Henrik Jeldtoft Jensen en los coloquios ICMAT-UCM


Mañana, jueves 14 de abril, el Catedrático de Física Matemática del Imperial College, Henrik Jeldtoft Jensen impartirá una ponencia en el “Colloquium ICMAT-UCM”. Bajo el título de “Tangent map intermittency as an approximate analysis of intermittency in a high dimensional fully stochastic dynamical system”, hablará de las propiedades matemáticas de un modelo de ecología evolutiva. El encuentro tendrá lugar a las 13:00, en el Aula Naranja del ICMAT. Presenta al invitado el organizador de los coloquios, Piergiulio Tempesta (ICMAT-UCM).

Professor Henrik Jeldtoft Jensen. www2.imperial.ac.uk

Uno de los grandes retos de la teoría de los sistemas complejos es el estudio de los fenómenos emergentes. Es decir, explicar la formación de estructuras complejas a partir de componentes simples. Un ejemplo particularmente importante es, en el ámbito biológico, la aparición de organismos muy complejos como el resultado de la evolución de estructuras unicelulares, o, en general, la aparición de estructuras organizadas (especies, etc.) en ecología.

Henrik Jeldtoft Jensen es Catedrático de Física Matemática en el prestigioso Departamento de Matemáticas del Imperial College de Londres. Allí dirige los grupos de investigación de Complejidad y Redes. Desde hace muchos años, su investigación está enfocada a la teoría de los sistemas complejos y sus múltiples aplicaciones a ciencias básicas (por ejemplo, a la mecánica estadística y a la física matemática) y a ciencias aplicadas (en particular, a la ecología).

Mañana, jueves 14 de abril, Jensen participará en el programa de Coloquios UCM-ICMAT, con la conferencia “Tangent map intermittency as an approximate analysis of intermittency in a high dimensional fully stochastic dynamical system”. En ella hablará de las propiedades matemáticas de un modelo de ecología evolutiva que reproduce la fenomenología evolutiva de muchos ecosistemas. El modelo ha sido propuesto por Jensen en colaboración con investigadores de varios países. En particular, el modelo describe los fenómenos de “intermitencia”, es decir, la alternancia de fases explosivas de evolución y fases estacionarias.

Jensen es autor de más de 150 artículos científicos en revistas internacionales de prestigio y de dos libros sobre sus estudios en sistemas complejos.

Coloquio ICMAT-UCM. “Tangent map intermittency as an approximate analysis of intermittency in a high dimensional fully stochastic dynamical system”, Henrik Jeldtoft Jensen (Centre for Complexity Science and Department of Mathematics, Imperial College, London). 14 de abril. 13:00 – 14:00, Aula Naranja ICMAT.

Resumen (en inglés):

It is well known that tangent maps exhibit intermittency and they have e.g. been used as a general theory of 1/f spectra. This suggests it is interesting to study to what extend one can establish a description in terms of a one-dimensional tangent map when dealing with a high dimensional stochastic systems. The Tangled Nature (TaNa) Model of evolutionary ecology is an ideal candidate for such a study. The fact that the model reproduces a broad range of the phenomenology of macroevolution and ecosystems indicates the relevance of the model. The model exhibits strong intermittency reminiscent of Punctuated Equilibrium and, like the fossil record of mass extinction, the intermittency in the model is found to be non-stationary – a typical feature of many complex systems. We derive a mean field map for the evolution of the likelihood function controlling the reproduction and find a tangent map. This mean field map is only able to describe qualitatively the intermittent dynamics of the full TaNa model. A situation we would expect to be typical for many high dimensional systems. Nevertheless, the description in terms of a one-dimensional tangent map appears to be illuminating. Work in collaboration with Alvaro Diaz-Ruelas, Duccio Piovani and Alberto Robledo.

 

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Las matemáticas de la luz: Euclides


Euclides, considerado por muchos el matemático más importante de la historia, fue autor de un tratado sobre la óptica, en el que realiza un estudio de la luz en el que propone postulados importantes. Afirma que la luz viaja en línea recta, describe las leyes de la reflexión y las estudia desde el punto de vista matemático. Manuel de León (CSIC-ICMAT) presenta estas y otras aportaciones del sabio griego en esta entrada de la serie “Matemáticas de la luz”.

Hablaremos en esta entrada de Euclides de Alejandría (ca. 325 a.C. – ca. 265 a. C.), considerado como el más relevante matemático de la antigüedad. Apenas existen datos fiables de su vida, y se basan en la biografía escrita por Proclo, filósofo y matemático muy posterior.

Ante la ausencia de datos reales, deviene con el tiempo un personaje de historias y leyendas, a veces presa de malentendidos. Es interesante reseñar algunos detalles sobre el carácter de Euclides, en base a las anécdotas que lo definen.

Según el historiador Estobeo, cuando uno de sus oyentes, nada más escuchar la demostración de un teorema, le había preguntado por la ganancia que cabía obtener de cosas de este género, Euclides, volviéndose hacia un sirviente, había ordenado: «Dale tres óbolos, pues necesita sacar provecho de lo que aprende». La moraleja es que el conocimiento tiene un valor en sí, no solo por lo que nos pueda beneficiar materialmente.

En otra ocasión, al preguntarle el rey Tolomeo I por una vía de acceso a los conocimientos geométricos más fácil y simple que las demostraciones de los Elementos, Euclides había respondido: «No hay camino de reyes en geometría». O sea, el conocimiento exige un esfuerzo por parte del que lo quiera adquirir.

Euclides es conocido por su obra Los Elementos (que es el segundo libro más editado tras la Biblia). Esta es la distribución de los trece libros que componen Los Elementos:

- Libros I a VI: Geometría Plana

- Libros VII a IX: Teoría de Números

- Libro X: Números irracionales

- Libros XI a XIII: geometría del espacio

Euclides construye su argumentación basándose en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes y a partir de los cuales se deduce todo lo demás) que llamó postulados. Los famosos cinco postulados de Euclides son:

I.- Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une.

II.- Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección.

III.- Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera.

