La física de Fermat


Las dos entradas anteriores sobre Pierre de Fermat confirman que su legado es sin duda alguna muy importante. Sin embargo, la falta de interés de la época en problemas tan fundamentales como son los de la teoría de números, condujeron los intereses de Fermat por otros derroteros.

Pierre de Fermat

Aunque su motivación por la física era moderada, una de sus contribuciones se ha convertido en uno de los enunciados más importantes de la óptica geométrica. Fermat denominaba a la física “la filosofía natural”. Según Fermat, la verdad de las ciencias físicas sólo podría ser encontrada a través de la experimentación, en contra de la opinión de Descartes, quien se convirtió en su “enemigo” por las continuas disputas entre los dos científicos. Descartes utilizaba el método racionalista, que es el sistema de pensamiento que acentúa el papel de la razón en la adquisición del conocimiento, en contraste con el empirismo, que resalta el papel de la experiencia, sobre todo el sentido de la percepción. Según Fermat, la verdad en las ciencias físicas sólo podría encontrarse a través de los sentidos y fue un seguidor acérrimo de estas teorías, propuestas por filósofos como Hume o Locke. Es paradójico que Fermat, desinteresado en las ciencias físicas, abogara por el método empirista, más cercano a la física experimental que a su afición a las matemáticas.

Para Descartes, la luz se transmitía por colisión entre partículas, hablando del símil del bastón de un ciego que al chocar con algo, su mano transmitía el impulso. La luz opera de forma similar, transmitiendo impulso entre partículas.  Además, el impulso es una fuerza que podía interpretarse vectorialmente, y cuyas leyes de reflexión y refracción se podrían deducir. La ley de la refracción de Descartes es la que hoy en día se conoce como ley de Snell, o ley de propagación de la luz entre dos medios de diferentes índices de refracción (por ejemplo, aire y agua). Desde la experiencia de las bolas de billar, tras el choque, se espera que la bola salga disparada y se aleje de la dirección normal. Sin embargo, al cambiar la resistencia del medio, el ángulo de rebote decrece y se acerca a la normal. La interpretación de Descartes es que el medio ejerce una fuerza.

Refracción de un lápiz

Fermat leyó la obra de Descartes, probablemente porque se la había enviado Jean de Beaugrand, que mantenía disputas serias con Descartes. Fermat detectó dos importantes errores en la obra de Descartes. El abate Mersenne está también, como siempre, en medio de estos debates. Descartes escribe a Mersenne.

« le défaut qu’il trouve en ma démonstration n’est qu’imaginaire et montre assez qu’il n’a regardé mon traité que de travers. et si vous aviez envie par charité de le délivrer de la peine qu’il prend de rêver encore sur cette matière»

Fermat replica

«  Ce n’est pas point par envie ni par émulation que je continue cette petite dispute, écrit-il à Mersenne, mais seulement pour découvrir la vérité; de quoi j’estime que M. Descartes ne me saura pas mauvais gré, d’autant plus que je connais son mérite très éminent, et que je vous en fais ici une déclaration très expresse. »

La querella está servida. No es hasta quince años mas tarde que Fermat elabora su teoría. Aunque el planteamiento de Fermat se basaba en el camino más óptimo para el recorrido de la luz, un estudio detallado desvela que en realidad lo que estaba optimizando era el tiempo. El principio debería ser reescrito de la siguiente manera: “los procesos físicos toman el camino que tardan menos tiempo en recorrer”.  Aunque el problema se corresponde con el de un proceso físico, sin embargo, el planteamiento de Fermat no dejó de ser de carácter matemático, un postulado axiomático lejos del empirismo.

 

Ley de la refracción

“La refracción se produce cuando la luz atraviesa un medio transparente de cierta densidad a uno de densidad distinta. La ley dice que el seno del ángulo formado entre el rayo incidente y la normal es al seno del ángulo entre la normal y el refractado como las respectivas velocidades son una a otra y como el inverso de los respectivos índices de refracción uno a otro”.

Para su demostración, Fermat planteó el principio extremal, que requiere el cálculo de máximos o mínimos. En este caso particular, el tiempo mínimo que tardaría la luz en recorrer un camino. Lo que Fermat no esperaba es que su planteamiento de optimización en términos de minimización de una función, sería el preludio de casi todas las teorías físicas. Por ejemplo, en la mecánica clásica, las ecuaciones de Euler Lagrange se derivan de la minimización de un funcional cuyos extremos se mantienen fijos. Igualmente se derivan las leyes de la relatividad o de la mecánica cuántica.

Para sorpresa de Fermat, la ley derivada del principio de mínima acción para la refracción de la luz era idéntica a la planteada por Descartes.  Más sorpresa sería aún  hoy en día si Fermat levantara la cabeza y viera que su ley de minimización es el principio de la física y también de las matemáticas aplicadas. El análisis numérico se encarga del desarrollo de algoritmos deterministas capaces de garantizar convergencia en tiempo finito a una solución óptima real, obtenida de un principio de minimización. Si Fermat o Lagrange fueron los padres de los principios de minimización, Richard Bell podría ser el padre de los principios de minimización computacionales.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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Los otros teoremas de Fermat


Seguimos contando más cosas sobre Pierre de Fermat. En una entrada reciente habíamos hablado del famoso teorema de Fermat y los intentos fallidos de resolución a lo largo de más de tres siglos. Pero este es solo uno de los problemas que Fermat propuso. Porque, aunque el trabajo oficial de Fermat no era el de matemático sino de abogado y juez, consagró sus momentos de ocio al planteamiento y resolución de problemas matemáticos.

Pierre de Fermat

Los problemas los lanzaba por la vía epistolar, escribiendo cartas que contenían retos dirigidos a la comunidad matemática europea; esto a veces tenía como consecuencia la aparición de rivalidades entre matemáticos de diferentes nacionalidades. Sus resoluciones quedaban muchas veces inconclusas, apuntadas en los márgenes de los libros, en ocasiones sin ninguna indicación de una posible prueba. En el envío de sus cartas, contó con la ayuda de Marin Mersenne, que servía de enlace entonces entre la comunidad matemática.

