Hoy hablamos de dinero


Money
Get away
You get a good job with good pay and you’re okay
Money
It’s a gas
Grab that cash with both hands and make a stash
New car, caviar, four star daydream
Think I’ll buy me a football team

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Acabo de leer una preciosa novela de Hans Magnus Enzensberger, “¡Siempre el dinero!, en Panorama de Narrativas, Anagrama, que lleva un subtítulo atrayente: “Una novelita sobre economía”.

No hay mucho nuevo que se pueda decir sobre el autor, que en el mundo matemático se convirtió en un referente de la divulgación con “El diablo de los números”. No tan conocido en el gremio científico es su obra “Los elixires de la ciencia”, un compendio de reflexiones y poemas sobre el mundo científico (volveremos pronto en el blog sobre este libro).

¡Siempre el dinero! es una novela, amena, divertida, irónica, en la que la protagonista es la tía Fé, que altera la vida tranquila de la familia Federmann. La tía Fé es millonaria y excéntrica, y habita a orillas del lago Lemán en Suiza (qué mejor escenario si vamos a hablar de dinero). Los tres hijos de la familia: Fabian, Fanny y Felicitas (todos empiezan por F, siguiendo extrañas tradiciones familiares), visitan a su tía Fé, y ésta les va introduciendo en el mundo del dinero.

A lo largo de sus páginas podremos leer frases relativas al dinero de algunos ilustres personajes históricos, como

“Cualquier banco te prestará dinero si puedes demosrar que no lo necesitas”, de Bob Hope.

“El dinero nunca huele mal”, de Vespasiano.

“There is money; spend it, spend it, spend more”, en Las alegre comadres de Windsord, de Willian Shaskepeare.

“El papel moneda siempre termina retornando a su valor intrínseco: cero”, de Voltaire.

¿Quién inventó el dinero? ¿Por qué usamos el dinero? ¿Quién inventó el papel dinero? ¿Conocemos el valor real de las cosas? ¿Cómo se hace uno millonario? ¿Qué es el dinero negro? ¿Cómo invertir tu dinero? ¿Derivados, futuros?

Hans Magnus Enzensberger

Todas estas preguntas y muchas más encontarrán su respuesta en la tía Fé. Y no podemos decir más porque queremos recomendar este libro y no desvelar la intriga. Digamos además que esta deliciosa novelita está ilustrada por Javiere Mariscal, añadiendo sus viñetas un complemento fantástico que hace al libro todavía mas entretenido.

Podríamos terminar con uno de nuestros grandes del Siglo de Oro, Don Francisco de Quevedo, y su poema sobre el tema (un olvido en esta novelita):

Madre, yo al oro me humillo,

Él es mi amante y mi amado,

Pues de puro enamorado

Anda continuo amarillo.

Que pues doblón o sencillo

Hace todo cuanto quiero,

Poderoso caballero

Es don Dinero.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU, CORBI).

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Las matemáticas en 50 sonetos: homenaje a Javier Peralta


Un matemático no es digno de ese nombre si no es un poco poeta.

KARL WEIERSTRASS

Hace unas semanas, recibí un correo electrónico de mi querido colega Javier Peralta. Javier me había enviado una obra suya, “Las mates en verso”, a mi antigua dirección de la calle Serrano y me preguntaba si me había llegado. Le dí mi nueva dirección y recibí su precioso libro con una cariñosa dedicatoria. Ayer me enteré de la mala noticia de su fallecimiento el pasado 6 de diciembre.

Javier Peralta estudió en la Universidad Complutense de Madrid, donde fue ayudante y defendió su tesis doctoral bajo la dirección del profesor Javier Etayo. Actualmente (y desde 1991) era Profesor Titular en la Universidad Autónoma de Madrid, aunque había conseguido previamente plaza de Catedrático de Secundaria que compatibilizó con el puesto de Profesor Asociado en la Complutense.

Creo que no puedo dar mejor homenaje al querido Javier que reseñando aquí su obra. El libro comienza con un interesantísima prólogo d eotro gran amigo, Luis Rico Romero. Me quedo con esta frase del mismo: “ Pues bien, el trabajo de Peralta es el trabajo de un ilustrado formado en matemáticas y en historia, con conocimiento sólido sobre la historia de las matemáticas y de la educación matemática, amante de las buenas letras”.

Francisco Javier Peralta Coronado

Ya en la Introducción, Javier señala algo con lo que siempre he estado de acuerdo: “Suele considerarse hoy en día, y particularmente en españa, que las matemáticas no formaran parte de la cultura”, y más adelante: “Es tal la contumacia de esta práctica que me pregunto si quienes hablan de esa manera no conocieran bien cuáles han sido las grandes corrientes del pensamiento a lo largo de la historia ni sobre qué principios se ha ido construyendo nuestra civilización actual”.

Cuenta Javier como tras sus inicios en la investigación de la geometría diferencial con el profesor José Javier Etayo Miqueo, sus pasos se fueron a la didáctica y a la historia, y a las vinculaciones entre las matemáticas y el arte, y en particular, la poesía.

En el cuerpo del libro, Javier Peralta escribe 50 sonetos que hacen un recorrido de la historia de las matemáticas con sus hitos más relevantes (44 en la primera parte, histórica; 6 en la segunda sobre teoremas o problemas importantes). Cada soneto se acompaña de unas ilustraciones que exclarecen el texto. Finalmente, en la tercera parte se incluyen comentarios adicionales ya en prosa.

Termino este breve pero emcionado homenaje a Javier Peralta transcribiendo uno de sus sonetos:

Estudiemos qué pasa en geometría.