IV.- Todos los ángulos rectos son iguales.

V.- Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

El quinto postulado es mas conocido de esta otra forma:

V. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela.

Volveremos mas adelante, en otra entrada de este blog, con la historia y las vicisitudes que este quinto postulado ocasionó en la comunidad matemática.

Página del libro de Óptica de Euclides

 

Euclides y la Óptica

Euclides fue autor de un tratado sobre la óptica, en el que realiza un estudio matemático de la luz, elaborando postulados importantes, relativos a la naturaleza de la luz y afirmando que la luz viaja en línea recta. Además, en ese tratado, Euclides, describe las leyes de la reflexión y las estudia desde el punto de vista matemático. De hecho, en la Catóptrica,  se recoge la siguiente prueba experimental: “Si se coloca algún objeto en el fondo de un recipiente y se aleja éste último de la vista del observador a una distancia a la que el objeto no se vea, al llenar el recipiente de agua, a esa misma distancia comenzará a verse de nuevo dicho objeto” .

En cuanto a la visión, Euclides sigue la tradición pitagórica según la cuál la visión es causada por rayos que emanan de los ojos. En concreto, afirma que la sustancia emitida radialmente por el ojo es de naturaleza corpórea y continua y es la que sirve para establecer el contacto con el objeto; y que esa sustancia consta de rayos separados que tocan el objeto solo en ciertos puntos.

En su tratado, Euclides se basa fuertemente en las nociones geométricas y uno encuentra afirmaciones como estas:

Supóngase:

1) Que los rayos rectilíneos procedentes del ojo divergen indefinidamente.
2) Que la figura contenida por un conjunto de rayos visuales es un cono del que el vértice está en el ojo y la base en la superficie del objeto visto.
3) Que las cosas vistas son aquellas sobre las que caen los rayos visuales y las no vistas aquellas otras sobre las que los rayos visuales no inciden.
4) Que las cosas que se ven bajo un ángulo mayor, aparecen mayores, las que se ven bajo un ángulo menor aparecen menores y las que se ven bajo el mismo ángulo aparecen iguales.
5) Que las cosas que se ven bajo rayos visuales más altos aparecen más altos y las cosas que se ven bajo rayos visuales más bajos aparecen más bajos.
6) Que, de modo similar, aquellas vistas por los rayos más hacia la derecha aparecen más a la derecha y las que se ven más hacia la izquierda aparecen más hacia la izquierda.
7) Que las cosas vistas bajo mayor número de ángulos se ven con más claridad.

Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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Ya está disponible el duodécimo ICMAT newsletter


El número 12 del boletín del ICMAT ofrece un reportaje de las matemáticas en la biología moderna, una entrevista a Kenneth Chang, redactor de ciencia del New York Times, sobre la presencia de las matemáticas en las noticias de actualidad, y un editorial de Antonio Córdoba, nuevo director, entre otros contenidos. Además, Ignacio Luengo y Jorge Linde, miembros del Instituto, hablan sobre la nueva criptografía que será necesaria en los ordenadores cuánticos. El boletín, que corresponde al primer trimestre de 2016, se puede descargar el PDF en español o inglés

El duodécimo newsletter del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) arranca con un editorial firmado por el nuevo director del centro, Antonio Córdoba. En él, resalta la labor “magnífica, casi milagrosa” que ha realizado el Instituto en los pocos años que lleva en funcionamiento. Entre los logros, remarca la obtención y renovación del galardón Severo Ochoa y el número de proyectos ERC obtenidos en estos años. Expresa también su intención de preservar el ICMAT como “casa confortable para los matemáticos”, brindándoles de tiempo e infraestructuras para que se centren en lo importante: investigar.

El reportaje “El microscopio es la matemática” muestra el auge de la biología matemática, a raíz de un encuentro en el ICMAT sobre el tema que tuvo lugar en febrero. En esta disciplina los modelos matemáticos son una herramienta esencial para el desarrollo de fármacos, el control de epidemias y el diseño de medidas para anticiparnos al cambio climático. Representantes de los campos que confluyen en esta área interdisciplinar cuentan sus principales logros y expectativas.

La entrevista a Kenneth Chang, redactor de ciencia en el periódico New York Times, pone de relieve la dificultad de publicar noticias sobre investigación en matemáticas en los medios de comunicación. No sólo porque es difícil comprender los resultados y su relevancia, sino también porque, en muchas ocasiones, es complicado situarlos en un contexto cercano al lector. “Es fundamental buscar la manera de explicar el problema en términos que la gente pueda entender”, resalta. En este sentido, el investigador posdoctoral Juan de la Cierva en ICMAT, Miguel Domínguez Vázquez, protagonista de la sección Perfil, considera que no sólo es deseable sino “necesario” explicar a los ciudadanos los problemas matemáticos y su relevancia, de manera que puedan valorar la importancia de dedicar dinero público para avanzar en estos campos.

Criptografía post-cuántica

Los miembros del ICMAT, Ignacio Luengo y Jorge Linde, hablan sobre un tema clave en nuestro actual modo de comunicarnos a través de internet: la criptografía. La llegada de los nuevos ordenadores cuánticos, previsiblemente en unas décadas, hará inservible el sistema actual de encriptación, pero todavía no se ha dado con uno nuevo “eficiente y seguro” que pueda enfrentarse a ese escenario. El trabajo que realizan estos dos investigadores, y en particular la tesis de Linde, pretende construir un cifrado multivariable que sea una de las soluciones futuras.

La sección de Reseña Científica explica la metodología para el diseño de presupuestos participativos propuesta en el paper de Javier Gómez y César Alfaro (de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales –RAC-), y David Ríos (ICMAT). En un momento en el que el Ayuntamiento de Madrid, siguiendo el ejemplo de muchas otras ciudades, ha decidido preguntar a sus ciudadanos en qué quieren invertir parte del presupuesto municipal, es necesario contar con una “metodología flexible y realista” que incorpore la incertidumbre –cuánto cuestan las distintas alternativas, por ejemplo- y que “aproveche lo mejor posible la información de los participantes”.

