlo y analizar los datos que se iban recogiendo: casi 30 metros de papel cada día.

Susan Jocelyn Bell

 

Un día detectó un extraño patrón en los registros de las lecturas, un pulso regular, aproximadamente uno por segundo. Lo denominó temporalmente LGM (Little Green Man, Hombrecillo verde), porque tanto ella como Hewish pensaron en un principio que eran ocasionados por extraterrestes. Los quásares son también objetos luminosos y emiten en todas las longitudes de onda. La diferencia radicaba en la frecuencia de los destellos, por lo que debería tratarse de un nuevo objeto. Finalmente identificó la fuente como una estrella de neutrones de rápida rotación.

Primera observación de púlsares

Resumidamente, un púlsar es una estrella de neutrones que emite radiación periódica. Esta radiación es fruto de intensos campos magnéticos en el corazón de la estrella, y se emite a intervalos regulares relacionados con la rotación de este objeto.

 

Púlsar de la Nebulosa del Cangrejo. Esta imagen combina imágenes del telescopio HST (rojo), e imágenes en rayos X obtenidas por el telescopio Chandra (azul).

Un púlsar surge de una estrella que explota y cuyo materia residual se comprime. En este proceso, disminuye la distancia entre los átomos aunque los electrones que orbitan alrededor del núcleo se repelen mutuamente, pero en una estrella de neutrones los electrones son atraídos desde sus órbitas hacia el núcleo. Así, junto con los protones, se forman más neutrones, hasta que la estructura atómica se transforma en un cúmulo de neutrones, dando lugar a una estrella de neutrones.

Jocelyn nació en Irlanda del Norte en 1943 y desde una temprana edad mostró su interés por la Física, gracias a las enseñanzas de su profesor de Física en el Mount School de York, Inglaterra. Mr. Tillott, quién le decía: «No tienes que aprender montones y montones de datos; tan sólo aprende unas pocas cosas clave, y… entonces podrás aplicarlas y construir y desarrollar sobre ellas.”

Este descubrimiento fue digno de premio Nobel y se entregó a Anthony Hewish, el supervisor de Jocelyn. Únicamente se le entregó a él, en vez de a Jocelyn, cuando ella era la auténtica protaogonista.

Jocelyn no guarda rencor a la Academia Sueca y cree que quizás no le concedieran el Nobel porque en aquel momento sólo era una doctoranda.

No obstante, Jocelyn ha recibido muchos otros elogios. Ha pertenecido a importantes grupos de investigación en la Universidad de Southhampton, en el Royal Observatory de Edimburgo, en University College de Londres, Universidad de Princeton, Oxford, Bath y es actualmente la presidenta de la Royal Astronomical Society. También recibió la medalla de oro del CSIC hace dos años.

El trabajo de Jocelyn Bell (ahora Jocelyn Bell Burnell, por su casamiento) descansó sobre el análisis de los datos. Hace cincuenta años, los métodos eran muy primitivos, pero hoy en día existen técnicas poderosas para analizar los millones y millones de datos que los astrónomos obtienen, tanto de los telescopios y radiotelescopios en tierra como de las misiones espaciales. El análisis de estos datos descansa en las matemáticas, y el aumento exponencial que de este auténtico aluvión de datos precisa de algoritmos matemáticos cada vez más sofisticados. Esta necesidad ha creado un nicho muy interesante donde los matemáticos pueden encontrar muchas oportunidades. En los países más avanzados así lo han entendido, tal y como comentábamos en entradas anteriores.

Terminamos con esta excelente conferencia de la mismísima Jocelyn Bell sobre el descubrimiento de los púlsares.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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El fracaso del Campus de Excelencia Internacional UAM+CSIC


En 2009 se lanzó el programa Campus de Excelencia Internacional, una ambiciosa medida del gobierno de España para mejorar la calidad del sistema universitario mediante la agregación, especialización, diferenciación e internacionalización de sus mejores universidades.  Esta era una de las actuaciones desarrolladas en el marco de la llamada Estrategia Universidad 2015, dentro del ámbito estratégico del “entorno” y como impulso especial a la relación Universidad-Ciudad-Territorio.

