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Lo que no podemos saber


Lo que no podemos saber (subtitulado Exploraciones en la frontera del conocimiento) es el cuarto libro publicado por Marcus du Sautoy, y como los anteriores, en la editorial Acantilado. Du Sautoy explora las fronteras del conocimiento actual a la luz de las matemáticas.

 

El libro está estructurado en siete partes, incluyendo una introducción. Cada parte está bautizada como una frontera:

  • Frontera cero: lo que sabemos que no sabemos
  • Primera frontera: los dados de casino
  • Segunda frontera: el violonchelo
  • Tercera frontera: el pomo de uranio
  • Cuarta frontera: el universo con recortables
  • Quinta frontera: el reloj de pulsera
  • Sexta frontera: el robot parlante
  • Séptima frontera: el cracker navideño

En cada una de ellas explora los líomites del conocimiento, comenzando con un objeto cotidiano en su vida particular. Así, la primera frontera es una análisis de las probabilidades a partir de un dado que obtuvo de un casino. ¿Podemos predecir el resultado de una tirada a partir de las leyes de la mecánica? Y de ahí explora los sistemas deterministas y el caos desvelado por Henri Poincaré. La segunda frontera explora los límites de la materia y el modelo estándar, con el descubrimiento extraordinario de los quarks. La tercera frontera nos adentra en el mundo misterioso e incomprendido de la mecánica cuántica, y la cuarta se adentra en el origen y final del universo. En la quinta explora la naturaleza del tiempo, y la sexta los límites de la conciencia y la inteligencia artificial. La séptima frontera se dedica a los límites de las propias matemáticas, con los descubrimientos de Cantor y Gödel.

Marcus du Sautoy

 

En su viaje, du Sautoy se pregunta por los límites del conocimiento humano. “En una época en que la ciencia parece desvelar los misterios más profundos del mundo físico, ¿queda algo que nunca podremos explicar ni comprender?” El libro contiene unas reflexiones interesantes sobre la idea de Dios en este universo que no podremos explicar completamente. Recordemos que du Sautoy es ateo y, como él mismo confiesa, “su única religión es el Arsenal”.

Marcus du Sautoy es natural de Londres, donde nació 26 de agosto de 1965. Estudió Matemáticas en la Universidad de Oxford, donde actualmente es profesor de matemáticas. En 2008 fue nombrado Simonyi Chair for the Public Understanding of Science, una cátedra para fomentar la divulgación de la ciencia y las matemáticas. Su investigación se centra en el estudio de la teoría de números desde el punto de vista de la teoría de grupos. Du Sautoy fue galardonado con el Premio Berwick en 2001 por la Sociedad Matemática de Londres. En 2009 ganó el Premio Michael Faraday de la Royal Society de Londres por “la excelencia en la comunicación de la ciencia al público del Reino Unido”. Du Sautoy fue nombrado Oficial de la Orden del Imperio Británico (OBE) y en 2012 sfue elegido fellow de la Sociedad Matemática Americana y en 2016 académico de la Royal Society.

 

Ha sido profesor invitado en el Collège de France y la École Normale Supérieure de París, en el Max-Planck-Institut de Bonn, la Universidad Hebrea de Jerusalén y la Universidad Nacional Australiana en Canberra. Colabora en la televisión con programas de divulgación matemática, así como en la prensa escrita. Todos sus libros han aparecido publicados en Acantilado:La música de los números primos (2007), Simetría (2009), Los misterios de los números (2012), Lo que no podemos saber (2018) y Programados para crear (2020). De este último publicaremos próximamente una reseña en Matemáticas y sus fronteras.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Los mejores artículos divulgativos de matemáticas de 2020


La Universidad de Princeton edita cada año un volumen con el título The Best Writing on Mathematics (a acontinuación el año correspondiente) que trata de reunir los mejores artículos divulgativos de matemáticas del año de todo el mundo.

 

Los libros están editados desde 2010 por Mircea Pitici, de modo que esta es la undécima entrega de la serie. Se trata de seleccionar artículos que muestren las matemáticas y su influencia social de manera que el libro sea accesible al público que no se especializa en matemáticas.

C.P. Snow acuñó el concepto de las dos culturas, y la necesidad de construir puentes que las conecten. Esta serie de libros, con sus imperfecciones, pero también con sus hallazgos, es una buena contribución a esta tarea.

La serie se estrenó, como comentamos, en 2010, y en la presentación de ese primer volumen se declaraban las intenciones:

“Estos escritos ofrecen sorprendentes conocimientos sobre la naturaleza, el significado y la práctica de las matemáticas hoy en día. Profundizan en la historia, la filosofía, la enseñanza y las ocurrencias cotidianas de las matemáticas, y llevan a los lectores detrás de las escenas de los debates matemáticos más candentes de hoy en día. Aquí los lectores descubrirán por qué Freeman Dyson piensa que algunos matemáticos son pájaros mientras que otros son ranas; por qué Keith Devlin cree que hay más en las matemáticas que pruebas; lo que Nick Paumgarten tiene que decir sobre los patrones de tiempo de los semáforos de la ciudad de Nueva York (y por qué cruzar la calle sesenta y seis es la forma más eficiente matemáticamente de cruzar la calle sesenta y seis); lo que Samuel Arbesman puede decirnos sobre la epidemiología de los no muertos en las películas de zombis; y mucho, mucho más.”