Muchos de los problemas planteados por Fermat son clásicos en teoría de números. Por ejemplo, los referidos a los números perfectos, aquellos cuya suma de divisores es el propio número. El primer ejemplo es el 6. Sus divisores son 1, 2 y 3, cuya suma iguala 6. Esta particularidad del 6 lo dotó de un significado místico por la escuela pitagórica; representaba la unicidad, la dualidad y la trinidad.

Euclides había probado en Los Elementos que 2p−1(2p − 1) es un número par perfecto siempre que 2p − 1 sea primo. Estos son los llamados primos de Mersenne (cuando p es primo, lo que no garantiza que el correspondiente número de Mersenne lo sea).

Hay muchos resultados sobre números perfectos que aún no se ha demostrado, por ejemplo, si existen números perfectos impares. Tampoco se sabe si los números de Mersenne son infinitos. Lo que sí se sabe, evidentemente, es que no todos los números son perfectos. Los que no lo son pueden dividirse en dos tipos: aquellos cuya suma de divisores es menor que el número, que son los denominados números abundantes; y aquellos para los que la suma de divisores excede al propio número, que son los denominados números deficientes. Finalmente, también existen los números amigos: dos números son amigos cuando la suma de los divisores de uno es igual al otro número y viceversa; por ejemplo, el 220 y el 284. A este tipo de números se le dio un significado místico; se creía que si dos personas comían dos panes en los que se inscribían tales números, entonces serían amigos para siempre.

En 1636 Fermat planteó el problema de cómo determinar la suma de los divisores de un número. René Descartes fue el primero en aceptar el reto y plantear un método. Dado que todo número puede expresarse como  el producto de potencias de sus factores primos

N= p1k1 p2k2 … pnkn

cuyos divisores serán todas las combinaciones entre dichos factores, Descartes propuso un método que cubría los divisores anteriores de forma recursiva. Posteriormente, Fermat propuso un método alternativo aunque similar, pero que nunca apareció probado.

Otro resultado sobre primos se refiere a los llamados ahora números de Fermat; un número de Fermat es un número natural de la forma:

Fn = 22n + 1

donde n es natural. Fermat conjeturó que todos ellos eran primos, pero Leonhard Euler probó que no era así, ya que

F5 = 4294967297 = 641 x 6700417

Súbitamente, Fermat dejó de escribir a sus colegas matemáticos y se mantuvo en silencio más de diez años. Las consecuencias fueron que perdió a muchos de sus colaboradores; algunos habían muerto, y con otros perdió el contacto.

Este aislamiento llegó a su fin cuando Blaise Pascal le propuso algunos problemas sobre probabilidades. Pascal y Fermat son hoy en día considerados como los fundadores de la teoría de la probabilidad.

Otro campo en el que Fermat consiguió importantes resultados fue el de los números triangulares. Recordemos que un número triangular es aquel que se descompone en sumandos que forman un triángulo. Por ejemplo, el 10: 1+2+3+4.

El número 10 se denominó tetrakys y fue venerado como número de la cambiante creación. Sorprendentemente, todo número perfecto es triangular.

A pesar del misticismo y las cábalas pitagóricas, estos números no sólo demuestran una belleza matemática, sino que también pueden ser números claves en la naturaleza. Años después, el misticismo se ve corroborado en la aparición del patrón tetrakys en procesos físicos. En 1969, Murray Gell-Mann recibió el premio Nobel de Física al predecir la existencia de una partícula a partir del pico inconcluso del triángulo formado por diez partículas, clasificadas atendiendo a dos parámetros: hipercarga e isospin.

 

 

Este es el denominado decuplete del modelo estándard de la física de partículas, cuyas partículas elementales (aquellas formadas por dos o tres quarks) han sido ampliamente clasificadas y predichas en diagramas gráficos, todos correpondientes con polígonos regulares. La verdadera raíz de esta interpretación recae en la teoría de grupos y las representaciones irreducibles del grupo del modelo estándar, al que dedicamos una entrada de este blog hace unos meses, titulada Teoría de grupos, más allá del formalismo.

Murray GellMann

Dejando la corroboración física y volviendo al misticismo, el tetrakys representaba los cuatro elementos. La armonía de las esferas, y el ordenamiento del espacio: 0, 1, 2 y 3 dimensiones representadas por cada línea.

El concepto se generalizó fácilmente, siendo un número cuadrado el que puede descomponerse en sumandos que formen un cuadrado y así sucesivamente.

Para terminar con Fermat y la teoría de números, enunciamos uno de sus últimos teoremas: todo número es, o bien triangular, o bien la suma de dos o tres números triangulares. También, o es cuadrado, o la suma de dos o tres cuadrados. O pentagonal, con un enunciado similar.  Una vez más, el resultado fue consignado en otro margen de la Aritmética de Diofanto con una observación típica de Fermat: “La demostración de este resultado tampoco tiene cabida en este margen, pero pienso escribir un libro sobre ello”.

Sin embargo, Fermat cada vez se sentía más hastiado de no encontrar correspondencia ni interés en sus problemas planteados. En un extracto de unas de sus cartas se pone de manifiesto las querellas internacionales que propiciaba a costa de retar con sus problemas:

“Esperamos estas soluciones, y si Inglaterra o Bélgica o la Galia Celta, no las producen, entonces la Galia Narbonesa lo hará”.

Los últimos científicos con quienes mantuvo contacto, como Huygens y Pascal también se negaron a participar en la nueva teoría de los números. En la época, no se veía la utilidad de la resolución de tales problemas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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Lecciones de una mesa redonda


Ayer he moderado una mesa redonda en el ICMAT sobre “Estrategias para fortalecer la transferencia de tecnología matemática a la industria”, y tras el constructivo debate (como siempre, la duración se hizo corta, pero el tiempo mandaba), quisiera reflejar aquí algunas de las reflexiones que he ido anotando sobre la marcha.