El lanzamiento del programa fue a bombo y platillo, y trataba de emular a programas similares en Alemania y Francia. Desgraciadamente, estos créditos desaparecieron en cuanto la crisis económica se agudizó, y, como en su día ocurrió con el Programa Consolider, desapareció. Pero las universidades se lanzaron a solicitar este sello de calidad, que conllevaba unos interesantes créditos con los que poner en marcha estrategias de fortalecimiento. Un aspecto interesante era el de buscar sinergias, y en el caso de la Universidad Autónoma de Madrid, su socio natural fue el Consejo Superior de Investigaciones Científicas.

Si se va a la página web del CEI UAM+CSIC, el proyecto no podía ser más ambicioso:

La universidad del sigo XXI es sin duda, uno de los pilares sobre los que se debe construir la sociedad del conocimiento y una economía competitiva y sostenible. En estos momentos de profundos cambios sociales, económicos y tecnológicos, la universidad se perfila como motor de desarrollo en la generación del conocimiento y su transferencia hacia la sociedad, y ello solo es posible con un modelo de campus en el que se sumen los esfuerzos con otras instituciones y agentes sociales. El Campus de Excelencia Internacional UAM+CSIC (CEI UAM+CSIC) representa la suma de esfuerzos de la Universidad Autónoma de Madrid y el Consejo Superior de Investigaciones Científicas para construir un campus de educación superior, investigación e innovación, con proyección internacional. El proyecto, al que se agregan también los Institutos IMDEA del Campus, cuatro institutos de investigación sanitaria, dos centros nacionales de investigación en enfermedades prevalentes, los Ayuntamientos y organizaciones empresariales del entorno y un buen número de empresas, tiene tres puntos de partida: una clara vocación docente, un talento y prestigio investigador consolidado, ya de relevancia internacional incuestionable en algunas áreas, y un firme compromiso con nuestro entorno social, cultural y económico. En este contexto, durante el período 2009-2014 comenzó el desarrollo del proyecto estratégico con una importante transformación de la universidad a nivel de agregación con centros e institutos de investigación, especialización e internalización que se potenciará en su próximo plan de actuación 2015-2018.

Edificio del Rectorado de la UAM

El Plan de Trabajo se articulaba en estos ejes estratégicos:

  • Biología y Biomedicina
  • Nanociencia, Nanotecnología y Materiales Avanzados
  • Física Teórica y Matemáticas
  • Ciencias Sociales, Ciencias Jurídicas y Humanidad

Se crearon una serie de Comisiones de Trabajo, que funcionaron los primeros años. Pero desgraciadamente, no se aprovechó la oportunidad de crear auténticas sinergias. La UAM y el CSIC tienen una historia larga de colaboración, y ésta es la universidad que alberga en sus campus el mayor número de institutos del CSIC (propios y mixtos). Este hecho ha dotado al campus de unas infraestructuras únicas.

Porque en vez de tomar ventaja de unas condiciones iniciales óptimas, se mantuvo la diferenciación entre la UAM y el CSIC. Los trabajos para dotar de una identidad jurídica al CEI no han seguido adelante. Las reuniones de las comisiones se terminaron en cuanto el ministerio detuvo el flujo de los créditos. Hasta en la página web hubo que insistir en un cambio para que se mostrara una única institución y no dos. Es una característica demasiado común en el colectivo universitario el reunirse para repartir los recursos, pero no para diseñar estrategias para conseguir más con los que se dispone en un momento dado, olvidando que la estrategia solo requiere inteligencia y sentido común. Y, desde luego, no se reduce a llenar un campus de banderolas o enviar un boletín donde se incorporan actividades que se realizan independientemente del CEI.