En el último volumen de la serie encontramos un artículo de Steven Strogatz sobre cómo el cálculo impulsa los avances en la virología; otro de Paul Thagard argumentando que el poder de las matemáticas proviene de su combinación de cualidades realistas y ficticias; o Erica Klarreich contando cómo Hao Huang utilizó la combinatoria de los nodos del cubo para resolver un importante problema en big data. Y muchos otros autores y temas.

Además, cada antología incluye una bibliografía con otros artículos destacables.

Mircea Pitici

He tratado de conseguir información sobre Mircea Pitici, y esto es lo único que he encontrado, en su perfil de Linkedin:

“Actualmente, estoy trabajando para un Master en biblioteconomía y ciencias de la información en la Universidad de Syracuse, después de obtener un doctorado en educación matemática en Cornell.  Inicié y edito la serie anual de antologías The Best Writing on Mathematics. Mis principales intereses son la bibliografía de matemáticas y ciencias, la educación matemática de pregrado y la bibliotecología académica.”

Es una pena que estos libros no estén traducidos y poder llegar así con más facilidad al público de habla española.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Un discurso dirigido a un matemático infiel


Uno de los personajes más interesantes del siglo XVIII fue George Berkeley, irlandés, obispo de la Iglesia Anglicana de Irlanda, defensor de una visión del mundo que defiende que lo que vemos son ideas producidas por nuestra mente, y debido a que los percibimos, existen. Le dio el nombre de inmaterialismo a esta teoría.

 

George Berkeley

George Berkeley nació el12 de marzo de 1685 en Kilkenny (Irlanda), y falleció el 14 de enero de 1753 en Oxford, en cuya catedral está enterrado. Aunque es más conocido por su obra filosófica, el obispo Berkeley trabajó profusamente en varias áreas científicas. Por ejemplo, en su Essay Towards a New Theory of Vision (Ensayo hacia una nueva teoría de la visión), argumentó contra las leyes que se habían establecido hasta entonces sobre la óptica, afirmando que cuando miramos un objeto, no las usamos sino que percibimos el objeto de una manera indirecta. Hace una analogía con el modo en que se percibe la vergüenza de una persona: observando el color rojo de su cara, inferimos que está avergonzada porque eso es lo que hemos aprendido. El propósito de su libro era:

“para mostrar la forma en que percibimos a simple vista la distancia, la magnitud y la situación de los objetos. También para considerar la diferencia que hay entre las ideas de la vista y el tacto, y si hay alguna idea común a ambos sentidos.”

Pero nuestro interés particular en el obispo Berkeley recae en que también opinó sobre las matemáticas. En 1734, publicó The Analyst (El analista), subtitulado Un discurso dirigido a un matemático infiel, en el que vería una dura crítica sobre el cálculo infinitesimal, a la sazón desarrollado por Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716).

El matemático infiel era probablemente el propio Newton (aunque esté había fallecido diez años antes), o quizás Edmond Halley. En cualquier caso, Berkeley atacaba los fundamentos del cálculo, ese uso de las cantidades infinitesimales que él veía como un peligro para la religión y su concepto de Dios, esos “fantasmas de cantidades desaparecidas”. Decía:

“En todas las demás ciencias los hombres prueban sus conclusiones por sus principios, y no sus principios por las conclusiones. Pero si en el suyo se permite esta forma antinatural de proceder, la consecuencia sería que usted debe quedarse con la inducción, y decir adiós a la demostración. Y si os sometéis a esto, vuestra Autoridad ya no os guiará en los Puntos de Razón y Ciencia.”

Y también:

“¿Y qué son estas fluxiones? Las velocidades de los incrementos evanescentes. ¿Y cuáles son estos mismos incrementos evanescentes? No son ni cantidades finitas, ni cantidades infinitamente pequeñas, ni nada. ¿No podemos llamarlos fantasmas de cantidades desaparecidas?”

Es decir, no se podían justificar esas conclusiones sobre bases científicas, el modelo mecánico del universo no se podía justificar únicamente con la razón.

Alguien podría pensar que George Berkeley no tenía una buena preparación en Matemáticas. No es así. Era hijo de un caballero y de la hija de uncervecero de Dublín, y tras un periodo escolar, entró en el Trinity College de Dublín, aunque no tenía todavía la edad mínima (tenía quince años). Se graduó en 1704, y en su libro de 1994, George Berkeley : idealism and the man, David Berman, cuenta lo siguiente:

“Después de graduarse preparó un libro de texto elemental en el que exploró las bases de la notación aritmética y los principales procesos aritméticos como funciones de esa notación, explicándolos sin recurrir a técnicas algebraicas o geométricas. Lo publicó en 1707 con el título de “Aritmética”, junto con otro conjunto de estudios titulado “Miscellanea mathematica” … e indicó que las matemáticas habían sido su principal interés durante tres años.”

Este interés incial por las matemáticas, que nunca perdió, fue sustituido por los estudios teológicos y filosóficos y su carrera eclesiástica.