  1. Es preciso que todos los agentes tomen conciencia de la importancia de la transferencia del conocimiento matemático: administración, rectorados, presidencia del CSIC, vicerrectores, decanos, directores de departamentos.
  2. En consecuencia, deben actuar y tomar una serie de medidas que faciliten la transferencia.
  3. Por ejemplo, en las universidades, exención de docencia para aquellos profesores que tengan estos objetivos. Esto no puede quedar al arbitrio o buena voluntad de los compañeros, debe estar lesgislado con claridad desde los rectorados.
  4. Los trámites burocráticos no se han hecho más fáciles, al contrario, son cada día mas complejos, en una paradoja permanente ya que al parecer se quiere impulsar la innovación. El contratar con una empresa debería ser un proceso ágil, tanto en universidades como en el CSIC.
  5. La transferencia suele generar ingresos, y una parte importante de estos debería ser dirigida a los propios investigadores, como complemento a su salario y a las actividades del propio grupo de investigación. Nunca estas aportaciones deben estar pensadas casi exclusivamente para la financión de las universidades a través de sus fundaciones.
  6. Los matemáticos deben comprender que trabajar con una empresa requiere un cambio de cultura: la empresa funciona con plazos y entregables, al contrario de lo que ocurre habitualmente en el mundo académico.
  7. La colaboración para la elaboración de tesis doctorales en el ámbito de la empresa es una estrategia que ofrece resultados notables, y promueve colaboraciones muy estables y durareras.
  8. La administración (via CDTI u otros organismos) debe promover más y más instrumentos que faciliten la interfaz academia-empresa; algunos de ellos han funcionado con eficacia.
  9. La contratación de gestores expertos en transferencia deber ser fomentada: gestores que trabajen en los centros, mano a mano con los investigadores, entendiendo así el trabajo particular en esta disciplina y ayudando a los matemáticos al contacto con la empresa. Estas contrataciones deberían ser consideradas como una inversión por parte de la administración central, las autonómicas, rectorados y presidencia del CSIC.
  10. La cooperación en proyectos europeos (hora H2020) es una pieza esencial. Mediante EU-MATHS-IN, una red que reúne a las diferentes redes nacionales se está trabajando para que la tecnología MSO (Modelización, Simulación y Optimización) sea considerada una tecnología clave en H2020 y que las Matemáticas sean visibles en este programa.
  11. La visibilidad de la importancia económica de las matemáticas y su capacidad de generación de empleo debe ser un objetivo de todos: matemáticos, sociedades científicas, administraciones, divulgadores y comunicadores científicos.
  12. Afortunadamente, el colectivo matemático español se ha dotado de instrumentos como math-in que vertebra los diferentes grupos en nuestro país (unos 450 investigadores); math-in debería contar con una financiación estable por parte de la administración central para poder explotar todo el potencial.

Leonhard Euler

Me gustaría terminar recordando una vez mas la importancia de la transferencia para las matemáticas, y como las aplicaciones son parte esencial de las mismas. Hace unos 250 años, Leonhard Euler trataba de encontrar las ecuaciones de los fluidos, aplicando directamente la segunda ley de Newton, lo que finalmente logró obteniendo una bella y memorable ecuación para los fluidos ideales. Una de las grandes motivaciones de Euler era abordar los problemas  de ingeniería relacionados con el suministro de agua a las  ciudades, el diseño de turbinas  hidráulicas y eólicas, y los  problemas de la Balística. Y fue Federico el Grande, el emperador prusiano, quién contrató a Euler para que se ocupara de esos problemas en la Academia de Berlín. Tomemos ejemplo del gran Euler.

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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Transferencia del conocimiento matemático


Mañana viernes, 28 de octubre, moderaré una mesa redonda dentro de un evento organizado en el ICMAT. Estos son los detalles de la mesa, que incluyen el tema y los ponentes:

Mesa Redonda:Estrategias para fortalecer la transferencia de tecnología matemática a la industria”

Moderador: D. Manuel de León. Profesor de Investigación del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) y Fundador del ICMAT

Participantes:

Dª. Peregrina Quintela Estévez. Presidenta de la Red Española Matemática-Industria (math-in)

D. José Francisco Rodríguez Calo.  Relaciones Científicas y Computación Avanzada. Centro de Tecnología Repsol.

D. Javier Martín Rodrigo. Aeroengy.

D. Miguel Valle García. Dirección de Promoción y Cooperación. Centro para el Desarrollo Tecnológico Industrial (CDTI).

Matemáticas para el diseño de aviones

Tanto el tema como la ocasión me lleva a una breve reflexión que quiere complementar la que ya expuse en esta entrada anterior: “No solo de teoremas viven los matemáticos”. En la misma advertía de las voces de mi entorno que solo conciben las matemáticas como generadoras de teoremas, anclados en un pasado que ya no existe mas que en sus cabezas, y olvidando que la gran fuerza de las matemáticas reside precisamente en su transversalidad. Citaba entonces las palabras de Peter Lax, Premio Abel, en las que afirmaba que esas posiciones, hoy en día, solo podrían calificarse como propias de ignorantes.

Peter Lax hablaba de las matemáticas aplicadas, y aquí vamos a ir un paso mas y de hablaremos de las matemáticas industriales, las que tienen un reflejo inmediato en los procesos industriales y una conexión directa con la economía. De hecho, los recientes estudios en Reino Unido, Holanda, Australia y Francia reflejan la importancia de las matemáticas en el Producto Interior Bruto y en la generación de empleo de esos países citados.

Por eso, aprovechando la experiencia en la gestión del proyecto Consolider i-Math y en el Forward Look de la European Science Foundation sobre Matemáticas e Industria, pusimos en marcha la Oficina ICMAT TRANSFER en el primer proyecto Severo Ochoa. Sabiendo, por supuesto, que conseguir la transferencia del conocimiento matemático generado no iba a ser una tarea a corto plazo, pero sí convencidos de que el ICMAT no podía renunciar a esta vertiente en sus actividades.