Edificio Plaza Mayor de la UAM

El actual rectorado es obviamente responsable de que el CEI no haya cuajado, y un momento crítico fue el conflicto en la dirección del Instituto de Ciencias Matemáticas, ICMAT. UAM y CSIC llegaron a una situación de incomunicación mutua que todavía está sin resolver y donde solo por la participación de la Secretaria de Estado se logró reducir el revuelo mediático. Las consecuencias de este innecesario conflicto están siendo muy graves, y se percibe en la disminución de actividades científicas e ingresos por proyectos europeos.

A pesar de que las inversiones del CSIC en el campus de la UAM han sido importantes, entre ellas el edificio que alberga a los dos institutos, Instituto de Física Teórica (IFT) e ICMAT, el eje estratégico de Física Teórica y Matemáticas, que englobaba al Departamento de Física Teórica de la Facultad de Ciencias y el IFT, y al Departamento de Matemáticas y al ICMAT, no ha funcionado.

En Matemáticas, ni siquiera se ha sido capaz de lograr un acuerdo en las sinergias entre las bibliotecas del instituto y el Departamento, ni tampoco se ha puesto en marcha un programa conjunto de máster y doctorado. Y entre la Física Teórica y las Matemáticas la relaciones son simplemente inexistentes.

Ahora se presentan unas elecciones a Rector, cuya primera vuelta será el 4 de mayo. Acabo de presenciar el debate de los tres candidatos, y es muy significativo que en una hora y cuarenta y cinco minutos, ni se ha mencionado al CSIC (una ojeada a los programas electorales confirma esta falta de interés). Las previsiones que se hicieron en su momento de conseguir la presencia del campus en los cien primeros puestos de los rankings internacionales han fallado, y al contrario, se está retrocediendo, y mucho.

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La UAM (y el resto de universidades madrileñas) tienen frente a sí dos retos, dos leyes de calado regional: la LEMES (Ley del Espacio Madrileño de Educación Superior), y el V PRICIT (Plan Regional de Investigación Científica e Innovación Tecnológica). Poco se ha debatido sobre la LEMES y menos sobre el PRICIT.

Alguno de los candidatos se refería a la necesidad de detener el declive de la UAM. Es cierto, habría que detener este declive de una universidad que un día fue puntera (a pesar de las proclamas triunfalistas del candidato “oficial”, ya no lo es). Pero si los candidatos se atienen únicamente a contentar a todos, no lo conseguirán, y la agonía se prolongará. Harían bien en aplicarse esta frase de Woody Allen: “No conozco la clave del éxito, pero sé que la clave del fracaso es tratar de complacer a todo el mundo.”

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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El lenguaje de las matemáticas


En una entrada anterior, citábamos el famoso párrafo de Galileo Galilei en Il Saggiatore, en la que se preguntaba en que lenguaje estaba escrito el universo, y decía: “… Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, …”

Estatua de Galileo Galilei en Florencia

Galileo nos dice cuáles son las “letras” que debemos usar para describir el mundo. Y estos caracteres han ido construyéndose a lo largo de siglos, más bien, milenios. Algunos eruditos sostienen que es la necesidad de contar haciendo marcas en las vasijas de barro lo que condujo al nacimiento de la escritura. En cualquier caso, los símbolos se fueron creando. Pensemos por ejemplo en hueso de Ishango, que pudo ser tallado para establecer un sistema de numeración hace 20.000 años.

El hueso de Ishango

Los símbolos para representar los números fueron diferentes para las muchas culturas: símbolos cuneiformes para los babilonios, jeroglíficos para los egipcios, los números romanos, y la aparición del sistema decimal y los números indo-arábigos que hoy en día usamos universalmente, culminados con el cero, de valor clave para desarrollar un sistema posicional.

El primer escrito occidental donde aparecen los números indo-arábigos, sin incluir el cero, es el Codex Vigilanus o Albeldensis, manuscrito anónimo escrito en latín y finalizado en el 881.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Estos diez símbolos se utilizan el sistema de numeración decimal y son ampliamente reconocidos universalmente. Prácticamente cualquier persona, sin importar su idioma y alfabeto nativo, está en la capacidad de entender y comprender su significado.  Sin embargo, el nombre que los números tienen en un idioma permiten entrever otros sistemas de numeración que estuvieron presentes en la antigüedad.