En She Makes Maths se presenta el trabajo de la estudiante del Doctorado La Caixa-Severo Ochoa en el CSIC y miembro del ICMAT, Ángela Capel, sobre sistemas cuánticos de muchos cuerpos disipativos que tienen la propiedad de mezclado rápido. La newsletter, que corresponde al primer trimestre de 2016, también recoge la actualidad matemática sucedida en ese periodo, como la renovación del galardón Severo Ochoa por el ICMAT, la concesión del Premio Abel a Andrew Wiles por su demostración del último teorema de Fermat y las actividades divulgativas en las que el Instituto ha participado (“4ºESO+Empresa” de la Comunidad de Madrid y “Con Ciencia en la Escuela” del Círculo de Bellas Artes).

Excelencia, internacionalización, juventud

El ICMAT Newsletter es una publicación trimestral con la que el Instituto muestra su actividad investigadora de primer nivel. El boletín quiere ser un reflejo de lo que ocurre en el ICMAT y, de manera más amplia, en un centro de excelencia de investigación matemática.

Desde sus inicios, el ICMAT ha pretendido convertirse en un motor de la investigación y una casa confortable para la comunidad matemática internacional. Prueba de su éxito es la obtención, en 2011 (primer año de convocatoria), del distintivo Severo Ochoa, mediante el cual el Ministerio de Economía y Competitividad distingue a los mejores centros de investigación españoles, y su reciente renovación en 2015. El proyecto responde también a la vocación de difundir entre los ciudadanos los logros conseguidos por el Instituto.  Con este objetivo se presentan en Newsletter, con un enfoque periodístico, los temas más candentes de la investigación actual, noticias relevantes dentro de la comunidad matemática, el calendario de próximas actividades y entrevistas a las grandes figuras de la matemática internacional que visitan el centro.

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El ICMAT acoge un encuentro sobre el estímulo del talento matemático en adolescentes


Hoy y mañana, 8 y 9 de abril, los representantes de las nueve comunidades donde se lleva a cabo el programa Estalmat presentarán actividades Matemáticas realizadas con adolescentes, ante sus compañeros y 50 profesores de la Comunidad de Madrid seleccionados que participan en las sesiones. Será en el ICMAT, que este año acoge el encuentro y financia su organización. En 2015  se presentaron 3000 alumnos en toda España al programa ESTALMAT, de los que fueron seleccionados 250.


“En España se apoya de manera decidida el deporte con ayudas y centros de alto rendimiento para los adolescentes que despuntan en diferentes modalidades”,  reflexiona Eugenio Hernández, Profesor Titular del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM). “Pero, aunque es menos conocido, desde 1998 también hay un programa para detectar y promover el talento matemático en chavales de entre 12 y 13 años”, afirma el profesor, que es también coordinador nacional del programa Estalmat (EStímulo del TALento MATemático). El proyecto es una iniciativa de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales (RAC) y su objetivo es “motivar a los alumnos seleccionados para que desarrollen sus capacidades y lleguen a ser científicos de éxito”.

Todas las semanas del curso los profesores adscritos a la iniciativa dedican tres horas fuera del horario escolar a que unos 250 chicos y chicas de toda España desarrollan sus habilidades de razonamiento matemático Los días 8 y 9 de abril se reúnen en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) para compartir experiencias de éxito en el IX Seminario sobre actividades para Estalmat.

Acudirán delegados de Cataluña, Andalucía Occidental, Andalucía Oriental, Canarias, Cantabria, Castilla y León, Castilla-La Mancha, Comunitat Valenciana y Galicia. “El intercambio de metodologías e ideas es valioso para el resto de maestros del programa, pero también para aquellos profesores que sin pertenecer a él quieran aplicarlas en sus clases de matemáticas ordinarias”, dice Hernández. Por ello, la sesión está abierta a profesores de la Comunidad de Madrid interesados en aprender nuevos métodos de enseñanza de esta disciplina. Para que el encuentro permita el debate, el grupo se ha reducido a 50 profesores de fuera, más los miembros de Estalmat. Son los propios profesores de los colegios e institutos los que proponen a los alumnos que luego se presentarán a Estalmat. Este año en toda España se presentaron 3000 alumnos al programa ESTALMAT, de los que fueron seleccionados 250, según Rafael Orive, investigador del ICMAT y organizador del encuentro.

“No se trata de un apoyo a sus clases, sino una formación extraordinaria”, cuenta Orive. Como él mismo explica, para el Instituto es muy importante apoyar esta iniciativa porque “es en estas primeras fases donde se encuentran los futuros fichajes de doctorados”.

El domingo 10 de abril el Instituto también será la sede del XIII Encuentro Nacional de Profesores de Estalmat, donde participarán exclusivamente los participantes en el programa para tomar decisiones comunes. Además de ofrecer las instalaciones y los costes del congreso, el ICMAT sufraga la residencia de los asistentes de otras regiones de España. La relación entre el centro y el programa es buena, y se espera poder intensificar en el futuro. Varios de los monitores del programa son investigadores del ICMAT, como el investigador Luis Hernández Corbato.

http://www.icmat.es/RT/ESTALMAT2016/

Estalmat

En 1998 la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales puso en marcha en la Comunidad de Madrid el Proyecto ESTALMAT (EStímulo del TALento MATemático), con el objetivo de detectar, orientar y estimular el talento matemático de estudiantes de 12-13 años. Desde entonces, el proyecto, concebido por el profesor Miguel de Guzmán, ha tenido una gran acogida. En la actualidad, hay nueve sedes: Cataluña, Andalucía Occidental, Andalucía Oriental, Canarias, Cantabria, Castilla y León, Castilla-La Mancha, Comunitat Valenciana y Galicia. Estalmat está financiado por la Real Academia, el Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC), el MINECO y la Fundación Española para la Ciencia y la Tecnología (FECYT)

Desde 2004 se organiza anualmente un encuentro entre el profesorado de los diferentes proyectos para intercambiar experiencias y recursos empleados. Toda la información sobre estos seminarios se encuentra en:

http://www.uam.es/proyectosinv/estalmat/Seminarios.htm

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El ICMAT ofrece dos becas de Doctorado “la Caixa”- Severo Ochoa


El “Programa Doctoral Internacional “la Caixa”-Severo Ochoa en el ICMAT ofrece formación en matemáticas en un entorno científico internacional del más alto nivel. Para 2016 se ofrecen dos contratos predoctorales en el ICMAT para jóvenes matemáticos con talento. Los candidatos deberán poseer un currículum académico excepcional, un sólido conocimiento de inglés, alguna experiencia previa y las certificaciones académicas exigidas por la convocatoria. El plazo de solicitud está abierto hasta el próximo 30 de abril.