Precisamente los participantes en esta mesa redonda darán una visión muy completa de todo lo que tiene que ver con la transferencia matemática. Desde los esfuerzos de un investigador y su grupo, a los coordinados dentro de la plataforma math-in (que además nos conecta con iniciativas similares en el resto de países europeos); de cómo se trabaja desde una gran empresa mano a mano con matemáticos, hasta como podemos aprovechar los recursos y los consejo del CDTI. Todo eso y más lo discutiremos el próximo viernes.

Espero que tras estos dos días de debate se tenga muy claro que la transferencia debe ser una parte ineludible del ICMAT, en particular, y del colectivo matemático español, en general. El mundo se mueve, las matemáticas se mueven; muchos jóvenes matemáticos pueden encontrar su camino y un futuro estable en la transferencia, no facilitar esa senda sí sería propio de ignorantes.

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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El monumento a Abel


Niels Abel fue un genial matemático noruego que, a pesar de su fallecimiento prematuro por la tuberculosis, hizo aportaciones esenciales a las matemáticas. En esta reciente entrada se puede encontrar un resumen de sus logros. En su honor, la Academia Noruega de las Ciencias y las Letras instauró el Premio Abel, que cada año se otorga a matemáticos cuyo tarbajo haya supuesto un impacto extraordinario en la disciplina (tal y como ocurrió con el propio Abel). En esta entrada se pueden encontrar detalles sobre el premio.

En el Parque Real, en frente del castillo, se erigió en 1908 un monumento para conmemorar el genio de Niels Abel. Que nadie espere ver una representación del propio Abel; al contrario, desechando la fotografía que la Universiad había enviado a los concursantes en el proyecto de esta estatua, el ganador, el célebre escultor noruego Gustav Vigeland, decidió esculpir un joven desnudo navegando en el espacio. Con ello, Vigeland quería poner de manifiesto al genio que fue Abel. Se presentaron 9 propuestas y la de Vigeland fue considerada la mas artística pero no fue seleccionada ya que no cumplía las bases del concurso. Pero los ganadores no vieron su obra erigida.

Monumento a Abel

Siguió un tira y afloja con Vigeland, hasta que su trabajo para el Museo Nacional de Estocolmo despertó los recelos patrios, y en el periódico Aftenpostena apareció un artículo que decía:

“Llegará el día desgraciado en el que el monumento de Vigeland para Abel se erija en otro país y no el nuestro, al que pertenece con todos los derechos”.

Así que el tema pasó a ser de interés nacional. Tras muchos mas debates (entre ellos el lugar en el que se iba a colocar, y una suscripción pública para la financiación) la escultura fue terminada y revelada al público el 17 de octubre de 1908.

En la base solo un nombre; “Abel”, y una placa que incluye la fecha y el nombre de Gustav Vigeland.

La escultura no tiene mucho que ver con la figura de Niels Abel, quien murió a los 26 años consumido por la tuberculosis. En 1905, Dietrichson le preguntó a Vigeland sobre su intención, y aunque su primera respuesta fuera un escueto “No lo sé”, enseguida se dio cuenta de que el público esperaba otra cosa de un artista reconocido. Así, matizó su respuesta diciendo que “no había ninguna fuerza ni potencia en mente, pero sí quería reflejar el lanzamiento del genio al espacio.”

John Thompson, Premio Abel 2008

Desde que se instauró el prestigioso premio Abel, una de las ceremonias más emotivas es la visita al parque y los discursos enfrente el monumento a Abel. Una excelente manera de honrar al genio.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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ICSU e ISSC afrontan un día histórico para la ciencia


ICSU e ISSC afrontan hoy en Oslo un día decisivo para su futuro. ICSU es el International Council for Science (Consejo Internacional de la Ciencia), una organización no gubernamental que engloba a 122 miembros nacionales representando a 142 países, y 31 uniones científicas internacionales. ICSU engloba a sí a lo que podíamos llamar las ciencias naturales.

Por su parte, el International Social Science Council (Consejo Internacional de Ciencias Sociales) es otra orhanización similar, no gubernamental, que representa a las ciencias sociales, económicas y del comportamiento.

En conjunto, ICSU e ISSC representan a los científicos de todo el mundo y, prácticamente, a todas las naciones.

Hoy, en una Asamblea General Extraordinaria, ICSU e ISSC votarán si se unen o no. Los representantes de las diferentes naciones y de las uniones científicas debatirán primero ampliamanente y públicamente sus puntos de vista sobre esta unión, lo que ya llevan haciendo varios meses en sus respectivas uniones y comités ejecutivos.

Esta Asamblea General de ICSU está a punto de comenzar en Oslo, la capital noruega, hoy, 24 de octubre de 2016, en conjunción con la Asamblea General de ISSC.

Los dos Comité Ejecutivos (ICSU e ISSC) han mantenido reuniones independientes y también una reunión conjunta, de la que ha salido la recomendación de unirse para afrontar juntos un futuro en elq ue la voz de la ciencia, sus consejos y sus acciones, serán decisivos.

La unión de ICSU e ISSC es una apuesta por el futuro, y no está exenta de dificultades. Juntar dos culturas científicas que han ido a veces por distintos derroteros, dos organizaciones de tamaños desiguales, con infraestructuras en la misma ciudad, París, pero también con algunas diferencias. Pero estoy seguro que valdrá la pena. Esta tarde conoremos el resultado y lo haremos conocer a través de nuestro blog.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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La mujer que explicó la fisión nuclear


Science makes people reach selflessly for truth and objectivity; it teaches people to accept reality, with wonder and admiration, not to mention the deep awe and joy that the natural order of things brings to the true scientist.

Lise Meitner

Esta entrada está dedicada a una mujer singular, que no es matemática pero que usó las matemáticas en su trabajo, Lise Meitner. Merece sin duda nuestro homenaje, porque sus importantes aportaciones permitieron explicar el fenómeno de la fisión nuclear. Estos resultados la hicieron merecedora al premio Nobel de Física pero la barrera de género impidió que se le otorgara el galardón.