Por ejemplo, a pesar de que Francia adoptó el sistema decimal en el Siglo XVI, aún se pueden evidenciar trazos del sistema vigesimal. Vemos que el número 80 en francés se dice quatre-vingts (“cuatro veintes”), ya que este idioma utiliza el número 20 como base para contar entre el 70 y el 100. En adición, el hospital Quinze-Vingts de París aún conserva su nombre en honor a las 300 camas que allí habían. Se cree que el sistema vigesimal originó de la suma de los dedos de las manos y de los pies de los humanos.

Otro caso lo vemos en el ruso a la hora de expresar la edad. Este idioma tiene casos gramaticales, es decir, los sustantivos cambian según su papel en la oración. Para no entrar en detalles, veamos cómo se dice “Tengo 31 años”: Мне 31 год (“mnie 31 god”). Fijemonos en la última palabra. Si la edad acaba en 1 (11,21,31,… años) se usa la palabra год (“god”). Pero si la edad acaba en 2, 3, 4, 5  se usa la palabra года (“goda”). Para las edades que acaban en los números restantes, se utiliza la palabra лет (“let”). Detrás de esta regla gramatical que parece un tanto absurda, está el concepto de “uno, pocos y muchos” que se desarrolló en culturas antiguas donde no existía la necesidad de contar grandes cantidades.

Pero no solo los números llevan a crear un simbolismo. Los Elementos de Euclides contienen los primeros modos del razonamiento lógico. Esta es probablemente lo que le da a las matemáticas ese carácter universal; de axiomas incontestables, por deducción lógica, vamos obteniendo proposiciones y teoremas.  El rigor matemático ya no iba a abandonar nunca más a la humanidad.

Signos tan habituales para nosotros como + y – tienen una historia muy reciente: aparecen en la obra Mercantile Arithmetic, del matemático alemán Johannes Widman, publicado en Leipzig en 1489. En este texto, no tienen la connotación algebraica, sino que esta es posterior, y aparece así en otros manuscritos de finales del siglo XV.

Página del “Mercantile Arithmetic” de Johannes Widmann

Otro signo como el de igual, =, aparece en el libro The Whetstone of Witte, y el signo de la multiplicación, ×, se utiliza por primera vez en la obra Clavis Mathematicae (1631), del matemático inglés William Oughtred. El punto en vez de la cruz de San Andrés x, fue popularizado por Leibniz, aunque ya lo usaban algunos autores. La notación de los dos puntos, :, para la división fue también popularizada por Leibniz.

Pero se puede ver como previamente a estos cuatro símbolos, +, -, x y :, se usaron otros muchos menos manejables.

El símbolo de la raíz cuadrada apareció por primera vez en en un libro alemán a mediados del siglo XVI. Para evitar escribir “raíz de…” se empezó a escribir una “r”, donde el trazo horizontal cubría todo el número, dando orígen al símbolo que conocemos actualmente.

Nociones como la derivada y la integral se desarrollaron en la segunda mitad del siglo XVII, por obra de Isaac Newton y Leibniz. A Leibniz se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos de derivada d/dx y el símbolo de la integral ∫.

Esto es solo un breve recuento de símbolos, estos han ido configurando un auténtico lenguaje para las matemáticas, lo que ha permitido un desarrollo vertiginoso en los 3 últimos siglos. El desarrollo de la lógica matemática ha finalmente completado un sistema de manera que una proposición puede escribirse como un auténtico jeroglífico.

Así nos comunicamos los matemáticos

Este desarrollo del lenguaje de las matemáticas, del que aquí solo se ha hecho un esbozo, es lo que permite escribir un resultado por medio de una ecuación. Las ecuaciones serían por lo tanto los auténticos caracteres con los que describir el universo.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Viviana Márquez (Estudiante de matemáticas, Konrad Lorenz Fundación Universitaria).