David Alfaya es investigador predoctoral “la Caixa”- Severo Ochoa

Los estudiantes escogidos disfrutarán de un contrato de cuatro años para desarrollar un doctorado en uno de los temas de investigación del ICMAT, dirigido por alguno de sus investigadores. Los documentos requeridos para la solicitud son:

Esta información se ha de mandar al correo electrónico: predocso@icmat.es

Las condiciones económicas, junto al resto de requisitos de la solicitud se pueden consultar en: http://www.icmat.es/convocatorias/laCaixa_predoc/2016/instructions-en.pdf

Doctorado “la Caixa”- Severo Ochoa

La Fundación “La Caixa” promueve carreras científicas desde 1982, ofreciendo becas para estudiantes de excelencia que deseen desarrollar su trabajo predoctoral en los centros de investigación más prestigiosos en el mundo. El 29 de octubre de 2012, La Fundación “la Caixa” y el Ministerio de Economía y Competitividad decidieron aunar esfuerzos en el Programa Internacional de Doctorado de “la Caixa” con los centros de investigación españoles distinguidos con el galardón Severo Ochoa.

El ICMAT recibió este galardón en 2011 y en 2015.

 

 

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Visnú, Shiva, Turing, creadores y destructores en las matemáticas


Morfogénesis, Padma-purana y Bob Dylan se cuelan en esta última entrada de opinión de Manuel de León sobre la comunidad matemática española y sus dinámicas internas.

Come gather around people
Wherever you roam
And admit that the waters
Around you have grown
And accept it that soon
You’ll be drenched to the bone
If your time to you
Is worth savin’
Then you better start swimming
Or you’ll sink like a stone
For the times they are a-changing

Come writers and critics
Who prophesize with your pen
And keep your eyes wide
The chance won’t come again
And don’t speak too soon
For the wheel’s still in spin
And there’s no telling who
That it’s naming
For the loser now
Will be later to win
For the times they are a-changing

The times they are a changing, Bob Dylan

Estas semanas he reflexionado bastante sobre el estado actual de las matemáticas en España (aquí se puede seguir una entrevista con Enrique Zuazua en Radio Euskadi que dio pie a esta reflexión), y a la vez, he vuelto a leer los trabajos de Alan Turing con motivo de algunas conferencias divulgativas que he impartido este año. De todo ello, sale esta entrada de nuestro blog, con algunas ideas que quiero compartir con los lectores.

 

Según el Padma-purana, uno de los libros de leyendas sagrados hinduistas, Visnú es el dios creador, preservador y también el destructor del universo. Del propio Visnú nacen Brahma (el creador) y Shiva (el destructor), lo que de alguna manera es una gran contradicción, pero a la vez contiene una gran dosis de sabiduría (así son las mitologías).

Esto viene muy bien con lo que ocurre en el colectivo matemático español. Me gustaría distinguir entre sus miembros tres grandes familias: los creadores (que son pocos), los destructores (unos cuantos mas), y los tibios (que son legión). De estos, los tibios son los más peligrosos, ya lo decía San Juan en el Apocalipsis: “Mas porque eres tibio, y no frío ni caliente, te vomitaré de mi boca.” Si, los tibios son los que rompen lanzas y siguen siempre como juncos el viento dominante.

Pero entre los creadores y destructores puede haber un equilibrio, … o no. Si lo hay, estaríamos con la morfogénesis de Alan Turing. Las ecuaciones de reacción-difusión permitirían crear unos patrones hermosos, no todo sería blanco o negro, sino que tendríamos preciosos pelajes rayados como los del tigre o las cebras. Desgraciadamente, el colectivo no suele guardar equilibrios, así que los destructores arremeten con sus testuces y tratan de nivelar cualquier obra que sobresalga de la medianía. ¿Las causas? Simplemente, su existencia, que pone “en peligro” su statu quo, sus privilegios, ante la nueva realización.

Las instituciones (debería decir sus representantes, las instituciones siempre son respetables)  llevan otra dinámica. Tratan de controlar la creación, aunque son conscientes que esa dinámica conduce a la destrucción, pero al final, es conveniente, cumpliendo una vez más el nuevo teorema gaussiano imperante en nuestros campus académicos: “todo tiende a la mediocridad”. No se deben consentir historias de éxito que demuestren que otras políticas científicas son posibles. Ojalá estas actitudes cambien cuanto antes.

Y así camina este colectivo, tímido en el apoyo de las iniciativas exitosas, mirándolas con desconfianza, y con algunos  alegrándose del fracaso si este tiene lugar. Eso sí, siempre manifestando su apoyo a favor de los jóvenes matemáticos. Ya lo saben señores, aquí Shiva va ganado la partida, pero el juego todavía no ha terminado.

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Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias, Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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Las matemáticas de la luz: Empédocles y Demócrito


En los inicios del camino que une matemáticas y luz, por el que Manuel de León nos está conduciendo en esta serie de entradas, aparecen dos sabios giregos: Empédocles y Demócrito. El primero postuló que la visión se produce por el choque de los rayos de luz que emiten nuestros ojos y los rayos de otra fuente de luz, como el sol, en el objeto que observamos. El segundo consideraba que la luz tenía una naturaleza corpuscular, y que la visión estaba causada por la proyección de las partículas que provienen de los objetos mismos; finalmente, el alma interpretaba lo que habían captado los ojos.