A pesar de que sus ataques al cálculo diferencial pudieran parecer inadecuados, si tuvieron una influencia en que se establecieran sus principios de una manera más sólida.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Creado el Comité de la Diversidad en la Unión Matemática Internacional


Nos hacemos eco en Matemáticas y sus fronteras del recién creado Comité para la Diversidad (CdD) en el seno de la Unión Matemática Internacional (IMU en sus siglas inglesas).

En el último boletín electrónico de IMU, su Presidente, Carlos Kenig dice: “Este año ha atraído una mayor atención, en todo el mundo, a las cuestiones de la diversidad y la inclusión. Muchos países, instituciones y organizaciones han reconocido la necesidad de reevaluar su relación con estas cuestiones. Muchas instituciones se han dado cuenta de que hay que reconsiderar las antiguas políticas y que hay que adoptar muchas más medidas activas para abordar la diversidad y la inclusión, y asegurarse de que el tratamiento de estas cuestiones se incorpore plenamente en sus actividades y en su proceso de adopción de decisiones.” El CdD se estableció a finales de agosto de 2020.

No es algo nuevo en IMU, porque la preocupación por la igualdad, la diversidad, la situación en los países en vías de desarrollo, es una constante en la Unión. Por eso se creó en su momento la Comisión de Países en Desarrollo (CDC) , y más recientemente el Comité para las Mujeres en las Matemáticas (CWM). Pero ahora IMU ha visto que había que dar un paso más en la nueva sociedad que se está construyendo, en la que temas como la diversidad  y la inclusión están en primera fila de la agenda. No olvidemos tampoco la labor que IMU desarrolla en la enseñanza de las matemáticas a través de la Comisión Internacional para la Instrucción Matemática (ICMI). Educación e investigación son dos áreas donde acciones para fomentar estos dos valores, igualdad e inclusión, son particularmente eficaces.

A veces no se entiende bien a lo que nos referimos cuando hablamos de diversidad, pero Carlos Kenig lo deja muy claro: “Por diversidad entendemos aquí las cuestiones relativas a la raza, el género, la identidad de género y la orientación sexual, la etnia, las discapacidades, la geografía, los antecedentes desfavorecidos, así como las creencias políticas y religiosas y cuestiones conexas.”

Las tareas que se le ha encargado al CdD son:

1. una evaluación de cómo se desempeña IMU en cuanto a la diversidad e inclusión.

2. un asesoramiento sobre cómo IMU puede mejorar sus actividades con respecto a la diversidad y la inclusión en sus actividades.

3. hacer recomendaciones a IMU sobre cómo se puede asesorar y ayudar a sus miembros en relación con la diversidad y la inclusión.

Este Comité es ad hoc, su misión de momento es elaborar un informe que será sometido para su aprobación en la próxima Asamblea General de IMU, previa al Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) a celebrar en San Petersburgo (Rusia) en 2022.

IMU hace un llamamiemnto público a que matemáticos de todo el mundo contacten con los miembros del CdD para enviar sugerencias y propuestas de acciones (a Robert Bryant, Chair, USA (chair@cod.mathunion.org). El Presidente de este Comité es Robert Bryant, de los Estados Unidos y el resto de los miembros son:

Gugu Moreira, Brazil

Ngo Bao Chau, USA/Vietnam

Tatiana Toro, USA/Colombia

Philibert Nang, Gabon

Elena Vázquez Abal, Spain

Anjum Halai, Pakistan

Sophie Dabo-Niang, France/Senegal

Edy Tri Baskoro, Indonesia

Edray Goins, USA

 

Elena Vázquez Abal

Entre ellos es una satisfacción encontrar a nuestra colega Elena Vázquez Abal, profesora de la Universidad de Santiago de Compostela, especialista en Geometría Diferencial y muy activa en tareas de divulgación de las matemáticas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).


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Los círculos de Fred Vargas


Como los habituales de este blog saben, soy un lector empedernido, vicio o virtud que cultivo desde que tengo uso de razón. Y en mi lectura de la serie del comisario Jean-Baptiste Ademsberg, de la premio Princesa de Asturias de las letras de 2018, Fred Vargas (seudónimo de Frédérique Audoin-Rouzeau), me he encontrado con una inesperada afición a los círculos y al número pi.

No es la primera vez que Vargas hablaba de círculos; en su debut con El hombre de los círculos azules (L’Homme aux cercles bleus) en 1991, un extraño personaje se entretenía en dibujar círculos en las calles de París colocando en su centro objetos cotidianos, algo inocente hasta que los círculos comenzaron a rodear algún que otro cádaver.

 

Fred Vargas

Pero es el tercer y último cuento de los incluidos en el libro Fluye el Sena (Coule la Seine), y titulado “Cinco francos unidad” (Cinq francs pièce), un estrambótico vendedor ambilante de esponjas de baño es testigo accidental de un intento de asesinato de una mujer en las calles de París. Y este es el nombre de tal singular personaje, Pi Toussaint. Cuando su madre puso su nombre en el registro, alguien puso una taza de café encima y del nombre (posiblemente Pierre) solo quedó Pi.