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La arquitectura moderna y las matemáticas II


En una entrada previa hablamos sobre edificios emblemáticos que siguen unas pautas matemáticas en su diseño. Pero hay otros edificios que aparentemente no siguen un patrón y parecen, más bien, trozos pegados de una manera arbitraria. Pensemos por ejemplo en esta Casa Danzante de Praga, construida en 1997 por el arquitecto Frank Gehry:

La Casa Danzante de Praga

 

Esta Casa Danzante está formada por dos bloques, que asemejan dos bailarines, y de ahí que se les conozca popularmente como Fred y Ginger, en recuerdo de los famosos Fred Astaire y Ginger Roberts, protagonistas de tantas películas musicales de Hollywood (aquí se puede encontrar una excelente descripción de este edificio).

Otro ejemplo, también de Frank O. Gehry, son las bodegas Elciego, la bodega más famosa de los Herederos del Marqués de Riscal, en la Rioja Alavesa, que parece surgir de la tierra como un viñedo. Otros ejemplos son el famoso museo Guggenheim de Bilbao, el auditorio de Los Ángeles o el museo de arte Weisman.

Bodega Elciego

¿Qué tienen que ver estos edificios con las matemáticas? O, preguntando de otra manera, ¿qué matemáticas nos sugieren estos edificios? A primera vista, son objetos geométricos, curvas y superficies, en el espacio tridimensional. Podrían interpretarse desde el punto de vista matemático como variedades diferenciables, estructuras que son localmente como los espacios euclidianos y que pueden “parchearse” para formar estructuras globales.

Una construcción matemática como la “suma conexa” de variedades aparece en la arquitectura. Dadas dos subestructuras de la figura arquitectónica, podremos unir dos variedades de la misma dimensión y este proceso deja en cada variedad una frontera. Lo podemos ver en el Museo de Arte Weisman (en inglés, Weisman Art Museum o WAM), el museo de arte de la Universidad de Minnesota (Minneapolis), y que está alojado en un edificio diseñado por el Frank Gehry e inaugurado en 1993. Este edificio se encuentra dentro del campus universitario, sobre el río Mississippi al este del puente de la Avenida Washington. El edificio presenta dos fachadas bien diferenciadas dependiendo desde donde se observe. Desde el campus se ve una fachada de ladrillo del estilo de las demás construcciones del edificio y, desde el otro lado, se aprecia la exuberancia de formas curvas y angulares de acero que representan la abstracción de una cascada y un pez.

Museo de Arte Weisman

Si volvemos a España, es interesante recordar el trabajo del ingeniero Ildefonso Cerdá, que realizó estudios estadísticos y síntesis gráficas para la construcción de viviendas y el trazado del barrio del Ensanche en Barcelona. La geometría del barrio se conoce como la cuadrícula de Cerdá. Propuso el ensanche “ilimitado”, una cuadrícula regular e imperturbable, a diferencia de otras propuestas que rompen el ritmo repetitivo. La genialidad de este ingeniero preveía la construcción óptima para la futura circulación de vehículos.

Plan Cerdá

Sin embargo, siempre hay excepciones a la regularidad, especialmente en el paseo de Gracia y la rambla de Cataluña, donde se trazaron sólo dos vías consecutivas en vez de tres como indicaba la geometría restante. Por tanto, estas manzanas presentan irregularidades en forma de trapecio en vez de seguir el diseño ortogonal con chaflanes.

Para terminar, planteamos el problema de “La Unión” basándonos en el estupendo ejemplar de National Geographic dedicado a Geometrías No Euclideas y de venta en los quioskos recientemente.

Imaginemos dos poblaciones distintas distribuidas en cuadrículas, como el barrio del Ensanche en Barcelona.  Las poblaciones deciden unirse, y para eso, los ayuntamientos deciden trazar una calle de unificación. La condición a cumplir es que cualquier vehículo que transite esta vía de unión esté igualmente equidistante de las dos poblaciones que se unifican.