El siguiente personaje que interviene en nuestra historia es Empédocles de Agrigento (495 a.C., Agrigento, Sicilia, 435 a.C.; fechas aproximadas). De él se cuenta que se arrojó al volcán Etna para conseguir un final digno de una divinidad. En efecto, Empédocles fue un personaje con una dotes extraordinarias en la oratoria y al que se le atribuía la curación de enfermedades y la adivinación, con lo que se convirtió en un mito viviente. Además de a la filosofía, se dedicó a la política, lo que le dio no pocos disgustos.

Empédocles es el creador de la teoría de los cuatro elementos: aire, tierra, fuego y agua; la teoría de las cuatro raíces, sometidas a la fuerza del amor que las une, y del odio, que las separa. El quinto elemento será el éter y fue introducido posteriormente.

Empédocles entra en nuestra historia porque propuso una teoría de la luz que propugnaba que la visión se produce porque salen rayos de luz desde nuestros ojos que tocan los objetos y así los vemos. Si eso fuera verdad, podríamos ver por la noche de la misma manera que vemos por el día, así que Empédocles postuló que debería haber una interacción entre los rayos que salían de nuestros ojos y los rayos de otra fuente de luz, como el sol, por ejemplo.

Esta teoría de Empédocles era la más completa en su tiempo, e inspiró posteriormente la de Euclides y otros científicos griegos. Dejemos a Empédocles a punto de arrojarse al Etna, en palabras del poeta romántico inglés Mathew Arnold:

To the elements it came from
Everything will return.
Our bodies to earth,
Our blood to water,
Heat to fire,
Breath to air.

Empedocles on Etna, publicado en 1852 en la colección Empedocles on Etna, and Other Poems.

Se asoma la teoría corpuscular: Demócrito de Abdera

Demócrito tuvo una enorme influencia en los filosófos presocráticos, y es bien conocido por su teoría atómica del universo, un adelanto de lo que serían las teorías modernas de los siglos XIX y XX. De hecho, es muy díficil separar lo que es de Demócrito y lo que es de Leucipo, su mentor, y sus nombres van siempre unidos.

Demócrito nació en Abdera (Tracia) en el año 460 a.C. y falleció a la edad de noventa años en el 370 a.C. Como Pitágoras, realizó muchos viajes por Egipto, Persia y Mesopotamia, para aprender de los magos persas, y los sacerdotes egipcios y caldeos. Se dice incluso que habría llegado en sus viajes a la India, porque se financiaba con su herencia paterna.

Demócrito era un personaje ligeramente extravagante, que pasó a ser conocido como el “filósofo que ríe”, en oposición a Heráclito, conocido como “el filósofo que llora”. La razón de este nombre estaba en su manera de contemplar las locuras que hacen los hombres y que no pueden ser más que motivo de risa, lo cuál podíamos constatar como una constante histórica.

Se cuenta también que se arrancó los ojos en un jardín para que no estorbara en sus meditaciones la contemplación del mundo externo, leyenda urbana que no ha podido ser comprobada.

Heráclito y Demócrito, fresco italiano de 1477, Pinacoteca di Brera, Milan.

Demócrito es autor, junto con su maestro Leucipo, de una teoría corpuscular de la materia, según la cuál ésta está compuesta de trozos indivisibles que llamaron átomos. Los átomos no son todos iguales, forman los cuerpos que vemos y pueden volver a combinarse de otras maneras diferentes. Por supuesto, acompañando a la noción de los átomos está la del vacío.

También hizo importantes contribuciones a las matemáticas, escribiendo tratados sobre números y geometría, y se le atribuye el cálculo de los volúmenes del cono y de la pirámide.

En su intento de explicar científicamente todos los fenómenos naturales, elaboró una teoría para la luz, según la cuál esta tenía una naturaleza corpuscular, y que la visión es causada por la proyección de las partículas que provienen de los objetos mismos; finalmente, el alma interpretaba lo que habían captado los ojos. Esta teoría se adelantaba a la que Isaac Newton propuso muchos siglos después.

El matemático David Gregory daba cuenta de una conversación con Newton en Mayo de 1694 en la que Newton decía: ”La filosofía de Epicuro y Lucrecio es verdadera y antigua, pero fue erróneamente interpretada por los antiguos como ateísmo”. Así que esa influencia sobre Newton podría haber venido por De rerum natura, la obra del poeta y filósofo latino Lucrecio.

Manuel de León (ICMAT-CSIC, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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La escuela pitagórica y la música


Manuel de León (ICMAT-CSIC) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC) continuan en esta entrada con su exploración de la relación entre música y matemáticas. Para empezar el relato, como no podía ser de otra manera, recurren a Pitágoras. Para este importante personaje de la Grecia Antigua, y para su escuela, la conexión entre las matemáticas y la música era evidente y decisiva para sus vidas.

If man in 5, then the devil is 6, then god is 7…

There was a guy
An under water guy who controlled the sea
Got killed by ten million pounds of sludge
From New York and New Jersey

This monkey’s gone to Heaven

The creature in the sky
Got sucked in a hole
Now there’s a hole in the sky

And the ground’s not cold
And if the ground’s not cold
Everything is gonna burn
We’ll all take turns, I’ll get mine too

This monkey’s gone to Heaven

Rock me Joseph, Alberto, Santiago

If Man is five, if Man is five, if Man is five
Then the Devil is six, then the Devil is six
The Devil is six, the Devil is six and if the Devil is six
Then God is seven , then God is seven

Monkey gone to heaven, Pixies

La afirmación de que la música y las matemáticas están relacionadas se ha convertido ya en un hecho indiscutible. Cualquiera que se haya acercado a la música sabe que está llena de patrones, simetrías, repeticiones, etc. que no son sino el reflejo de su contenido matemático.

Cuando se habla del origen de esta relación entre música y matemáticas, uno empieza siempre recurriendo a Pitágoras. Recordemos algunos datos sobre este importante personaje de la Grecia Antigua. Como ocurre con muchos personajes de la antigüedad, no existen datos muy fiables sobre la vida de Pitágoras. Por ejemplo, en el libro Vidas de filósofos ilustres,  de Diógenes Laercio, los datos son a veces contradictorios. La causa en este caso es que no hay biografías de algún contemporáneo suyo así como la naturaleza esotérica de la comunidad pitagórica.