Adamsberg sabe que Pi tiene más información de la que está dando, y trata de convencerlo para que la suelte. Así llegamos a un diálogo extraordinario:

“ – De hecho – dijo súbitamente Pi, pasándose el saco de dormir de un brazo al otro -, yo también tengo ideas.

-       ¿Sobre qué?

-       Sobre los círculos. Es de nacimiento. Por ejemplo, el botón de su chaqueta, ¿tiene usted idea de su circunferencia?

Adamsberg se encogió de hombros.

-       No sé si me había fijado nunca en este botón.

-       Pues yo sí. Y diría que ese botón tiene un perímetro de cincuenta y un milímetros. “

Y ahora, una vuelta de tuerca. Como el comisario le quita importancia, Pi le recuerda:

“ – Tiene narices que un policía no vea que ésa es la clave del mundo. Cuando era pequeño, en la escuela de la Asistencia, me llamaban 3,14. ¿Entiende el chiste? ¿Pi = 3,14? ¿El diámetro del círculo multiplicado por 3,14 igual a la circunferencia? Pues bien, esa borma fue el chollo de mi vida. Así que ya lo ve, igual fue una gran suerte el que mi nombre se disolviera con el café. Me convertí en un número. Y no en un número cualquiera, ¡ojo!

-       Entiendo – dijo Adamsberg.

-       No puede usted hacerse una idea de todo lo que sé. Porque pi funciona con cualquier círculo. Lo dijo un griego en la antigüedad. Eran muy listos los griegos. “

Finalmente, Adamsberg consiga vencer la desconfianza de Pi y va obteniendo más información sobre la lumer, conectada al Ministerio del Interior, y de la que no se menciona, por confidencialidad, su nombre:

“- Bueno, pues entonces vamos a darle un número, como a mí. Será más caritativo que llamarla “la mujer”. Vamos a llamarla “4.21”, porque ha tenido mucha suerte.”

Y es que el “421” es un juego de dados muy popular en Francia.

Como ocurre con otras obras de Fred Vargas, este cuento se ha publicado como novela gráfica, con el título de Le Marchand d’éponges, ilustrado por Edmond Baudoin y publicado por la editorial J’ai Lu en 2013.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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El matemático detrás del movimiento “De Stijl”


Mathieu Hubertus Josephus Schoenmaekers fue un matemático y teósofo neerlandés, nacido el 13 de diciembre de 1875 en la ciudad de Maastricht, y fallecido el 18 de diciembre de 1944 en Laren. No es un personaje tan conocido como los artistas que crearon el llamado movimiento De Stijl (El Estilo) que le debe mucho a su iniciativa e ideas.

Mathieu Hubertus Josephus Schoenmaekers

De Stijl o “El Estilo”, fue un movimiento conceptual que surgió en la segunda década del siglo XX, y que supuso un cambio profundo en la manera de entender y realizar el arte en general, no solo en la pintura, sino también en la escultura, la arquitectura, el diseño de muebles y el diseño gráfico.

Primer número de la revista De Stijl

El movimiento se basó en una revista del mismo nombre, que comenzó en 1917 y se publicó hasta 1931. La revista estaba coordinada por Theo van Doesburg, y sirvió como difusora del movimiento, al que pertenecieron pintores como Piet Mondrian, Vilmos Huszár, Georges Vantongerloo, Bart van der Leck, y arquitectos como Gerrit Rietveld, Robert van ‘t Hoff, Jan Wils y J. J. P. Oud.  Según cuenta el propio Theo van Doesburg en el primer número de la revista, “De Stijl fue una reacción al “Barroco Moderno” del movimiento de la Escuela de Amsterdam (arquitectura expresionista holandesa) con la revista Wendingen (1918-1931)”. En su apogeo De Stijl tenía 100 miembros y la revista tenía una circulación de 300 ejemplares.

Theo van Doesburg, autoretrato

 

Ya en 1915, Van Doesburg conoció a Piet Mondrian en una exposición en Masterdam. Mondrian se había trasladado a París en 1912, y visitaba los Países bajos cuando estalló la guerra, impidiendo así su regreso a París. Vivía en Laren, donde conoció a Bart van der Leck y al matemático y adepto a la teosfía M. H. J. Schoenmaekers. Este había publicado en 1915 un libro, Het nieuwe wereldbeeld (La nueva imagen del mundo), y en 1916, una segunda obra, Beginselen der beeldende wiskunde (Principios de las matemáticas plásticas). Estos dos libros fueron una influencia decisiva para el nacimiento de De Stijl. En efecto, Mondrian utilizó una gran parte de la terminología extremadamente de Schoenmaekers para las publicaciones en el periódico De Stijl.

Sus fundamentos matemáticos eran, pues, muy evidentes, basados en la exactitud que proporciona una ecuación o la propia geometría. Esa abstracción de las matemáticas se convertía en una reducción de la obra artística a lo esencial, y de ahí a la simplificación de las composiciones, que alcanzaba también a los propios colores utilizados: blanco, negro y los colores primarios (rojo, amarillo y azul). Esta concepción simplificadoría bebía también del dualismo, y de filósfos como Platón y Hegel.