Durante muchos siglos hubo intento

De probar el axioma que os comento:

El de las paralelas , se decía


Lobachebski, Gauss, Riemann y otros más,

Las geometrías no euclídeas – cuento –

Hallaron al negar su argumento

(puede aceptarse o no, como sabrás).

 

La proyectiva tiene su esplendor:

Steiner, Staudt, Möbius; un momento:

Primero Poncelet, su iniciador.


Y surge un movimiento innovador,

Se craen nuevas ramas;

Veremos enseguida aquí sus tramas.

 

Descansa en paz, Javier.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU, CORBI).

 

 

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El día de la marmota de la educación española


Cada tres años, hay toque de campanas y redoble de tambores en esta España nuestra de las autonomías; se publica el informe PISA. El nombre viene por ser las siglas en inglés de Programme for International Student Assessment, y se trata de analizar el rendimiento de estudiantes de 15 años, en los diferentes países de la OCDE (Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos). El estudio contempla una serie de pruebas estandarizadas y pretende dar un diagnóstico de las cualidades educativas en cada país, permitiendo además una comparativa.

No se imaginaría nunca nuestro héroe Galileo Galieli que su amada Pisa iba a ser tan mencionada en los medios de comunicación como está ocurriendo estos días, Y en términos tan elogiosos por unos, como denigrantes por otros, por no comentar los auténticos disparates de algún consejero autonómico.

El villano no es el Informe PISA, que debe ser tomado como lo que es, un informe, que debe ser tenido en cuenta para reflexionar sobre nuestro sistema educativo (¿debería ya decir nuestros sistemas educativos?) y analizar que mejoras podemos incluir y que cosas debemos suprimir para que sea más eficiente. Esto no es la liga de la champions, esto es, ni más ni menos, que la educación que queremos dar a nuestros jóvenes y, al final, que modelo de sociedad y país queremos tener.

El Informe PISA no suele ser muy generoso con España, tenemos una foto fija en los últimos quince años: un sistema igualitario, garantista, integrador con los estudiantes inmigrantes; en el que cuidamos poco la élite, que es menor de la que convendría; con un fracaso escolar mayor que la media, y que se debería combatir. Otro tema recurrente es en el género, que una vez más muestra que los chicos obtienen mejores resultados en ciencias y las chicas en la comprensión lectora.

En el informe PISA 2015, se han evaluado tres competencias consideradas troncales: ciencias, competencia lectora y matemáticas. Algunos (el gobierno) han considerado que hemos mejorado cuando en realidad ha bajado la media y así recuperamos posiciones.

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Pero este informe contiene un estudio pormenorizado por comunidades autónomas, y ahí encontramos importantes diferencias. He señalado alguna vez que estamos construyendo un estado desigual en un tema tan esencial para el futuro desarrollo económico como lo es la inversión en I+D+I. Pero la educación es otro de los factores que está contribuyensdo a la desigualdad territorial. Y no solo es cuestión de inversión, si no también de cómo se invierte y en qué.

La estrella de este informe ha sido Castilla y León, una comunidad no considerada de las ricas, pero que invierte con sentido común en las cuestiones esenciales. Se focalizan en la lengua y las matemáticas (esto es lo que están haciendo en Portugal, nuestros vecinos van a más), y refuerzan la enseñanza para eliminar todo lo posible el fracaso escolar. Hace unos años (2007), participé en un estudio que encargó la Junta de Castilla y León a representantes de sociedades matemáticas y las universidades sobre la enseñanza de las ciencias matemáticas. Tuvimos libertad absoluta para trabajar y las reuniones con el Consejero de Educación y el Director General eran solo para ver como íbamos y qué necesitábamos. Aquí se puede encontrar el informe, que tuvo una jornada final que me tocó el honor de coordinar. Quiero pensar que nuestros consejos sirvieron para algo. Al final, como digo siempre, pregunten a los profesionales que están día a día a pie de aula, a los profesores, ellos saben de que va este negocio mejor que nadie.

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He coordinado otro estudio sobre la problemática de la enseñanza de las ciencias en Secundaria, una ponencia del Senado, con mis colegas Gerardo Delgado de la Real Sociedad Española de Física, y Carlos Pico, de la Real Sociedad Española de Química; yo representaba a la Real Sociedad Matemática Española. Aquí pueden encontrar la ponencia y ojalá las conclusiones fueran de obligado cumplimiento, porque fueron aprobadas por unanimidad por todos los grupos parlamentarios.

También he tenido la oportunidad de colaborar en un estudio PISA, y por eso puedo dar fe de la enorme profesionalidad de la gente que los elabora, y el extremo cuidado con que se mira cada aspecto a fin de que no se escape ni el mas mínimo detalle. Y como a veces te cuestionan tus opiniones por falta de experiencia en el tema, les diré que organicé también este congreso Paradigms in Mathematical Education for the XXIst Century. Sharing educational experiences with Asia.

Dicho esto, sería una gran idea que las diferentes CCAA españolas organizaran regularmente encuentros en los que pudieran intercambiar opiniones y compartir buenas prácticas. En vez de aprovechar el informe para arrojarse unos a otros supuestas maldades, podemos hablar y contarnos unos a otros lo que estamos haciendo, lo que da resultado y lo que no, y estoy seguro que en unos años estaríamos esperando el nuevo informe PISA con la ilusión de comprobar nuestras mejoras.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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El ritmo de las matemáticas


En los últimos veinte años, podemos encontrar un buen número de álbumes musicales con alusiones a las matemáticas o a la física. En muchos casos pasan desapercibidos, bien por estar compuestos en otros idiomas o porque los bajos son tan graves, el feedback es tan acusado, o las voces son tan desgarradas, que hacen difícil la comprensión del mensaje incluso en nuestra propia lengua. Hay obras en las las letras de las canciones contienen alusiones a teorías físicas o matemáticas, mientras que otras, directamente, han compuesto su línea instrumental con figuras de recursión fractal u otros algoritmos matemáticos.