La geometría en el plano dispone una solución clara: Si en un plano con ejes cartesianos XY se supone que A está situado en el origen (0,0) y B en un punto de coordenadas (4,2), simplemente habrá que construir la mediatriz entre A y B que pase por el punto medio de ambos. Equivale a calcular los puntos P que verifican

d(P,A)=d(P,B)

Sin embargo, no es un modelo válido para geometría urbana, pues la mediatriz involucra derribar un número de dificios. La solución más adecuada en este caso es la de la “geometría del taxista” (lolamada también la “geometría de Manhattan”), con la cual se siguen conservando las distancias globalmente y sin sacrificar los edificios. Este tipo de métrica fue considerada por Hermann Minkowski en el siglo XIX, y es una forma de geometría en la cual la métrica usual de la geometría euclideana es reemplazada por una nueva métrica en la cual la distancia entre dos puntos es la suma de las diferencias (absolutas) de sus coordenadas.

En verde, la distancia euclídea, y en rojo, azul y amarillo, la distancia Manhattan.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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Matemáticas: el lenguaje universal. ¿Pero qué idioma hablan los matemáticos?


Galileo Galilei, en su obra Il Saggiatore escribió: “La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta  aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ qua li è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a  intenderne  umanamente  parola;  senza  questi  è  un  a ggirarsi  vanamente  per  un  oscuro laberinto”.  Puesto que “el gran libro de la naturaleza está escrito en el lenguaje matemático”, las matemáticas a menudo han sido consideradas como el lenguaje universal que se mantiene verdadero y constante a través de los siglos, los imperios, las culturas, razas y religiones. Es el lenguaje que nos permite desvelar los secretos de la realidad y alcanzar logros tan increíbles tal como enviar a seres humanos al espacio. Pero, ¿qué idioma hablan los matemáticos?

Edición original de “Il Saggiatore”

Una de las obras más revolucionarias de la historia de la ciencia, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (“Principios Matemáticos de la Filosofía Natural”) por Isaac Newton, fue publicada en latín en el año 1687. En 1801, Carl Friedrich Gauss publicó Disquisitiones Arithmeticae (“Investigaciones Aritméticas”), uno de los últimos libros sólidos en matemática escritos en este idioma. Hasta finales del siglo XVII, el latín era el lenguaje dominante de la ciencia porque era un canal eficiente de comunicación entre académicos debido a que no estaba relacionado con ningún país en específico, entre otras razones políticas y eclesiásticas.

Portada de “Philosophiae naturalis principia mathematica”

Los Elementos de Euclides, considerados como el nacimiento del razonamiento lógico en matemáticas, fueron escritos en griego, traducida luego al árabe y de ahí, posteriormente, al latín, por obra del monje inglés Adelardo de Bath. Esta traducción permitió que fuera difundida ampliamente en la Europa Occidental.

Ilustración de la traduccion de “Los elementos” de Abelardo de Bath

Como pionero en el movimiento hacia publicar la ciencia en otros idiomas que ocurrió a mediados del siglo XVII, Galileo Galilei, al darse cuenta de la importancia de comunicar la ciencia al público en general, comenzó a producir sus principales trabajos en italiano. La obra de Marie Curie apareció en francés y los prominentes estudios de Albert Einstein emergieron en alemán, entre otros.

Con el paso del tiempo, debido a la necesidad de solidificar un idioma para que los científicos se pudieran comunicar a fuera de su país de origen, para el siglo XIX el francés, el alemán y el inglés tomaron la ventaja en el mundo de la investigación.

Sin embargo, desde mediados del siglo pasado, la ciencia se convirtió en una comunidad monolingüe, ya que los esfuerzos científicos más relevantes de la ciencia, tal como publicaciones, conferencias y discusiones, ocurren en inglés. Señalemos como curiosidad que una presgtiiosa revista como Archive for Rational Mechanics and Analysis admite artículos en italiano, inglés, alemán, francés y latín.