El filósofo y matemático griego Pitágoras, nació en 569 a.C. en una pequeña isla oriental griega, Samos. Su padre fue Mnesarco, un mercader de Tiro, y al parecer, Pitágoras lo habría acompañado a muchos de sus viajes. Se suelen mencionar como maestros de Pitágoras a Ferécides de Siros, a Tales y a su pupilo, Anaximandro. Estos dos últimos lo llevaron a interesarse por las matemáticas.

Se supone que Pitágoras visitó Egipto, Babilonia y se habla incluso de la India, con el propósito de recolectar todo el concimiento de su tiempo. La visita a Egipto parece estar basada en las alianzas del rey de Samos, Polícrates, con los egipcios. Finalmente, Pitágoras se establece en el sur de Italia. Según Diógenes, Piatágoras eligió Crotona escapando de la tiranía de Polícrates, pero no está claro que esta haya sido la causa y si quizás el escaso éxito de Pitágoras en su ciudad natal.

A su llegada, funda su escuela, la llamada escuela Pitagórica, en el golfo de Tarento. Desafortunadamente, esta escuela duró en su primera sede menos de un siglo, y fue destruida por causas políticas. No obstante, los fundamentos de la escuela perduraron en Alejandría y países aledaños como Grecia, durante siglos después.

La escuela pitagórica atrajo enseguida numerosos seguidores. Practicaba el ascetismo y eran vegetarianos, y se basaba fundamentalmente en las matemáticas. Se llamaban a sí mismos matemáticos (matematikoi), y observaban estrictas reglas de conducta personal.

Los pitagóricos más conocidos fueron contemporáneos de Platón, como Arquitas, “el tirano de Tarento”, Hiceas de Siacusa (quien intuye por primera vez la rotación de la tierra sobre su propio eje) o Efkanto, quien avanza la teoría del atomismo desarrollada más tarde por Demócrito y Leucipo. Durante los siglos posteriores, el pitagorismo sigue vigente, aunque no existan muchas referencias históricas sobre sus miembros.

Los propósitos de la escuela estaban claramente basados en creencias religiosas. La clave principal consistía en explicar los misterios del universo para conseguir la posterior purificación del alma. El medio para llegar al principio de todas las cosas y su salvación, eran las matemáticas. La fundamentalización religiosa del grupo fue tan importante, que estaba prohibido el sacrificio de animales, pues sus cuerpos podrían ser la futura morada de su alma, ya que los pitagóricos creían en la transmigración (la metempsicosis).

Los pitagóricos se centraron especialmente en la geometría y los números. De hecho, el emblema de la escuela era una estrella pentagonal, que se forma al trazar las cinco diagonales de un pentágono. Esta figura encierra relaciones aúreas que lo hacían sumamente interesante para los pitagóricos.

El número se convirtió en el ente raíz de todos los objetos y pensamientos. El mismo Pitágoras decía: “Dios, es en efecto, un número”. Según Diógenes Laercio, Pitágoras afirmaba: “Que el principio de todas las cosas es la unidad, y que de ésta procede la dualidad, que es indefinida y depende, como materia, de la unidad que la causa. Así, la numeración proviene de la unidad y de la dualidad indefinida. De los números provienen los puntos; de éstos, las líneas; de las líneas, las figuras planas; de las figuras planas, las sólidas, y de éstas los cuerpos sólidos, de los cuales constan los cuatro elementos, fuego, agua, tierra y aire, que trascienden y giran por todas las cosas, y de ellos se engendra el mundo animado, intelectual, esférico, que abraza en medio a la tierra, también esférica y habitada en todo su rededor“.

En particular, a los pitagóricos les llamaba la atención los denominados números perfectos. Son los números que son iguales a la suma de todos sus divisores excepto él mismo, por ejemplo, el 6 es un número perfecto puesto que 6=1+2+3.

También mostraron especial interés por los denominados números cuadrados. Se formaban tomando el 1 como punto de partida y se le suma la serie ascendente de números impares. La progresión aritmética que surge tiene la propiedad de que en cada uno de los pasos de su construcción,  la suma de la unidad y de los números impares da un número expresable en un cuadrado perfecto. Por ejemplo:

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

Por supuesto que podríamos mencionar el famoso Teorema de Pitágoras y muchos otros resultados vinculados con los logros de Pitágoras y sus discípulos, pero no es este el lugar para un detalle exhaustrivo sobre este personaje. Comentar que no se tienen muchos detalles sobre su muerte; parece que en 508 a.C. los pitagóricos de Crotona fueron violentamente atacados y Pitágoras escapó a Metaponto, sonde murió.

Sin embargo, los pitagóricos también hicieron especial hincapié en dos disciplinas, a priori, no tan relacionadas con las matemáticas, la música y la astronomía.  De aquí surgió posteriormente el Quadrivium medieval,  o clasificación de sus ciencias de interés en aritmética, geometría, música y astronomía. La música fue de hecho muy influyente en el pensamiento de Pitágoras.

Dado que los números estaban presentes en cualquier entidad, desde el punto de vista pitagórico-matemático, (quepa el inciso de que a día de hoy, los matemáticos estamos de acuerdo con esta afirmación de hace 25 siglos), Pitágoras se dedicó a la identificación de los patrones matemáticos en la música.

Según los relatos del filósofo romano Boecio, Pitágoras, obsesionado con explicar los intervalos fijos de la escala musical, se detenía frente a los golpes de un martillo contra un yunque en la herrería. Había un total de cinco martillos, de los cuales cuatro tenían una relación numérica entera entre sus pesos, y el quinto no se identificaba con el resto. Intuitivamente, el quinto martillo no contribuía en armonía y efectivamente, una vez retirado del experimento, podía comprobarse que el más pesado de los martillos, con un peso doble que uno de los restantes, producía sonidos en una octava menor. El peso de los dos martillos restantes seguía otra regla matemática, se correspondían con la media aritmética y armónica de los otros dos pesos probados. Así, pues, los otros dos pesos podrían dar otras dos notas fijas de la escala.