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A continuación, haremos una lista de algunas de las canciones y de los álbumes.

Por ejemplo, el grupo californiano de rock progresivo TOOL, nacido en la década de los 90, dedicó una de sus canciones titulada “Lateralus” a la serie de Fibonacci. La manera de hacerlo reside en el número de golpes de voz en cada frase. Dice lo siguiente:

(1) Black,

(1) then,

(2) white are,

(3) all I see,

(5) in my infancy,

(8) red and yellow then came to be,

(Traducción

(1) Negro,

(1) después,

(2) se vuelve blanco,

(3) todo lo que veo,

(5) en mi infancia,

(8) se convirtieron en rojo y amarillo,

)

correspondiente a una sucesión de Fibonacci ascendente, seguida de una sucesión de Fibonacci descendente,

(5) reaching out to me,

(3) let me see.

(Traducción:

(5) alcanzándome,

(3) dejadme ver.

)

para comenzar un nuevo descenso desde el 13.

(13) As below so above and beyond I imagine,

(8) drawn beyond the lines of reason.

(5) Push the envelope.

(3) Watch it bend.

(Traducción:

(13)  Como tan por debajo, tan por encima y más allá imagino,

(8) ser conducido a las líneas de la razón.

(5) Forzar el recubrimiento

(3)  y verlo decaer.)

Pero no sólo se registran guiños matemáticos en la composición de las letras. James Keenan,  cantante de TOOL (que además es actor y viticultor) comienza a cantar 1m 37 s desde el inicio del tema, que es aproximadamente 1.618 de un minuto, próximo al número aúreo, relacionado con la sucesión de Fibonacci. Inicialmente, la canción “Lateralus” iba a titularse 9-8-7, que es el término 17 de la sucesión de Fibonacci y porque los compases de la canción se registran de forma descendente: 9/8, 8/8, 7/8 …

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A finales de la década de los 80 se registró un nuevo género musical: el Math rock, un subgénero del rock progresivo caracterizado por la utilización de las matemáticas como fuente creativa. Este género se distingue fundamentalmente por la batería, ya que este es probablemente el instrumento más capacitado para emular ritmos con una clara estructura matemática. La voz pasa a desempeñar un papel secundario, y así muchas de las bandas etiquetadas como math rock son únicamente instrumentales. Dos grupos representativos de este género son : “American Football” (de Urbana, Illinois) y “Maximum de Hormone” (japoneses).

Este estilo aún se encuentra restringido a los ambientes más underground, con grabaciones en discográficas pequeñas y con actuaciones en festivales locales.

Del Math rock han surgido múltiples escisiones, como el mathcore: una variación de ritmos más complejos y disonantes que el metalcore. Pero el nombre no obedece al uso de patrones matemáticos sino más bien a la complejidad técnica; el uso de “math” en el nombre alude a la extendida idea de la dificultad de las matemáticas. La banda más representativa es Converge, que han llegado a ganar popularidad gracias a su número de seguidores y múltiples apariciones en revistas musicales. En cabeza de la línea histórica del mathcore se sitúan los famosos Black Flag con su album “My war” (mi guerra) de 1984.

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En el libro “American Hardcore: A Tribal History, Thirsty and Miserable“, de Steven Blush, describe este estilo como:

“Metal dirges and fusion-style time signatures proved too much for many fans”.

(“es una lamento metálico con fusión de estilos, cuyo ritmo fue demasiado para muchos fans”.)

Además de la estructura compositiva, existen canciones basadas en conceptos de la física o matemáticas, plasmados en sus letras. Un claro ejemplo es la banda británica Indie Muse, con su albúm titulado “Black holes and revelations” y sus singles “Supermassive black hole” y “Starlight”, cuyos títulos se refieren a la cosmología. El título “Supermassive Black Hole” (agujero negro supermasivo) es una metáfora del vacío que deja el amor y la inevitable caída al abismo, similar a la región de frontera formada por un agujero negro, el llamado “horizonte de sucesos” a partir del cual no hay escapatoria y la caída es inevitable.

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La popular “boy band” One Direction, surgida del concurso británico “X factor” nos sorprende entre sus canciones románticas para adolescentes, con una poesía aritmética titulada “The math song”, que dice:

You’re insecure, so half of four,

Your old brains are not what they were before,

Add two threes, it’s fine for us,

‘Cause we’re young and we can still remember stuff

Everyone else can multiply by 60,

Everyone else can add two

And Now take off one hundred and add on 24,

Then divide by two and add on seven more

And if you’re struggling now it’s not hard to tell

You don’t know, (o oh) your maths skills are terrible

(Traducción:

Eres inseguro, a la mitad de cuatro

tu intelecto no es lo que fue

Suma dos tercios, estamos de acuerdo

porque aún somos jóvenes y recordamos cosas)

Todos pueden multiplicar por 60,

Los demás pueden sumar dos

Ahora parte de cien y suma 24,

después divide por dos y suma otros siete,

si ya te está costando, no es dificil darse cuenta

y no lo sabes, de que tu capacidad de cálculo es terrible).

Muchos otros grupos utilizan números en sus títulos y propia letra de canciones (recordemos esta entrada anterior del blog). Aquí va un breve listado:

- Radiohead “2+2=5”, de su albúm “Hail to the Thief”, de 2003.