Lise Meitner

Nacida en el Imperio Astrohúngaro, en 1878, al contrario que les ocurrió a otras muchas mujeres científicas, encontró el apoyo de su familia (de origen judío, aunque posteriormente convertidos al cristianismo) para emprender estudios superiores. Después de que el emperador Francisco José concediera a los judíos la igualdad ciudadana en 1867,  su padré motivó a todos sus hijos a ingresar en la universidad.

La entrada  de Lise Meitner en la universidad estuvo favorecida por la abolición de la prohibición de continuación de estudios a las mujeres mayores de 14 años en Austria. Este hecho estuvo motivado por la necesidad de atención médica en Bosnia y Hezergovina, dando lugar a la reforma de estudios,  eimponiendo  un examen de acceso a la universidad, de muy alto nivel (en particular para las mujeres). Sólo cuatro mujeres aprobaron, entre las que se hallaba Lise.

Desde su aceptación en la comunidad universitaria, Lise Meitner comenzó a despuntar y demostrar el ingenio de una mujer que marcaría la historia.

Lise se doctoró en la Universidad de Viena en 1906, por sus trabajos basados en la ampliación de los comenzados por John William Strutt, Lord Rayleigh, con quien debatió sobre fenomenología. Sin embargo, sus pretensiones de realizar una investigación de excelencia no fueron satisfechas en la Universidad de Viena, por lo que se trasladó a Berlín, donde comenzaría sus estudios sobre la radioactividad.

En Berlín, Lise trabajó con grandes personalidades, como el químico Otto Hahn, con quien colaboraría científicamente durante treinta años, y los físicos Ludwig Boltzmann y Max Planck, a cuyas clases asistiría, a pesar de su política educativa retrógrada, que no permitía la asistencia de mujeres a sus clases. Sin embargo, en Lise Meitner vió un potencial especial y la admitió como un alumno más. Gracias a una invitación de Planck en 1912, Einstein conoció a Meitner, a la que denominó “nuestra Marie Curie”.

Lise -meitner en su laboratorio

Poco a poco, la barrera de género iba limándose y el propio Otto Hahn solicitó la colaboración de Meitner. Sin embargo, la entrada de las mujeres al laboratorio estaba vedada, por lo que Lise tendría que trabajar desde fuera y comer en una cantina alejada del laboratorio.

La colaboración de Hahn y Meitner fue muy importante y muy complementaria, debido a los conocimientos de química del primero y las interpretaciones físicas de la segunda. Publicaron nueve artículos científicos. Sus trabajos se centraron en el actinio, un material radioactivo que reluce en la oscuridad. El ac 225 ha probado su importancia en terapias médicas para la producción de bismuto 213 utilizado en radioterapia. La falta de apoyo económico en estas investigaciones, con la adicional inconveniencia de la “clandestinidad” de los trabajos por su condición de mujer, la llevaron dependencia económica hacia su padre, quien financiaría estos trabajos y pagaría su residencia en una pequeña habitación sin cuarto de baño. Mientras, Otto Hahn conseguiría un estatus de investigador reconocido, Lise Meitner figuraba como colaboradora, de forma gratuita.

Otto Hahn y Lise Meitner

Posteriormente, consiguió un trabajo en un hospital como técnica de rayos X, donde llevó a cabo sus investigaciones sobre el uranio y el protactinio. El  uranio-238, un material fisible, se convertiría en el ingrediente esencial en la construcción de la bomba atómica. Lise Meitner descubrió el “carácter fértil” del U-238, que puede transmutarse en un reactor nuclear en plutonio 239, que es aún más fisible. El uranio-235 posee una mayor “fisibilidad”, por lo que se utiliza como elemento principal en reactores nucleares para desarrollar reacciones en cadena.

Finalmente, en 1919, consigue una plaza de profesora en la universidad. Las primeras décadas del siglo XX fueron perfectas para los descubrimientos de Lise. En 1909, Walther Bother descubrió que la interacción de partículas alfa sobre materiales ligeros  producía una radiación penetrante, no identificada hasta el momento. En 1924, el físico Louis de Broglie presentó la existencia de un elemento neutro en la Academia de Ciencias de París. Finalmente, en 1932, el físico inglés James Chadwick interpretó unas partículas que tenían una masa muy semejante a la del protón, pero sin carga eléctrica, por lo que se pensó que eran el resultado de la unión de un protón y un electrón formando un dipolo eléctrico. Posteriores experimentos descartaron la idea del dipolo y se conoció la naturaleza de los neutrones. Gracias a los desarrollos experimentales para la detección de los neutrones, Lise Meitner detectó por primera vez un positrón, también denominado anti-electrón, por poseer la misma masa que el electrón pero carga eléctrica contraria. Esta partícula no forma parte de la materia ordinaria, sino de la antimateria y se produce en procesos radioquímicos como transformaciones nucleares. Esta partícula fue predicha por Paul Dirac en 1928 y su detección experimental se atribuye, simultáneamente, a Anderson (por huellas fotografiadas de rayos cósmicos en cámaras de niebla) y a Lise Meitner, avanzando en la comprensión del espectro beta y gamma y las partículas alfa de largo alcance.

Lise Meitner nació en el siglo de los avances físicos, pero también nació en el siglo de las guerras. Tuvo que vivir las penurias de la primera y de la segunda guerra mundial. Dada su condición su judía, Lise sufrió con la llegada al poder del partido nacional socialista alemán. Einstein, que se encontraba en California, supo que no sería bienvenido en Alemania, por lo que nunca volvió. Sin embargo, Lise, permaneció en el país.

Quedarse en Berlín le costó su título de profesora, pero siguió colaborando con Planck en el laboratorio tratando de crear elementos más pesados que el uranio. La situación política se agravó en 1938, cuando perdió su nacionalidad austríaca, permaneciendo recluída y viéndose despojada de pasaporte e imposibilitada para desplazarse. Con la ayuda de sus colegas científicos, consiguió exiliarse a Holanda, para transladarse finalmente a Suecia, al instituto  Manna Seigbahn, donde sufrió maltrato sexista: el sueldo más bajo del instituto, no tenía estudiantes y recursos mínimos para la construcción de un laboratorio experimental.