Un esbozo de Theo van Doesbur

Mondrian acuñó el nombre de Nieuwe Beelding (Neo-Plasticismo) en 1917, y escribió una serie de doce artículos De Stijl. Escribe, “esta nueva idea plástica ignorará los detalles de la apariencia, es decir, la forma y el color natural. Por el contrario, debe encontrar su expresión en la abstracción de la forma y el color, es decir, en la línea recta y el color primario claramente definido”. De ahí su pintura con cuadrados y rectángulos, líneas rectas, horizontales o verticales, y la asimetría, combinados con los colores esenciales.

 

Composición de Piet Mondrian

Estas restricciones eran respetadas. De hecho, en 1925 Mondrian se retiró del grupo porque no estaba de acuerdo con que van Doesburg comenzara a utilizar elementos diagonales en sus obras.

Como curiosidad, decir que la banda americana The White Stripes publicó un album en 2000 con el título De Stijl, para honrar este movimiento del que mencionan haber sido una fuente de inspiración para su música. La portada es una muestra evidente de ese homenaje.

“En mi mente, tanto el country blues como el movimiento De Stijl representaban un nuevo comienzo de la música y el arte, quizás para el resto de la eternidad. Ambos rompieron sus respectivas artes hasta la médula. No se podía conseguir nada más simple y puro que la escuela de De Stijl”, decía Jack White en una entrevista en 2012.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Un verdor terrible


“Mi favorito es Alexander Grothendieck, tal vez porque él se consideraba a sí mismo un escritor y no sólo un matemático, y porque casi todo lo que sale en el libro con respecto a su vida es real, aunque parezca ficción. Me fascina su sensibilidad y su delirio en búsqueda de Dios, porque es algo que he vivido en carne propia.”

Benjamín Labatut

 

Asistimos en los últimos años a la publicación de libros que tratan temas científicos dentro de la literatura habitual, sin estar condenados, afortunadamente, a un género determinado. Un verdor terrible es uno de estos libros, y se trata de un libro extraordinario.

Un verdor terrible describe varios de los descubrimientos científicos que han conformado el siglo XX, aunque alguno de ellos, como el azul de Prusia (cianuro de hidrógeno) se remonta al siglo XVIII. Una de las características de estos logros es que muestran la dualidad inherente a la ciencia (y quien dice ciencia, dice su sinónimo, conocimiento). La ciencia puede ser usada para fines que mejoren nuestra vida o para servir a los más atroces desiginios de la maldad. El mejor ejemplo, el cianuro de hidrógeno que Fritz Haber empleó para fabricar el Zyklon que aniquiló a millones de judíos (incluso a miembros de su propia familia), pero el propio Haber había descubierto la síntesis catalítica del amoniaco a partir del hidrógeno y el nitrógeno, fundamental para desarrollar los fertilizantes que permitieron un cambio drástico en los cultivos y en el aumento de la población; por ese descubrimiento fue galardonado con el Premio Nobel de Química de 1918.

Alexander Grothendieck

Pero son otros los episodios directamente relacionados con las matemáticas los que queremos destacar ahora. Uno es el referido a Alexander Grothendieck, uno de los iconos de las matemáticas de la segunda mitad del siglo XX. Su brillantez, su vida difícil, su honestidad rechazando cualquier privilegio, están descritos con la pasión requerida. Esa llama del genio de Grothendieck que lo llevó al delirio místico, y al aislamiento social, y probablemente a la locura final, pero dejando un legado de 70.000 páginas manuscritas que todavía tratamos de descifrar.

Karl Schwarzschild

Y que decir de ese episodio en el que el físico y matemático Karl Schwarzschild, sirviendo en el frente ruso durante la Primera Guerra Mundial, le escribe una carta a Albert Einstein el 22 de diciembre de 1915 comunicándole que había encontrado una solución exacta a sus ecuaciones, cosa que él no era capaz de hallar. Schwarzschild concluía su carta escribiendo: “Como ves, la guerra me trató con la amabilidad suficiente, a pesar de los fuertes disparos, para permitirme alejarme de todo y tomar este paseo en la tierra de tus ideas”. Y la respuesta de Einstein: “He leído su artículo con el máximo interés. No esperaba que uno pudiera formular la solución exacta del problema de una manera tan simple. Me gustó mucho su tratamiento matemático del tema. El próximo jueves presentaré la obra a la Academia con algunas palabras de explicación.” Esta carta ya no llegó al destinatario, fallecido el 11 de mayo de 1916 de una terrible enfermedad de la piel.

La mitad de este libro está dedicada a uno de los temas que todavía ocupa a matemáticos y físicos, y que probablemente los ocupraá duarnte mucha sdécadas más; hablamos de la mecánica cuántica. Labatut describe la lucha de ideas entre las dos versiones de la teoría, las de Erwin Schrödinger, la visión ondulatoria con su famosa ecuación, y la de Werner Heisenberg, con matrices. Esta lucha implicó a matemáticos y físicos de la época, y fue John von Neumann quién consiguió desarrollar una teoría unificada usando operadores en espacios de Hilbert.