- The Clash, en “The magnificient seven”, de 1980.

- Yeah, Yeah, Yeahs: “10×10”

- Most Def,  “Mathematics”

- Coolio: “1,2,3,4, summin’ up”

- Aphex twin: “4”

¡Seguiremos hablando de matemáticas y escuchando música en próximas entregas!

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU, CORBI) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

 

 

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Habilidades matemáticas, Monsieur Joseph, o como juntar a Platón y a Jean Genet


Leo ‘El funambulista’, de Jean Genet (es un cuchillo, dice mi amiga María Sánchez) y encuentro este texto:

“¿Qué más me da, por tanto, que sepa leer? Conoce las cifras lo suficiente para medir los ritmos y los números. Sutil calculador, Joanovici era un judío – o un gitano – iletrado. Ganó una inmensa fortuna durante una de nuestras guerras vendiendo chatarra.”

Genet se refiere (y a él está dedicada la obra) al joven acróbata Abdallah Bentaga, su amante y  protegido, al que pide transformarse en un funambulista. El tal Joseph Joanovici (1905-1965) fue un chatarrero francés que se hizo rico en la Segunda Guerra Mundial vendiendo metal a los alemanes durante la Ocupación. Esto es lo que nos dice la nota a pie de página. Pero la vida de Monsieur Joseph es mucho más compleja: era judío, y esa fue su manera de protegerse. Y al parecer, colaboraba también con la Resistencia. Es condenado  a prisión en 1949 y liberado en 1952. Nadie lo acoge, ni siquiera Israel. Vuelve a ser encarcelado en 1958 y liberado en 1962 por razones de salud, y muere arruinado en 1955.

Joseph Joanovici

No es muy conocido en España que Joanovici es el protagonista de una famosa serie titulada “Il étaits une fois en France”,  cuyos auotores son Fabien Nury y la dibujante Sylvain Vallée, serie que ha obtenido numerosos premios. Y es que la figura de Joanovici sigue siendo muy controvertida: héroe, patriota, villano, … Los episodios son

  1. L’Empire de Monsieur Joseph (2007)
  2. Le Vol noir des corbeaux (2008)
  3. Honneur et police (2009)
  4. Aux armes, citoyens ! (2010)
  5. Le Petit Juge de Melun (2011)
  6. La Terre promise (2012)

Il était une fois en France

Joanovici tenía habilitades extraordinarias para los cálculos, pero ¿por qué una persona nace con ellas? ¿Existe alguna estructura cerebral, alguna condición genética, que suponga una diferencia para el trato con las matemáticas? ¿Y cómo esto puede ser independiente de otras habilidades mentales? La neurociencia nos indica que los bebés nacen con una predisposición innata a los procesos numéricos, y aunque la manera en la que el cerebro maneja las matemáticas es muy compleja, uno puede admitir que algunas personas tienen al nacer mas desarrollada su capacidad matemática, tal y como ocurre con la música.

Platón

En el libro VIl de la República de Platón, Socrátes debate con Glaucón acerca de los estudios que debe emprender el futuro hombre de estado. Sobre el cálculo dice Socrátes:

“¿y no has observado que los calculadores , por naturaleza son rápidos, por así decirlo, en todos los estudios, en tanto que los lentos, cuando son educados y ejercitados en este estudio, aunque no ‘obtengan ningún otro provecho, mejoran, al menos, volviéndose más rápidos que antes? -Así es. -y no hallarás fácilmente, según pienso, muchos estudios que requieran más esfuerzo para aprender y practicar. -No, en efecto. -Por todos estos motivos, no hay que descuidar este estudio, sino que los mejores deben educar sus naturalezas en él.”

Podemos concluir que los cerebros de ciertas personas están preparados para las matemáticas, otros no; así y todo, si nos aplicamos, si desarrollamos habilidades matemáticas, seremos mejores, Platón dixit.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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El librito rojo de Enver Hoxha


Dedicado a mi amiga Armela Dino

Si hay un país que se pueda considerar como paradigma del aislamiento del resto del mundo es Albania: durante décadas su gobierno dictatorial funcionó al margen de Europa, salvo episodios de alianza con potencias comunistas. A pesar de ello, los matemáticos han gozado siempre de aprecio por parte de los gobernantes del país y su actividad se ha mantenido a lo largo de décadas.


La Academia de Ciencias de Albania, creada en 1972

Tras la Segunda Guerra Mundial el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Tirana, dirigido por Petraq Pilikam, era nada más que un proyecto. Pero entre sus miembros se encontraba un joven matemático visitante, Leonard Ivanovich Kaminin, quién convertiría el departamento en una referencia europea. Entre 1955 y 1957 impartió cursos de todo tipo, puso en marcha la investigación, creó un seminario de física matemática y fue construyendo lazos entre las universidades de Tirana y Moscú. Este último aspecto fue fundamental, ya que permitió que los textos rusos y sus traducciones se pudieran comprar a precios muy reducidos y que los estudiantes viajaran a Moscú en intercambios de investigación.

Petraq Pilikam

Eran tiempos de Guerra Fría entre el bloque soviético y EE UU, y la investigación física y matemática entraba en la carrera nuclear. Según cuenta el matemático Peter R. Christopher en The Mathematical Intelligencer en 1997, cuando Kaminin llegó a Tirana reunió a los matemáticos, entre los que se encontraba un físico, para preguntarles: “¿Cuál de vosotros es el espía que me han asignado?”. Tras un largo silencio, Kaminin se dirigió al físico y señalando con su dedo índice, le dijo: “¡Debes ser tú!”.  Una risotada rompió el hielo, Kaminin estaba bromeando.