Aunque Lisa continuó la correspondencia importante con sus colaboradores alemanes, muchos de sus resultados fueron incluidos en los experimentos sin que apareciera su nombre apareciera, con la excusa de la seguridad. Por ejemplo, se le otorga una copia de la medalla “Emil Fisher” conseguida conjuntamente con Otto Hahn, pero no asistió a la ceremonia por la despreocupación del jurado por sus contribuciones. Lo más graves es que el premio Nobel de Química para el que estaban nominados conjuntamente Meitner y Hans en 1939, le fue concedido únicamente a este último tres años más tarde, y la única razón explicable es la discriminación de género.

Por todo esto, toma la determinación de trabajar únicamente con su sobrino Otto Robert Frisch, con quien explicó la fisión nuclear con la ley del incremento de la masa de Einstein. El artículo fue un éxito rotundo, publicado en Nature.

Por sus conocimientos en fisión nuclear y sus aplicaciones militares, se le pidió la colaboración por parte de EEUU para la construcción de una bomba atómica que acabara con los nazis. Pero Lise no aceptó esa oferta.

No obstante, el trabajo inestimables de esta mujer fue reconocidas en EEUU después de la guerra, otorgándole su merecido reconocimiento en la fisión nuclear. En 1946, Lise viajó a EEUU donde se le concedieron los más amplios honores y otras muchas medallas después de esta fecha: el premio de la ciudad de Viena a la ciencia en 1947, la medalla Max Planck en 1949, el premio Otto Hanh en 1955, la medalla Wilhelm Exner en 1960, la medalla Dorothea Schlözer de Göttingen en 1962. En 1966 Hahn, Meitner y Strassman recibieron el famoso premio Enrico Fermi. En su honor también se llamó Meitnerio al elemento químico 109.

Estatua de Lisa Meitner en Berlín

Sus últimas décadas residió en Inglaterra, dedicada a la enseñanza. Allí falleció en paz, a una edad muy avanzada y rodeada de su querida familia. Afortunadamente, el final de su vida supuso un giro hacia el reconocimiento y la admiración general.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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Parásitos en la melena del león


El 1 de julio de este año, El País publicó una interesante entrevista con George Steiner. En ella, ante la pregunta de si se  arrepentía de no haberse arriesgado a lanzarse al mundo de la creación, confesaba que sí, pero que él se consideraba mas bien el cartero, el mensajero de los creadores a los alumnos. Y seguía: “Y he dicho también –y algunos no me lo han perdonado nunca- que el más grande de los críticos es minúsculo comparado con cualquier creador.” Cuando se le pregunta quien no le ha perdonado, si son colegas suyos de universidad, responde: “Así es. Es que en la universidad hay una vanidad descomunal. Y les sienta mal que les digas claramente que son parásitos. Parásitos en la melena del león.”

Cuando leí la entrevista y llegué a esta parte, me dije: “George Steiner, you made my day”, y prometí escribir sobre los diferentes tipos de parásitos que pululan por nuestros campus (algunos en particular en la melena del león). Y busqué alguna información mas y encontré esta otra entrevista del 24 de agosto de 2008 también en El País.  Steiner se pregunta cuando está hablando del capítulo de su libro ‘Envidia’, de su libro ‘El lenguaje de Eros’: “¿Sabe por qué soy tan poco popular entre mis colegas académicos? Hay una razón muy sencilla. Siendo joven ya dije que había una diferencia abismal entre el creador y el profesor, o editor, o crítico. Y a los colegas no les gusta escucharlo. El capítulo más difícil de escribir en este libro, Envidia, es precisamente sobre esa relación con los profesores. Fue una pesadilla escribirlo. Sudé en cada frase.” Y mas tarde: “ ¿Cómo se siente uno al vivir rodeado de los grandes sin serlo? Fui el miembro más joven de la Universidad de Princeton, ahí vivía al lado de Einstein y de Oppenheimer, y ahí supe qué eran los gigantes.”

Cuando se va a la Real Academia Española, se encuentra esta definición de parásito: “Dicho de un organismo animal o vegetal: Que vive a costa de otro de distinta especie, alimentándose de él y depauperándolo sin llegar a matarlo.”,  y “Dicho de una persona: Que vive a costa ajena.“

De tal manera que la característica principal es vivir a costa del otro (en este caso, el león) pero sin llegar a acabar con él, porque una vez muerto el huésped, el parásito se quedaría sin su provedor de alimento.

Es curioso como la evolución de huéspedes y parásitos está relacionada, y en este artículo se cita un interesante libro, “El encantador de saltamontes”, de David G. Jara (Guadalmazán, Córdoba, 2016) que habla precisamente de parásitos y su evolución.

George Steiner

El león padece parásitos internos (como las lombrices intestinales) y externos (como los mosquitos o los tábanos), todos muy molestos. Y tiene razón George Steiner, en los campus proliferan los parásitos. Son aquellos que aprovechan esa situación mientras el huésped es útil, y se apresuran a cambiarlo si vienen mal dadas. La lealtad no es precisamente una valor en alza en el mundo universitario.

En los últimos años de mi vida he tenido la ocasión de convivir en los campus universitarios. Y también la de conocer a gigantes como los que mencionaba Steiner, estos muy escasos. Pero también he podido conocer a gente de menor talla, estos muy abundantes; alguno incluso, como se da en el mundo animal, queriendo hacerse pasar por león. Y aunque parásitos y huéspedes parecen evolucionar en paralelo, alguno de ellos se ha quedado anclado en el pasado. Pero siempre habrá parásitos de parásitos dispuestos a dar lo mejor de sí. ¡Todo sea por mantener el equilibrio!

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

 

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La demostración de un teorema


Todos hemos oído alguna vez sobre esos problemas abiertos en las matemáticas casi imposibles en su resolución, que de ser conseguida, puede ser premiada con un millón de dólares. Son los denominados “problemas del milenio”, atacados por muchos, pero de los 7 problemas abiertos en diferentes áreas de las matemáticas, sólo uno ha sido resuelto.