Se demostró que los intervalos entre notas musicales pueden ser representados como fracciones de números naturales. Podría probarse explícitamente con una cuerda denominada monocordio, y un elemento que presione en ciertas partes equidistantes de la cuerda y que fraccionen su longitud. Las posiciones fraccionarias mostraron ser más armoniosas que la nota emitida por la longitud completa al tensarla.

Desde entonces, se hicieron múltiples experimentos con cuerdas y tubos sonoros, que han acabado creando música. Las columnas de aire, en ciertos tubos, se comportan también como las cuerdas musicales. Vamos a explicar este fenómeno de una manera sencilla. Si tomamos una cuerda de 1 metro de longitud, y la tensamos y hacemos vibrar, se produce una nota musical. Podemos comprobar que cuanto mas larga sea la cuerda, más grave es la nota. Si tomamos dos cuerdas de diferente longitud, veremos que a veces las dos notas suenan mejor y otras peor.

Lo que aprendemos es que si la relación entre las longitudes de las dos cuerdas viene dada por una fracción simple, con números enteros en numerador y denominador, las notas que producen ambas suenan bien juntas. Por ejemplo (relación 2/1), 4/3 ó 3/2. Procediendo de esta manera, vamos construyendo lo que se llama la escala musical pitagórica. Así pues, para Pitágoras y sus discípulos, la conexión entre las matemáticas y la música era evidente y decisiva para sus vidas. Una vez establecidas las relaciones, podrían utilizarse para deducir los secretos del universo.

Pitágoras creía en las propiedades curativas de la música. Así, ciertas melodías apaciguaban pasiones inapropiadas y conseguían la armonía del alma, y por lo tanto, del cuerpo.

Como últimas contribuciones de la escuela, comentaremos la interpretación del universo en torno a la música y las matemáticas, de donde surgió la teoría de la denominada armonía de las esferas. Pitágoras estableció que la distancia entre sol, luna y estrellas fijas se correspondía con una octava, quinta y cuarta de la voz de los siete planetas de la esfera de las estrellas fijas. Para la escuela pitagórica, el espaciado interestelar se correspondía con relaciones musicalmente armoniosas. El propio Aristóteles afirmaba: “esta música no la podemos oír, ya sea porque siempre hemos estado acostumbrados a ella y no la podemos distinguir, o porque el sonido es tan potente que escapa a nuestras capacidades auditivas”.

A día de hoy nos preguntamos que, si estamos recibiendo continuamente  los denominados ecos del Big bang en forma de radiación de microondas desde el fondo del cielo (descubrimiento llevado a cabo por Penzias y Wilson en 1965), lo que no deja de ser un régimen energético de radiación electromagnética, y como la experiencia nos dice que la luz suele ir acompañada de ondas sonoras, especialmente al propagarse en materia, ¿quién dice que no cabe esperar que estemos siendo rociados no sólo con energía electromagnética invisible, sino que el eco puediera hacerse audible y estemos inmersos en la gran sinfonía del universo?

Si los pitagóricos levantaran la cabeza, afirmarían rotundamente la “cábala” anterior. Así, pues, vista la importante relación establecida entre las matemáticas y la música, ¿podría un gran matemático convertirse en un célebre compositor?

Manuel de León (ICMAT-CSIC, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU); Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Cómo fue 4º ESO+Empresa en el ICMAT


Los pasados días 15, 16 y 17 de marzo 30 alumnos y alumnas de 4º ESO convivieron con los investigadores y el personal del ICMAT. La mayoría de ellos no se conocían (provenían de 25 centros educativos diferentes) y tampoco tenían demasiado claro que era lo que se iban a encontrar en el Instituto. Después de tres días muchos de ellos intercambiaban teléfonos y se lamentaban de que la estancia no hubiera sido más extensa.

Las actividades que más disfrutaron, aunque quizás sea algo feo decirlo, fueron las que les mostraron las matemáticas que aparecen en las teorías físicas más “esotéricas”: las cuerdas, la unificación y el caos. Pero también las que les permitieron experimentar por ellos mismos el quehacer matemático, enfrentándose a retos que se resuelven con ingenio, en colaboración con el resto de compañeros, y con números, claro. En general todos los talleres y actividades, dirigidos por investigadores y personal del centro, fueron un verdadero éxito (el programa completo puede verse aquí). La participación y el interés de los alumnos/as permitieron una interacción continua, siguiendo el objetivo del programa: poner en contacto directo a los estudiantes con el trabajo que se desarrolla en el centro.

Todas las personas que intervenimos en la actividad esperamos verlos dentro de unos años, empezando carreras investigadoras.

Mario García (ICMAT) explica el campo de Higgs en el taller “Matemáticas y Cuerdas”

Los estudiantes trabajan por equipos en la Gynkana matemática

Ángela Capel y Mª Ángeles García Ferrero hablaron de la aritmética del reloj: la aritmética modular

Florentino Borondo mostró mediante experimentos el caos que aparece en los fenómenos físicos y químicos y que se explica con matemáticas

¿Qué hacen los investigadores en matemáticas? ¿Cómo llegar a serlo? Manuel de León introdujo la carrera investigadora en matemáticas.

David Alfaya anotaba los resultados de la Gynakana para que aparecieran a tiempo real en la pantalla y así darle más emoción al juego

Las estudiantes buscan la mejor estrategia para diferentes juegos en la sesión de problemas propuestos por Marco Castrillón

Ágata A. Timón G. Longoria es coordinadora de Comunicación y Divulgación en el ICMAT

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Música y Matemáticas, a modo de inicio


“Todo arte aspira a la condición de la música, todas las ciencias aspiran a la condición de las matemáticas”, con esta frase, el célebre escritor George Santayana (1863-1952) expresaba el paralelismo entre la música y las matemáticas. Arte una, ciencia abstracta la otra, las dos disciplinas están mucho más relacionadas de lo que inicialmente podría esperarse. Manuel de León (CSIC-ICMAT) y Christina Sardón (ICMAT) empiezan con ésta una serie de entradas en las que explorarán los puntos de encuentro de estas dos ramas de la cultura. 