Durante la década de los 50, el número de matemáticos fue creciendo, pero en 1960 se produjo la ruptura con Moscú, y los estudiantes desplazados allí tuvieron que regresar repentinamente. Parece que la ciencia albana había quedado huérfana, pero el 25 de agosto de 1962, Hoxha dirigió un discurso a toda la inteligentsia albana, que se recogería después en el llamado “Librito rojo”, y marcaría el desarrollo de las siguientes décadas del país:

“Nuestra juventud debe dedicarse al estudio de las ciencias, y particularmente al de las matemáticas. (…) Debo confesar, camaradas, que cuando era joven no les hacía mucho caso, y creo que las clases del instituto pueden ser responsables del crecimiento de mi barba. Pero la verdad es que las matemáticas tienen su propia gran poesía, y son apasionantes y no tan brutales como yo recordaba. (…) El trabajo que el Partido me ha encargado  me indica el papel relevante de las matemáticas. Hoy en día, no solo la física, la química, la astronaútica, la teoría atómica, etc. están fuertemente relacionadas con las matemáticas, sino que se ha dicho que una ciencia no es perfecta hasta que no puede expresarse en términos matemáticos.”

Enver Hoxha, en su época de partisano

Este apasionado discurso de Hoxha fue desde entonces esgrimido por los matemáticos albaneses en su defensa en cuanta ocasión fue requerido. La importancia de la disciplina en el país se incrementó cuando se introdujeron áreas como la programación lineal que se mostraron muy útiles en la optimización de recursos (por ejemplo, en los transportes en las minas de carbón).

La alianza con la China comunista se fue afianzando en 1960, en paralelo con las discrepancias chino-soviéticas, lo que permitió a jóvenes matemáticos albaneses finalizar sus tesis doctorales en Beijing y Shanghai. Pero la Revolución Cultural china se contagió a Albania, y el trato a los profesores fue duro, aunque en vez de trabajos en las aldeas de las montañas los matemáticos salieron mejor parados. Por ejemplo, la joven estrella matemática albanesa, Mishel Fundo, había sido obligada a impartir clases en colegios de una pequeña ciudad, castigado por los antecedentes políticos de su padre. Ante esta situación, Hoxha salió de nuevo en defensa de las matemáticas: “Conozco a un matemático brillante que está impartiendo clases en un colegio de una pequeña ciudad. ¡Esto no debería pasar! … Un matemático tan capaz enviado a este destino cuando la industria necesita a esta gente. ¡El petróleo precisa de cálculos!”

En los años 1970, bajo el paraguas de la UNESCO, y preparando la ruptura con China, por discrepancias con la apertura del gigante asiático a Occidente, Albania propició que algunos estudiantes viajen a otros países como Francia, aunque con códigos de conducta muy rigurosos que les impedían por ejemplo darle la mano a un norteamericano o a un soviético.

 

Aunque este favoritismo de Hohxa permitió que las matemáticas sobrevivieron entre 1960 y 1990, su desarrollo estuvo lastrado por las condiciones políticas generales del país. Tras la apertura democrática, Albania enfrentó una situación económica muy difícil, y muchos científicos abandonaron el país. Como apoyo a los matemáticos albaneses en Albania y en el extranjero, se creó en 2007 del Albanian Journal of Mathematics, y, en 2009, el gobierno puso en marcha un plan estratégico para la ciencia que sin duda propiciará que las matemáticas sigan manteniendo una presencia importante.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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¿Cuánticamente seguros?


En entradas anteriores de este blog hablamos de la criptografía en su sentido más clásico, la que está basada en los números primos. Estos métodos de encriptación surgieron 1975 con W. Diffie y M. Hellman, de la Universidad de Stanford en California, quienes idearon el denominado cifrado asimétrico o clave pública. Estas claves garantizaban, por ejemplo, el anonimato de nuestros números secretos en las transferencias bancarias, en nuestro correo electrónico o cualquier pin introducido en la red.

El algoritmo, bastante seguro, se basa en la factorización de números grandes en dos números primos. Aunque el concepto sea sencillo, descubrir qué dos grandes números primos cuyo producto recupere un número de 10200 cifras, no es una tarea sencilla.

La denominada criptografía cuántica sustituye la teoría de números primos por las fascinantes propiedades de la teoría cuántica. Los bits clásicos de 0’s y 1’s del ordenador son reemplazados por qubits, or quantum bits, que no toman un valor fijo de 0 o 1, sino un estado entrelazado de estas dos posibilidades. Este estado mezcla nos recuerda a la paradoja propuesta por Schrödinger y su gato: un gato puede estar vivo y muerto a la vez. Un ordenador cuántico supone la misma paradoja, éste será capaz de realizar múltiples operaciones a la vez y afectará positivamente a nuestros actuales sistemas de privacidad. En el 2001, IBM logró desarrollar un prototipo que descomponía el número 15 en sus dos factores 3 y 5, sin embargo, la encriptación cuántica aún no ha sido propiamente desarrollada. Hasta el momento, la capacidad de factorización de un ordenador cuántico está demostrada sólo desde un enfoque teórico. Según el Washington Post, de acuerdo con los documentos que hizo públicos el exanalista Edward Snowden, la NSA está desarrollando un robusto ordenador cuántico que es capaz de romper todos los protocolos de cifrado actuales. Incluso existen algunos productos de critografía cuántica ya en uso. En el 2010, durante el mundial de fútbol en Sudáfrica, ya se utilizaron encriptaciones cuánticas para proteger el sistema de videovigilancia  del estado de Durban.