Como se puede ver, 212 páginas llenas de pasión. Porque es imporatnte señalar el estilo de este libro. Si alguien ha leído las biografías de Stefan Zweig, o los libros de Patrick Deville o Éric Vuillard, reconocerá esa pasión. Un verdor terrible supone montarse en un caballo que cabalga sin descanso y te quita la respiración. Es de esos libro que uno no suelta hasta el final y se queda lamentando que ya haya terminado. Esperamos que Bejmaín Labatut siga escribiendo y publicando para nuestro deleite y conocimiento.

 

Benjamín Labatut

Sobre el autor (Fuente: Anagrama)

Benjamín Labatut nació en Rotterdam, Países Bajos, en 1980. Pasó su infancia en La Haya, Buenos Aires y Lima, y a los catorce años se estableció en Santiago de Chile. La Antártica empieza aquí, su primer libro de cuentos, fue publicado en México, donde ganó el Premio Caza de Letras 2009, concedido por la Universidad Autónoma de México (UNAM) y la editorial Alfaguara. En Chile apareció en 2012, y un año más tarde se alzó con el Premio Municipal de Santiago. Su segundo libro, Después de la luz, publicado en 2016 por la editorial Hueders, consta de una serie de notas científicas, filosóficas e históricas sobre el vacío, escritas tras una profunda crisis personal. Su tercer libro –Un verdor terrible–, además de en Anagrama, será publicado en 2020 por Suhrkamp (Alemania), Adelphi (Italia), Éditions du Seuil (Francia), Atlas Contact (Países Bajos), Pushkin Press (Reino Unido, Australia, Nueva Zelanda) y Elsinore (Portugal).

 

Aquí les dejo con la presentación del libro con Benjamín Labatut

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Elena Asins, los fundamentos matemáticos del arte


Una de las cuestiones más fascinantes en la actualidad es el debate sobre el arte hecho por ordenadores (o si se quiere, por algoritmos). Los artistas (especialmente los pintores) han recorrido un camino en cierta manera inverso, tratando de utilizar el mundo abstracto de las matemáticas para sus obras. Queremos recordar aquí el trabajo de una mujer pionera, Elena Asins, que usó el mundo de la razón para interpretar la realidad.

 

Elena Asins

 

Elena Asins Rodríguez nació en Madrid, el 2 de marzo de 1940.  Estudió en la Escuela de Bellas Artes de París, en la Universidad de Stuttgart (Semiótica con el profesor Max Bense), en la Universidad Complutense de Madrid (Centro de Cálculo), en The New School for Social Research (Nueva York) y en la Columbia University (Departament of Computer Science: Computer Art), donde fue invitada como Visiting Scholar para la investigación de la aplicación digital en las artes plásticas.

A lo largo de su dilatada carrera artística, Elena Asins investigó sobre el uso de la computación y los algoritmos en arte. Ya en los años sesenta participó en exposiciones con una obra basada en las formas geométricas. Colaboró con el Centro de Cálculo de la Universidad Complutense de Madrid, interesada siempre por la aplicación de los ordenadores a la creación artística. Allí coincidió con otros artistas  jóvenes, como José María Yturralde ,en un seminario dedicado a la generación de formas plásticas a través de computadoras. De hecho, la presencia de la lógica formal y la combinatoria están continuamente presentes en su obra. Sobre este tiempo, Elena Asins comenta: “Allí nos reunimos, en unos cuantos seminarios, músicos, matemáticos, científicos, pintores, arquitectos y toda  clase de gente. Todo aquello me formó y estructuró mi cabeza, fue de las mejores cosas que se han hecho en España de lo que yo conozca. Después, estuve asistiendo durante año  y  medio  a  todos  los seminarios.  No  me  hicieron  ningún  trabajo  con  ordenador, porque entonces el artista no tenía acceso directo a la máquina.”

 

Sus trabajos iniciales fueron en la pintura, pero también practicó la escultura, el dibujo, la poesía (poemas visuales), y la infografía.  En la imagen a continuación podemos ver el Canon 22 del malecón de Zarautz (un conjunto lineal y horizontal de 72 figuras de un metro cúbico cada una que ocupa una longitud total de 143m y una anchura de un metro). Sobre el Canon 22, la autora explica esto que informa sobre su manera de trabajar con los algoritmos: “Si vamos otra vez al Canon  22, hay figuras que encuentro bellas y hay  otras que francamente me parecen no bellas, son figuras que eliminaría si me guiase por criterios estéticos, pero no me guío por criterios de belleza sino por criterios de la lógica y de la ética matemática.”

 

Canon 22 en el malecón de Zarautz

En esa misma entrevista, con Joan Robledo-Palop en 2011 (“La desaparición de la imagen: Conversación con Elena Asins”. Forma: Revista d’estudis comparatius. Art, literatura, pensament. 4: 43–52.), la artista respondía así a la primera pregunta, en la que explica su teoría sobre los colores:

P: Quisiera comenzar nuestra conversación preguntándote sobre un concepto como  el de estructura y de qué modo puede estar relacionada la ausencia de color, o el blanco y el negro, con esta noción de la organización espacial.