So you think I got an evil mind, well I’ll tell you honey
And I don’t know why
And I don’t know why
So you think my singing’s out of time, well it makes me money
And I don’t know why
And I don’t know why
Anymore
Oh no

[Chorus]
So cum on feel the noize
Girls grab the boys
We get wild, wild, wild,
We get wild, wild, wild,
So cum on feel the noize
Girls grab the boys
We get wild, wild, wild,
At your door

So you say I got a funny face, I ain’t got no worries
And I don’t know why
And I don’t know why
Say I’m a scruff bag well it’s no disgrace, I ain’t in no hurry
And I don’t know why
I just don’t know why
Anymore
Oh no

Slade: ”Cum On Feel The Noize”

Según la acepción séptima del Diccionario de la Lengua Española (Real Academia Española, RAE), la música es el:

7. f. Arte de combinar los sonidos de la voz humana o de los instrumentos, o de unos y otros a la vez, de suerte que produzcan deleite, conmoviendo la sensibilidad, ya sea alegre, ya tristemente.

También se dice sobre la etimología de la palabra música, que procede

Del lat. musĭcus, y este del gr. μουσικός mousikós; la forma f., del lat. musĭca, y este del gr. μουσική mousik.

Música es, pues, el arte de las musas, que recordemos eran nueve en la Grecia Antigua; las musas inspiraban a los artistas y se las fue asignando con el tiempo a diferentes artes. La de la música es Euterpe, que se suele representar con una flauta.

La musa Euterpe

La música es en definitiva una combinación de sonidos y silencios, en los que el tiempo juega un papel esencial. Aunque el diccionario nos dé una idea del concepto, no existe una definición única del concepto “música” y en el último siglo se ha convertido en un acepción muy amplia. La introducción de nuevos efectos como la distorsión, los bucles de realimentación o simples discursos humanos, han propiciado la controversia en qué consideramos música y qué no. Por ejemplo, el compositor John Cage decía que cualquier sonido puede ser música: “No existe el ruido, solo el sonido”.

Ni para qué mencionar la disquisición entre lo que es buena o mala música, que depende del gusto de cada uno. En cualquier caso, la música se ha convertido también en un negocio que mueve millones de euros anualmente; esa es otra faceta de la que hablaremos en su momento. Pero… ¿qué pinta todo esto en un blog de matemáticas? Pues de que, como posiblemente algunos lectores ya sabrán, ambas disciplinas están íntimamente unidas. Desde la Antigüedad, música y matemáticas han estado mucho más relacionadas de lo que hoy se podría sospechar, de tal manera que durante siglos la música estaba contenida en el aprendizaje de las matemáticas.

El término “matemáticas” también procede del griego, mathema, que significa “conocimiento”. Es la ciencia deductiva de los entes abstractos, dedicada al estudio de sus propiedades y relaciones.

Juglares representados en las Cantigas de Alfonso X el Sabio

Ya solo con esta definición se intuyen algunas de las relaciones. Una es una ciencia abstracta una y la otra, arte, aunque ambos conceptos son intercambiables. No es difícil apreciar en la música estructuras abstractas: patrones, simetrías, repeticiones, etc., que no son sino el reflejo de su contenido matemático.

Como afirmó el matemático y filósofo Gottfried Wilhelm von Leibniz: “La música es el placer que experimenta la mente humana al contar sin darse cuenta de que está contando”, o dicho de otra manera: “la música es un ejercicio inconsciente de aritmética”.

En realidad, han sido muchos los personajes ilustres que han manifestado la intimidad entre estos saberes:

“La educación musical es el instrumento más potente, porque el ritmo y la armonía encuentran un lugar en el alma, dotándola de gracias y conocimiento”- Platón (428-348 a.C.),  La República.

“Las matemáticas y la música, los dos campos del saber más opuestos, están relacionados, apoyándose el uno al otro para demostrar las conexiones secretas que unen las actividades de nuestra mente, que conjeturan que el genio del artista son expresiones de una racionalidad inmersa.”- Hermann von Helmholtz (1821-1894), Vorträgeund Reden, Bd. 1 (Braunschweig, 1884), p. 82 .

“¿No debería describirse la música como las matemáticas del sentimiento y las matemáticas como la música de la razón?”- James Joseph Sylvester (1814-1897), On Newton’s Rule for the Discovery of Imaginary Roots; Collected Mathematical Papers, Vol. 2, p. 419.

“Un matemático, como un pintor o poeta, es un creador de patrones. Si unos patrones son más permanentes que otros, es porque están hechos de ideas. Los patrones matemáticos, como los de un pintor o poeta, han de ser bellos; las ideas, como los colores de las palabras, deben corresponderse de una forma armoniosa”- G. H. Hardy (1877-1947)

“Todo arte aspira a la condición de la música, todas las ciencias aspiran a la condición de las matemáticas”- George Santayana (1863-1952).

Estrenamos con esta entrada una colección del blog que se dedicará a explorar esta intersección entre música y matemáticas. Invitamos a aquellos que no conozcan la correlación a priori , o a quién quiera saber más sobre ella, a continuar la lectura de las próximas notas. El propósito de las siguientes entradas en el blog “Matemáticas y sus fronteras” será demostrar precisamente la unión de las dos disciplinas a lo largo de la historia. Así, nos disponemos a comenzar un viaje histórico que nos ayude a la comprensión de los importantes lazos entre las matemáticas y la música, desde la antigua Grecia, hasta nuestros días, pues el “enunciado más distintivo y bello de una verdad, incluso para la música, debe tener forma matemática”, como estableció el escritor y filósofo americano Henry David Thoreau.

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Christina Sardón es investigadora postdoctoral en el ICMAT.

 Manuel de León (ICMAT-CSIC, Real Academia de Ciencias, Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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