Investigadores de la Universidad de Shangai en China han anunciado el lanzamiento de un satélite de la ciencia cuántica con comunicación por el aire, que permitirá establecer redes mundiales encriptadas cuánticamente.

En el CSIC, el grupo de Criptología y Seguridad de la Información del Instituto de Tecnologías Físicas y de la Información (ITEFI), ha diseñado e implementado experimentalmente un sistema de transmisión cuántica de claves en espacio libre para entorno urbano. El sistema cuenta con un emisor, Alice, que genera los estados binarios ‘1’ y ‘0’ que formarán la clave criptográfica. Ambos son combinados, colimados y expandidos para ser transmitidos por el canal cuántico hasta Bob.

Emisor del sistema en espacio libre (ALICE), fuente ITEFI

La criptografía cuántica supondría un sistema de encriptación inexpugnable, el mejor sistema criptográfico posible. En esencia, para entender el procedimiento, la criptografía cuántica utiliza más la física que las matemáticas para la encriptación. Se basa en el uso de partículas luminosas, los denominados fotones de la luz y sus características. La información se almacena en el espín de un fotón. Aquí es de donde surge la analogía entre el código binario del ordenador y el espín. El espín de un fotón es 1, con tres proyecciones, la 0, 1 y -1, que dependen de su polarización. De forma sencilla, explicamos la polarización de un fotón como la oscilación de la partícula en una determinada dirección. El fotón no viaja en una línea recta, sino que se manifiesta em ondas en direcciones verticales y horizontales. La medición no se restringe sólo a estas dos direcciones, sino que puede ser una composición, y por ejemplo, ver que está oscilando en una diagonal. Por ejemplo, supongamos que tenemos una rendija vertical. El fotón atravesará esa rendija vertical si está oscilando verticalmente. Sin embargo, si oscila en diagonal, puede pasar, o no. Esta incertidumbre es el quid de la cuestión para la distribución de las claves secretas. El principio de incertidumbre restringe nuestro conocimiento de cómo supera la rendija, si en vertical, o en superposición de dos estados en diagonal, por ejemplo.

Ahora, supongamos que tenemos dos interlocutores, Alice y Bob, que deciden compartir una información. Alice envía la clave con una serie de fotones con diferentes polarizaciones, en vertical, horizontal o un acoplamiento de estos dos estados. Esto es lo que se denomina elegir una base de estados. En el momento de la transmisión genera una cadena de qubits aleatoria y Bob recibe la cadena en otra base aleatoria. Bon recibirá el 50% de los fotones emitidos en la misma base en que Alice los emitió. Son los denominados qubits leídos que formarán la clave.  Una vez generada la clave, Alice y Bob pueden usar cualquier otro canal para transmitirse los datos cifrados.

Werner Heisenberg

Si un tercer interlocutor intenta interceptar la clave, se va a producir un error al menos que el intruso siempre utilice la base de emisión de Alice. Cuando Alice y Bob compartan su base de comunicación, detectarán fácilmente si ha habido un intruso, pues obtendrán resultados muy distintos a los que esperarían en sus bases fijadas. El mensaje con la clave no se filtrará sin alterarse o destruirse, al colapsar el estado tras la medición del intruso. Este es el principio de Heisenberg de la mecánica cuántica.

Aunque parezca ciencia ficción, sin ir más lejos, este mecanismo ha sido testado en el CSIC de Madrid, que ha logrado un sistema de transmisión de claves a 300 metros de distancia con una velocidad de 1Mbit por segundo.

¿Suponen estos avances, la entrada de nuestros dispositivos a un régimen cuántico robusto, libre de fallos? La verdad es que aún se detectan errores muy ténicos para comentar en pocas líneas. Pero la línea de investigación intuye que en pocos años estaremos haciendo uso de estos métodos de encriptación de forma cotidiana y nuestras tarjetas de crédito, aunque nos roben el bolso, se hallarán a salvo de los ataques de los cacos.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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¿Excelencia individual o colectiva?


Esta entrada está motivada por una conversación de hace unos días con uno de mis colegas. Tanto él como alguno más, sostienen que basta la excelencia individual para triunfar, así que uno debe contratar investigadores postdoctorales de calidad y esperar que alguno de ellos pueda probar teoremas importantes que le deparen, por ejemplo, la consecución de una de las codiciadas becas del European Research Council (ERC) (alguno se atreve a sugerir la obtención de una medalla Fields con este procedimiento).

Es verdad que la calidad individual es importantísima y que puede ayudar a probar resultados relevantes, pero en un instituto del CSIC tenemos dos graves handicaps. El primero es que los mecanismos de contratación del CSIC son tan perversos y obsoletos que al final el proceso se eterniza; a la vez, los salarios no son competitivos. La conclusión es que el número de candidatos es moderado, y se trata sobre todo de postdocs jóvenes. Estamos compitiendo con los grandes centros internacionales, que ofrecen mejores salarios y un contrato directo (no hay bolsa de trabajo ni inventos similares pensados para que, en aras de la transparencia y la igualdad de oportunidades, se dificulte todo lo posible el proceso de selección).

El segundo handicap es el número de contratos que se pueden ofertar. Si cada cuatro años ofertamos diez, no creo que el resultado tenga altas probabilidades de éxito realmente, porque el teorema de los monos tecleando las obras de Shakespeare requiere millones de monos (el Teorema del Mono Infinito fue planteado por un matemático eminente, Émile Borel, en 1913, en su libro Mécanique Statistique et Irréversibilité).