Yo casi siempre he trabajado en papel. He trabajado o bien en blanco con línea negra o también en negro con línea blanca, casi han sido mis primeros trabajos. Era un trabajo en el cual me buscaba a mí misma, pero de esto hace tantos años que prácticamente no me acuerdo porque a los veintitrés ya comencé con la abstracción. Por otro lado, a mí, lo que me interesa es la esencialidad de la estructura, tener en la mano la base de toda construcción posible. Naturalmente, esto no te lo dan los colores, te lo da la estructura, el  modo de organizar el mundo, diríamos. La organización de elementos que producen un mundo, producen una estética. Un juego, en sentido wittgensteniano, que revela la verdad o la lógica de las cosas.

En otra entrevisra en El País Semanal en 2011, ante la pregunta del periodista, comenta su creencia en la papel de las matemáticas en la interpretación del mundo:

P: Uno no estudia matemáticas para sacar la cuenta del más allá. No sale.

El templo de Salomón estaba lleno de cálculos y medidas, no está tan lejos, no. Hay una lógica para creer. Debemos cultivar la ciencia de los números porque nuestros mayores crímenes son errores de cálculo. Eso es Pitágoras.

 

A lo largo de su vida, Elena Asins padeció durante años un olvido injustificado (decía: “Han tenido que venir nuevas generaciones para comprenderme”), y solo al final de la misma recibió un amplio reconocimiento a su carrera. Así, en 2006 recibió la Medalla de Oro al Mérito en las Bellas Artes; en 2011, el Premio Nacional de Artes Plásticas; y en 2012, el Premio Arte y Mecenazgo. “España no es una madre, es una madrastra: trata mal a los artistas, a los intelectuales”, decía en una entrevista en ABC en 2012.

Elena Asins falleció el 14 de diciembre de 2015, en un caserío en Azpíroz, pueblo de Navarra, a los 75 años de edad y donde vivía retirada y sola. Como declaró una vez: “Amo profundamente mi soledad, pero también me duele”.

Decía Elena Asins: “Bueno, de alguna manera las máquinas tienen su almita”. Quizás en un futuro próximo no seamos capaces de distinguir si el autor es una máquina, una IA, o un humano.

Les dejo con este video en el que explica brevemente su obra

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Y con esta entrevista que no tiene ningún minuto desperdiciado

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Las matemáticas de la pandemia


Nos hacemos eco en Matemáticas y sus fronteras de la más reciente publicación de la colección ¿Qué sabemos de?, una empresa conjunta del Consejo Superior de Investigaciones Científicas y la Editorial Catarata. Se trata de Las matemáticas de la pandemia, obra de Manuel de León y Antonio Gómez Corral.

 

Las matemáticas juegan un papel destacado en la comprensión de las pandemias y en cómo combatirlas; nos ayudan a prevenirlas, a predecirlas y a controlarlas. De hecho, la emergencia de SARS-CoV-2 ha llenado los medios de términos técnicos cuyo origen y correcta interpretación están ligados a conceptos matemáticos.

El libro fue surgiendo desde la necesidad de explicarle al ciudadano de dónde salían esos conceptos que los medios y los políticos repetían una y otra vez: aplanar la curva, factor de reproducción, inmunidad de rebaño. Todos esos conceptos vienen de las matemáticas, pero están, como ocurre muchas veces con nuestra disciplina, ocultos.

Por ejemplo, el modelo SIR (Susceptibles, Infectados, Recuperados), surgido de la lucha contra la malaria, predice la evolución de los contagios mediante ecuaciones diferenciales;  en concreto, las que aparecen en la portada del libro junto a una descripción gráfica de cómo los individuos transitan entre los tres compartimentos o subpoblaciones básicos de susceptibles, infectados o recuperados. Es un modelo conceptualmente sencillo que debemos a los trabajos pioneros de Ronald Ross, Alexander McKendrick y William Kermack. Por supuesto, este modelo ha sido mejorado con nuevos compartimentos para incluir mortalidad, asintomáticos, periodos de cuarentena e incluso la vacunación anhelada en estos momentos frente al coronavirus SARS-CoV-2.

Pero las ecuaciones diferenciales no son los únicos instrumentos: las series temporales de una gran utilidad para conocer la evolución de una epidemia; o los procesos de Markov que, desde la actualidad, anticipan el futuro. Y decir que su inventor, Andrey Markov sólo tenía en mente su aplicación al acalorado debate que mantenía en aquellos momentos con el también matemático Pavel Nekrasov sobre la existencia o no del libre albedrío. Markov hizo su análisis sobre el Eugene Onegin de Alexander Pushkin.

También analizamos las leyes de Mendel a la luz de de las cadenas de Markov, y recordamos una aportación poco conocida para los matemáticos pero de gran relevancia de Godfrey Harold Hardy a la genética (el principio de Hardy–Weinberg). O los procesos de Galton-Watson, surgidos al analizar la potencial desaparición de los apellidos de la aristocracia inglesa, y que constituyen los procesos más famosos y aplicados a la transmisión vertical de una enfermedad o de la herencia genética entre padres e hijos. Y, cómo no, los problemas de la distancia social en el mundo pequeño, con la aportación de la teoría de redes a la transmisión de una epidemia.

Estos instrumentos matemáticos nos hacen saber en la práctica cuándo se producirá el número máximo de contagios para alertar a los hospitales o evitar desplazamientos y reuniones, decidir si una vacuna será útil o no, o conocer las reglas del contagio y la construcción de cortafuegos para proteger a la ciudadanía.