A pesar de los beneficios de tener un lenguaje consolidado para la ciencia, tal como poder romper fronteras y aprender sobre diferentes tradiciones matemáticas, también hay algunos inconvenientes. Por ejemplo, los artículos escritos en un idioma distinto al inglés llegan a una público más pequeño, por lo tanto reciben menor número de citaciones, y en consecuencia obtienen menor apoyo financiero.

Es bien conocida la importancia de la precisión de pensamiento y lenguaje a la hora del quehacer matemático. ¿Qué pasa con el conocimiento científico al estar centrado únicamente en el inglés, como por ejemplo, palabras como “mapping”, son simplemente transliteradas en muchos idiomas? Recordemos que ya en el primer Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Zürich en 1897, una de las preocupaciones era la terminología matemática, que requería una colaboración internacional.

Este texto no pretende criticar el uso del inglés en la comunidad matemática, por el contrario, tiene como objetivo reflexionar y provocar preguntas sobre el papel del lenguaje en la generación de nuevas matemáticas, ya que las ideas matemáticas existen a medida que las personas las puedan expresar.

Este post participa en la Edición 8.3 del Carnaval de Matemáticas (http://semillas.konradlorenz.edu.co/2017/04/edición-83-del-carnaval-de-matemáticas-24-al-30-de-abril-de-2017-carnamat83.html) cuyo anfitrión es el Blog Semillas (http://semillas.konradlorenz.edu.co/matematicas/).

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Viviana Márquez (Estudiante de matemáticas, Konrad Lorenz Fundación Universitaria).

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Analizando datos: nuevas iniciativas internacionales


Hemos comentado en este blog varias veces la importancia de la transferencia del conocimiento matemático, que no solo se centra en la creación de modelos para los procesos industriales, sino que, últimamente, ha visto como la Estadística y la Investigación de Operaciones se han revelado imprescindibles para tratar los aluviones de datos que hemos dado en bautizar como Big Data.

John W. Tukey

En muchas universidades punteras se han dado cuenta de lo que se avecinaba, y han puesto en marcha centros para afrontar estas necesidades, y, por qué no, aprovechar la marea.

La Universidad de Princeton ha creado el Center for Statistics and Machine Learning (CSML), en julio de 2014, para que sirva para canalizar en su campus las actividades educativas y de investigación en estadística, machine learning, y los análisis de datos.

CSML es un grupo interdisciplinar, con gente de diferentes áreas, y siempre profundamente conectado con las aplicaciones al mundo real, como la astrofísica, economía, finanzas, genómica, neurociencia, ciencias políticas, políticas públicas y sociología.

La Universidad de Princeton había quizás olvidado su rica historia en estadística y machine learning, con figuras claves como Samuel Wilks, John Tukey, William Feller, Alonzo Church, Alan Turing y John Von Neumann. El Deparatmento de Estadística, fundado por John Tukey, funcionó desde 1965 hasta 1985. Princeton vuelve ahora a sus raíces, y marca una tendencia que otros están también considerando.

Citaremos solo dos ejemplos más, aunque en futuras entradas daremos más detalles.

El Instituto Flatiron, hospedado en el emblemático edificio Flatiron (la plancha de hierro) de la Quinta Avenida de Nueva York, creado por la Fundación Simons, y cuya misión es la investigación mediante métodos computacionales, incluyendo análisis de datos, modelización y simulación.

Y el Instituto Alan Turing, para la ciencia de datos, hospedado en la Biblioteca Británica. Este instituto es una iniciativa de cinco universidades: Cambridge, Edinburgh, Oxford, UCL y Warwick , junto con el UK Engineering and Physical Sciences Research Council. Ha sido creado en 2015 para responder a las necesidades británicas en el análisis de datos.

Iniciativas que no tienen análogos hasta ahora en nuestro país, donde la prospectiva científica parece haber quedado en el olvido.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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