Por lo tanto, a la excelencia individual hay que añadir la excelencia institucional, la colectiva. Estos jóvenes postdocs deben encontrar en el instituto en cuestión un ambiente acogedor, una infraestructura de excelencia, que les ayude a explotar su potencial, proporcionándoles recursos para que su investigación vaya mas lejos. Son jóvenes investigadores que precisan todavía de formación y asesoramiento: un ambiente con seminarios, trimestres temáticos, congresos, los ayudará y estimulará.

A la vez, se precisa de gestores que coordinados con la dirección y la gerencia, y asesorados por ellos, los ayuden en la elaboración de proyectos, y que contemplen en un modo global la parte científica acompañada en algunos casos de las propuestas de transferencia, y siempre de las de comunicación. Por ejemplo, en el ICMAT creamos las oficinas ICMAT EUROPA e ICMAT TRANSFER y un Gabinete de Comunicación (este último dentro de una Unidad de Cultura Científica).

En consecuencia, se necesita excelencia individual acompañada de excelencia colectiva o institucional (la institución de acogida es siempre un plus en cualquier proceso selectivo). El apoyo mutuo genera el círculo virtuoso.

Todo ello exige dedicación por parte de la dirección del instituto en cuestión y de los directores científicos de los proyectos institucionales, y así, el sacrificar una parte de la investigación propia en aras de los intereses colectivos. La pregunta es si, en nuestro caso, mis colegas están dispuestos a ese acto de generosidad.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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El hombre que se enfrentó a la NSA


En la entrada anterior contábamos el nacimiento hace unos cuarenta años de los protocolos criptográficos llamados de clave pública. Estos avances científicos supusieron el comienzo de una batalla entre la comunidad científica y la Agencia Nacional de Seguridad de los Estados Unidos (NSA) que continúa a día de hoy.

Sede de la NSA en Fort Meade, Maryland

Nos vamos atrás en la historia al año 1977. Hasta entonces, la criptografía era cosa de seguridad nacional, pero los avances que estaban experimentado los computadores anunciaban esta necesidad también para el sector privado.

El campo de batalla fue el International Symposium on Information Theory, que se celebró en la Universidad de Cornell el 10 de octubre de 1977; y el detonante, la presentación de un grupo de investigadores de la Universidad de Stanford, Martin Hellman, profesor asociado de ingeniería eléctrica y sus dos estudiantes de doctorado, Steve Pohlig y Ralph Merkle. Ya un año antes, Hellman había publicado con otro de sus estudiantes, Whitfield Diffie, un artículo titulado “New Directions in Cryptography”, en el que introducía lo que se llama protocolo Diffie-Hellman.

Martin E. Hellman

El artículo se había publicado en las revistas del IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) una sociedad científica centrada en las ingenierías, un auténtico monstruo que hoy cuenta con 420.000 miembros. Y la NSA lo leyó y enviaron una carta no oficial amenazando a Hellman con represalias, ya que consideraban que la criptografía sólo podía estar en manos de la seguridad nacional. Incluso se argumentaba que la criptografía era un arma y su publicaión contravenía la ley de exportación de armas. Temiendo represalias, Hellman defendió su causa con la ayuda de su universidad. Esta concluyó que todo era legal.

Sin embargo, ya que Pohlig y Merkle eran estudiantes, las presentaciones corrieron a cargo del propio Hellman. Todo transcurrió sin incidentes. Y realmente, el uso que se dió a este protocolo fue sobre todo en seguridad por el gobierno (y por los traficantes de drogas).

Bobby Inman

 

El nuevo director de la NSA, Bobby Ray Inman, contactó con los investigadores, descubriendo que su interés había sido el de buscar protección para los ordenadores, lo que entonces era un problema incipiente y que había pasado inadvertido a la NSA.

El problema se complicó cuando en agosto de 1977, Ron Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman, del Massachusetts Institute of Technology (MIT), dieron a conocer su sistema RSA. El tema era ya incontrolable, aunque el gobierno ha contado siempre con un poderoso instrumento, la financiación a través de la National Science Foundation (NSF) y de la propia NSA. Y ha creado el National Bureau of Standards (NIST), que homologa los productos criptográficos.

Es digno de reconocimiento el valor de Martin Hellman, nacido en octubre de 1945, y entonces un joven de 32 años. Hellman fue el principal protagonista en esta primera “crypto war” con la administración gubernamental.  Son muchos los premios y honores que Hellman ha conseguido desde entonces, y quizás el más relevante es el Premio Turing en 2015, que se suele considerar como el Nobel de la Computación. Hellman está usando el millón de dólares del premio para impulsar sus proyectos para el diálogo y la paz en el mundo. También ha sido reconocido su trabajo para disminuir las tensiones étnicas. Las personas interesadas pueden seguirle en su página web y en su blog.

No cabe duda de que en un mundo cada vez mas interconectado, esta disputa continuará, pero no será fácil ponerle puertas al campo de la investigación.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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¿Estamos seguros?


Vivimos en un mundo de claves secretas para proteger nuestros datos: correo electrónico, transacciones bancarias, tarjetas de crédito, comunicaciones por móvil, … ¿Nos preguntamos cómo funciona el sistema? Todo está basado en la criptografía, y por lo tanto, en las matemáticas.

Hasta hace poco, la herramienta principal eran los números primos combinados mediante algoritmos de diferente índole, que dotarán de mayor o menor seguridad a nuestra clave. El cifrado de seguridad mediante el uso de números primos surgió en 1975 con W. Diffie y M. Hellman, de la Universidad de Stanford en California, quienes idearon el denominado cifrado asimétrico o clave pública (el llamado protocolo Diffie-Hellman). Diffie era estudiante ce Hellman, y debemos añadir un tercer personaje a la historia, R.C. Merkle. Ellos iniciaron una batalla en los setenta y ochenta del siglo XX con la agencia de seguridad del gobierno norteamericano que merece una entrada aparte.