Si hemos conseguido acercar todo esto a los lectores para que comprendan mejor lo que estamos viviendo con esta pandemia (que no es la primera ni, desgraciadamente, será la última que padezca la humanidad), serán ellos los que nos los harán saber.

 

Sobre los autores

Manuel de León

Matemático, profesor de investigación del CSIC y fundador del Instituto de Ciencias Matemáticas. Ha sido miembro del Comité Ejecutivo de la Unión Matemática Internacional (IMU) y del Consejo Internacional de la Ciencia (ICSU). Es académico numerario de la Real Academia de Ciencias y correspondiente de la Real Academia Canaria de Ciencias y la Real Academia Galega de Ciencias.

 

Manuel de León

Antonio Gómez Corral

Matemático y profesor titular de la Universidad Complutense de Madrid. Sus intereses científicos se centran en las aplicaciones de los procesos estocásticos a problemas biológicos.

 

Antonio Gómez Corral

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Manuel de León (Instituto de Ciencias Matemáticas CSIC, Real Academia de Ciencias) y Antonio Gómez Corral (Universidad Complutense de Madrid).

 

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Historias de Pi: calculando el área del círculo


En una entrada previa, reflexionamos sobre le relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, que, como aprendimos en la escuela, es  el número π . Una relación similar ocurre cuando queremos calcular el área de un círculo, que sabemos es el cuadrado del radio multiplicado por π. Pero esta relación de proporcionalidad , intuitiva sin duda, tampoco es tan evidente.

 

Estos teoremas de la geometría (pues eso son) que se enuncian tan fácilmente y que aprendemos de manera universal, tienen demostraciones muy sutiles. Ya vimos en la entrada aludida que la prueba del correspondiente a la longitud de una circunferencia descansa en una noción que los matemáticos tardaron siglos en formalizar adecuadamente, la de límite (o si se quiere, la de su prima hermana, la derivada).

 

Arquímedes según Domenico Fetti (1620)

Una primera prueba de que el área de un círculo de radio r es A = π  r2 se debe a Arquímedes. Si pensamos en una sucesión de polígonos regulares inscritos en el círculo, sabemos que el área de cada uno de ellos es la mitad del perímetro multiplicado por la distancia del centro a sus lados (la apotema). Si imaginamos ahora al límite (por ejemplo, cuando el número de lados tiende a infinito), entonces

A = ½ x 2 π r x r

Previo a Arquímedes, Hipócrates de Quíos (470 a.C.-410 a. C.) probó que el área de un círculo era proporcional al cuadrado del diámetro, cuando trataba de resolver el problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con el mismo área de un círculo dado solamente con regla y compás). Hipócrates lo quiso resolver con el llamado problema de la cuadratura de la lúnula (veáse la figura 1).

Figura 1

Arquímedes utilizó el llamado método exhaustivo, introducido por Eudoxo de Cnido (390 a. C.-37 a. C) introdujo el método exhaustivo, un antecedente del cálculo integral, para probar que el área de un círculo era proporcional al cuadrado del radio. En el razonamiento de Arquímedes, en el paso al límite, se usa de una manera no rigurosa pero acertada como las secantes (los lados de los polígonos) se aproximan a la longitudes de arco, y las apotemas al radio.

Es interesante recordar los argumentos de Arquímedes. Primero, compara el área del círculo con la de un triángulo rectángulo cuya base mida lo mismo que la longitud de la circunferencia y cuya altura sea el radio. Entonces razona: supongamos que no coincidan, o sea que será mayor o menor, y en cada caso, llega a una contradicción. ¿Qué tiene esto que ver con los polígonos inscritos? Sea A el área del círculo y a la del triángulo, y sea E el exceso en el caso de que A sea mayor que a = 1⁄2cr, donde c es la longitud de circunferencia y r el radio. Inscribimos un cuadrado en el círculo, y nos quedan cuatro segmentos iguales. Sea S4 el área de esos cuatro segmentos y supongamos que S4  es mayor que E. Si ese es el caso, divido cada segmento en dos y obtenemos un octógono. Hacemos lo mismo, contamos el área de esos ocho segementso, que será S8 . De nuevo, vemos si es mayor que E, y así hasta que lleguemos a un polígono de n lados tal que el correspondiente área Sn sea menor que E. Entonces el área del polígono será Pn = A – Gn, mayor que la del triángulo.

Y ahora llega la contradicción. Trazamos una apotema de longitud h. Si cada lado del polígono mide s, entonces el perímetro, ns, es menor que c. El área del polígono es ½ nsh. Como h es menor que r y ns menor que c, el área del polígono debe ser menor que la del triángulo, lo que es una contradicción.

El argumento en el otro caso funciona de manera parecida, y en consecuencia, debe darse la igualdad.

Hoy en día tenemos instrumentos mucho más precisos. La integración nos permite calcular el área de un círculo de varias formas, muy elegantes y sencillas.

Me gustaría terminar con una reflexión sobre el ingenio de los matemáticos de otras épocas, que sin contar con las técnicas del cálculo diferencial e integral fueron capaces de obtener logros que ahora nos parecen evidentes.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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