Pierre de Fermat

Si quisiéramos saber cómo de avanzadas están las resoluciones de los otros seis, deberíamos preguntar a los más expertos, y muchas veces, la respuesta es inconclusa o dubitativa. De hecho, la prueba a uno de los grandes problemas no incluído en el listado de los siete problemas del milenio (ya que había sido resuelto antes del 2000), “el último teorema de Fermat”, se guardó recelosamente y se trabajó en solitario en un despacho de Cambrige, cuyo principal autor es el inglés Andrew Wiles.

El problema de Fermat ha permanecido abierto desde hace 350 años, cuando Pierre de Fermat afirmó haber encontrado la prueba en el margen de un libro de Diofanto. Por cierto, uno de los problemas de ese libro, La Aritmética, tiene el siguiente enunciado: “Descomponer un cuadrado dado en dos cuadrados”. En el margen del libro, Fermat escribió:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Es decir:

Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla.

 

El margen

Se cree que Fermat pudo demostrarlo para los casos n=3,4,  según su correspondencia con sus colegas. A partir de ahí, quizás pensó que la generalización sería sencilla pero desde luego no lo era. A lo largo de los siglos, numerosos matemáticos desde Leonhard Euler a Sophie Germain trataron de resolverlo consiguiendo sólo resultados parciales.

El caso n=2 es el famoso teorema de Pitágoras, que se enseña en las escuelas y es universalmente conocido. Las demostraciones para n mayor o igual que 3 han acabado en numerosos intentos fallidos a lo largo de la historia. El matemático prusiano Christian Goldbach (1690-1764) a quien se le recuerda por la también famosa conjetura que lleva su nombre, revivió el interés por la prueba, que no había suscitado mucho entre los contemporáneos de Fermat, más interesados en problemas de cálculo que en teoría de números.

Los comentarios de Goldbach captaron el interés de otro eminente matemático nacido 40 años más tarde que Fermat, el brillante Leonhard Euler, sin embargo, sólo lo probó para n=3. No obstante, n=3 no sólo constituye un resultado para un único número, sino para todos los múltiplos de 3, es decir, para la secuencia 6, 9, 12, 15…lo que implica una infinidad de números.

Si el teorema se demostrase para los números primos, su prueba estaría completa, pues cualquier número es múltiplo de primos. La prueba se estancó con n=5, que resultó de verdadera complejidad.

El denominado príncipe de las matemáticas, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) también buscó su resolución, de forma fallida, por lo que excusó su abandono “por la falta de interés del problema”, comentario inoportuno fruto de su frustración.

Sophie Germain (1776-1831) se enfrentó a múltiples problemas matemáticos y físicos a lo largo de su carrera. A pesar de no haber gozado de educación formal, venció los obstáculos a la carrera científica vetada a las mujeres durante el siglo XIX y demostró su extraordinario talento. Sophie Germain probó que para dos primos P y p,  tales que (P=2p+1) y que cumplen otras propiedades, en particular, que p no divide a xyz, donde xn+yn=zn son las incógnitas del problema de Fermat, el teorema se cumple para n=p.

Posteriormente, los matemáticos Legendre y Dirichlet lo probaron para n=5 mediante la teoría de formas cuadráticas.

En décadas posteriores, vinieron los intentos de demostración de Lamé, Cauchy y Kummer. Lamé probó el caso n=7 basándose en el álgebra de números complejos. Cauchy casi lo probó de forma general con un enfoque similar al de Lamé. Sin embargo, Kummer, a finales del siglo XIX proclamó la incorrección de las pruebas de Lamé y Cauchy: ambos habían cometido el error de asumir la factorización única de de los números complejos. El problema de la factorización de los números complejos ayudó a Kummer a establecer su teoría de los ideales. Demostró que existen ciertos primos regulares para los que el teorema de Fermat se cumple. Así, el teorema se demostró para todos los casos en que n fuera menor que 100 excepto para 37, 69 y 67.

En el siglo XX se puso de moda la dotación económica por la resolución de problemas matemáticos importantes. Paul Wolfskehl instauró un premio de 100.000 marcos a quien demostrara o refutara el último teorema de Fermat.

El desarrollo de los ordenadores también contribuyó muy positivamente en la prueba del teorema. Por ejemplo, una de las conjeturas planteadas por Euler, en que afirmaba que la siguiente ecuación no tiene soluciones

x4+y4+z4=w4

se demostró falsa con un contraejemplo en 1988 con solución (x=2.682.440, y=15.365.639, z=18.796.760, w=20.615.673).

Gerd Faltings

En 1983, el matemático y medallista Fields Gerd Faltings demostró un resultado conocido hoy en día como el Teorema de Faltings que como corolario probaba que para n mayor que 4, si existen soluciones naturales a la ecuación de Fermat, el número sería finito. Esto no demuestra el teorema, pero supone un resultado importante. Faltings basaba su resultado en la geometría algebraica. Faltings en particular relacionó el último teorema de Fermat con superficies similares a una rosquilla, que en vez de tener un único agujero central, puede tener muchos. Cuanto más grande es n, mayor número de agujeros tendrán las “rosquillas”. La existencia de más de un agujero implicaba como mucho, un número finito de soluciones a la ecuación de Fermat.

Después de la aparición inesperada geometría diferencial en el estudio del último teorema de Fermat, el siguiente avance consistió en el estudio de curvas elípticas. Son curvas de la forma

y2=x3+ax+b,

con a,b,c números enteros. Esta ecuación es la llamada forma normal de Weierstrass de una curva elíptica, que debe satisfacer además una condición de no singularidad. Se llaman elípticas aunque no representen elipses, pero sí aparecen al tratar de calcular la longitud de un arco de elipse. El cálculo se resolvía con integrales que se denominaron elípticas, y cuyas inversas son las llamadas funciones elípticas estudiadas por Niels Abel. Estas funciones son doblemente periódicas en el cuerpo de los números complejos y por tanto se pueden identificar a un cociente del plano complejo por un retículo, dando lugar a una curva compleja, que topológicamente es equivalente a un toro. Recordemos además que las elipses aparecen tras las leyes de Johannes Kepler en el estudio de las trayectorias planetarias.