Diffie, Hellman y Merkle

La clave pública usa las denominadas funciones matemáticas trampa, que hacen posible el cifrado, pero virtualmente imposible el descifrado. Son funciones unidireccionales. Esto quiere decir, que es muy fácil “ir” pero prácticamente imposible “volver”. Vamos a explicarlo con un ejemplo: si tomamos dos números primos al azar, como el 7 y el 13, y los multiplicamos, obtenemos el número 91. El proceso indirecto se trata de deshacer la operación y saber qué números dan 91, mediante diferentes operaciones. Porque la multiplicación, no es ni mucho menos, la única operación de cifrado. El sentido común sugiere, que para cifras pequeñas, podríamos hacer un listado de primos y combinarlos de todas las formas posibles para recuperar el 91. Sin embargo, los cifrados de nuestras redes sociales o cuentas bancarias manejan dígitos de gran envergadura. Por ejemplo, consideremos el número 1.409.305.684.859. Este número es el resultado de multiplicar dos números primos: 705.967 y 1.996.277. Encontrar este par de números,no es una tarea inmediata si usamos la lista de primos como en el caso del 91. Este cálculo necesita la implementación de un software, porque desde Euclides ya sabemos que hay infinitos números primos. Además, los ordenadores sólo trabajan con un sistema binario, lo que supone una gran limitación, pues se introducen aproximaciones en los números para poder expresarlos en base dos.

Uno de los sistemas de encriptación más famosos es el denominado RSA, siglas correspondientes con los apellidos de los criptógrafos matemáticos  Rivest, Shamir y Adlerman, que desarrollaron una de las versiones de criptografía de clave pública en 1977. La seguridad del algoritmo procede de la factorización de números enteros. Los mensajes se representan mediante números y el mecanismo se basa en la operación producto de dos números primos muy grandes, elegidos al azar y mantenidos en secreto. El orden de estos números es menor de 10200 hasta el momento; sin embargo, la capacidad creciente de cálculo de los ordenadores prevé un crecimiento del orden de precisión en las encriptaciones con números primos aún más gigantescos.

Ron Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman

Un dato curioso es que en 1994, se lanzó un reto a la comunidad matemática para derribar el sistema de encriptación RSA. Un grupo de 600 matemáticos con la ayuda de 1600 voluntarios consiguieron factorizar según el método RSA, un número de 129 cifras. Para desencriptar claves con cifras superiores a 1024, se necesitarían todos los ordenadores del universo desencriptando en paralelo y aún así, su tiempo de computación se calcula semejante a la edad del universo: decenas de miles de millones de años.

Uno de los paradigmas de este siglo es la computación cuántica. Y esa futura encriptación cuántica es aún un proceso emergente. La ventaja fundamental de la encriptación cuántica frente a la clásica, es una propiedad fundamental extraída de las leyes de la mecánica cuántica. Si un tercer intruso en la lectura del mensaje (el remitente, que encripta la clave, y el receptor, que la desencripta, son los dos principales roles en la emisión del mensaje) intenta hacer “eavesdropping”, término acuñado para la escucha secreta tradicionalmente relegado al ámbito de seguridad, el proceso de creación de la clave se altera, advirtiéndose el intruso antes de que se transmita la información privada. La explicación radica en el principio de incertidumbre de Heisenberg, que dicta que si realizamos una medida sobre un sistema cuántico, dicho sistema se altera después de la medida y permanece en un estado fijo, no entrelazado.

Las claves de la mecánica cuántica han de ser descifradas a nivel subatómico, pues la mecánica cuántica es la teoría del “pequeño mundo”, donde nos movemos en longitudes menores a 10-15 fermi, que es el tamaño de un núcleo atómico. Por tanto, las lecturas se harán con láser, capaz de alterar partículas cuánticas como los electrones, mediante la incidencia de fotones.

Como podemos ver, la teoría de la criptografía clásica, sólo utiliza matemáticas que podríamos llamar tradicionales, como es la teoría de números y, en particular, los números primos. Sin embargo, las teorías más contemporáneas, a partir de 1984, utilizan la mecánica cuántica, tal y como contaremos en una próxima entrada de este blog.

Para terminar, haremos unos pequeños comentarios curiosos a la teoría de la encriptación clásica. Por ejemplo, que los Estados Unidos y Canadá sólo permiten el uso de ciertas claves criptográficas en su territorio, que no tienen autorizada la venta ni la exportación. Las claves se hallan en una especie de pastillas que en contacto con el oxígeno exterior, se solidifican en una masa informe y cuya lectura con rayos X destruye la información, convirtiéndose en ceros (recordemos aquellos mensajes a James Bond) .

Sobre los números primos, existe el proyecto GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), en el que cualquiera puede colaborar con su ordenador. Se trata de que el ordenador trabaje en paralelo con los ordenadores de otros muchos colaboradores voluntarios en este proyecto común: el descubrimiento de un tipo particular de números primos, los denominados primos de Mersenne, con un mínimo de diez millones de cifras. El pasado enero, todos los colaboradores de GIMPS, proclamaron el descubrimiento de un número primo de Mersenne con más de 22 millones de cifras, cuyo valor es 274207281-1. La computación sólo se llevará a cabo en tiempos muertos de su ordenador, mientras el salvapantallas esté encendido, por lo que no impedirá su trabajo habitual.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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