Por otra parte, existen las llamadas formas modulares, o funciones en un espacio hiperbólico. Cada forma modular, siguiendo el símil de Simon Singh con el ADN, tiene una tupla de números representativos que la caracterizan por completo. De forma análoga, se establecen tuplas para la caracterización de las curvas elípticas.

El famoso postulado de Taniyama-Shimura dice que a cada forma modular le corresponde una curva elíptica y viceversa. Años después, en 1980, el matemático alemán Gerhard Frey planteó que el último teorema de Fermat podría representarse como una curva elíptica muy especial, cuya correspondencia modular no podría establecerse. Así, si la curva elíptica que describiera el teorema de Fermat existiera, habría un contrajemplo para la conjetura japonesa y se refutaría.

Andrew Wiles

En la década de los 90, el inglés Andrew Wiles decidió probar la conjetura de Taniyama-Shimura, que demostraría automáticamente el teorema de Fermat. Los enfoques de Wiles fueron múltiples y muy macerados durante años de recogimiento y silencio. Inicialmente utilizó, igual que Kummer, la teoría de grupos. Su enfoque también se basó en la teoría de Iwasawa. Finalmente, su prueba, presentada en una serie de conferencias en la Universidad de Cambridge, se basaba en su segunda estrategia, el método de Kolyvagin-Flach, que superaba todos los errores iniciales del resto de métodos. La prueba de Wiles tenía un error que solventó en un año más de trabajo con la ayuda de su estudiante Richard Taylor. El artículo de publicó finalmente en Annals of Mathematics resolviendo así uno de los problemas más estudiados durante los últimos 350 años.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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Excelencia matemática en el CSIC


ICONO, el observatorio de la FECYT, acaba de hacer público el informe Principales instituciones de investigación excelentes por áreas de conocimiento. 2005-2014, en el que se puede consultar la posición que ocupan las instituciones españolas de investigación en cada área científica para el período 2005-2014, atendiendo al criterio de excelencia científica.

Para el análisis se ha utilizado la clasificación por áreas temáticas de la base de datos Scopus, que discrimina entre 27 grandes áreas de conocimiento que se dividen en unas 300 categorías temáticas, tal y como se describe en el informe.

Así, se presentan en cada área de conocimiento, las diez primeras instituciones, ordenadas por una serie de indicadores que tienen que ver vcon los documentos de excelencia de la institución en particular (artículos en el primer cuartil por cada una de ellas, artículos en el 10% de los más citados en el área).

El resultado arroja esta clasificación en el caso de las matemáticas:

CSIC – Consejo Superior de Investigaciones Científicas

Universidad de Málaga

Universidad Autónoma de Madrid

Universidad de Granada

Universidad de Sevilla

Universitat Politècnica de Catalunya

Universitat Autònoma de Barcelona

Universitat Politècnica de València

Universidad Politécnica de Madrid

Universidad Complutense de Madrid

que puede verse de una manera gráfica en la imagen anterior.

Puesto que las matemáticas en el CSIC son producidas en gran medida en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), cabe afirmar que este instituto representa hoy en día la excelencia en esta disciplina. Este hecho ya estaba avalado por la consecución en 2011 del sello de excelencia Severo Ochoa, revalidado en 2015, además de los 10 proyectos del European Research Council obtenidos en el período.

Pero se impone también una reflexión: ¿de dónde viene el ICMAT? Recordemos que en 1984 se suprimió en el CSIC el Instituto Jorge Juan de Matemáticas, sustituido por una Confederación Española de Centros de Investigación Matemática y Estadística (CECIME), una entelequia que apenas duró unos cuatro años y que agrupaba centros que no existían en realidad. Las matemáticas languidecieron después en una Unidad de Topología, Álgebra, Geometría y Sistemas, asociada directamente a la presidencia, hasta la adscripción de los escasos efectivos matemáticos al Instituto de Matemáticas y Física Fundamental (IMAFF), ya en un Departamento de Matemáticas de ese instituto.

Es finalmente en 2005 cuando el CSIC decide apostar en firme por la disciplina y se sientan las bases para la creación del ICMAT, en noviembre de 2007. Desde ahí la historia es ya mas conocida.

Mi historia personal está intímimamente ligada a la de las matemáticas del CSIC, al que me incorporé en enero de 1986, encontrándome con una situación devastadora. Hasta que empieza a verse la luz son casi 20 años de lucha en un territorio inhóspito, dominado por la física. La captación estratégica de investigadores seleccionados por el programa Ramón y Cajal, unido a algunas plazas de turno libre de investigadores de plantilla supone la creación en unos pocos años de un grupo potente de investigadores.

El ICMAT nace como un instituto mixto del CSIC con la UAM, UC3M y UCM, y hereda toda la problemática de los matemáticos de estas instituciones. Hubiera sido mas conveniente apostar por un instituto propio hasta que este se hubiera estabilizado y buscar después socios. En estos momentos, el instituto está afrontando su mayor crisis, fruto de una auténtica conspiración de necios e intereses cortoplacistas que buscaban capitalizar el éxito del instituto. Una institución, la UCM, que no afronta sus compromisos financieros con el instituto; las tres universidades, con una mayoría de investigadores que solo acuden esporádicamente a las magníficas instalaciones del instituto, en parte por las pocas facilidades docentes ofrecidas por sus instituciones; y un CSIC que mantiene intervenido al instituto desde la sede central de Serrano, cometiendo necedad tras necedad.

¿Será capaz el instituto de mantener el ritmo? Como fundador del ICMAT no puedo mas que expresar mi mas profunda preocupación. Personalmente son 30 años dedicados a poner en marcha esto que es un milagro en el panorama español. Y sé por tanto de la necesidad del esfuerzo diario combinado con una estrategia adecuada. Ojalá haya pronto recambios en el CSIC, y el ICMAT pueda mirar con confianza su futuro.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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